- 15.01.2015
- 1404
- 3
8
XIII республиканский научный конкурс молодых исследователей «Шаг в будущее Осетии».
Секция – математика.
«График квадратичной функции, содержащей переменную под знаком абсолютной величины.»
Автор:
Асламурзаева Белла Артуровна
СОШ №46, 9 «А» класс.
Научный руководитель:
Преподаватель математики СОШ №46 им. И.М.Дзусова
Дряева М.Г.
город Владикавказ, СОШ №46.
Аннотация
Цель работы: рассмотреть построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля.
Методы и приемы: рассмотрение, анализ и построение графиков функций, содержащих переменную под знаком модуля, обзор информации в сети Интернет.
Выводы:
1)Для построения графика функции y = |f(x)| , надо сохранить ту часть графика функции y = f(x), точки которой находятся на оси Ох или выше оси Ох, и симметрично отразить относительно оси Ох ту часть графика функции y = f(x), которая расположена ниже оси Ох.
2) Для построения графика y = f(|x|) надо сохранить ту часть графика функции y = f(|x|), точки которой на оси Оу или справа от неё и симметрично отразить эту часть графика относительно оси Оу.
3) Чтобы построить график функции |y|= x 2 – 6х +5 нужно:
Отбросить ту часть графика , которая лежит ниже оси
Ох, а оставшуюся часть симметрично отобразить
относительно оси Ох
Задачи:
1) Изучить литературу о свойствах абсолютной величины и квадратичной функции.
2) Исследовать изменения графика квадратичной функции в зависимости от расположения знака абсолютной величины.
1.Введение.
Функция, определяемая формулой у=ах²+вх+с, где х и у переменные, а параметры а, в и с – любые действительные числа, причём а≠0, называется квадратичной.
График функции у=ах²+вх+с есть парабола; осью симметрии параболы является прямая . При а>0 «ветви» параболы направлены вверх, при а<0 – вниз.
Чтобы построить график квадратичной функции, нужно:
1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости;
2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе;
3) соединить отмеченные точки плавной линией.
Определение: абсолютной величиной неотрицательного числа называется само это число, абсолютной величиной отрицательного числа называется противоположное ему положительное число.
Свойства: 1 .|a| ≥0, 3 .|a∙b|=|a|∙|b|,
2. |a|²= a², 4. |a/b|=|a|/|b|, b≠0
2. Построение графика квадратичной функции, содержащей переменную под знаком модуля.
На примере функции у= x 2– 6х +5 я рассмотрела всевозможные случаи расположения модуля.
у = |x 2 – 6х +5|
у = | х | 2 – 6х +5
у = х² – 6|х| +5
у = |х|² - 6|х|+5
у = |х² – 6х| +5
у = |х² – 6|х| +5|
у = x 2 -|6х + 5|
|y|= x 2 – 6х +5
Пример 1:Построим график функции у = |x 2 – 6х +5|.
Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая:
1) x 2– 6х +5≥ 0, тогда у= x 2– 6х +5.
Построим данную параболу. Выделим все точки параболы с неотрицательной ординатой.
2) x 2– 6х +5<0, тогда у= -(x 2– 6х +5) или -x 2+ 6х -5>0, y= -x 2+ 6х -5.
Построим график данной функции, и выделим все точки параболы с положительной ординатой. Все выделенные в обоих случаях точки образуют график функции у = |x 2 – 6х +5|.
. 
Итак ,можно сделать вывод: чтобы получить график функции у = |x 2 -6х + 5|, нужно часть параболы, расположенной ниже оси Ох, зеркально отобразить относительно оси Ох .
Пример 2:Рассмотрим график функции у = |х|²– 6х +5.
Т. к. |х|²= х², то график функции у =|х|² - 6х +5 совпадет с графиком функции у = х² - 6х +5, не содержащей знак абсолютной величины. 
.
Пример 3: Рассмотрим график функции у = х² – 6|х| +5.
Воспользуемся определением модуля числа.
Пусть x≥0, тогда y= х² - 6х +5.
Построим параболу у = х² - 6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует неотрицательным значениям х , т.е. часть, расположенную правее оси Оу.
2)Пусть x<0, тогда y= x² + 6х +5.
В той же координатной плоскости построим параболу у = х² +6х +5 и обведём ту её часть, которая соответствует отрицательным значениям х, т.е. часть, расположенную левее оси Оу. Обведённые части парабол вместе образуют график функции у = х² - 6|х| +5
Итак, можно сделать вывод: для построения графика функции у = х² – 6|х| +5. надо сохранить ту часть графика , точки которой находятся на оси Oy или справа от нее, и симметрично отобразить ее относительно оси Оy.
Пример 4: Рассмотрим график функции у = |х|² - 6|х|+5.
Т.к. |х|²= х², то график функции у = |х|² – 6|х| +5 совпадает с графиком функции у = х² – 6|х| +5, рассмотренном в примере 3.
Пример 5. Построим график функции у = |х² – 6х| +5.
Для этого построим сначала график функции у = х² - 6х. Чтобы получить из него график функции у = |х² - 6х|, нужно часть параболы, расположенную ниже оси х, заменить линией ей симметричной относительно оси х. Т.к. нам 
Нужно построить график функции у = |х² - 6х| +5, то график рассмотренной нами функции у = |х² - 6х| нужно просто поднять по оси у на 5 единиц вверх.
Пример 6: Построим график функции у = |х² – 6|х| +5|.
Для этого сначала построим график функции у =х²- 6|х| +5. (см. пример 3).
Т. к. наша функция полностью находится под знаком модуля, то для того, чтобы построить график функции
у = |х² – 6|х| +5|, нужно часть параболы, расположенную ниже оси Ох, заменить линией ей симметричной относительно оси Ох.
Пример 7:Построим график функции у = x 2 -|6х + 5|.
Пользуясь определением модуля, рассмотрим два случая:
6х+5≥0, т.е. х ≥ -5∕6, , тогда функция примет вид у=x² - 6х -5.
Построим параболу и обведем ту часть , где x≥-5∕6,
6х+5<0, т.е. х < -5∕6, тогда функция принимает вид у=x² + 6х +5.
Построим эту параболу и обведем ту её часть, которая расположена левее точки с абсциссой х =-5∕6,
Обведенные в обоих случаях части парабол являются графиком данной функции.
Пример 8. |y|= x 2 – 6х +5
Равенство |y|= x 2 – 6х +5 не задает функции, т. к. при
x 2 – 6х +5 >0 имеем 2 значения y, соответствующих
данному значению x, а при x 2 – 6х +5 <0, ни одного такого
значения. График данного уравнения строится так:
Отбрасываем ту часть графика , которая лежит ниже оси
Ох, а оставшуюся часть симметрично отображаем
относительно оси Ох.
Увлекшись построением графиков функций, у меня возникла интересная идея. Чтобы эту идею воплотить , мне надо было придумать функции, графики которых имеют определенный вид.
1. y= -2|x|²+8, где -2≤x≤2
2. y=±|x²-6x+5|+4, где 1≤x≤5
3. y=-|x²-4x|+8, где 2-2√3 ≤ x ≤ 2+2√3
4)y=
5)y=±|x²-6x+5|+4, где 1≤x≤4
6)x²+(|y-4|-2)²=4, где 0≤y≤8, x=0
7)x²+(|y-4|-2)²=4, где 0≤x≤2
Выводы:
1)Для построения графика функции y = |f(x)| , надо сохранить ту часть графика функции y = f(x), точки которой находятся на оси Ох или выше оси Ох, и симметрично отразить относительно оси Ох ту часть графика функции y = f(x), которая расположена ниже оси Ох.
2) Для построения графика y = f(|x|) надо сохранить ту часть графика функции y = f(|x|), точки которой на оси Оу или справа от неё и симметрично отразить эту часть графика относительно оси Оу.
3) Чтобы построить график функции |y|= x 2 – 6х +5 нужно:
Отбросить ту часть графика , которая лежит ниже оси
Ох, а оставшуюся часть симметрично отобразить
относительно оси Ох
Заключение:
И в заключение я хотела бы сказать, что для досканального изучения материала исследовательская работа подходит больше всего. Мне удалось выйти за рамки того материала по данной теме, который дается в школе. В дальнейшем я собираюсь углубить свои знания по данной теме и научиться строить графики более сложных функций. Хотелось бы еще научиться строить графики уравнений, используя различные программы для построения графиков, в том числе Microsoft Exel.
Используемая литература:
1.Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. 9 кл.: М.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Г. В. Дорофеев, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович, Л. В. Кузнецова, С. С. Минаева. 2. Курс высшей математики для техникумов. И. Ф. Суворов, Москва - 1967.
3. Математика. Алгебра и элементарные функции. М. И. Абрамович, М. Т. Стародубцев.
4. А.Г. Мордкович Книга для учителя. Беседы с учителями. Москва – «Оникс 21 век», «Мир и образование», 2005 г.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
1)Дляпостроенияграфикафункции y = |f(x)| , надосохранитьтучастьграфикафункции y = f(x), точкикоторойнаходятсянаосиОхиливышеосиОх, исимметричноотразитьотносительноосиОхтучастьграфикафункции y = f(x), котораярасположенанижеосиОх.
2) Дляпостроенияграфика y = f(|x|) надосохранитьтучастьграфикафункции y = f(|x|), точкикоторойнаосиОуилисправаотнеёисимметричноотразитьэтучастьграфикаотносительноосиОу.
3) Чтобыпостроитьграфикфункции |y|= x 2 – 6х +5 нужно:
Отброситьтучастьграфика , котораялежитнижеоси
Ох, аоставшуюсячастьсимметричноотобразить
относительноосиОх
6 655 741 материал в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Дряева Минат Георгиевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
5 ч.
Мини-курс
5 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.