Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Статьи / Характерные свойства некоторых функций.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Характерные свойства некоторых функций.

библиотека
материалов

Характерные свойства некоторых функций.

Понятие функции – трудное. Процесс изучения функций можно облегчить, сделав акцент на наглядность, то есть активно использовать график. График становится тем письменным знаком, который содержит в себе информацию о самой функции. Но как добиться того, чтобы эта информация стала доступной для осмысления?

Линейная функция.

Важнейшая характеристика линейной функции у=kx+b – это угловой коэффициент, то есть коэффициент k. Угол, с которым связан этот коэффициент – это угол наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс. Замечаем, что при k>0 график “уходит” вправо вверх, при k<0 – вправо вниз, при k=0 имеем горизонтальную прямую. Видя формулу линейной функции, предлагаю детям показать расположение прямой, определенным образом подняв свою руку, то есть используя “воображаемый график”. Если k>0, то направляем кисть вверх, кончики пальцев указывают “вправо вверх”. Если k<0, то локоть приподнимается, а кисть опускается, кончики пальцев указывают “вправо вниз”. Главную роль играют кончики пальцев, именно они указывают нужное положение прямой.

В результате этих упражнений у учащихся в памяти остаются прочные связи между знаком углового коэффициента и наклоном прямой. Параллельно с изучением этих связей ученики знакомятся с тем, что второй коэффициент линейной функции указывает нам точку на оси ординат, через которую проходит график. А зная точку и угол наклона прямой (острый, тупой или 0 градусов – прямая горизонтальна), можно схематично изобразить график линейной функции! Таким образом, мы получаем мощный инструмент для качественного анализа графиков линейных функций. Помимо решения новых задач, это поможет и для проверки обычных заданий на построение графиков линейных функций. Проверяем расположение прямой: какой у нее угловой коэффициент, как она проходит? Хорошо помогает при такой работе опорная карточка:

hello_html_m434eb064.jpg












Неоценима та роль, которую эти упражнения сыграют в девятом классе, при изучении основных свойств функции. При определении возрастания функции мы пользуемся, условно говоря, конструкцией “чем больше х, тем больше у”. Переходя к графику, мы увидим, что “чем правее х, тем выше у”. А направление кончиков пальцев в наших упражнениях при k>0 как раз и показывает “вправо вверх”. Аналогичные рассуждения можно провести для убывающей линейной функции.

При изучении графиков у=х2, у=х3, , встречаются следующие трудности. Во-первых, сама форма линии (кривая!) вызывает у детей отчасти негативное отношение. Во-вторых, для построения графика по точкам требуется произвести гораздо больше расчетов, чем в случае линейной функции. Поэтому для лучшего восприятия каждой кривой надо указать детям на ее особенности, которые мы видим на графике. По возможности можно выделить на графике присущие ему отдельные элементы. Это необходимо для того, чтобы сделать данную линию более понятной ученику и чтобы в дальнейшем он узнавал эту кривую так же свободно, как и хорошо знакомую прямую.

Квадратичная функция.

У параболы есть вершина и ветви. Ветви симметричны относительно оси ординат. При заполнении таблицы контрольных точек мы обращаем внимание на то, что квадраты противоположных чисел равны, но то, что это приводит нас к симметрии графика относительно оси ординат, лучше всего воспринимается при взгляде на саму параболу. У вершины замечаем “плавное” закругление, это замечание, связанное с понятием гладкости кривой, важно сделать уже сейчас, потому что распространена ошибка: дети в спешке стараются ветви параболы вытянуть вверх так, что вблизи вершины получается чуть ли не острый угол. Вы никогда не задумывались над тем, почему параболу рисуют на координатной плоскости так как показана на рисунке 1,а? Почему не рисуют так, как показана на рисунках 1б, или 1в? Вы можете ответить, что если рисовать график у = х2 по точкам, то получится «как на рисунке 1а». Однако нельзя взять бесконечно много пробных точек, и непонятно, как всё-таки продолжить график при больших значениях х. Для этого, помимо обычного построения графика и его дальнейшей проверки, я опять использую прием “воображаемого графика”, то есть ученики по воздуху показывают форму параболы (или гиперболы и т.д.). Рука показывает, начиная с левых участков графика, то есть мы все время двигаемся в направлении оси абсцисс слева направо, а график либо поднимается, либо опускается. Таким образом, мы опять с помощью этих упражнений можем рассуждать об участках возрастания или убывания функции. Ведь само понятие возрастания (убывания) психологически связано с некоторым процессом, движением: значения аргумента возрастают (по оси абсцисс “двигаемся” вправо), значения функции увеличиваются/уменьшаются (по оси ординат –вверх/вниз). hello_html_596c1d88.png

При осознании того, как выглядит график возрастающей (убывающей) функции, ученик быстрее поймет геометрический смысл производной и ему проще будет установить связь между характером монотонности функции и знаком производной.

Выше были приведены упражнения, которые помогают определять знак углового коэффициента. Для вычисления его значения можно использовать разные приемы, мы остановимся на том, где главную роль играет геометрический подход.

Лучше всего при этом опираться на формулу , но ее можно ввести только в восьмом классе, когда в геометрии будет рассмотрено определение тангенса. С сильными учениками можно уже в седьмом классе рассмотреть формулу, использующую координаты двух точек, принадлежащих прямой: . Кроме формулы для вычисления углового коэффициента ученикам потребуется знание о соответственных углах при параллельных прямых. В предлагаемом способе мы активно используем чертежи на клетчатой бумаге.

Например, пусть задана линейная функция y=kx+b. График должен пройти через точку (0;b). Отметим эту точку в координатной плоскости, на рисунке она обозначена точкой А (Рис1). Допустим, что k>0. Значит, (угол наклона) – острый. Покажем в воздухе, как должна пройти прямая (кончики пальцев направлены вправо вверх!). Строим прямоугольный треугольник АВС, у которого гипотенуза задает нам расположение нашей прямой, катеты параллельны осям координат, вершина одного острого угла совпадает с точкой А(0;b), и при этом tgA=tghello_html_28ad9a5f.gif,то есть tgA=k. Как это сделать? Если k –целое, то удобно выбрать АС=1, тогда ВC=k, и, значит, tgA=k.hello_html_m575c82c9.jpg

Если k – дробное, , то можно взять ВС = m, АС = n. Таким образом, мы нашли точку В – это вторая точка нашей прямой. Через А и В проводим прямую – это график нашей функции.

Если k<0, то рассуждения аналогичные, но не забываем, что угол наклона в данном случае тупой (Рис 2). Кроме этого, замечаем, что tgA= tg(180оhello_html_28ad9a5f.gif)= – tghello_html_28ad9a5f.gif = –k, причем –k >0. Например, если k=, то – k = и можно выбрать АС=3, и тогда ВС=1. hello_html_7498771f.jpg

Часто встречаются задания, где или . Наш треугольник может быть получен из прямоугольника, напоминающего “кораблик”, в этом прямоугольнике нужно провести диагональ, гипотенузу будущего треугольника (не забывая про угол наклона!). Если значения k целые, то этот кораблик расположен вертикально (АС=1, а катет ВС равен 1, 2, 3 или 4). Если , то кораблик в горизонтальном положении (АС равен 2, 3 или 4, ВС=1). На Рис. 2 мы видим прямую с угловым коэффициентом , для ее построения по клеткам выбираем трехклеточный “кораблик” в горизонтальном положении, а его диагональ, то есть гипотенуза треугольника АВС, расположена так, что угол наклона прямой к Ох тупой (прямая будет идти “вправо вниз”). При должной тренировке у детей развивается глазомер и они могут отвечать на вопросы по чертежам, где клетки и не пропечатаны. Например, ученики быстро сравнивают различные графики линейных функций, замечая, например, что угловой коэффициент одной прямой больше, чем у другой, и первая прямая быстрее идет вверх, первая функция изменяется быстрее – это хорошая подготовительная работа для введения понятия производной в старшей школе. Рассмотренный геометрический подход повышает интерес к уроку и позволяет значительно сэкономить время.

Литература.

  1. Выготский Л.С. История развития высших психических функций // Собрание сочинений: в 6 т. – М.: Педагогика, 1983. – Т.3.

  2. Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра. 7 класс. – М.: Просвещение, 2011.

  3. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия – М.: МИРОС, 1995.

  4. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант», №3, 1987г.

Автор
Дата добавления 14.04.2016
Раздел Математика
Подраздел Статьи
Просмотров119
Номер материала ДБ-032306
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх