Инфоурок / Математика / Конспекты / ГУ «Отдел образования акимата города Костаная» Тренажёр Прикладного курса по математике «Работа с тригонометрическими выражениями и методы решения тригонометрических уравнений и неравенств» для учащихся 11-х классов Учитель математики: Фролова Т.Н.
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

ГУ «Отдел образования акимата города Костаная» Тренажёр Прикладного курса по математике «Работа с тригонометрическими выражениями и методы решения тригонометрических уравнений и неравенств» для учащихся 11-х классов Учитель математики: Фролова Т.Н.

Такого ещё не было!
Скидка 70% на курсы повышения квалификации

Количество мест со скидкой ограничено!
Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок"

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок" 20 мая 2016 г. бессрочно).


Список курсов, на которые распространяется скидка 70%:

Курсы повышения квалификации (144 часа, 1800 рублей):

Курсы повышения квалификации (108 часов, 1500 рублей):

Курсы повышения квалификации (72 часа, 1200 рублей):
библиотека
материалов

12


ГУ «Отдел образования акимата города Костаная»











Методическое пособие для учителя

Прикладного курса по математике

«Работа с тригонометрическими выражениями


и методы решения тригонометрических уравнений и неравенств»

для учащихся 11-х классов




Учитель математики: Фролова Т.Н.













Костанай









Содержание


1. Преобразование тригонометрических выражений

1.1 Формулы для тригонометрических функций одного и того же аргумента.

1.2 Формулы приведения.

1.3 Формулы сложения аргументов.

1.4 Формулы двойного аргумента.

1.5 Формулы половинного аргумента.

1.6 Формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение.

1.7 Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (разность).


2. Решение тригонометрических уравнений

2.1 Простейшие тригонометрические уравнения

2.2 Решение тригонометрических уравнений, левая и правая части которых являются одноимёнными тригонометрическими уравнениями

2.3 Метод разложения на множители

2.4 Метод введения новой переменной

2.5 Метод введения вспомогательного угла

2.6 Решение уравнений с использованием ограниченности функций у=hello_html_57f65499.gif и у=hello_html_m328abec3.gif

2.7 Уравнения с обратными тригонометрическими функциями


3. Решение тригонометрических неравенств.

3.1 Простейшие тригонометрические неравенства

3.2 Применение основных тригонометрических формул

3.3 Метод введения новой переменной

3.4 Метод интервалов






















1. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ


Известно, что школьники испытывают немалые трудности, изучая тригонометрию. Есть несколько причин возникновения этих трудностей. Назовем основные, как мы считаем, две причины возникновения их. Во-первых, большое количество формул, которые необходимо знать и помнить. Во–вторых, отсутствие стандартных приемов тождественных преобразований тригонометрических выражений. В–третьих, формирование навыков тождественных преобразований тригонометрических выражений требует специальной тренировки, которая осуществляется с помощью достаточно большого числа упражнений.

Выполнение тождественных преобразований тригонометрических выражений рекомендуется начинать с анализа структуры данного выражения и составления плана действий. Некоторые рекомендации могут быть полезны при выполнении тождественных преобразований тригонометрических выражений:

1.Если выражение содержит разные тригонометрические одного аргумента, то следует все функции через одну или две функции. При этом тангенс и котангенс угла чаще всего выражают через синус или косинус этого же угла.

2. Если в выражение выходят тригонометрические функции от разных аргументов, то попытайтесь свести все тригонометрические функции к одному аргументу.

3.Формулы приведения могут быть полезны для выражения тригонометрических функций через кофункцию.

4. Не забывайте о формулах сокращенного умножения - они могут иногда помочь в преобразовании тригонометрического выражения.

5. Если в выражении нет нужного слагаемого, то его можно прибавить и сразу же вычесть. Иногда полезно какое-то слагаемое представить в виде суммы двух или нескольких слагаемых. Наконец, единицу бывает полезно представить в виде суммы квадратов синуса и косинуса, т.е. 1=hello_html_6d9e355b.gif

6.Если в выражении нет нужного множителя, то на него можно умножить и сразу же разделить данное выражение (при условии, что этот множитель отличен от нуля).

7. Попробуйте применить метод введения вспомогательного угла. В простейших случаях он сводится к замене чисел hello_html_m2df347a8.gif и 1 тригонометрическими функциями соответствующих углов.

8. Если в выражение входят степени тригонометрических функций, то можно обратиться к преобразованиям, понижающим степени.

9. Если данное выражение является однородным многочленом п-ой степени относительноhello_html_m2c06f6db.gif

hello_html_75263fc2.gif

Характерная особенность тождественных преобразований тригонометрических выражений состоит в том, что к одному и тому же результату можно прийти разными путями. Поэтому по окончании решения полезно время от времени сопоставлять различные способы преобразования одного и того же выражения.

Надо помнить, что в тех задачах, где речь идет о преобразовании тригонометрического выражения, всегда предполагается, хотя часто и не оговаривается в условии задачи, что преобразование предложенного выражения должно быть проведено в его области определения. То есть только при тех значениях аргументов, для которых тригонометрическое выражение имеет смысл.

Тождественные преобразования тригонометрических выражений опираются на следующие основные формулы.

  • Формулы для тригонометрических функций одного и того же аргумента.

  • Формулы приведения

  • Формулы сложения аргументов.

  • Формулы двойного аргумента.

  • Формулы половинного аргумента.

  • Формулы преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение.

  • Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (разность).



Занятие 1

1.1 Формулы для тригонометрических функций одного и того же аргумента



По назначению одной из тригонометрических функций некоторого аргумента можно, используя приведенные ниже формулы, найти значения всех остальных. Применение этих формул значительно сокращает и упрощает процесс тригонометрических преобразований.

hello_html_m191de4fe.gif



hello_html_4c49171a.gif



hello_html_m2083e6e9.gif

hello_html_m4e1db284.gif.

1+hello_html_2782ce18.gif.



1+hello_html_792f7306.gif



В скобках указаны значения аргумента, при которых тождества имеют числовой смысл.





1.Задание. Вычислить:

а) 2hello_html_148b106f.gif

б)hello_html_33619331.gif

в)hello_html_m5883ac0.gif



г)hello_html_6d070227.gif



д)hello_html_51754b12.gif


е)hello_html_m69949aaf.gif, еслиhello_html_432f2cfa.gif

ж)hello_html_55c1ca09.gif

Решение:



а) 2hello_html_148b106f.gif

Так как hello_html_7f422869.gif

hello_html_24230414.gif

2hello_html_m2913e37f.gif

В следующих заданиях выражают искомую функцию через данную, используя тригонометрические формулы с учетом знака в указанном промежутке, затем подставляют данное значение и производят вычисления.



б)hello_html_33619331.gif

Учитывая, чтоhello_html_11852162.gif- угол II четверти, найдем hello_html_m54b82724.gif

1+hello_html_3b469d1a.gif

1hello_html_m3f09ef16.gif



hello_html_m4362a370.gif= hello_html_36b5a9e0.gifhello_html_66b3724f.gif=hello_html_m3bb0bee2.gif



hello_html_befb32a.gif, hello_html_6c7685be.gif .

в)hello_html_m5883ac0.gif



hello_html_m1113557f.gif

hello_html_m263dd4c3.gif



г)hello_html_6d070227.gif



hello_html_be267a0.gif

hello_html_76f0f9e8.gif





д)hello_html_51754b12.gif



hello_html_m603850fe.gif

hello_html_befbaeb.gif=hello_html_7a7e1fd4.gif=hello_html_m58ef7852.gif


е)hello_html_m69949aaf.gif, еслиhello_html_432f2cfa.gif



hello_html_432f2cfa.gifhello_html_m31475881.gif=hello_html_1f0e6c21.gif.



ж)hello_html_55c1ca09.gif



hello_html_25632151.gif, возведём обе части равенства в квадрат:hello_html_m8a6fa80.gif=hello_html_532091fd.gif



hello_html_m216e6ff9.gif

hello_html_maabefad.gif

hello_html_m5ae607a8.gif



hello_html_m664ec9c5.gif.

Занятие 2.

2.Задание. Упростите:



а)hello_html_m12a5f303.gif


б)hello_html_4e53ebaf.gif



в)hello_html_4165869.gif



г)hello_html_77a75dbd.gif



д)1+hello_html_m5c9c6535.gif


hello_html_m61e5b6c6.gif



Решение:

а)hello_html_m12a5f303.gif=hello_html_m705bf353.gif



б)hello_html_m5a7d8165.gif



в)hello_html_4165869.gif= hello_html_m27c928d4.gif

г)hello_html_6ef27e70.gif=hello_html_me25cee8.gif



д)1+hello_html_m5c9c6535.gif=1+hello_html_268c40d6.gif

hello_html_6d10f309.gif=(hello_html_3d631718.gif

Занятие 3

1.2 Применение формул приведения

Формулы приведения и формулы периодичности тригонометрических функций позволяют выразить значение тригонометрической функции угла любой величины через тригонометрические функции острого угла α.

Для того, чтобы усвоить все формулы приведения, нет необходимости их запоминать, достаточно уяснить два вопроса: какой знак и какое название будет иметь функция.

1.Какой знак? Перед приведенной функцией ставится тот знак, который имеет исходная функция, если считать, чтоhello_html_695bfd0f.gif - угол I четверти.

2. Какое название?

Для углов hello_html_59ce86af.gif Для углов hello_html_96b90c8.gif

hello_html_22e6004f.gif

3. Задание. Вычислите:

а)hello_html_34378764.gif г)hello_html_m383e18c7.gif

б)hello_html_485a553c.gif-2hello_html_m2aca0835.gif д)hello_html_m4e23da81.gif

в)hello_html_2b3aea46.gif

Решение:

а)hello_html_48fb1cbc.gif

hello_html_7b96ee73.gif

б)hello_html_485a553c.gif-2hello_html_m2aca0835.gif=-1-2hello_html_6c9bf741.gif=-2.



в)hello_html_335f2275.gif

hello_html_519d212.gif

hello_html_m4191e8f5.gif=hello_html_53f416bd.gif

hello_html_m686afcce.gif



hello_html_e38330c.gif=hello_html_678eb007.gif



4. Задание. Упростите:



а)hello_html_m4bb65df4.gif



б)hello_html_dd0f9ef.gif



в)hello_html_254f64b5.gif-hello_html_m11e18ecc.gif



г)hello_html_m442f5ce6.gif



Решение:

а)hello_html_m3a9ae1cd.gif

б)hello_html_dd0f9ef.gif=hello_html_6cfd7b21.gif=hello_html_ecdcc10.gif

в)hello_html_254f64b5.gif -hello_html_m11e18ecc.gif=hello_html_254f64b5.gif-hello_html_m5e0b89ba.gif+hello_html_45d0dbda.gif=hello_html_7efdfb1c.gif

г)hello_html_me675f2a.gif

hello_html_m88215bb.gif

hello_html_79c0f69b.gif

Занятие 4.

1.3. Формулы сложения аргументов

Любую тригонометрическую функцию суммы или разности двух углов можно выразить через тригонометрические функции этих углов.

hello_html_m37dec034.gif

hello_html_m465ad3fc.gif

hello_html_m601ab842.gifZ)

hello_html_m5427a122.gifZ)

5.Задание: а)hello_html_m4c9dc31.gif

Решение: hello_html_m7ffed9b5.gif



в) tq75 °= tq(45°+30hello_html_m798727a3.gif hello_html_b44d240.gif



6.Задание: Вычислить:

а) hello_html_62d87883.gif и hello_html_m764d7a5c.gif

б) hello_html_45d110fc.gif coshello_html_m52498256.gif (hello_html_m66fedbf4.gif

в) tqhello_html_m2d8bd67c.gif tq(α-hello_html_m200398ef.gif

Решение:

а) Вычислим hello_html_78c812ed.gif

hello_html_60cffe6e.gif=hello_html_m215568f3.gif=hello_html_36b5a9e0.gif, hello_html_7ba74549.gif= - hello_html_3b88a430.gif

hello_html_153480d5.gif

б) Вычислим coshello_html_695bfd0f.gif и sin β с учетом четверти, которой принадлежат углы α и β:

cosα=hello_html_61389fcc.gif, sin =−hello_html_52802e7d.gif

cos(α-β)= =cosα∙coshello_html_7233e67b.gif + sinαhello_html_7b2317d1.gif+hello_html_m78201d22.gif=hello_html_53e23abb.gif

в) Вычислим tqhello_html_b81c946.gif

cos β = hello_html_4a83d71e.gif=-hello_html_374219d5.gif

tq β = hello_html_1d42b8c7.gif.

Вычислим теперь tqhello_html_695bfd0f.gif: tq(α-β) = 2hello_html_585af250.gif hello_html_6ab8aa1c.gif hello_html_26bf7e25.gif

Занятие 5.

7.Задание: Упростите:

а) hello_html_m3091467b.gif; в)hello_html_20192ff3.gif;

б)hello_html_m43d7fb9a.gif; г) tqαhello_html_18528098.gif+hello_html_1a8c78b9.gif

Решение:

а) hello_html_m3091467b.gif = hello_html_505b8868.gif



б)hello_html_ma67aa0d.gif = tqα.

в)hello_html_20192ff3.gif = hello_html_m2f245249.gif

г) tqαhello_html_18528098.gif+hello_html_71b7c6b4.gif

Занятие 6.

1.4 Формулы двойного аргумента

Следующие формулы выражают тригонометрические функции произвольного угла через тригонометрические функции произвольного угла в два раза меньшего.

hello_html_3434856d.gif

hello_html_m63a7a326.gif

hello_html_10039a8c.gif, (hello_html_m72a7c233.gif+hello_html_m7e58653a.gif

hello_html_347b3740.gif, (hello_html_35ad3fae.gif,hello_html_307f403d.gif

8.Задание: Вычислите:

а)hello_html_2291950f.gif, hello_html_m561caf07.gif

б)hello_html_159cb763.gif, hello_html_17a58711.gif

в) 1+9hello_html_4474bec4.gif и 270hello_html_m201b8c4b.gif

г) 4+2hello_html_353b7058.gif если hello_html_m183328b2.gif

д) hello_html_ada7f60.gif

е) hello_html_m2c19fb51.gif

ж)hello_html_m327a4f5e.gif

з)hello_html_1163957d.gif

Решение:

а)hello_html_2291950f.gif, hello_html_m561caf07.gif. Учитывая, что hello_html_133470ca.gif

cosα =hello_html_m5d08ae1c.gif =-hello_html_78377ab8.gif

hello_html_74d9fb7f.gif==2hello_html_7db7fd13.gif.

б)hello_html_159cb763.gif, hello_html_17a58711.gif

Найдём cosα из равенства: 1+hello_html_b9671c6.gif=hello_html_52739d21.gif, т.е. 1+hello_html_3bf75ed1.gif=hello_html_m6a242a60.gif

Но hello_html_17a58711.gif, поэтомуhello_html_7f6727b9.gif. Тогдаhello_html_3f4e8f1c.gif

hello_html_18585dd5.gif

в) 1+9hello_html_4474bec4.gif и 270hello_html_m201b8c4b.gif

1+9hello_html_7b4dc025.gif а угол hello_html_m59756be4.gifчетверти, то

hello_html_m2bcdfb14.gif

1+9hello_html_4afd7c16.gif

г) 4+2hello_html_m2fc9e636.gif

д) hello_html_110b79fd.gif

hello_html_77ae2526.gif=hello_html_63b9af3b.gif

hello_html_341b45ca.gif

1+hello_html_m45c5a0cd.gif

hello_html_62c01361.gif

hello_html_6790a909.gif

е) hello_html_m2c19fb51.gif

Воспользуемся искусственным приёмом: умножим и разделим заданное выражение на

2hello_html_7c95c31d.gif, а затем воспользуемся формулой двойного аргумента:

hello_html_m705d830b.gif

Замечание: Произведение косинусов, аргументы которых удваиваются, можно упростить умножением и делением его на синус наименьшего угла с последующим «свёртыванием» числителя с помощью формулы двойного аргумента.

ж)hello_html_m327a4f5e.gif

Умножим и разделим заданное выражение на 2hello_html_m341eaee9.gif

hello_html_m4168d7ee.gif= hello_html_m3ee9e228.gif hello_html_m480f17f0.gif



з)hello_html_1163957d.gif=hello_html_3884be3e.gif





Занятие 7.

9 Задание: Упростить:

а)hello_html_m6ef8573f.gif д)hello_html_m3e553a7b.gif

б)hello_html_55f1baaa.gif е)hello_html_47836fd4.gif

в) (сhello_html_6556a90f.gif hello_html_171534a1.gif ж)hello_html_m24d75fe1.gif

г)hello_html_3dce8052.gif з) 1-hello_html_28019b12.gif

Решение:

а)hello_html_m6ef8573f.gif =hello_html_4b58ece9.gif

б)hello_html_55f1baaa.gif =hello_html_m1e97ffa7.gif

в) (сhello_html_6556a90f.gif hello_html_m58ed8630.gif



г)hello_html_m739bcc21.gif



д)hello_html_7dcb6886.gif==hello_html_794ccec9.gif =

hello_html_132f880c.gif

е)hello_html_47836fd4.gif =hello_html_m2dc8d1dc.gif



ж)hello_html_m24d75fe1.gif=hello_html_6f192043.gif

з) 1-hello_html_m20ab9ef1.gif





Занятие 8.

1.5 Применение тригонометрических формул половинного аргумента

Формулами половинного аргумента называются формулы, выражающие значения тригонометрических функций аргумента hello_html_m52ce6d3e.gif через значения тригонометрических функций аргумента hello_html_7d00c32c.gifФормулы понижения степени рекомендуется использовать в преобразованиях выражений, содержащих степени тригонометрических функций.

Формулы понижения степени:hello_html_1d614c31.gif

hello_html_m7aea9272.gif, (hello_html_m24f29bd3.gif)

10. Задание: Вычислить:

а) hello_html_m686dfa24.gif д)hello_html_63365ec5.gif

hello_html_53c7da99.gifhello_html_m52bfeb43.gifе) hello_html_m1484a639.gif

в) hello_html_6556a90f.gif112hello_html_9b938a3.gif

г) hello_html_m5eb225e.gif

Решение:

а) hello_html_2efb0e90.gif hello_html_m664cd468.gif hello_html_m7f32afe8.gif

hello_html_53c7da99.gifНайдем сначала значение функции:

hello_html_782f5327.gif=hello_html_m450a5711.gif

Так как hello_html_393a8b90.gif

в) hello_html_6556a90f.gif112hello_html_9b938a3.gif=hello_html_m6ace13c9.gif

г) hello_html_12458339.gif

hello_html_m4153c4e8.gif+hello_html_6c2a0c44.gif

д)hello_html_63365ec5.gif = hello_html_m17cfcdaa.gif

е) hello_html_m1484a639.gif=hello_html_49573aa7.gif

Занятие 9.

В некоторых случаях применяются для преобразования тригонометрических функций формулы универсальной подстановки. Эти формулы выражают тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента. С помощью них можно представить все тригонометрические функции аргумента α в виде рациональных выражений относительно hello_html_m6aeb4975.gif Эти формулы записываются в виде:

hello_html_m74a7aecd.gif

hello_html_1e1b7103.gif

hello_html_39aaa6b1.gifhello_html_m1ed470cd.gif

chello_html_47b897d5.gif hello_html_mb940bab.gif nΖ

11. Задание: Вычислите:

а)hello_html_m2ba96809.gif

б) hello_html_m62cf8b02.gif

в) hello_html_1ef46fb4.gif

Решение:

а)hello_html_588fa010.gif

hello_html_3a0b3702.gif

hello_html_7866600f.gif

в) hello_html_1ef46fb4.gif

hello_html_384874a.gif

180hello_html_m50f4c705.gif

hello_html_52590c4c.gif=-hello_html_m36aaeaf8.gif=-hello_html_5dddd14c.gif =-hello_html_6324240a.gif

12.Задание: Упростите:

а) hello_html_m7c00fec6.gif б)hello_html_4e3f8161.gif в)hello_html_m3e5760e6.gif

Решение:

а) hello_html_m7c00fec6.gif =hello_html_m30f9bb76.gif

б)hello_html_4e3f8161.gif =-hello_html_31e8face.gif

в)hello_html_m3e5760e6.gif=hello_html_166bbbed.gif

Занятие 10.

1.6 Применение формул преобразования суммы (разности) тригонометрических функций в произведение

Часто необходимо сумму тригонометрических функций представить в виде произведения. Такое преобразование бывает полезно при решении тригонометрических уравнений, для того чтобы преобразовать в произведение левую часть уравнения, у которого правая часть равна нулю. После этого решение тригонометрического уравнения обычно сводится к решению простейших тригонометрических уравнений.

Следующие формулы позволяют выполнить такие преобразования:

hello_html_27befbb9.gif

hello_html_1d06814a.gif

hello_html_2c3402e2.gif

hello_html_1cde2c2c.gif



hello_html_m28ab0124.gif

13. Задание: Следующие выражения преобразуйте в произведение:

а) hello_html_m3813dfb2.gif д)hello_html_c873ea4.gif



б)1+hello_html_e9e9cef.gif е) 3-4hello_html_m20e46e03.gif

в)hello_html_m52d3032c.gif ж)hello_html_m4e98f8a0.gif

г)hello_html_m1201d6e0.gif з) hello_html_m66c174a7.gif



Решение:

а) hello_html_m3813dfb2.gif= hello_html_443d335d.gif hello_html_3b7c90ae.gif



б)1+hello_html_36817d5f.gif



в)hello_html_m49102381.gif

Рекомендации: Выделите в рассматриваемом выражении те значения тригонометрических функций, у которых аргументы в сумме или разности дают угол, кратныйhello_html_m423be662.gif

hello_html_m367898.gif

г)hello_html_m609e4869.gif



д)hello_html_m74aeb7d9.gif

hello_html_11852162.gif

е) 3-4hello_html_3233e06c.gif

hello_html_11852162.gif

ж)hello_html_1f45645f.gif



з) hello_html_3f5833c0.gif

14.Задание: Следующие выражения преобразуйте в произведение:

а) hello_html_m28e603dc.gif

б) hello_html_77d9173e.gif

в)hello_html_7e77243c.gif



Решение:

а)hello_html_m3ba47f54.gif=hello_html_m6b557344.gif

б) hello_html_m66e40a5f.gif(hello_html_23d72c5a.gif)=2hello_html_m677dfe22.gif2hello_html_m71f274a.gif2hello_html_22c2dcf8.gif

в) hello_html_7e77243c.gif=hello_html_696179de.gif



Занятие 11.

1.7 Применение формул преобразования произведения тригонометрических функций в сумму (разность)



Часто оказываются полезными формулы преобразования произведения тригоно-метрических функций в сумму или разность. Обычно они используются при упрощении тригонометрических выражений, при нахождении производных и интегралов от функций, содержащих тригонометрические выражения, а также при решении триго-нометрических уравнений и неравенств.

hello_html_1ca9144e.gif

hello_html_1470d68c.gif

hello_html_6e5ea307.gif

15.Задание: Вычислите:

а)16hello_html_m4044af6c.gif г)hello_html_m7eca2a31.gif

б) hello_html_m1a5d7a4b.gif д) hello_html_4d54ddc7.gif

в)hello_html_m1b284119.gif е)hello_html_m6b7ed47f.gif



Решение:

а)hello_html_4ad2e2fe.gif

16hello_html_m1c1ac84f.gif

б) hello_html_m4fe0548.gif=hello_html_m57c90caf.gif

в) В тех случаях, когда необходимо преобразовать в сумму произведение трёх или более

тригонометрических функций, формулы применяют повторно.

hello_html_m1b284119.gif=(hello_html_m1a3402f0.gif

=hello_html_7aa8d08a.gif

г)hello_html_6b3300eb.gif

hello_html_60127ca2.gif

hello_html_m3d55ef90.gif

Рекомендация.

Суммы hello_html_40718c49.gif иhello_html_m78c2379f.gif

hello_html_m61daaaf6.gif

е)hello_html_m251f2546.gif

Занятие 12.

Вычисление значений тригонометрических функций от аркфункций

При вычислении значений тригонометрических функций от аркфункций необходимо знать, что:

-hello_html_m18dc2ca5.gif -hello_html_m74fff3c6.gif

hello_html_1a85a6a5.gif0hello_html_m670ca286.gif

hello_html_m79ece321.gif

hello_html_a492a3f.gifи hello_html_m705a5b1d.gif hello_html_50e8285f.gif

hello_html_71bf3235.gifhello_html_293503fb.gif

hello_html_41ee0e6.gifhello_html_3eb4546b.gif

В тех случаях, когда аргумент выражен через обратные тригонометрические функции, надо преобразовать данное выражение таким образом, чтобы можно было воспользовать-ся определением обратных тригонометрических функций.

16.Задание: Вычислить:

а)hello_html_5dbd4dc3.gif

б)hello_html_4235b89c.gif

в)hello_html_79b666e9.gif

г) hello_html_m1d6933a2.gif hello_html_3389c440.gif

д)hello_html_m5167ebd.gif

е) hello_html_m2bf31d64.gif

ж)hello_html_7704d613.gif

з)hello_html_43294f0e.gif

Решение:

а)hello_html_35288251.gif hello_html_281dd862.gif

hello_html_m62c3d77b.gif

hello_html_64e3ae48.gif

hello_html_m28460764.gif

б)hello_html_4235b89c.gif

Обозачим hello_html_35ba59.gif

hello_html_2dc39c4a.gif

hello_html_4d562943.gif(hello_html_m4ce65edd.gif

в)hello_html_79b666e9.gif

Обозначим hello_html_3c58439e.gif

1+hello_html_6f8eb642.gif=hello_html_5ab1e79c.gif hello_html_m85bcbc3.gif hello_html_234c2dd4.gif

hello_html_4c1bced2.gif

г) hello_html_5b9e88a.gif

Обозначим hello_html_1c86f019.gif

1+hello_html_6b068f5d.gif=hello_html_52739d21.gif hello_html_m664cd468.gif 1+9=hello_html_52739d21.gif hello_html_m664cd468.gif hello_html_m7a053684.gif

hello_html_m7e14755e.gif

д)hello_html_m5167ebd.gif

Обозначим hello_html_m6217e7ff.gif

hello_html_2542f220.gif

hello_html_m8fc4b76.gif

е) hello_html_m2bf31d64.gif

Обозначим hello_html_m325b2f17.gif

1+hello_html_7cb42349.gif

hello_html_m14018898.gif

hello_html_m2750a115.gif

ж)hello_html_7704d613.gif

Обозначим: hello_html_m494b699a.gif hello_html_202ec5d9.gif, hello_html_1a29e841.gif

hello_html_m711054f1.gifhello_html_7233e67b.gifhello_html_7081657c.gif

hello_html_m3b12603f.gif

hello_html_m794d7f45.gif

hello_html_m70e1752c.gif, hello_html_m3d45cf3e.gifзначений арккосинуса.

hello_html_d233188.gif

hello_html_m4c615304.gif

Тогда hello_html_12a66ca8.gif

Замечание: Распространённая ошибка при решении таких задач состоит в том, что не учитывается величина аргумента hello_html_3fa26242.gif Рассуждают так: по формуле синуса суммы чисел можно записать:

hello_html_m65631495.gif=hello_html_m77065ecd.gif

А затем делается ошибочный вывод о том, что hello_html_m453d55b2.gif

не лежит в области значений арксинуса, так как hello_html_40c8dc22.gif.

з)hello_html_43294f0e.gif

Обозначим:

hello_html_mc3bdd89.gif=hello_html_m576c5240.gif, hello_html_1a29e841.gif и hello_html_62bb57ca.gif

hello_html_m553522ed.gif=hello_html_7b6cfa7.gif, hello_html_1b2fc5a3.gif и hello_html_4c9d52ca.gif

hello_html_7c6b91a8.gif, hello_html_m21b174e.gifзначений арккотангенса.

hello_html_m30e4417c.gif

hello_html_2f08b4f3.gif

Тогда hello_html_624b1675.gif

2. Решение тригонометрических уравнений

2.1 Простейшие тригонометрические уравнения

2.2 Решение тригонометрических уравнений, левая и правая части которых являются одноимёнными тригонометрическими уравнениями

2.3 Метод разложения на множители

2.4 Метод введения новой переменной

2.5 Метод введения вспомогательного угла

2.6 Решение уравнений с использованием ограниченности функций у=hello_html_57f65499.gif и у=hello_html_m328abec3.gif

2.7 Уравнения с обратными тригонометрическими функциями

Занятие 13.

Тема. Методы решение тригонометрических уравнений

Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное только в аргументе тригонометрической функции. Основная цель при решении тригонометрических уравнений состоит в преобразовании тригонометрических выражений, входящих в уравнение, таким образом, чтобы рассматриваемое уравнение привелось к нескольким простейшим уравнениям, которые решаются стандартным способом.

В каждом конкретном примере необходимо найти свой способ преобразования рассматриваемого уравнения. Иногда приходится перебирать разные преобразования, применять различные идеи, прежде чем удаётся найти тот способ или путь, который приведёт к цели. Успех в решении тригонометрических уравнений будет достигнут при наличии хороших знаний тригонометрических формул и умений грамотно проводить тригонометрические преобразования, что вырабатывается только достаточной практикой.

Решение тригонометрического уравнения можно свести к решению нескольких простейших тригонометрических уравнений следующими методами:

  • разложение на множители;

  • введение новой переменной;

  • введение вспомогательного угла;

  • использование ограниченности функций у=hello_html_57f65499.gif и у=hello_html_b6c77a0.gif

Важно отметить, что форма записи корней тригонометрического уравнения зависит от того, какой метод применяется для решения данного уравнения.

Рассмотрим основные типы тригонометрических уравнений и методы их решения

2.1 Решение простейших тригонометрических уравнений

Вид простейших тригонометрических уравнений

Решение простейших тригонометрических уравнений

hello_html_6c55ab6a.gif

х=hello_html_m62dd937b.gif

hello_html_3c33350e.gif

х=arccosa+2hello_html_m4b131676.gif

hello_html_27398f7e.gif

х=hello_html_m3c83aded.gif

hello_html_m2c36b67d.gif

х=hello_html_58157f90.gif



Частные случаи тригонометрических уравнений

hello_html_39b6f98e.gif=-1

hello_html_39b6f98e.gif=0

hello_html_39b6f98e.gif=1


x= -hello_html_50661fa5.gif+hello_html_1f10cc70.gif

x=hello_html_m4b131676.gif

x=hello_html_50661fa5.gif+hello_html_m4b131676.gif

hello_html_m5cca13d6.gif=-1

hello_html_m6e1cf1f1.gif

hello_html_m2547d7be.gif


x= hello_html_6b2fd1c.gif+2hello_html_m4b131676.gif

x=hello_html_50661fa5.gif +hello_html_m4b131676.gif

x= 2hello_html_m4b131676.gif


hello_html_m5946b5b.gif=-1

hello_html_ma9a094b.gif0

hello_html_18508bce.gif

x= -hello_html_m2bf5a2e4.gif +hello_html_m4b131676.gif

x= hello_html_m4b131676.gif

x= hello_html_m2bf5a2e4.gif + hello_html_m4b131676.gif

hello_html_m577bd3b2.gif=-1

hello_html_meb85d4f.gif

hello_html_m2616507c.gif




x= hello_html_m450031f5.gif +hello_html_m4b131676.gif

x= hello_html_50661fa5.gif+hello_html_m4b131676.gif

x= hello_html_m2bf5a2e4.gif +hello_html_m4b131676.gif



1.Задание: Решите уравнение: hello_html_209eece9.gif

Решение:hello_html_2c1ba8d7.gif

hello_html_736b4414.gif

hello_html_m66037ef3.gif

hello_html_m56cd12e1.gif

Ответ:hello_html_m56cd12e1.gif

2.Задание: Решите уравнениеhello_html_m11dd5fa6.gif и найдите сумму корней, принадлежащих интервалу (-hello_html_11c263ef.gif

Решение:hello_html_m11dd5fa6.gif

hello_html_27f53874.gif

hello_html_14026622.gif

hello_html_m34e2b806.gif

hello_html_m297db1.gif

А теперь выберем те значения переменной, которые принадлежат интервалу (-hello_html_m17ea7cf9.gif:

hello_html_443248c0.gif=hello_html_m5abf79b4.gif hello_html_m217a3e7e.gif hello_html_144828d0.gif(-hello_html_m17ea7cf9.gif

hello_html_m28fc9fba.gif(-hello_html_m17ea7cf9.gif

hello_html_37bef221.gif(-hello_html_m17ea7cf9.gif

n = - 1hello_html_m70863964.gif(-hello_html_m17ea7cf9.gif

n= - 2hello_html_1e953b4e.gif(-hello_html_m17ea7cf9.gif

hello_html_324b4e31.gif(-hello_html_m17ea7cf9.gif

hello_html_c8db3f7.gif=hello_html_672f2f1e.gif

Ответ:hello_html_m2c4e61e8.gif

3. Задание: Решите уравнение:hello_html_m285ecff5.gif

Решение: Пользуясь формулой понижения степени, получим:

hello_html_664d061c.gif

hello_html_m636f392e.gif

hello_html_m35f37f99.gif

hello_html_m3b48c5a5.gifОтвет:hello_html_m3b48c5a5.gif

4. Задание: Решите уравнение:hello_html_m5bd538b2.gif

Решение:

hello_html_m609daf16.gif

hello_html_m579cf874.gifОтвет: hello_html_m579cf874.gif

5.Задание: Решите уравнение:hello_html_m5f57ee59.gif

Решение:

hello_html_e394927.gifhello_html_m1ed8937b.gif

hello_html_m2dddb160.gif,hello_html_m17f25fca.gif

Ответ:hello_html_m2dddb160.gif,hello_html_94f80d1.gif

6.Задание: Решите уравнение:hello_html_m7c458771.gif

Решение: Поскольку hello_html_49656344.gif

Ответ: Решений нет.

Занятие 14.

2.2 Решение тригонометрических уравнений, левая и правая части которых являются одноимёнными тригонометрическими уравнениями

1.hello_html_m52b58abe.gif[hello_html_16bd88ce.gifn,k hello_html_m2e28bbd1.gifZ

hello_html_25688eb6.gifk hello_html_m2e28bbd1.gifZ

2.hello_html_5ab489bb.gif[hello_html_m59f6f7b6.gifn,k hello_html_m2e28bbd1.gifZ

hello_html_m7f9a7c42.gifk hello_html_m2e28bbd1.gifZ

3. hello_html_2e680e36.gif[hello_html_m3b2f9821.gifn,k hello_html_m2e28bbd1.gifZ

4.hello_html_m31fbdb45.gif[hello_html_24e1fe84.gifn,k hello_html_m2e28bbd1.gifZ

7.Задание: Решите уравнение: а)hello_html_m6dba0ff1.gif



Решение:

а)hello_html_m6dba0ff1.gif

hello_html_m3243ade4.gif

hello_html_m6c0d9b3e.gif[hello_html_m458725d5.gifn,k hello_html_m2e28bbd1.gifZ

Ответ:hello_html_m3c8084aa.gif

б)hello_html_539723db.gif

hello_html_m4c6db5ab.gif[hello_html_234d1eb9.gifn,k hello_html_m2e28bbd1.gifZ

Ответ:hello_html_m6adda055.gif hello_html_mb0bd7f8.gifZ

hello_html_3a704acb.gif

hello_html_m1b82bcb4.gif

hello_html_m261b9405.gif[hello_html_6fb3051.gif[hello_html_m1c6e841c.gifn ,k hello_html_m2e28bbd1.gifZ

Ответ:hello_html_3514f9c1.gif n,k hello_html_m2e28bbd1.gifZ

г)hello_html_668daff9.gif[hello_html_m14e7f067.gifn,k hello_html_m2e28bbd1.gifZ

hello_html_35f4815f.gif

hello_html_m3723fad0.gif

Ответ:hello_html_2581129b.gif, n,k hello_html_m2e28bbd1.gifZ

Занятие 15.

2.3 Метод разложения на множители

При решении тригонометрического уравнения данным методом можно пользоваться всеми известными способами разложения на множители алгебраических выражений: вынесение за скобки общего множителя; группировка; применение формул сокращенного умножения. Путём разложения на множители тригонометрическое уравнение приводится к виду, когда левая часть - произведение тригонометрических8 функций, а правая часть - нуль. Таким образом, исходное уравнение распадается на несколько простых уравнений.

Необходимо также знать следующие формулы:

  • сложение аргументов тригонометрических функций;

  • понижение степени тригонометрических функций;

  • преобразование произведения тригонометрических функций в сумму;

  • преобразование суммы тригонометрических функций в произведение.

Перейдём к решению тригонометрических уравнений данным методом.

8. Задание: Решите уравнение:hello_html_164c6a51.gif

hello_html_m7bf23b06.gif

hello_html_m1356f395.gif, hello_html_3a8a1757.gif

hello_html_m3c84bf82.gif

Очевидно, что множество решений в первом случае является подмножеством решений во втором случае:

hello_html_m3e32751c.gifhello_html_m676ce05e.gif

hello_html_2a8026bb.gif

hello_html_49a3c6fe.gif

hello_html_64a69c65.gif

Ответ:hello_html_35bbd7b1.gif.

9.Задание: Решите уравнение: hello_html_m2874893a.gif

Решение:hello_html_m4a863b02.gif

hello_html_4d6e1adf.gif

hello_html_m4a7a3435.gif

Отбрасывая из множества решений hello_html_6480a4b7.gif hello_html_m40e91ddd.gif

Ответ:hello_html_m3e842c5e.gif

10.Задание: Решите уравнение:2hello_html_m205d9917.gif

Решение: 4hello_html_116a95de.gif

hello_html_me044c8c.gif

  1. hello_html_m1efd7bfe.gif2) hello_html_mc7173a5.gif

hello_html_m4888599e.gifhello_html_52e09bab.gif

hello_html_m7838bfbf.gif

x=hello_html_113d2200.gif

Ответ:hello_html_1e5ff8b0.gifх =hello_html_1fd955c2.gif

11.Задание: Решить уравнение:1+hello_html_m2aacb7c9.gif

Решение: 1+hello_html_1cdb2106.gif

(1-hello_html_7cb4e959.gif

(1-hello_html_m437a9f51.gif

1)1-hello_html_m215e2d73.gif hello_html_m65a5de25.gif

hello_html_4f6e66a9.gifhello_html_23783d5a.gif

х=hello_html_m24923765.gif 2х=hello_html_18a03ad6.gif

х=hello_html_5013683b.gif

Ответ: х=hello_html_58897907.gif х=hello_html_2bac446d.gif

12.Задание: Решить уравнение:hello_html_m5909e0e6.gif

Решение: hello_html_26fbdfd.gif

Применим формулу сложения аргументов:

hello_html_7b202292.gif

hello_html_mc28949e.gif

5х=hello_html_m24923765.gif

х=hello_html_4994258d.gif

Ответ: х=hello_html_4994258d.gif

13.Задание: Решить уравнение: hello_html_45384585.gif

Решение:hello_html_m7f526dc3.gif

hello_html_37ed66b.gif

hello_html_bb7189b.gif

hello_html_11852162.gifПрименим следующую формулу преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:hello_html_m217c307f.gif

-2hello_html_m5cada3a9.gif

hello_html_m5cada3a9.gif

hello_html_m5386951c.gif

5х=hello_html_2c0af2b5.gif х=hello_html_5013683b.gif

х= hello_html_m389ace39.gif

Решения видаhello_html_m35a9b9f0.gif

Ответ: х= hello_html_m389ace39.gif

14.Задание: Решить уравнения:

а)hello_html_m713732cc.gif

б) hello_html_108cd8a4.gif

Решение:

hello_html_m56dbc509.gifследующую формулу преобразования суммы тригонометрических функций в произведение:hello_html_m4a1d2f82.gif

hello_html_m713732cc.gif

2hello_html_5c1e9a5d.gif

2hello_html_m6b4c137f.gif

hello_html_m3d2caf98.gif

1).hello_html_615ca4e9.gif 2). hello_html_45bc78ec.gif

hello_html_79e01af8.gifhello_html_5def1737.gif

2х = hello_html_4e3eaedd.gif 5х=hello_html_3a0c74d7.gif

х= hello_html_eb45c91.gif hello_html_m3b0642fd.gif х=hello_html_36994e9d.gif

Ответ: х= hello_html_eb45c91.gif hello_html_m3b0642fd.gif х=hello_html_36994e9d.gif

б)hello_html_m10218760.gif.

hello_html_37daafb0.gif

2hello_html_m2f04103c.gif=0

hello_html_3f230f53.gif

1). hello_html_m2dc89860.gif 2).hello_html_11a2611.gif

3х= hello_html_4e3eaedd.gif hello_html_m363c47c4.gif

х=hello_html_1efe9eb4.gif+hello_html_m3b8276d1.gif

Найдём целые решения двойного неравенства:

-hello_html_139690b4.gif+hello_html_4bb46eae.gif

- hello_html_642dd01f.gif

-hello_html_m3f731322.gif nhello_html_m51a8a11e.gif

Значит, х=- hello_html_1efe9eb4.gif; х= hello_html_1efe9eb4.gif; х= hello_html_50661fa5.gif

Ответ: хhello_html_m2e28bbd1.gif hello_html_m64e2fec0.gif.

Занятие 17.

15.Задание: Решите уравнение: hello_html_51d16000.gif

Решение: hello_html_51d16000.gif.hello_html_11852162.gif

hello_html_3f879350.gifследующую формулу преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:hello_html_3adcad28.gif

hello_html_44c149f4.gif

hello_html_m30a8a421.gif

hello_html_m3769f662.gif

Ответ:hello_html_5fee20a5.gif

16.Задание: Решите уравнение:hello_html_m22fad025.gif

Решение: hello_html_m22fad025.gif

hello_html_1105df10.gif, т.к.hello_html_6dccd0ee.gif

hello_html_a07d461.gif

hello_html_1f7fd806.gif

hello_html_m49c3706c.gif

hello_html_m6e7708db.gif

1).hello_html_59fc21dd.gif 2).hello_html_m3560d708.gif

х=hello_html_4e3eaedd.gif hello_html_m56ea87cc.gif

hello_html_m1a295f82.gif

х=hello_html_m2b90ec3f.gif

Ответ: х=hello_html_2ebadca3.gifх=hello_html_m1768529c.gif

17.Задание: Решите уравнение: 2hello_html_3e5f38b5.gif

Решение:

Если тригонометрическое уравнение содержит hello_html_4dc0008b.gif

hello_html_308cd724.gif, hello_html_m6bcace28.gif

2hello_html_m7c996ea5.gif

1+hello_html_m1dfabc06.gif

2hello_html_3637886c.gif

hello_html_m2245b9cf.gif

hello_html_m25b2dc3d.gif 2).hello_html_556c716d.gif

2 х = hello_html_4e3eaedd.gif hello_html_m4c96936a.gif

х = hello_html_687a0c61.gif hello_html_m7cd7db05.gif

2х=hello_html_m514fc7ae.gif

х=hello_html_m1a9ffd69.gif

Ответ: х = hello_html_7d96ccea.gif х=hello_html_m3a8082e9.gif

18.Задание: Решите уравнение: hello_html_3bbe27c5.gif

Решение: Применим формулы понижения степни:

hello_html_40201e31.gif-2hello_html_m746863b4.gif

hello_html_4663356b.gif

hello_html_m7f316cf1.gif

hello_html_4544504b.gif

hello_html_436be2d.gif

1).hello_html_m71283be1.gif 2).hello_html_m56e150fc.gif

4 х=hello_html_4e3eaedd.gif 2hello_html_23783d5a.gif

х= hello_html_m6d0acbd3.gif hello_html_m7cd7db05.gif

2х=hello_html_m514fc7ae.gif

х=hello_html_m1a9ffd69.gif

Ответ: х= hello_html_m7ed676e3.gif х=hello_html_m1a9ffd69.gif

19.Задание: Найдите число решений уравнения:

2hello_html_m5a9a9354.gif-hello_html_641044a.gif

Решение: 2hello_html_79c0f69b.gif(1-hello_html_6aa753fe.gif

-2hello_html_239ad111.gif -hello_html_m215e2d73.gif

hello_html_m7ae3b649.gif

1hello_html_1ea37b7c.gif hello_html_m7a212f78.gif

х=hello_html_5013683b.gif х=hello_html_30ad1b19.gif

k=0, х=0hello_html_m2cbdd4b0.gif hello_html_1ad88df.gif

k=1, х=hello_html_5f7cbcd9.gif hello_html_7558451.gif

k=2, х=2hello_html_5f7cbcd9.gif hello_html_m4539519.gif

hello_html_4404729f.gif

При других значениях k корни уравнения не попадают в заданный промежуток.

Число решений уравнения равно 5.

Ответ:5.

Занятие 18.

2.4 Метод введения новой переменной

Данный способ решения тригонометрического уравнения заключается в следующем: исходное уравнение приводится к алгебраическому уравнению относительно тригонометрической функции одного аргумента; затем решается полученное алгебраическое уравнение, что приводит к нескольким простейшим уравнениям, из которых находят значения неизвестного.

Часто перед введением новой переменной приходится делать некоторые тождественные преобразования. Если в уравнение входят тригонометрические функции одного аргумента, то надо выразить эти функции через одну из них, например, hello_html_m124d2ebe.gif

Рассмотрим тригонометрические уравнения, приводящие к квадратным уравнениям.

20.Задание: Решите уравнение: 2hello_html_m3cf34fe5.gif

Решение:

2hello_html_21207ce3.gif

2hello_html_1027a7c4.gif

Замена: а=hello_html_57f65499.gif

hello_html_m6a6c10e4.gif-5а+2=0

hello_html_m282dafd7.gif=hello_html_6eec8aff.gif ;hello_html_548da5e.gif.

Вернемся к замене:

1). hello_html_m2fb95ed7.gif 2).hello_html_m2401f4ae.gif

х=hello_html_5394f8dc.gif

Ответ: х=hello_html_5394f8dc.gif

21.Задание: Решите уравнение: hello_html_6370ddb6.gif

Решение:

hello_html_6370ddb6.gif

hello_html_5c11bbc2.gif

hello_html_m59ad665c.gifх-3hello_html_4d8c2038.gif

Замена: а=hello_html_44cc3bcd.gif

hello_html_m6a6c10e4.gif-3а+1=0

hello_html_m282dafd7.gif=hello_html_6eec8aff.gif ;hello_html_1edb0bbf.gif.

Вернемся к замене:

1). hello_html_m2fb95ed7.gif 2).hello_html_m3f950cf1.gif

х=hello_html_5394f8dc.gif х=hello_html_m37d0d288.gif

Ответ: х=hello_html_m45fb8d30.gif, х=hello_html_m72357406.gif

22.Задание: Решите уравнение:hello_html_m5a577423.gif

Решение: Обозначим а=hello_html_m5f9ae902.gif

3hello_html_79c0f69b.gifа-8hello_html_6a1b48c9.gif

3hello_html_3c6d370c.gif

hello_html_58fc9f14.gif.

а=hello_html_1eae3fd.gif hello_html_7795bbe8.gif

х=hello_html_544f8fb3.gif

Ответ: х=hello_html_544f8fb3.gif

В некоторых случаях тригонометрические уравнения можно свести к алгебраическому уравнению относительно тригонометрической функцииhello_html_a46e1bd.gif Примером таких уравнений могут служить однородные уравнения.

I. Уравнения вида аhello_html_m1c73ce62.gif уравнением первой степени относительно hello_html_6811c7b5.gif

Для того, чтобы решить данное уравнение, разделим обе его части наhello_html_md05528f.gif При этом потери корней не происходит, т.к. если hello_html_m7081ba6c.gif hello_html_654aa7b5.gif

hello_html_783b7f8a.gif

аhello_html_3ea23a58.gif

II. Уравнения вида аhello_html_m39c292d0.gif уравнением второй степени относительно hello_html_6811c7b5.gif

Разделив обе части уравнения наhello_html_62a478c.gif

аhello_html_3de99737.gif+hello_html_6eb50ba0.gif

Рассмотрим примеры однородных тригонометрических уравнений.

23.Задание: Решите уравнение: 2hello_html_4d579951.gif

Решение:

2hello_html_4d579951.gif |:hello_html_m42607b6.gif

2hello_html_309bf83a.gif

hello_html_m2d457395.gif

3х=arctghello_html_292ede7.gif

х=hello_html_7f8f9891.gif arctghello_html_m11fa625d.gif+hello_html_6683ee84.gif

Ответ: х=hello_html_7f8f9891.gif arctghello_html_m11fa625d.gif+hello_html_6683ee84.gif.

24.Задание: Решите уравнение: hello_html_m4b6af734.gif

Решение:hello_html_m101d4ad2.gif

hello_html_m72f638aa.gif+hello_html_m6526e0ff.gif

Замена: а=hello_html_65a3f892.gif

hello_html_3421fe96.gif

hello_html_m22a152aa.gif

1).hello_html_65a3f892.gif =1 и 2).hello_html_m67d2567.gif

х=hello_html_5f60ecf7.gif х= - arctg3+hello_html_5013683b.gif

Ответ: х=hello_html_61b6eaec.gifх= - arctg3+hello_html_56b30960.gif



25.Задание: Решите уравнение:hello_html_m1a944c81.gif

Решение:hello_html_m18a04251.gif

hello_html_43c68087.gif

hello_html_m258336ee.gif-hello_html_66c9c2f7.gif

Замена: а=hello_html_65a3f892.gif

hello_html_1deb35df.gif

hello_html_m1e03e96c.gif

1).hello_html_65a3f892.gif = hello_html_685d8d49.gif 2).hello_html_m2353afb.gif

х=hello_html_1e18784.gif х= hello_html_152b53d9.gif3+hello_html_5013683b.gif

Ответ: х=hello_html_3147e8d6.gifх=hello_html_152b53d9.gif3 +hello_html_m28b51985.gif

Занятие 19.

2.5 Метод введения вспомогательного угла

Суть данного метода заключается в том, что некоторую величину представляют как тригонометрическую функцию соответствующего аргументаhello_html_m58576334.gif, а затем проводят тригонометрические преобразования. Поясним этот метод на примерах.

26.Задание: Решите уравнение: hello_html_2e9554a2.gif

Решение: hello_html_23705bff.gif

hello_html_333072b.gif

hello_html_54729fda.gif

hello_html_373aab62.gif

х+hello_html_m76e321ab.gif

хhello_html_m5d7ecf4d.gif

Ответ: хhello_html_m5d7ecf4d.gif.

27.Задание: Решите уравнение: 3hello_html_m7d5b1745.gif4hello_html_m27e0530b.gif

Решение: Так какhello_html_m5b1c7405.gif

hello_html_m575904cc.gif

Обозначим hello_html_m120da719.gif и hello_html_6c3ecb95.gif

hello_html_c1765cb.gif

hello_html_m27ca0907.gif

hello_html_474a2105.gif

x=hello_html_33908f29.gif

x=hello_html_m3e4a3bda.gif

Ответ: x=hello_html_28a0f96f.gif

Рассмотренный способ часто применяется для нахождения максимума и минимума функции вида у=а hello_html_m2f8d1181.gif.

28.Задание: Найдите максимум и минимум функции: у=5 hello_html_m2c8a8320.gif.

Решение: у=hello_html_me4f5e02.gif(hello_html_1d626943.gif

у=13hello_html_79c0f69b.gif (hello_html_m3355a2e0.gif

Обозначимhello_html_m16de9aca.gif и hello_html_m1c124a7e.gifarcsin hello_html_2da69282.gif

у=13hello_html_79c0f69b.gif (hello_html_7119c1f0.gif

у=13hello_html_m4f6102ba.gif

Максимум исходная функция будет достигать при hello_html_58ed124d.gif.

Минимум исходная функция будет достигать приhello_html_77ff4cb3.gif

hello_html_1cf1369b.gif

Ответ:hello_html_m57b4b97d.gif

Рассмотренный способ решения уравнения вида а hello_html_63efae8d.gif является универсальным. Он также применяется в физике при сложении гармонических колебаний.

Занятие 20.

II.6 Решение уравнений с использованием ограниченности функций у=hello_html_57f65499.gif и у=hello_html_6aa472ed.gif

29.Задание: Решить уравнение: hello_html_m495bc7.gif5х+1=hello_html_2011e024.gifх

Решение:hello_html_m495bc7.gif5х+1=hello_html_2011e024.gifх

hello_html_m495bc7.gif5х+1- hello_html_2011e024.gifх=0

hello_html_m495bc7.gif5х+hello_html_m495bc7.gif3х=0

Исходное уравнение равносильно системе:hello_html_7efb0eea.gif

Приравнивая правые части двух последних равенств, получаем уравнение:

hello_html_mf60fd1e.gif

3hello_html_4c9712ed.gif

То есть это уравнение имеет решение:

hello_html_20181b23.gifhello_html_me77b273.gif

Подставим значения hello_html_m1f301db0.gif в решение исходного уравнения, получаем:

х=hello_html_868fb7a.gif= hello_html_5c4c277.gif

Ответ: х=hello_html_868fb7a.gif= hello_html_5c4c277.gif

30.Задание: Решить уравнение: hello_html_3650ece6.gif

Решение:hello_html_3650ece6.gif

Так как hello_html_m1ef1918d.gif и hello_html_m169cd9d.gif то исходное уравнение равносильно системе:

hello_html_m13627a87.gif

Выберем общее решение:

hello_html_362b41eb.gif

hello_html_m5eda0a49.gif

hello_html_m4bc77db8.gif

В числителе дроби стоит нечётное число, а в знаменателе - чётное. Такая дробь не может принимать целые значения, а hello_html_m1916de.gif. Следовательно, исходное уравнение решений не имеет.

Ответ: уравнение решений не имеет.

Приведённые типы уравнений и методы их решений, конечно, не исчерпывают всё разнообразие тригонометрических уравнений.

Занятие 21.

II.7 Уравнения с обратными тригонометрическими функциями

Уравнения вида f (arcsinx)=0, f (arccosx)=0 и т.п. решаются методом введения новой переменной.

31.Задание: Решите уравнение:hello_html_m5ea613ec.gif

Решение:

Замена: аrcsinх=а

2hello_html_m50ea4916.gif

hello_html_m46644d23.gifаrcsinх=hello_html_2ffcc3ed.gifsinhello_html_6eec8aff.gif

hello_html_3d13bd74.gifаrcsinхhello_html_m689c072a.gif

Ответ:hello_html_m22d6fb1.gifsinhello_html_6eec8aff.gif

32.Задание: Решите уравнение: arctq(hello_html_4b657a69.gif

Решение:

Замена: hello_html_ebe3d40.gifа

arctq(hello_html_m5a4b8a73.gif

arctqhello_html_m6798b116.gif

hello_html_m6f5cb682.gif

hello_html_6c263638.gif

hello_html_68086eb3.gif

Ответ:hello_html_1def25bf.gif

33.Задание: Решите уравнение:6hello_html_m5c286440.gif

Решение: 6hello_html_m5c286440.gif

hello_html_m764795dd.gif=hello_html_1efe9eb4.gif

Замена: hello_html_29e6b9b0.gifа

hello_html_m537aebf.gif

hello_html_290669fa.gif

hello_html_570688a5.gif

hello_html_6a7823d7.gif

Ответ:hello_html_m661f3439.gif

34.Задание: Решите уравнение: arctq (1+х)+ arctq (1-х)=hello_html_m2bf5a2e4.gif

Решение:

Замена: arctq (1+х)=hello_html_695bfd0f.gifarctq (1-х)=hello_html_7233e67b.gif

tqhello_html_6bcf669a.gif tqhello_html_2829eed0.gif

-hello_html_6fc7f256.gif -hello_html_64547065.gif

По условhello_html_59b53e3f.gif

Взяв тангенс от обеих частей уравнения, получим следствие из него:

tq(hello_html_m42abb60c.gif tqhello_html_m2bf5a2e4.gif

hello_html_4d1d4310.gif

hello_html_mb2ae242.gif

hello_html_533f994a.gif

hello_html_e23edfa.gif

Проверка:

1).hello_html_35ccdbe.gif

При проверке данного корня потребуется доказать или опровергнуть равенство:

arctq(1+hello_html_39f1b7ec.gif)+ arctq(1-hello_html_m5b8ef49.gif=hello_html_m2bf5a2e4.gif

Замена: arctq(1+hello_html_39f1b7ec.gif)=hello_html_695bfd0f.gifarctq(1-hello_html_39f1b7ec.gif)=hello_html_7233e67b.gif

tqhello_html_m791802f2.gif tqhello_html_555782b0.gif

hello_html_7c6b91a8.gif- hello_html_4cc4b03b.gif

Значит: 0hello_html_357020dc.gif

tq(hello_html_2c405a1f.gif

hello_html_m11008250.gifhello_html_1536a079.gif

2). х=- hello_html_39f1b7ec.gif

arctq(1-hello_html_39f1b7ec.gif)+hello_html_11852162.gifarctq(1+hello_html_39f1b7ec.gif)=hello_html_m44ba1415.gif

Два корня удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: х= hello_html_m2a06ad98.gif.

35.Задание: Решите уравнение:hello_html_m60f73da7.gifarccoshello_html_m1101b97f.gif

Решение:hello_html_m60f73da7.gifarccoshello_html_m1101b97f.gif

Замена:hello_html_mc87b26b.gif

hello_html_39769397.gif hello_html_m74bc33be.gif

- hello_html_6fc7f256.gif 0hello_html_2938c5f.gif

hello_html_m2987853.gif, hello_html_26fa195f.gif

По условию:hello_html_51c0755d.gif hello_html_26dc6910.gif,имеем:

hello_html_m16bbb099.gif

х=hello_html_ma4c1f93.gif

hello_html_mdaf80d6.gif

х(х-1)=0

hello_html_m2c22ff74.gif

Проверка:

1).hello_html_31225101.gif 2).hello_html_m1f370e0d.gif

hello_html_2b5be352.gifarccos0 hello_html_55e371b4.gifarccos1

hello_html_m17417e4c.gif,верно hello_html_4d772ed9.gif

Ответ:hello_html_292d867a.gif

3. Методы решения тригонометрических неравенств

3.1 Простейшие тригонометрические неравенства

3.2 Применение основных тригонометрических формул

3.3 Метод введения новой переменной

3.4 Метод интервалов

Методы решения тригонометрических неравенств

Решение тригонометрических неравенств, по сравнению с другими типами неравенств, существенно отличается.

Решение тригонометрического неравенства можно свести к решению нескольких простейших неравенств следующими методами:

  • применение основных тригонометрических формул;

  • введение новой переменной.

При решении неравенств также можно использовать метод интервалов.

Занятие 22.

III.1 Решение простейших тригонометрических неравенств

Чтобы хорошо методикой решения тригонометрических неравенств, нужно сначала научиться записывать решения простейших неравенств, таких как:

hello_html_86767fe.gif

hello_html_m3a14e926.gif

tqхhello_html_m6129d693.gif

сtqхhello_html_m6129d693.gif

Для решения простейших тригонометрических неравенств обычно используют интерпретацию неравенства на графике функции или на единичной окружности.

1.Задание: Решить неравенство:hello_html_m262af3b9.gif

Решение:

Множество точек, ордината которых больше или равна hello_html_m29b76e59.gif, выделенная на рисунке.

hello_html_6c4c0697.gif

hello_html_673fad5b.gif

hello_html_2d1d9117.gif

Следовательно, решением неравенства будут все значения на промежуткеhello_html_m1cf25abe.gif с периодом 2hello_html_m535256c1.gif

То есть hello_html_7ad0fc74.gif2hello_html_620fef60.gif2hello_html_m535256c1.gif

Ответ: хhello_html_m676cdb8b.gif

2.Задание: Решите неравенство: hello_html_m59f3573c.gif

Решение:

Обозначим hello_html_m5e3b60f7.gif получим hello_html_45a5184f.gif

На рисунке выделена соответствующая дуга hello_html_m5a5429bf.gif множество).

hello_html_m686c0fdf.gif

hello_html_m258272a4.gif

hello_html_2d1d9117.gif

hello_html_7ad0fc74.gif2hello_html_madc09bd.gif2hello_html_m535256c1.gif

Перейдём к переменной х:

hello_html_7ad0fc74.gif2hello_html_m22a8e601.gif2hello_html_mba181e7.gif

hello_html_m6de64242.gif6hello_html_390816c0.gif6hello_html_mba181e7.gif

Ответ: хhello_html_m2e28bbd1.gif(hello_html_m6de64242.gif6hello_html_mdc73df7.gif6hello_html_218d6123.gif.

3.Задание: hello_html_5b642c95.gif

Решение: hello_html_5b642c95.gif

hello_html_1a6b8a50.gif

Пусть hello_html_39a81b05.gif

Проведём линию тангенсов, которая является касательной к окружности в точке(1;0).

Период тангенса равен hello_html_71b58d18.gifПоэтому решения находим на промежутке hello_html_c95a973.gif. Точки, тангенс которых больше hello_html_m5e5e191c.gif, принадлежат лучу АТ.

Значит, hello_html_c6a7dfb.gif arctqhello_html_m41b76a72.gif

hello_html_339b2021.gif

hello_html_2f846921.gif

hello_html_m4fe09cde.gif

hello_html_m5ccdaeb0.gif

Ответ: х hello_html_431fd405.gif,hello_html_m1916de.gif.

4.Задание:hello_html_m59fe4ba4.gif hello_html_fac9dc.gif

Решение: hello_html_m30170673.gif

hello_html_32d99fc5.gif

Обозначим hello_html_m57610386.gif и решим неравенствоhello_html_11852162.gifhello_html_m6d3b3e52.gif

Проведём линию котангенсов, которая является касательной к окружности в точке (0;1).

Период котангенса равен hello_html_71b58d18.gif Поэтому решения находим на промежутке ( 0;hello_html_m51e8ef76.gifТочки,

котангенс которых меньше hello_html_m75cc84da.gif принадлежат лучу АК.

Значит, hello_html_c6a7dfb.gif arcсtqhello_html_m6a558ab5.gif

hello_html_m6b0107b6.gif

hello_html_21461f74.gif

hello_html_m2340501.gif

Ответ: hello_html_11852162.gifhello_html_58a30b40.gif

Занятие 23.

5.Задание: hello_html_m59fe4ba4.gif-hello_html_5ea12404.gif

Решение: -hello_html_5ea12404.gif

hello_html_115c5e1d.gif

hello_html_m571f70dd.gif

hello_html_2d1d9117.gif

hello_html_m712166b2.gif=hello_html_m2dc5eea0.gif

hello_html_4a6fdf08.gif=hello_html_m4bc55848.gif

hello_html_2b34ff0d.gif

Первое решение: hello_html_11852162.gifhello_html_12005881.gif

Второе решение:

hello_html_m73a1f0c5.gif

В ответе объединяем оба промежутка

Ответ: хhello_html_35d6baeb.gif

6.Задание: Решите неравенство: hello_html_mbaa33fe.gif

Решение: -hello_html_55bb9e02.gif

Выделяем точки, абсциссы которых больше-hello_html_151b2f7d.gifеньше hello_html_6eec8aff.gif.

hello_html_m1a01a2de.gif

hello_html_m2904c8b1.gif

hello_html_2d1d9117.gif

hello_html_m107677b8.gif

Если дуги симметричны относительно осей координат, то ответ можно записать на любой дуге, уменьшив период в 2 раза.

hello_html_4ded66af.gif

Ответ: хhello_html_m45dafff2.gif

Занятие 24.

III.2 Метод сведения тригонометрического неравенства к простейшим путём применения основных тригонометрических формул

В большинстве случаев решение тригонометрического неравенства можно свести при помощи тождественных тригонометрических преобразований и введения новой переменной к решению одного или нескольких простейших неравенств.

7.Задание: Решите неравенство:tg(hello_html_28ce8304.gif)-1hello_html_mabb22bc.gif

Решение: Применяя формулы приведения, получим:

-сtghello_html_5f8434c4.gif сtghello_html_49fdd9e2.gif

ctghello_html_m283c6bad.gifсtgthello_html_m4ecbf5c2.gif

hello_html_m7459afc6.gif

0+hello_html_m56ff8db6.gif

0+hello_html_7b108e04.gif

2hello_html_m4ec6ef5f.gif



Ответ: хhello_html_m1de34e1f.gif

8.Задание: Решите неравенство:hello_html_7bb1c69c.gif

Решение:

Левую часть неравенства преобразуем по формуле косинуса суммы двух аргументов:

hello_html_m477dff7b.gif

hello_html_22092181.gif

Замена:hello_html_57e44af8.gif

hello_html_50406087.gif

hello_html_m23443ee1.gif

hello_html_6630b513.gif2hello_html_m70b305eb.gif

hello_html_2d1d9117.gif

hello_html_3e944719.gif+hello_html_3d901354.gif

hello_html_m15735683.gif+hello_html_3d901354.gif

hello_html_6037a0c.gif+hello_html_18a03ad6.gif

Ответ: xhello_html_5b4c042f.gif+hello_html_m7d9b8c0b.gif,hello_html_m4798c14e.gif

9.Задание: Решите неравенство:hello_html_m7af88b3b.gif

Решение:

Раскроем квадрат суммы двух выражений и воспользуемся формулами:

hello_html_3f2f99e4.gif

hello_html_m5ce2e511.gif

1+hello_html_336e3da0.gif

Замена:hello_html_61c8cbe1.gif

hello_html_m28c9c2e7.gif

hello_html_115c5e1d.gif

hello_html_180cd30a.gif

hello_html_659519a1.gif

hello_html_23664766.gif

hello_html_24aafe30.gif

hello_html_27a4ff68.gif

Ответ: xhello_html_m2447260a.gif

10.Задание: Решите неравенство:hello_html_m5af81798.gif.

Решение:

Левую часть неравенства преобразуем по формуле:hello_html_2a282fdb.gif

hello_html_m31f6a624.gif

hello_html_m720ed3a4.gif

Замена:hello_html_8db616c.gif

hello_html_mae5705a.gif

hello_html_6c831863.gif=hello_html_351c7e71.gif

hello_html_m64e09f2a.gif

hello_html_659519a1.gif

hello_html_m690d87a.gif

hello_html_m764f2b85.gif

hello_html_m78710b15.gif

hello_html_m587cf65d.gif

Ответ: xhello_html_m57107ed4.gif

11.Задание: Решите неравенство: 3-4hello_html_d5e73b4.gif.

Решение:

Используя формулу понижения степени 2hello_html_m75a65b26.gif

3-2(1+hello_html_13bce4b2.gif

1-2hello_html_32897db8.gif

2hello_html_m8f07ddb.gif

hello_html_19a30899.gif

Замена: 2х=t

hello_html_m1b1dbfb8.gif

hello_html_m269fcc6c.gif

hello_html_m163e0a22.gif=- hello_html_351c7e71.gif

hello_html_659519a1.gif

-hello_html_185bf879.gif

-hello_html_m551ff802.gif

-hello_html_36df3c63.gif

Ответ: xhello_html_11fa64bc.gif

12.Задание: Решите неравенство: 2·(hello_html_6bf50c3.gif

Решение:

2·(hello_html_6bf50c3.gif

hello_html_770ce89a.gif

Введём вспомогательный угол, используя табличные значения:

hello_html_6edd93a6.gif=hello_html_m4be2abda.gif

hello_html_m7b2e53d9.gif

hello_html_4eb29c94.gif

Замена:hello_html_m1880b11b.gif

hello_html_m1e282c4f.gif

hello_html_6c4c0697.gif

hello_html_m30070d34.gif

hello_html_659519a1.gif

hello_html_220ec9f0.gif

hello_html_mb1c49f0.gif

hello_html_m1c7496b4.gif

hello_html_m44eb2137.gif

Ответ: xhello_html_m5a2b43e0.gif

Замечание. Введением вспомогательного угла мы также могли получить неравенство:

hello_html_m44bcc787.gif.

Его решение будет (hello_html_1331ad4e.gif)hello_html_m56d25396.gif

13.Задание: Решите неравенство: hello_html_7ab20bcc.gifукажите сумму натуральных чисел, меньших 10, удовлетворяющих этому неравенству.

Решение:

hello_html_m2450d815.gif

Замечание. Если для решения подобных уравнений один из основных приемов-деление на любое из выраженийhello_html_57f65499.gif и hello_html_m328abec3.gif, то в неравенствах так поступать нельзя, в силу того, что неизвестен знак делителя, либо придется рассмотреть два возможных случая.

Решим данное неравенство методом введения вспомогательного угла. Разделим неравенство на hello_html_104f8839.gif

hello_html_794abe77.gif

hello_html_2688820.gif

Замена:hello_html_m57610386.gif

hello_html_36c1e6d7.gif

2hello_html_mfac3b37.gif

hello_html_m73a3f116.gif

hello_html_8ef95f9.gif

При hello_html_42bfa5d2.gif (hello_html_m64f576d6.gif), где hello_html_5389b324.gif

hello_html_m4c5b8a47.gif(hello_html_m1e0e3b53.gif;hello_html_1d5a49df.gif), где hello_html_1fe86814.gif

Натуральные числа, меньшие 10, принадлежащие этим решениям:

1,2,3,8,9.

Ответ:hello_html_68cc5f51.gif

Метод сведения тригонометрического неравенства к простейшим путем введения новой переменной

14.Задание: Решите неравенство: hello_html_5e759159.gif

Решение:

hello_html_5e759159.gif

1-hello_html_m122e12ff.gif

hello_html_798fb0b0.gif

Замена:hello_html_m1d36aa07.gif

2hello_html_m780f4463.gif

2(t+hello_html_6eec8aff.gif)hello_html_79c0f69b.gif(t-2)hello_html_mabb22bc.gif

hello_html_6e44faa6.gif

Правая часть неравенства выполняется для любого значения х. Решим hello_html_15c21506.gif

hello_html_115c5e1d.gif

hello_html_m1a1909c0.gif

hello_html_2d1d9117.gif

hello_html_53599510.gif

Ответ: xhello_html_m3c5901a1.gif.

15.Задание: Решите неравенство: hello_html_5a803deb.gif

Решение:

hello_html_5a803deb.gif

hello_html_m19162d7.gif

hello_html_75bf13b9.gif

Замена:hello_html_29888fb6.gif

hello_html_m741eb20e.gif

(t+2)(t-1)hello_html_m360d6129.gif

-2hello_html_373513c7.gif

-2hello_html_59317a9f.gif

hello_html_61502e5b.gif

hello_html_5d87d034.gif

hello_html_2d1d9117.gif

hello_html_m17b5c92a.gif

Ответ:hello_html_m831b88f.gif(hello_html_2f9c6bc5.gif),hello_html_m4798c14e.gif



16.Задание: Решите неравенство: hello_html_38e23ae2.gif

Решение:

Замена:hello_html_m3947feb1.gif

hello_html_m6dd0a053.gif

hello_html_m53021b93.gif

hello_html_5f91c5a7.gif





thello_html_m5742c79e.gif или hello_html_405536f1.gif

1). thello_html_m5742c79e.gif 2).hello_html_405536f1.gif

hello_html_m2cd1f61d.gif, hello_html_m39f4754c.gif

решений нет hello_html_m7f8ed08d.gif



hello_html_m269fcc6c.gif

hello_html_1732687f.gif

hello_html_659519a1.gif

-hello_html_2f3171f4.gif

Ответ:hello_html_462b3dd9.gif.

Неравенства вида R(hello_html_5dbddbc1.gif, где R - рациональная функция, называются однородными неравенства второй степени относительно hello_html_m4e215690.gif Почленным делением на hello_html_m5fcaef6b.gifнеравенства приводятся к квадратным относительно tgx hello_html_m4afc9df7.gif ctgx.

17.Задание: Решите неравенство: hello_html_m6888df68.gif

Решение:

Почленно разделим на hello_html_25566f9b.gifРазобьём решение на 2 случая:

1).hello_html_12588fbf.gif

hello_html_2e6d478c.gif

hello_html_4e001746.gif

hello_html_mb92e6ae.gif

Замена:hello_html_m55accf3e.gif

hello_html_m7ac1af6a.gif

(t+3)(t-1)hello_html_m360d6129.gif

a)thello_html_560cba1.gif

hello_html_10491588.gif hello_html_65a3f892.gif hello_html_m547fa93c.gif

hello_html_m5db5c87a.gifhello_html_c6a7dfb.gifarctg1=hello_html_m2bf5a2e4.gif

-hello_html_m4634dcca.gif hello_html_7367793b.gif

*

2).Рассмотрим случай hello_html_6df2abfe.gif

Тогда hello_html_m48610bb9.gif

Подставим эти значения в исходное неравенство:

1+0-3hello_html_2d9672c3.gifЗначит, случай hello_html_6df2abfe.gif удовлетворяет исходному неравенству и включается в ответ.

Ответ: хhello_html_2fe1bd75.gif

18.Задание: Решите неравенство: 3hello_html_m1ca7bc0c.gif

Решение:

3hello_html_m1ca7bc0c.gif

6hello_html_36ebede.gif

Будем решать неравенство почленным делением на hello_html_m4459a487.gif

Разобьём решение на два случая:hello_html_m5353c047.gif

hello_html_m70a8516d.gif

hello_html_5a943c89.gif

hello_html_m1b2b4f23.gifctg x-7hello_html_m57af8f8c.gif

Замена: ctgх=t

hello_html_32bd17bc.gif

(t+7)(t-1)hello_html_m57af8f8c.gif

thello_html_7840d352.gifили thello_html_m6964909b.gif

a) thello_html_55abdced.gif ctgхhello_html_m54ea4251.gif-7hello_html_m3bc5bd51.gif











hello_html_1caf4db0.gif

б) thello_html_m7f235f9a.gif

hello_html_a899f71.gif

hello_html_m36f23ce3.gif

2)Рассмотрим случайhello_html_m4d3b45b1.gif

Тогда hello_html_61da8b82.gif, а hello_html_2da05094.gif

Подставим эти значения в исходное неравенство:

3·0+8hello_html_65955a97.gif

Значит случай hello_html_m5e11b976.gif

Ответ: хhello_html_2e077d52.gif



Неравенства вида R(tgx, sin2x, cosx)hello_html_m5482c4da.gifформул универсальной подстановки:

hello_html_7ef1353d.gif; cos2x=hello_html_7c629473.gif

приводятсяhello_html_11852162.gif к рациональным относительно tgx.

19.Задание: Решите неравенство: 2cos2x+hello_html_m3520a08f.gif

Решение:

2hello_html_79c0f69b.gifcos2x+hello_html_54e2f6c3.gif

2hello_html_m53a83d58.gif

Замена:hello_html_1cc705b0.gif

2hello_html_m21683a65.gif

hello_html_70f31506.gif

hello_html_m68b118ff.gif

hello_html_1f99b0bf.gif









hello_html_3c3203e.gif

  1. hello_html_508e8654.gif

hello_html_702329aa.gif

hello_html_36371299.gif

-hello_html_762166a0.gif+hello_html_5013683b.gif



  1. hello_html_7f86164.gif

hello_html_m5301f6a7.gif

hello_html_66aac66b.gif

hello_html_m2c7ec3cf.gif

hello_html_659519a1.gif

-hello_html_5709c9a.gif

Ответ: хhello_html_50f01de4.gif

Метод интервалов

Рассмотрим алгоритм решения тригонометрического неравенства методом интервалов:

1.Приведите неравенство к виду, в котором в одной его части стоит нуль, а другая его часть (например, левая) представлена в виде произведения.

2.Определите нули и точки разрыва функции, стоящей в левой части неравенства.

3.Расставьте на единичной окружности все найденные значения.

4.Определите знак выражения, стоящего в левой части, на любом из полученных промежутков. Для этого:

а)возьмите произвольное числоhello_html_m58576334.gifиз данного интервала и не совпадающее ни с одним из ранее полученных чисел;

б)подставьте число hello_html_228ae014.gif

hello_html_m6e9d2dc8.gif

5.Поставьте на этом интервале контрольную точку Х следующим образом:

  • если выражение получилось больше нуля, то Х ставится вне окружности;

  • если выражение получилось меньше нуля, то Х ставится внутри окружности.

В приведенных ниже примерах точка Х обозначена звёздочкой*.

6.Начиная с точки Х, проведите плавную линию так, чтобы она проходила через все отмеченные точки последовательно в порядке обхода единичной окружности против часовой стрелки. Пройдя все точки, линия должна вернуться в точку Х.

7.Если серии решений дают кратные корни, то надо помнить, что корень четной кратности не меняет знака выражения, поэтому точка четной кратности не дает возможность волнообразной линии, идущей от точки Х, перейти в иную область.

8.Определие нужные участки конфигурации, которую образовала проведённая линия. Для этого:

а) если выражение, стоящее в левой части неравенства больше нуля, то выбираем участки фигуры, лежащей вне окружности;

б)если выражение, стоящее в левой части неравенства меньше нуля, то выбираем участки фигуры, расположенные внутри единичной окружности.

9.Отметьте стрелками в положительном направлении те дуги единичной окружности, которые принадлежат выбранным участкам.

Эти дуги соответствуют множеству решений неравенства.

20.Задание: Решите неравенство:hello_html_m287fe861.gif

Решение:

hello_html_2a19a34d.gif

hello_html_m1edbe782.gif

1)hello_html_59fc21dd.gif 2)hello_html_1ecea5d6.gif

х=hello_html_322ff933.gif x=hello_html_3c09425c.gif

k=0

x=hello_html_50661fa5.gif

n=-1

hello_html_11852162.gifx=hello_html_2817b5e8.gif

k=1

x=hello_html_28752d89.gif

n=0

x=hello_html_351c7e71.gif



n=1

x=hello_html_73881e26.gif



n=2

x=hello_html_m2df935b5.gif



-hello_html_4430d9f1.gif

Заполним теперь единичную окружность соответствующими точками.

Поставим контрольную точку, положим hello_html_m778398bb.gif

Тогдаhello_html_11852162.gifhello_html_m7b900cc3.gif

Кривая знаков ведётся изнутри окружности.

Решению исходного неравенства соответствуют дуги окружности в тех областях, которые отмечены знаком « - ».

При записи окончательного ответа следует иметь в виду, что в одной из областей(она показана пунктирной стрелкой) нарушается переход от меньших значений х к большим.

В таком случае следует к меньшему значению hello_html_2c5e09a9.gifотнять hello_html_md882fb0.gif

Окончательное решение можно записать в виде совокупности интервалов.

Ответ:hello_html_m5b71239e.gif

hello_html_42ba2122.gif.

21.Задание: Решите уравнение: hello_html_m69e47e57.gif

Решение:

hello_html_m69e47e57.gif

hello_html_m4d241ae9.gif

hello_html_53bdb9e2.gifх-3hello_html_4d8c2038.gif

Замена: а=hello_html_44cc3bcd.gif

hello_html_m6a6c10e4.gif-3а+1=0

hello_html_m282dafd7.gif=hello_html_6eec8aff.gif ;hello_html_1edb0bbf.gif.

Вернемся к замене:

1). hello_html_m3b5d461f.gif 2).hello_html_m3f950cf1.gif

х=hello_html_5394f8dc.gif х=hello_html_m37d0d288.gif

Ответ: х=hello_html_m45fb8d30.gif, х=hello_html_m72357406.gif

22.Задание: Решите уравнение:hello_html_m5a577423.gif

Решение: Обозначим а=hello_html_m5f9ae902.gif

3hello_html_79c0f69b.gifа-8hello_html_6a1b48c9.gif

3hello_html_3c6d370c.gif

hello_html_58fc9f14.gif.

а=hello_html_1eae3fd.gif hello_html_7795bbe8.gif

х=hello_html_544f8fb3.gif

Ответ: х=hello_html_544f8fb3.gif

В некоторых случаях тригонометрические уравнения можно свести к алгебраическому уравнению относительно тригонометрической функцииhello_html_3a8fe48a.gif Примером таких уравнений могут служить однородные уравнения.

I. Уравнения вида аhello_html_m1c73ce62.gif уравнением первой степени относительно hello_html_6811c7b5.gif

Для того, чтобы решить данное уравнение, разделим обе его части наhello_html_md05528f.gif При этом потери корней не происходит, т.к. если hello_html_m7081ba6c.gif hello_html_654aa7b5.gif

hello_html_783b7f8a.gif

аhello_html_3ea23a58.gif

II. Уравнения вида аhello_html_m39c292d0.gif уравнением второй степени относительно hello_html_6811c7b5.gif

Разделив обе части уравнения наhello_html_62a478c.gif

аhello_html_3de99737.gif+hello_html_6eb50ba0.gif

Рассмотрим примеры однородных тригонометрических уравнений.

23.Задание: Решите уравнение: 2hello_html_4d579951.gif

Решение:

2hello_html_4d579951.gif |:hello_html_m42607b6.gif

2hello_html_1fa353cb.gif

hello_html_545f3f17.gif

3х=arctghello_html_292ede7.gif

х=hello_html_7f8f9891.gif arctghello_html_m11fa625d.gif+hello_html_6683ee84.gif

Ответ: х=hello_html_7f8f9891.gif arctghello_html_m11fa625d.gif+hello_html_6683ee84.gif.

24.Задание: Решите уравнение: hello_html_m4b6af734.gif

Решение:hello_html_m101d4ad2.gif

hello_html_m72f638aa.gif+hello_html_m6526e0ff.gif

Замена: а=hello_html_65a3f892.gif

hello_html_3421fe96.gif

hello_html_m22a152aa.gif

1).hello_html_65a3f892.gif =1 и 2).hello_html_m67d2567.gif

х=hello_html_5f60ecf7.gif х= - arctg3+hello_html_5013683b.gif

Ответ: х=hello_html_61b6eaec.gifх= - arctg3+hello_html_56b30960.gif



25.Задание: Решите уравнение:hello_html_1eee9093.gif

Решение:hello_html_m18a04251.gif

hello_html_43c68087.gif

hello_html_m258336ee.gif-hello_html_66c9c2f7.gif

Замена: а=hello_html_65a3f892.gif

hello_html_1deb35df.gif

hello_html_m1e03e96c.gif

1).hello_html_65a3f892.gif = hello_html_685d8d49.gif 2).hello_html_m2353afb.gif

х=hello_html_1e18784.gif х= hello_html_152b53d9.gif3+hello_html_5013683b.gif

Ответ: х=hello_html_3147e8d6.gifх=hello_html_152b53d9.gif3 +hello_html_m28b51985.gif

II.5 Метод введения вспомогательного угла

Суть данного метода заключается в том, что некоторую величину представляют как тригонометрическую функцию соответствующего аргументаhello_html_m58576334.gif, а затем проводят тригонометрические преобразования. Поясним этот метод на примерах.

26.Задание: Решите уравнение: hello_html_2e9554a2.gif

Решение: hello_html_23705bff.gif

hello_html_333072b.gif

hello_html_54729fda.gif

hello_html_373aab62.gif

х+hello_html_m7af6a743.gif

хhello_html_m5d7ecf4d.gif

Ответ: хhello_html_m5d7ecf4d.gif.

27.Задание: Решите уравнение: 3hello_html_m7d5b1745.gif4hello_html_m27e0530b.gif

Решение: Так какhello_html_m5b1c7405.gif

hello_html_m575904cc.gif

Обозначим hello_html_m120da719.gif и hello_html_6c3ecb95.gif

hello_html_c1765cb.gif

hello_html_m27ca0907.gif

hello_html_474a2105.gif

x=hello_html_33908f29.gif

x=hello_html_m3e4a3bda.gif

Ответ: x=hello_html_92ff2fb.gif

Рассмотренный способ часто применяется для нахождения максимума и минимума функции вида у=а hello_html_m2f8d1181.gif.

*****Сделав замену α = cos2x; (|α|≤1), получаем квадратное неравенство:

2 + 13α – 7 < 0

(α + 7)(2α - 1) < 0

E:\MATEM\Фото1128.jpg

α hello_html_m2e28bbd1.gif hello_html_7afe8f65.gif

Тогда исходное неравенство сводится к простейшему тригонометрическому неравенству:

Cos2x < hello_html_6eec8aff.gif

Или cost < hello_html_6eec8aff.gif, если t = 2x.

E:\MATEM\Фото1130.jpg

Thello_html_m2e28bbd1.gif hello_html_m1346605a.gif

2x hello_html_m5c081733.gif; n hello_html_md6b17d9.gif

Xhello_html_5f35834c.gif

Ответ: hello_html_52e66dca.gif

26. Решите неравенство: hello_html_6814fa8c.gif ≥ 0

Решение:

  1. Рассмотрим выражение hello_html_m4584fdbf.gif



-1≤cosx≤1

hello_html_69507c22.gifто есть hello_html_76067fa2.gif



Тогда hello_html_521b08e6.gif для всех x

  1. Рассмотрим выражение hello_html_m2d5a95b0.gif

-1≤sinx≤1

hello_html_ea63e58.gifто есть hello_html_1d20ada6.gif

Тогда hello_html_m3c41400e.gif для всех x

  1. hello_html_m23f6531b.gifhello_html_1af62d5f.gif0

Следовательно, исходное неравенство равносильно:

hello_html_1a31ab38.gif0

hello_html_m7a84467b.gif0

hello_html_m1507c9a0.gif

E:\MATEM\Фото1131.jpg

xhello_html_3c29b958.gif; nhello_html_md6b17d9.gif

Ответ:hello_html_2c4f75af.gif; nhello_html_md6b17d9.gif

27. Решите неравенство: sin3x > cos3x.

Решение:

sin3xcos3x >0

Умножим неравенство на hello_html_m41f3a28f.gif, для того чтобы ввести вспомогательный угол hello_html_m2bf5a2e4.gif:

Sin3x∙hello_html_m49e17d54.gif – cos3x∙ hello_html_m41f3a28f.gif > 0

Sin3x ∙ cos hello_html_m2bf5a2e4.gif - cos3x ∙ sin hello_html_m2bf5a2e4.gif > 0

Sin hello_html_1fd8e71b.gif > 0

Сделаем замену t = 3x - hello_html_m2bf5a2e4.gif:

Sin t > 0

E:\MATEM\Фото1134.jpg

t hello_html_74473729.gif; n hello_html_m2e28bbd1.gif Z

2hello_html_m2588b6b9.gif < 3x – hello_html_m2bf5a2e4.gif < hello_html_6b2fd1c.gif + 2hello_html_61f314f8.gif

hello_html_4dd82079.gif

hello_html_m896fe0e.gif

x hello_html_m2e28bbd1.gif hello_html_10845f6d.gif; nhello_html_md6b17d9.gif

Ответ: hello_html_m2d1bf3ae.gif; nhello_html_md6b17d9.gif

28. Решите неравенство: hello_html_6370e1e8.gif < 0

Решение:

hello_html_b4c749b.gif

hello_html_6a053062.gif

hello_html_589f397a.gif

hello_html_m5a9c0334.gif

tg hello_html_1fd8e71b.gif < 0

Сделаем замену: t = 3x - hello_html_m2bf5a2e4.gif

tgt < 0

E:\MATEM\Фото1135.jpg

t hello_html_886b193.gif

  • hello_html_50661fa5.gif+ hello_html_58cb03ed.gif

  • hello_html_m7b36f532.gif

  • hello_html_1177531e.gif

x hello_html_m2e28bbd1.gif hello_html_m196ab522.gif

Ответ: hello_html_583e244a.gif

Занятие 24.

29. Найдите область определения функции y = hello_html_57d97d01.gif

Решение:

y = hello_html_6696fe2d.gif

D (y): 1-2sin2x hello_html_m6d1256d7.gif 0

sin2x hello_html_m766622b.gif

sin t hello_html_m766622b.gif , где t = 2x.

E:\MATEM\Фото1136.jpg

t hello_html_m7beec068.gif; nhello_html_md6b17d9.gif

2x hello_html_m7beec068.gif; nhello_html_md6b17d9.gif

xhello_html_30a327c0.gif

Ответ: hello_html_f8004f2.gif

30. Решите неравенство : hello_html_m6f1707ee.gif

Решение: hello_html_m6f1707ee.gif

Так как hello_html_m745752d.gif, выражение в знаменателе не может быть отрицательным. Тогда исходное равносильно системе:

hello_html_m2923385f.gifhello_html_m664cd468.gifhello_html_26fcd941.gif

hello_html_3a7aad33.gif

Для xhello_html_m4764d88.gif решением дано системы будет:

hello_html_6617c736.gif

E:\MATEM\Фото1138.jpg

Общее значение:

xhello_html_m2bff6db4.gif

Ответ: hello_html_d52fc02.gif



Общая информация

Номер материала: ДВ-298124

Похожие материалы