XII ғасырда математикалық анализдің пайда болуы «Туынды» ұғымының шығу тарихы

XII ғасырда математикалық анализдің пайда болуы «Туынды» ұғымының шығу тарихы

XII ғасыр математикасындағы ең басты жетістік математикалық анализдің ең іргелі тарауы саналатын дифференциалдық есептеулердің жасалуы болып саналады. Ол Ньютон мен Лейбництің және олардың серіктері мен шәкірттерінің еңбектерінде көрініс табады.

Алайда шексіз анализдің шығуы бір немесе бірнеше адамның данышпандық тапқырлығының жемісі емес еді, ол шындығында, ішікі математикалық мәні дифференциалдық және интегралдық есептеулер мен қатарлар теориясы элементтерінің қорлануы және бөлінуі  болатын ұзаққа созылған дамудың нәтижесінде туды.

Бұл принциптің қозғаушы күші ең әуелі механикада, астрономия мен физикада жатты. Бұл ғылымдар математиканың алдына шешілуге тиісті әртүрлі жаратылыстану мәселелерімен қоюмен қатар, олар математика объектілерін үздіксіз қозғалыстар мен шамалар, функциялық тәуелділіктердің мәні мен түрлері туралы жаңа, кең, терең ұғымдарымен байытты. Математика және оған байланысты ғылымдар өзара байланыса келіп, айнымалы шамалар математикасының негізгі инфинитезималдық («Инфинит» - шексіз деген сөзді білдіреді) әдістер қалыптаса бастайды.

Шексіз аздарды есептеуде XII ғасырда математиканың өз ішінде де жетерліктей алғы шарттар пісіп жетілген болатын. Олар: қалыптасқан символикалық алгебра мен септеу техникасы, аналитикалық геометриядағы айнымалы шамалар мен координаттар әдісі; ежелгі оқымыстылардың , әсіресе Архимедтің инфинитезималдық идеяларын игеру; квадратура, кубатура, ауырлық центрлерін табу, жанама жүргізу, экстремумдар табу т.б. есептерді шешу әдістерінің жинақталуы еді. Бұл тектес есептерді қарастыру, оларды шешу жалпы әдістерін іздестіру барысында, яғни шексіз аздар анализін жасау жолында Ньютон мен Лейбницке дейін Кеплер, Галилей, Кавальери, Торичелли, Паскаль, Валлис, Роберваль, Ферма, Декарт, Боррау және басқа көптеген айтулы оқымыстылар жемісті еңбек етті. Міне, осылай математикалық анализдің элементтерін, бастамаларын жасау көп ғалымдардың жан-жақты шығармашылық зерттеу жұмысының нәтижесі болды. Бұл авторлардың барлығының жетістіктерін қысқаша түрде болса да азды-көпті мағлұмат беру бұл жерде мүмкін емес. Сондықтан да математикалық анализдің алғы тарихын жасаушы кейбір математиктердің ғана еңбектеріне шолу жасаумен шектелмекпіз.

XVII ғасырда болашақ дифференциалдық әдістің нышаны, элементтері бой көтере бастайды. Бұл кезде дифференциалдық есептерді шешу, қисықтарға жүргізілген жанаманы анықтау, функциялардың максимумы мен минимумын табу, алгебралық теңдеулердің еселі түбірлерінің шарттарын іздестіру, механикада траекторияның кез келген нүктесіндегі бірқалыпты емес, әртүрлі әдістермен шығарылады. Әркім өз шама – шарқына қарай әрект жасады. Бұл бағыттағы ізденістер мен жекелеген жетістіктерді Галилей, Декарт, Ферма, Барроу т.б. бірсыпыра оқымыстылар еңбектерінен ұшыратамыз. Бұл жөнінде тек бірер мысалдармен шектелмекпіз.

Аналитикалық геометрияны жасаушылардың бірі Ферма 1629 жылы «Максимум және минимум табу» атты шағын шығармасында кейіннен шексіз аздар анализінен тұрақты орын алған «функцияның экстремумын табу» әдісін жасайды. П. Ферма кез келген қисықтың  бүтін сан, квадратурасын шешкен болатын ( яғни, формуласын қорытып шығарады) және осының нәтижесінде ауырлық центрлерін табу есептерінің бірқатарын шығарған. Ол әуелі бүтін алгебралық көпмүше тің экстремумын табудың жалпы ережесін тұжырымдайды. Қазіргі математикалық анализді таңбалануы бойынша Ферманың әдісі  өрнегінен тұрады және ол жуық түрде ке теңестіріледі. Сонан кейін  жуық теңдігінде тең мүшелер қысқартылады (-тің мүмкін жоғары дәрежесіне қысқартылады). Ең соңында әлі де болса  көбейткіші қалып қойған мүшелер алынып тасталады. Сонда шыққан теңдеуді шешу  ең үлкен немесе ең кіші мәнді қабылдайтындай -тің мәнін табуға мүмкіндік береді.

Ферманың бұл ережесі қазіргі дифференциалданатын функцияның экстремумының қажетті шартымен дәл келеді.

Айта кетерлік бір нәрсе, Ферма атап айтпаса да  шамасын шексіз аз деп қарайды. Тағы бір еңбегінде Ферма осы әдісті пайдаланып, қандай да бір қисықтың берілген нүктелеріне жүргізілген жанаманы табуды қарастырады.

Ферма жанама табу әдісін  функция жағдайына да қолданады. Мұнда табылған өрнекті біздің жазуымыздағы  теңдеуіне оп-оңай көшіруге болады. Ферма тек алгебралық полиномдық функцияларды қарастырады. Егер зерттелінетін функцияларда иррационалдық кездесе қалса, одан теңдеудің екі жағын дәрежелеп құтылады.

Шексіз аздар анализінің дәстүрлі «ескі» математика құрсағында эмбриональдық даму кезеңінің соңы дифференциалдық және интегралдық зерттеулердің байланысы мен олардың өзара кері амалдар екендігін тағайындау болады. Бұған түрткі болған себептер бірнешеу. Олардың ішіндегі ең негізгісі жанамаларға кері есептер еді. Бұл есептердің түп мәнісі – қазіргі терминмен айтқанда, дифференциалдық теңдеулерді шешу. Мәселен,  теңдеуін интегралдау. Бұл салада Шотландия математигі Д. Грегори, ағылшын математигі Валлис бірсыпыра нәтижелерге жетті. Көп ұзамай геометрия терминдері арқылы квадратура (аудан табу) есептері мен жанама жүргізу есептерінің өзара кері екендігі туралы жалпы тұжырым айтылады. Бұл түбегейлі теореманың авторы Валлистің шәкірті, Ньютонның досы Кембридж университетінің профессоры Барроу (1630 – 1677) болатын. Ол мұны өзінің «Геометрия және оптика жөніндегі дәрістерінде» дәлелдейді. Жаңа анализ символикасы бойынша бұл теореманы былай өрнектеуге болатын еді:

  дифференциалдық теңдігі және керсінше  дифференциалдық теңдігінен теңдігі шығады. Жаңа анализ тілінде Барроу теоремасы және оған дейінгі осы тектес теоремалар жоғары шегі айнымалы болып келген интегралды есептеу мен дифференциалдаудың өзара кері сипатта болатынын бейнеледі. Осы нәтижеге сүйеніп, Барроу көптеген жанамаға кері есептерді шешеді. Оның шығармалары Ньютон, Лейбниц және басқа оқымыстыларға кеңінен мәлім болған.

Сонымен, XII ғасырдың ортасында математикада дифференциалдық және интегралдық есептеулерді ашуға толық негіз қаланады.

Исаак Ньютон және оның флюксиялар теориясы

XVII ғасырдың екінші жартысында математиканың жаңа саласы – шексіз аздар анализі қалыптаса бастады. Анализдің қалыптасуына себепші болған дифференциалдық және интнгралдық есептеулердің шығуы еді. Бұл есептеу матемаиканың дербес тарауы ретінде алғашқыда екі түрде: И. Ньютон және ағылшын ізбасарлары еңбектерінде флюксиялар теориясы, ал Г. Лейбниц және оның европалық шәкірттерінде дифференциалдарды есептеу түрінде беріледі.

Анализдің уақыт жөнінде алғашқы ашылған түрі – флюксиялар теориясы. Бұл бізге «Ньютон заңдары», «Ньютон биномы», «Ньютон формалары», «Ньютон әдісі» деп жадымызға жастай сіңіскен кәдімгі, танымал есім. Тарихи тұрғыдан алып қарағанда, Ньютон XVII ғасырдағы бүкіл жаратылыстану ғылымдарындағы ең көрнекі тұлға. Оның еңбектері қазіргі кездегі басты-басты төрт ғылымға – механика, математика, физика, астрономияға іргетас болып қаланды.

Исаак Ньютон 1642 жылы Кембридждің ( Англия ) маңында орналасқан Вуастроп деревнясында, фермердің семьясында дүниеге келген. 1665 жылы Кембридж университетін бітіріп, бакалавр деген ғылыми дәреже алады. 1668 жылы Ньютон магистр дәрежесіне ие болады. 1669 жылы өзінің ұстазы және досы, жоғарыда айтылған Барроудың орнына математика профессоры болып тағайындалады. Барроу сол кездегі ағылшын оқымыстылары ішіндегі ең көрнектілерінің бірі болып саналатын. Алайда ол шәкіртті Ньютонның таланты мен білімпаздығын бағалап, мойындап оған өз орнын, кафедрасын талассыз, қызғанышсыз, өз еркімен босатып берген. Бұл бұрын соңды ғылым мен өнер тарихында сирек кездесетін ізгілік, адамгершілік үлгісі болып саналады.

Ньютонның ғылымдағы ең ұлы үш жаңалығы бар: олар бүкіл әлемдік тартылыс заңы, ақ жарықтың жіктелуі, дисперсиясы, флюксиялар теориясы, яғни математикалық анализдің негізі. Мұның барлығының да бастапқы идеясын ол 24 жаста толмай-ақ білген. Кейін толыса келе оларды дамытып, кемелдендіріп ғылыми жұртшылыққа жариялаған. Бұл шақтағы өзінің ақыл – ой әрекетінің ғажап жемісі туралы Ньютон өмірінің соңына таман мынадай мағлұмат береді: «1665 жылдың бас кезінде мен математикада жуық қатарлар әдісін және екі мүшеліктің (биномның) кез келген дәредесін осындай қатарға жіктеу ережесін (Ньютон – Биномы формуласы. А. К.) таптым. Дәл осы жылдың мамыр айында Грегори мен Слузияның жанамалар әдісін жетілдірудіңғ қарашада флюксияның тура әдісін ұсындым (Дифференциалдық есептеу, А. К.), келесі жылдың қаңтарында жарық түстері (дисперсия) теориясы идеясына келдім: ал мамыр айында флюксияның кері әдісіне (интегралдық есептеу, А. К.) кірістім. Осы жылы Ай орбитасына дейін әсер ететін ауырлық әсері туралы ойлаумен болдым: сфера ішінде айналушы дененің сол сфера бетіне әсер күшін есептей келіп, планеталардың айналу периодтарының өзара қатынасы, олардың орбита центрінен қашықтықтарымен біржарым қатынаста болатыны жөнінде Кеплер заңын, планеталарды орбиталарында ұстап тұратын күш центрден қашықтықтарының квадратына кері пропорционал болатынын шығардым: сонымен қабат, Айды орбитасында ұстап тұрарлық күшті Жер бетіндегі ауырлық күшімен салыстырып, олардың жуық түрде тең болатынын анықтадым. Мұның барлығы 1665-1666 жылдары оба ауруы кезінде жасалды. Осы кезде мен жастығымның ең бір жақсы жағын басымнан кешірген едім, математика және философиядан кейін мұндай шабытпен шұғылданған емеспін.»

Мұнда Ньютонның «оба ауруы кезі» деп отырғаны Англияла 1665 жылы басталған сұрапыл, жойқын індет. Осы аурудан бір ғана Лондонның өзінде жүз мыңдай кісі опат болған. Көп адам бас сауғалап, қалалардан қашып деревняларды паналайды. Ньютон да туған ауылы Вульстропқа барып, екі жыл тапжылмай отырып жемісіті еңбек еткен.

Ньютонның ғылыми жүйесінеде математика – табиғат туралы жалпы ғылым – натурфилософияның бөлінбес бір бөлігі болып енеді. Ньютонның ең басты еңбегі «Натурфилософияның математикалық негіздерінде» математика жетістіктері мейлінше мол пайдаланылады. Әсіресе, аспан денелерінің қозғалыс теориясы қатаң математика тілінде баяндалады. Ол математикалық әдістерді қолданып, Кеплер заңдарынан бүкіл әлемдік тартылыс заңын қорытып шығарды. Бұл үшін өзіне дейінгі математика аппаратын білу жеткіліксіз болды, математиканың оның табиғат құбылыстары заңдылықтарын (қозғалыс, жылдамдық, үдеу) білуге қолданудың көп мәселелерін жаңаша, тыңнан шешуге тура келді.

Ньютонның флюксиялар әдісі бастапқы механиканың математикалық аппараты ретінде пайда болады. Мұнда үздіксіз механикалық қозғалыстың сан алуан түрлерінің абстракциялары болып еңгізілген айнымалы шамалар зерттеледі. Олар флюенталар, яғни ағымдағылар (латынның fluere – ағу деген сөзінен алынған) деп аталады. Барлық флюенталар тәуелді айнымалылар, олардың жалпы аргументі – уақыт , онан кейін ағу жылдамдығы, яғни уақыт бойынша туынды еңгізіледі. Олар флюксиялар деп аталады. Айнымалы шама болғандықтан, флюксиядан флюксия табуға болады. Флюксияны у деп белгілейді, ол бірінші, екінші тағы сол сияқты флюксиялар символдары   , т.с.с. болады. Лездік жылдамдықтарды – флюксияларды есептеу үшін Ньютон оларды моменттер деп атаған. Флюенталардың шексіз өзгерістері қажет болады. Уақыт моменттің таңбасы. Сонда  флюентасының моменті  , яғни лездік жылдамдықтан уақыт моментіне көбейтіндісі. Негізінде флюентаның моменті қазіргіше айтқанда, оның дифференциалы.

Флюксиялар теориясында механикалық, сондай-ақ  математикалық терминдер арқылы  тұжырымдалған екі басты есеп шешіледі:

 I. Берілген жол бойынша берілген уақыттағы қозғалыс жылдамдығын анықтау, басқаша айтқанда, флюенталар арасындағы қатыстарды анықтау;

 II. Берілген қозғалыс жылдамдығы бойынша берілген уақыт ішінде жүріп өтілген жолы анықтау. Басқаша айтқанда, флюсиялар арасындағы берілген қатыстар бойынша флюенталар арасындағы қатыстарды анықтау.

Флюксиялар теориясының тура есебі деп аталатын бірінші есеп, жалпы алғанда, функцияны дифференциалдау есебі және табиғаттағы қарапайым (элементтер) заңдылықтарды өрнектейтін дифференциалдық теңдеуді табу болып табылады. Екіншісі – флюксиялар теориясының кері есебі – жалпы түрде қойылған дифференциалдық теңдеулерді интегралдау есебі болады. Дербес жағдайда бұл есепте алғашқы функциялар табу қарастырылады. Сонымен, флюксиялар теориясында интегралдау ең әуелі анықталмаған интегралдау түрінде еңгізіледі.

Тік есеп үшін Ньютон бірыңғай ереже – функцияларды дифферениалдаудың алгоритмін еңгізеді. Ньютон оны мысал арқылы түсіндіреді. Флюенталар арасында  қатысы берілген. Енді осы қатысты лездік өзгеріске түскен флюенталар үшін, яғни әрбір флюентаға оның моменті қосылған жағдайда лайықтап жазайық:

Бином формуласы бойынша жіктесек, келесі формула шығады:

Бірінші бағана шарт бойынша нөлге тең, қалған мүшелерін 0-ге бөлеміз, сонан кейін шексіз аз уақыт моменті (0) бар мүшелерді алып тастаймыз. Қалған мүшелер флюксиялар арасындағы қатысты береді.

Бұл әдісті Ньютон ереже түрінде тұжырымдаған:

-             Айнымалыларының дәрежелері бойынша орналастыр;

-             Арифметикалық прогрессия мүшелеріне және немесе  - ке сәйкес көбейт;

-             Көбейтінділер қосындысы флюксиялар арасындағы қатысты береді:

 

  

                              

 

Дифферециалдық есептеуді әрі қарай кемелдендіру – полиномалдық емес функцияларды дифференциалдау, функциялардың экстремумын іздестіру, геометриялық және механикалық қолданулар Ньютонға елеулі қиындық келтірген жоқ. Иррационал функциялардан флюксиялардың флюксиялары күрделі функцияны дифференциялдау ережесі бойынша алынды: мысалы, егер   болса, онда  ,

Мұнан күрделірек жағдайда Ньютон функцияларды дәрежелік қатарлар арқылы кескіндеп, сол қатарларға амалдар қолдануға ұмтылған. Ол қарастырған функциялар шеңбері шектеулі болғандықтан, бұл сияқты жіктеулер күмән туғызбаған.

Флюксиялар теориясының кері есебі: флюксиялар арасындағы белгілі қатынас бойынша флюенталар арасындағы қатыстарды табу – өзінің қойылысы жөнінен өте жалпы проблема. Ол кез келген дифференциялдық теңдеулерді интегралдау есебімен пара-пар. Ньютон бұл жалпы проблеманы біртіндеп шешкен және шешу әдістерін де біртіндеп қолданған. Флюксияларды табу нәтижелерін тікелей айналдыру жолымен – ақ Ньютон көп квадратураларды табады. Кейіннен оған тұрақты шаманы қосу қажеттігін байқайды. Одан кейін  функциялары бүтін рационал болып келген қарапайым   теңдеуін айналдыру амалы бастапқы, алғашқы фукцияға келтірілмейтіні мәлім болады.

Тура әдісті айналдыру нәтижесі бермеген кезде Ньютон флюксия теориясының әмбебап құралы ретінде функцияларды дәрежелік қатарларға жіктеп бағады. Бұл үшін ол өзіңе дейінгі бұл тұрғыда жинақталған әдіс – тәсілдердің барлығын пайдаланып, толықтырып, көп тәжірибе жинақтайды. Олардың ішінде математикалық анализ де көп қолданылатындары:

a)   дәреже көрсеткіші бөлшек және теріс болып келген жағдайда  жіктелу теоремасын жалпылау;

b)           бөлшек рационал функциялардың алымын бөліміне тікелей бөлу;

c)            әртүрлі түр өзгерістердегі (модификация) ауыстыру;

d)           айнымалыларды ауыстыру;

e)            қатарларды айналдыру;

Кейінгі әдісті мысалмен түсіндіру қолайлы болу үшін Ньютон центрі координаттың бас нүктесі болатын бірлік шеңбердің доғасының ұзындығын есептей келіп, доға элементін табады. Біздің таңбалау бойынша

 немесе биномдық теореманы

  пайдаланып, қатарға жіктесе

 Мүшелеп интегралдасақ:

Ендігі мәселе кері функция үшін, яғни  үшін қатар табуға тіреледі. Бұл айналдыру , яғни  қатарға жіктеу анықталмаған коэффиценттер әдісін біртіндеп жуықтау әдісіне ұштастыра қолдану арқылы табылады.

Ньютон флюксиялар теориясының аса қиын мәселелерін  деп қозғайды. Мәселен, ол 1676 жылы жазылған бір хатында биномалды дифференциалдың интегралдану шарттарын келтіреді:

Интегралдану үшін  немесе  бүтін оң сан болуы қажет.

Ньютон флюксиялар теориясы туралы нәтижелердің көпшілігін XVII ғасырдың 60 – 70 жылдары алған. Алайда бұл тақырыпқа жазған жұмыстарын бірден жариялауға асықпаған. Мұның басты себептері кері есептерді шешу әдістерінің кемелсіздігі мен флюксиялар теориясының негізгі ұғымдарының логикалық жағынан негізделуінің әлі де жеткіліксіздігі еді. Мысалы, бірде нөл, бірде шекті – шексіз болып келетін аз шамаларды ескермей кете оперативтік амалының мәнісі түсініксіз, негізсіз еді. Бұл қайшылықтан құтылу үшін Ньютон қазіргі шектер теориясының алғашқы түрі болып саналатын бірінші және соңғы қатынастар әдісін жасайды. Дегенмен, флюксиялар теориясының оперативтік – алгоритмдік жағы мен оның логикалық негізі арасындағы алшақтық толық жойылмайды. Қазіргі қалыптасқан логикалық жағы бекем негізделген шек ұғымын шартты бағалау тәртібі, ( болатындай т.с.с. ) тек XIX ғасыр аяғында барып еңгізілген. Флюксиялар теориясы К. Маркс өзінің «Математикалық қолжазбаларында» көрсеткендей, математикалық анализдің дамуындағы «жүзеге асырылып барып, соңынан түсіндірілетін», түп негіздері, іргетасы әлі құпия, «мистикалық» кезеңін бейнелейді.

Готфрид Лейбниц және оның дифференциалдарды есептеу әдісі

Дифференциалдық және интегралдық есептеудің екінші бір түрі – дифференциалдарды есептеу. Оның авторы – Готфрид Лейбниц. Ол дүниежүзілік ғылыми философия тарихындағы ең ұлы тұлғалардың алдыңғы сапынан орын алады. Лейбницті, әдетте, көрнекті философ, ұлы математик деп қана атайды. Шынында, ол заманындағы ғылымның көп саласымен айналысқан. Ол математик, физик, юрист, экономист, геолог, психолог, тілші және тарихшы болған. Оның үстіне Лейбниц өз тұсындағы әлеуметтік және мемлекеттік істерге араласқан ірі қоғам қайраткері саналады.

Лейбниц өзінің ғылыми және қоғамдық қызметін өте ерте бастаған. Ол 20 жасында Лецбниц университетінің заң факультетін үздік бітіргеннен кейін алғашқы қызметін министр барон Бонебургке хатшылықтан бастайды.

Бұл кезде Лейбниц жас та болса ғылым әлеміне танылып қалған болатын. Ол университетте оқып жүрген кезінен-ақ ғылымның әртүрлі саласы бойынша, әсіресе математикадан өте терең білім алып үлгереді. Мәселен, 1663 жылы 17 жасында «Матефизикалық ойлар» деген мақала жазады. Бір жылдан кейін оның «Философия мәселелері жөніндегі тәжірибе» деген мақаласы жарық көреді. Ал 1666 жылы 20 жасында «Конбинаторика жайлы ойдар» атты математикалық трактат жазады. Осыдан бастап өмірінің соңына дейін (1716 жылы өлген) белсенді ғылыми – философиялық іс-әрекетін қоғамдық мемлекеттік жұмыстармен шебер ұйымдастырып өткен.

Лейбниц тек Германияның ғана емес, бұкіл европа елдерінің ішкі – сыртқы тұрмысын, ғылыми жағдайын жетік білген және оған белсенді араласып отырған. Ол барлық дүниежүзілік ғылым академиясын құру жоспарын жасайды. Осының нәтижесінде Лейбниц Берлин академиясын ұйымдастырып, оның тұңғыш басшысы болады. Ол мұндай академия басқа елдерде де болу қажеттігін барынша уағыздап, тікелей жәрдем көрсетеді. Лейбниц өмірінің соңғы жылдарында бірінші Петрмен жақсы қарым-қатынаста болған, жүзбе – жүз кездескен. Ол Ресей үшін де Ғылым академиясын құрудың керектігін және бұл істе өзінің жан-жақты көмек көрсетуге дайын екендігін айтып бірінші Петрге хат жазған.

 Лейбниц дүние туралы тұтас ғылыми – философиялық көзқарастар жүйесін жасайды. Ол жалпы алғанда, идеалист. Оның түсіндіруі бойынша дүниенің негізінде қарапайым рухани клетка – бөліньейтін монодалар жатыр. Монода – физикалық нүкте де, математикалық нүкте де емес, көзге көрінбейтін, қолға ұстауға болмайтын идеялық субстанция. Ол өзінше дербес өмір сүреді. Сан алуан өзгеріске ұшырай алады. Тынымсыз, белсенді қозғалыста болады. Әлемнің көп түрлілігі осы монодалардың сан алуан жолмен бірігу көрінісінің әр түрлі сипаттары. Монодалардан материч, болмыс түзіледі.

Лейбниц шындыққа, ақиқатқа жетудің шешуші құралы ретінде, логика мен математиканы ұсынады. Осыдан барып Лейбниц ғылыми танып – білудің әмбебап, логика – математикалық әдісін, әмбебап сипаттамасын жасайды. Бұл жаңа әдіс барлық логикалық қорытындыларды, ұғымдарды бір мәнді дәлме – дәл бейнелейтін сөздерге, басқа да символдарға жүргізілетін есептеу тектес амалдармен ауыстыруға тиіс болады. Бұл жағдайда ол қарапайым элементтердің байланыстары мен тәуелділіктерінің барлық мүмкін түрлерін бейнелейтін ғылым ретінде жаңа мағынаға ие болады. Математиканың белгілі әдістері болашақ жалпы математикаға құрама бөлік ретінде енеді. Мұнда ұғымдар мен амалдардың мәнін дәл бейнелейтін аса кемелденген символиканы пайдаланатын алгоритмдердің қызметі ерекше болады.

Лейбниц басшылыққа алған алғашқы осындай математикалық мақсаттар дифференциалдық және интегралдық есептеуді ашуға, математикалық зерттеулерге бағыт – бағдар сілтеді. Бұл мақсаттарды жүзеге асыру үшін ол Декарт, Кавальери, Валлис, Паскаль, Гюйгенс т.б математиктердің шығармаларын тәптіштеп, егжей – тегжейлі оқып үйренеді. Лейбництің шексіз аздар анализінің үш бастау көзі мыналар еді:

-        елеулі түрде жалпыланған Паскальдың сипаттамалық үшбұрыш әдісі;

-        Декарт және оның ізбасарлары жасаған аналитикалық геометрия;

-        шексіз қатарларды қосындылау және бұған шекті айырымдар жүйесән қолдану.

Осы идеяларды синтездеу арқылы Лейбниц барлық шексіз аздарға тірелетін  есептерді екі типке келтіруге болатынын ашады. Жанама туралы және оған байланысты есептер әрқашанда қатарлардың шексіз жақын мүшелерінің айырмасын есептеуге әкеліп соғады. Квадратура туралы және оған байланысты есептер әрқашанда шексіз кіші көршілес мүшелері бар шексіз қатарлардың қосындыларын табуға тіреледі.

Лейбниц жаңа есептеудің қолайлы символикасын көп іздестіреді. Ақырында ол шексіз кіші айырманы таңбалау үшін  ( differenti – айырма сөзінің бас әрпі ) символына тоқтайды. Лейбниц Кавальери мен Паскальдің жолын қуып интегралды « барлық » шексіз көп ординаттардың қосындысы деп қарастырып, ( барлық ) символымен белгілейді де кейіннен Summa ( қосынды ) сөзінің бас әрпінен алынған S таңбасына көшеді.

Дифференциалдық есептеудің негізгі бастамалары толық түрде 1648 жылы « Acta Erudiform » журналында жарық көрген, бас аяғы жеті беттен ғана тұратын «Максимум және минимумдардың, сондай-ақ жанамалардың жаңа әдісі» мақаласында баяндалады. Мұнда ол ең әуелі фукцияның дифференциалының анықтамасын береді. Аргументтің дифференциалы   үшін кез келген шама алынады ( функцияның дифференциалы

 нүктесіне жүргізілген жанама табаны ), символдары енгізіледі. Мұнда сонымен қатар бірінші дифференциалдың немесе функцияның функциясының инварианттық қасиеті айтылыды, дифференциалдар шамалардың лездік өсімшелеріне пропорцонал шамалар болып түсіндіріледі. Алайда , кейіннен олар қайтадан шексіз аз айырмалар түрінде анықталады.

Дифференциалдау алгоритмі ережелерімен қатар Лейбниц олардың жәрдемімен функциялар мен қисықтарды зерттеу әдістерін тұжырымдайды.

Бұл мақалада Лейбниц дифференциалдық есептеу мәселелерімен шектеледі. Екі жыл өткеннен кейін жарық көрген « Терең геометрия туралы » мақаласында бірінші рет баспа бетінде интеграл таңбасын еңгізіп, s және d операторларының өзара кері сипатын көрсетеді. Бір есепте  интегралына келіп  теңдігінен тікелей    теңдігін шығарып, оны мынадай қорытындымен толықтырады. «...бізде қосынды мен айырма немесе s және d  кәдімгі есептеудегі дәрежелеу мен түбір табу сияқты өзара кері амалдар болады ». Бұған мысал ретінде циклоиданың теңдеуі интегралдық түрде      жазылып, бұдан оның барлық қасиеттерін шығарып алуға болатыны түсіндіріледі.

Қазір Ньютон және Лейбниц формуласы аталып жүрген анықталған интегралды интегралдаудың жоғары және төменгі шектеріндегі алғашқы функция мәндерінің айырмасы арқылы өрнектейтін  аналитикалық формуласы дәл осы күйінде оларда болмаған. Ол бірінші рет XVIII ғасыр Париждегі Политехникалық институтының профессоры Лакроуаның «Дифференциялдық және интегралдық есептеу туралы» оқулығында кездеседі. Алайда, оған эквивалент ереже Ньютон мен Лейбницте болған.

1693 жылы Лейбниц жаңа есептеуді анықталмаған коэффициенттер әдісі арқылы қатарларға жіктеуге болатын трансцентті негізінен дифференциалдық және интегралдық есептеудің барлық бастапқы бөліктері қамтылады. 1695 жылы ол жалпы көрсеткіштік функцияны дифференцалдау ережесі мен көбейтінді не көп еселі дифференциалау формуласын

жариялайды. Осы кездерде ол дифференциал ұғымын теріс және бөлшек көрсеткіш жағдайына жалпылайды. 1702 – 1703 жылдары рационал бөлшектерді интегралдау әдістері жасалынады.

Лейбництің символикасы мен терминдері жақсы ойластырылып сәтті табылған болып шықты. Олардың бірсыпырасы өзгермей осы көзге дейін келіп жетті. Лейбниц дифференциал, дифференцалдық есептеу, функция, координаттар, дифференциалдық теңдеу лагоритм т.с.с терминдерді және символдардың көпшілігін еңгізген.

Лейбництің шексіз аздар теориясының әлсіз жері де болды. Шексіз жақындау, шексіз аздық немесе процестің шексіз созылуына сүйенетін негізгі ұғымдардың рационал түрде түсіндірілу жағы айқын емес еді. Лецбництің қолжазбалары мен мақалаларында шексіз аздар анализін негіздеу мәселесі аз қозғалмайды. Ол мәселен шексіз аздарды биархимедтік шамалар деп немесе интуктивті түрде қабылданатын потенцалды шексіз аздық деп алады. Кейде ежелгі гректердің сарқу әдісіне сілтейді, қиындықтарды соған аударады немесе әлі егжей-тегжейлі ашылмаған шекке көшу тәріздес бұлдыр ұғымдарға сүйенеді т.с.с.

Қалай болғанда Лейбниц те Ньютон сияқты математикалық анализді негіздеу проблемасын шеше алмайды.

Лецбниц мектебі. Лопитальдің оқулығы

Шексіз аздар анализін ары қарай дамытуда Ньютонның флюксиялар әдістеріне қарағанда Лейбництің дифференциялдарды есептеуінің ықпалы едәуір зор болады. Мұның бір сесебі Лейбниц өзінің шексіз аздар жөніндегі есептеулерін дер кезінде тез бастырып, ғылыми жұртшылыққа уақытылы жариялап отырды. Ал ньютон бұған асықпаған, оның анализ әдісі кемеліне келтіре арнайы жазылған «қисық сызықтың квадратурасы туралы пайымдаулар», « Флюксия әдісінде » баяндалады. Бұл еңбектерінің біріншісі 40 жыл өткен соң – 1704 жылы, ал екіншісі өлген соң 1716 жылы баспа бетін көреді. Оның жаңалықтары қолжазба түрінде хаттар арқылы таратылған.

Ең бастысы Ньютон математикалық анализді дамытуда символдардың роліне мән бермеген. Ол ұсынған флюксиялар мен флюенттердің таңбалаулары аса сәтті болмайды. Ол символдар кейде механикада, кейде нүкте арқылы бірінші және екінші туындыларды белгілеу үшін ғана қолданылады. Бұған керсінше байыппен ойластырылған Лейбництің символикасы ұғымдар мен амалдардың түп мәнісін дәл бейнелеп қана қоймай, өте қарапайым да қолайлы болып шыққан, тіпті кез келген санды айнымалысы бар функцияларды көп еселі дифференциялдау және интегралдауға да әдемі үйлескен. 1694 жылы Лейбниц өзінің қабылдаған символдарының болашағы туралы берген бағасын математиканың даму тарихы толық растады. Ньютон мен Лейбниц жоғары математика негіздерін өз беттерінше, бір – біріне тәуелсіз таппқан, тек Ньютон бәраз бұрынырақ ашқан, ал Лейбниц бұрын жариялап, аса қолайлы символика енгізген.

Алғашқы кезде Лейбництің ізбасарлары көп болмаған. Алайда оның алғашқы шәкірттері қатарында швейцарлық Яков пен Иоганн Бернулли сияқты аса дарынды ғылым қайраткерлерінің болуы Лейбництің ғылыми мектебінің өркендеуіне баға жетпес бастама жасады. 1687 жылы сол кездің өзінде профессор атағы бар Я. Бернулли Лейбницке хат жазып шексіз аздар анализінен консультация беруін өтінеді, бірақ Лейбниц сыртта жүргендіктен жауап үш жылдан кейін беріледі. Бұл арлықта ол Лейбниц еңбектерін мұқият оқып дифференциялдық және интегралдық есептеуді өзі терең түсініп қоймай, оған інісі Иоганнды да тартады. Көп ұзамай олар Лейбницке қосылып үшеуі триумврат құрып, жиырма жылға жетпейтін уақыт ішінде жаңа анализді айрықша байытып тастайды. Математикалық анализді дамытуда И. Бернулли ( 1667 – 1748 ), әсіресе оның шәкірттері – Лопиталь, Вариньон, өзінің ұлдары: Николай және Даниил Бернулли, Г.  Крамер және XVIII ғасырдың аса ұлы математигі Лернард Эйлер аса зор үлес қосты.

Шексіз аздар анализі тарихында француз математиктері маркиз Франсуа Антуан де Лопитальдің (1661 -1704) өзіндік орны бар. 1691 жылы Францияда бір жылдай уақытын өткізген И. Бернулли шексіз аздар анализін кең насихаттап, бұл елде Лейбниц мектебінің бір бұтағының пайда болуына шешуші қызмет атқарады. Лопиталь оның ең таңдаулы шәкірті болады. Бернулли оның бір өзіне ғана дәріс береді, бұл тарихта сирек кездесетін жағдай. Еліне кетерде, Бернулли осы дәрістер бойынша жинақталған дифференциалдық және интегралдық есептеудің бүтін курсының қолжазбасын Лопитальға тастап кетеді, содан бері олар бір-біріне хат жазатын болған. Лопиталь өз бетінше шексіз аздар анализін қолданып, математика мен техниканың кейбір дербес есептерін шешіп, дифференциалдық геометрияда кейбір жаңалықтар ашады; дүниеге әйгілі «Лопиталь ережелерін» әкеледі. Алайда оның ең негізгі жетістігі 1696 жылы жарық көрген математика тарихында тұңғыш рет дифференциалдық есептеу және оның геометрияға қолданылуы туралы «Шексіз аздар анализі» атты оқулық шығаруы болады.

Бұл оқулық И. Бернуллидің дәрістерінің негізінде жазылған. Мұнда баяндалған әдістердің барлығы дерлік Лейбниц пен ағайынды Бернулли, әсіресе И. Бернулли еңбектерінен алынған. Мұны Лопитальдің өзі кітабында ашық айтады. Алайда айқындық, тартымдылық, тәптіштеп талданған есептердің көптігі, сөз қолданыс шеберлігі сияқты оқулықтың ерекше дидактикалық жетістіктері Лопитальдің тамаша методист оқымысты болғанын танытады. Лопитальдің бұл еңбегі француз тілінде тағы да төрт рет қайта басылған, ағылшын, латын тілдеріне аударылған. Осыдан басқа оған бірнеше түсініктемелер жазылады. Солардың бірі Лопитальдің досы И. Бернуллидің шәкірті механик Пьер Вариньон (1654 – 1722) еді. Лопитальдің «Шексіз аздар анализі» ғылым сүйер көпшілік қауым үшін ашқан тұңғыш шығарма болды. Ол 1935 жылы орыс тілінде аударылып басылды.

XVIII ғасырда Математиканың басқа да көптеген бөлімдері сияқты, математикалық анализдің дамуына да Л. Эйлер мен К.Ф. Гаусс (1777 – 1855) теңдесі жоқ үлес қосты. Академик Михаил Васильевич Остроградскийдің атауы бойынша, қазіргі анализдің пайда болуына Эйлердің қосқан үлесі зор. Өйткені математикалық анализ үшін бағасы жоқ жаңалықтар ашты.

XVIII ғасырдағы және одан кейінгі жасалған жаңалықтар туралы қысқа мақалада әңгімелеп шығу мүмкін емес. Алайда бір бағыт жөнінде айтпай кетуге болмайды.  Әңгіме функцияларды дәрежелік қатарларға жіктеу, яғни функцияларды қосылғыштарының саны шектеусіз көпмүшелер түрінде көрсету жөнінде болып отыр. Шектеусіз қосындылардың (сандық қатар) мысалы бізге таныс, мәселен шексіз периодты бөлшектерді қосылғыштарының саны шектеусіз қосынды түрінде көрсету. Сандық және функциялық қатарлармен Ньютон ғана емес, одан бұрынғылар да шұғылданған болатын, сондықтан да мынадай тамаша қатыс үшін

(мұндағы  –  функциясын  нүктесінде  рет дифференциалдаудан шыққан мән, ал ) қабылданған Тейлор формуласын атамай кету дұрыс болмас еді. (Б. Тейлор (1685 – 1731) – ағылшын математигі, формуласы 1715 жылы жарық көрген). Туындылар формулаларын біле отырып, мысалы, пен  функциялары үшін, Тейлор қатарына жіктеуге болады.

Кейбір жағдайларда, қосылғыштардың шектеусіз санын ескермей тастап кетіп, көпмүшелермен берілген функциялар жуықтау беретін формула шығарып алуға болады екен.

Шығарылатын есептер шеңберін кеңейтуге мүмкіндік беретін қуатты жаңа әдістердің пайда болуынан туған ынта XVIII ғасырда анализдің қарқынды дамуына себепші болады. Алайда осы ғасырдың соңында дифференциалдық және интегралдық есептеулерді жасаушыларда аса өткір проблемалар пайда болды.

Негізгі қиыншылық мынада еді: шек, үздіксіздік, нақты сан сияқты негізгі терминдердің дәл анықтамалары болмады. Бұған тән мысал – үздіксіздік анықтамасы. Эйлер, Лагранж, тіпті Фурье (ол XIX ғасырдың бас кезінде жұмыс істеген) өзінің анықталу облысында бір ғана аналитикалық өрнекпен берілетін функцияны үздіксіз деп атады.

Осы жағдайлардан «жаңа» математика грек математиктерінің классикалық үлгісінде тәрбиеленген ғалымдар үшін үйреншікті қатаңдық стандартына сай келе алмады. Математиктерге аса қажетті интуиция математикалық ғылымның бөлінбейтін сипатамасы болып табылатын логикадан едәуір озып кетті. Ньютон, Лейбниц, Эйлер сияқты алыптардың данышпандық интуициясы оларды қателесуден сақтап қалды. Бірақ қалайда берік логикалық негіз қажет болды.

XVIII ғасырға қатысты ерекше екі пікір болды. Белгілі математик М. Ролль жаңа есептеу данышпандық қателердің жиынтығы деп жазды. Ал француздың ұлы ойшысы Вольтер бұл есептеу дегеніміз есептеп шығаруға және бар жоғын дәлелдеуге болмайтын затты дәл өлшеу өнері екенін ескерткен-ді.

XVIII ғасырдың тағы бір көрнекті ғалымдардың бірі – Ж. Л. Лагранж. Ол 18 жаста профессор атағына ие болып, Турин қаласындағы артиллерий мектебінде қызмет етеді. Берлин академиясының, Париждің білім академиясының мүшесі болды.

Лагранж өзінің «Функцияның аналитикалық теориясы» атты кітабында алгебралық жолмен шешілген дифференциалдық есептеулерді келтіреді. Бірақ оның есептеулері қарапайым дифференциалдық есептеуге қарағанда тым қиын болған. Қазір қолданылып жүрген алғашқы функция көп ертеректе қарапайым функция дегеннің орнын басты, мұны 1797 жылы Лагранж еңгізген. Латын сөзі primitives «бастапқы» деп аударылады:  үшін бастапқы (немесе ең бастапқы, немесе алғашқы),   -ті дифференциалдаудан шығады. Оның ең басты жетістігі – «Аналитикалық механика» атты кітабында дедуктивті ғылым ретінде сипатталған математикалық анализдің әдістемесінің құрылуында.

Анализдің берік іргетасын қалауға шешуші қадамды XIX ғасырдың 20-жылдарында француз ғалымы О. Коши (1789-1857) жасаған еді, ол функция мен тізбектің шектерінің дәл анықтамаларын ұсынды және соларды негіз ете отырып, анализдің көптеген іргелі теоремаларын дәлелдеді. Бұдан біршама бұрын (1821 ж.) чех математигі Б. Больцано (1781 – 1848) шек пен үздіксіздіктің анықтамаларына, басқа да бірқатар тамаша нәтижелерге (соның ішінде аралықта үздіксіз, бірақ оның ешбір нүктесінде туындысы болмайтын функцияның мысалы бар) қол жеткізген еді, бірақ оның жұмыстары көбі кейіннен белгілі болды.

Функция шегінің Коши берген анықтамасы былай тұжырымдалады: «Егер кез келген  саны үшін  саны табылып,  теңсіздігін қанағаттандыратын барлық  үшін  орындалатын  болса, онда  саны  функциясының  ұмтылғандағы шегі деп аталады (яғни )».

Осы анықтамаға сүйеніп, функцияның нүктедегі үздіксіздігіне анықтама беру қиын емес: егер  болса, онда  функциясы  нүктесінде үздіксіз болады.

Коши шектер туралы мынадай теоремаларды дәлелдеген, оларды біз туындыларды есептеген кезде пайдаланамыз (оларды шекке көшу ержелері деп атаған едік – 14 -бап):

Егер  және  болса, онда қосынды мен айырманың, көбейтіндінің, бөліндінің шектері бар болады () және:

«Кошише» (көбінесе «эпсилон-дельта тілінде» деп атайды) дәлелдеуге мысал келтірейік. Қосындының шегі туралы теореманы дәлелдейік.

Кез келген оң  санын аламыз. Сонда  болады да, сондықтан (Коши анықтамасы бойынша):

 шартынан  саны табылып,  теңсіздігін қанағаттандыратын барлық  үшін (1) болатындығы шығады.

 шартынан  саны табылып, теңсіздігін қанағаттандыратын барлық  үшін (2) болатындығы шығады.

 мен  сандарының ең кішісін  арқылы белгілейміз. Сонда  теңсіздігін қанағаттандыратын кез келген  үшін (1) мен (2) теңсіздіктер орындалады; осындай тер үшін былай болады:

Осымен  болатыны дәлелденді.

Басқа ережелер де (көбейтінді мен бөлінді үшін) осылайша дәлелденеді.

XVII ғасырда математиктердің көбінің ұраны мынадай болған: «Алға қарай қозғала беріңдер, ал нәтижелердің дұрыстығына сенім өзінен-өзі келеді».

Туынды және оның функцияларын қарастыратын математиканың негізгі бөлімі – дифференциалдық есептеу деп аталады. Айырманы көрсететін  түріндегі өсімше туындыларымен жұмыс істегенде елеулі орын алады. Сондықтан да жаңа есептеу cakculis differentialis (қазақша айырмаларда есептеу деп аталады) атауында латынша differentia (айырма) түбірінің көрініс табуы орынды, бұл атау XII ғасырдың аяғында физиканың, механиканың, математиканың кейбір есептерін шешу қажеттілігінен пайда болды. Әсіресе түзу сызықты бірқалыпты қозғалыстың жылдамдығын және жазықтыққа жүргізілген жанама қисығын есептеу қажеттілігінен туындады.

Бірінші есепті қарастырайық.

Түзу сызықты бірқалыпты қозғалыстың нүктесі S жолы t уақытында өткен функция ретінде берілсін. Бұл қозғалыс келесі заңдылық арқылы орындалсын:

                                                    (1.1.1)

 уақытындағы қозғалыстың жылдамдығын табу керек. Егер  және  t-ның әр түрлі аргументтері болса, ал  және  s функциясының әр түрлі аргументтері болса, онда  уақыт мезетіндегі орташа жылдамдық төмендегі формуламен есептелетін болады:

  -ге неғұрлым жақын орналасса, онда  мезетіндегі уақыт қысқарып, соғұрлым  мезетіндегі уақыттың жылдамдығы нақты дәлдікпен анықталатын болады. Егер  уақыттағы жылдамдықты шекке апарып қойсақ, онда келесі формула шығады:

Мұндағы ал  ұмтылып тұр. Бұл есепті алғаш рет Ньютон шешті.

Ньютон механикада туындаған сұрақтарды шешу барысында туынды ұғымына келген. Ньютонның терминологиясы кейін өз мағынасын жоғалтып, тек физика мен механиканың кейбір жағдайларында ғана туындыны нүкте арқылы белгілеген.

Ньютонның ғылыми жүйесіне де математика – табиғат туралы жалпы ғылым – натурфилософияның бөлінбес бір бөлігі болып енеді. Ньютонның ең басты еңбегі «Натурфилософияның математикалық негіздерінде» математика жетістіктері мейлінше мол пайдаланылады. Әсіресе, аспан денелерінің қозғалыс теориясы қатаң математика тілінде баяндалады. Ол математикалық әдістерді қолданып, Кеплер заңдарынан бүкіл әлемдік тартылыс заңын қорытып шығарды. Бұл үшін өзіне дейінгі математика аппаратын білу жеткіліксіз болды, математиканың оның табиғат құбылыстары заңдылықтарын (қозғалыс, жылдамдық, үдеу) білуге қолданудың көп мәселелерін жаңаша, тыңнан шешуге тура келді.

Ньютонның флюксиялар әдісі бастапқы механиканың математикалық аппараты ретінде пайда болады. Мұнда үздіксіз механикалық қозғалыстың сан алуан түрлерінің абстракциялары болып еңгізілген айнымалы шамалар зерттеледі. Олар флюенталар, яғни ағымдағылар (латынның fluere – ағу деген сөзінен алынған) деп аталады. Барлық флюенталар тәуелді айнымалылар, олардың жалпы аргументі – уақыт , онан кейін ағу жылдамдығы, яғни уақыт бойынша туынды еңгізіледі. Олар флюксиялар деп аталады. Айнымалы шама болғандықтан, флюксиядан флюксия табуға болады. Флюксияны у деп белгілейді, ол бірінші, екінші тағы сол сияқты флюксиялар символдары   , т.с.с. болады. Лездік жылдамдықтарды – флюксияларды есептеу үшін Ньютон оларды мометтер деп атаған. Флюенталардың шексіз өзгерістері қажет болады. Уақыт моменттің таңбасы. Сонда  флюентасының моменті  , яғни лездік жылдамдықтан уақыт моментіне көбейтіндісі. Негізінде флюентаның моменті қазіргіше айтқанда, оның дифференциалы.

Флюксиялар теориясында механикалық, сондай-ақ  математикалық терминдер арқылы  тұжырымдалған екі басты есеп шешіледі:

 I. Берілген жол бойынша берілген уақыттағы қозғалыс жылдамдығын анықтау, басқаша айтқанда, флюенталар арасындағы қатыстарды анықтау;

 II. Берілген қозғалыс жылдамдығы бойынша берілген уақыт ішінде жүріп өтілген жолы анықтау. Басқаша айтқанда, флюсиялар арасындағы берілген қатыстар бойынша флюенталар арасындағы қатыстарды анықтау.

Флюксиялар теориясының тура есебі деп аталатын бірінші есеп, жалпы алғанда, функцияны дифференциалдау есебі және табиғаттағы қарапайым (элементтер) заңдылықтарды өрнектейтін дифференциалдық теңдеуді табу болып табылады. Екіншісі – флюксиялар теориясының кері есебі – жалпы түрде қойылған дифференциалдық теңдеулерді интегралдау есебі болады. Дербес жағдайда бұл есепте алғашқы функциялар табу қарастырылады. Сонымен, флюксиялар теориясында интегралдау ең әуелі анықталмаған интегралдау түрінде еңгізіледі.

Тік есеп үшін Ньютон бірыңғай ереже – функцияларды дифферениалдаудың алгоритмін еңгізеді.

                               (1.1.4)

Ньютонның барлық флюенталары сияқты -те  уақытына тәуелді болады. Берілген флюксияны дифференциалдау нәтижесінде келесі қатынастар шығады:

               (1.1.5)

(5)-ші қатынасты ол Ферманың еңбектеріне сүйеніп дәлелдейді. -ны О таңбасы арқылы белгілеп, оны (1)-ші теңдеуге апарып, -тің орнына  (яғни, )-ті, ал -тің  (яғни, )-ті қойған. Қазіргі таңда  )-тің дифференциалын  арқылы белгілейді. Ал Ньютон оны  арқылы белгілеген.

Енді осы қатысты лездік өзгеріске түскен флюенталар үшін, яғни әрбір флюентаға оның моменті қосылған жағдайда лайықтап жазайық:

Бином формуласы бойынша жіктесек,

Бірінші бағана шарт бойынша нөлге тең, қалған мүшелерін 0-ге бөлеміз, сонан кейін шексіз аз уақыт моменті (0) бар мүшелерді алып тастаймыз. Қалған мүшелер флюксиялар арасындағы қатысты береді.

Бұл әдісті Ньютон ереже түрінде тұжырымдаған:

-                 Айнымалыларының дәрежелері бойынша орналастыр;

-                 Арифметикалық прогрессия мүшелеріне және немесе  - ке сәйкес көбейт.

-                 Көбейтінділер қосындысы флюксиялар арасындағы қатысты береді:

 

  

                              

 

Флюксиялар теориясының кері есебі: флюксиялар арасындағы белгілі қатынас бойынша флюенталар арасындағы қатыстарды табу – өзінің қойылысы жөнінен өте жалпы проблема. Ол кез келген дифференциялдық теңдеулерді интегралдау есебімен пара-пар. Ньютон бұл жалпы проблеманы біртіндеп шешкен және шешу әдістерін де біртіндеп қолданған. Флюксияларды табу нәтижелерін тікелей айналдыру жолымен – ақ Ньютон көп кватураларды табады. Кейіннен оған тұрақты шаманы қосу қажеттігін байқайды. Одан кейін  функциялары бүтін рационал болып келген қарапайым  теңдеуін айналдыру амалы бастапқы, алғашқы фукцияға келтірілмейтіні мәлім болады.

Тура әдісті айналдыру еәтижесі бермеген кезде Ньютон флюксия теориясының әмбебап құралы ретінде функцияларды дәрежелік қатарларға жіктеп бағады. Бұл үшін ол өзіне дейінгі бұл тұрғыда жинақталған әдіс-тәсілдердің барлығын пайдаланып, толықтырып, көп тәжірибе жинақтайды.

Ньютон флюксиялар теориясының аса қиын мәселелерін  деп қозғайды. Мәселен, ол 1676 жылы жазылған бір хатында биномалды дифференциалдың интегралдану шарттарын келтіреді:

 Интегралдану үшін  немесе  бүтін оң сан болуы қажет.

Ньютон флюксиялар теориясы туралы нәтижелердің көпшілігін XVII ғасырдың 60 – 70 жылдары алған. Алайда бұл тақырыпқа жазған жұмыстарын бірден жариялауға асықпаған. Мұның басты себептері кері есептерді шешу әдістерінің кемелсіздігі мен флюксиялар теориясының негізгі ұғымдарының логикалық жағынан негізделуінің әлі де жеткіліксіздігі еді. Мысалы, бірде нөл, бірде шекті – шексіз болып келетін аз шамаларды ескермей кете оперативтік амалының мәнісі түсініксіз, негізсіз еді. Бұл қайшылықтан құтылу үшін Ньютон қазіргі шектер теориясының алғашқы түрі болып саналатын бірінші және соңғы қатынастар әдісін жасайды. Дегенмен, флюксиялар теориясының оперативтік – алгоритмдік жағы мен оның логикалық негізі арасындағы алшақтық толық жойылмайды. Қазіргі қалыптасқан логикалық жағы бекем негізделген шек ұғымын шартты бағалау тәртібі, ( болатындай т.с.с. ) тек XIX ғасыр аяғында барып еңгізілген. Флюксиялар теориясы К. Маркс өзінің «Математикалық қолжазбаларында» көрсеткендей, математикалық анализдің дамуындағы «жүзеге асырылып барып, соңынан түсіндірілетін», түп негіздері, іргетасы әлі құпия, «мистикалық» кезеңін бейнелейді.

«Туынды» термині derive деген француз сөзінің қазақша сөзбе-сөз аудармасы, бұл термин алғаш рет 1800 жылы Парижде басылған Луи Арбогастың «Туындыны есептеу» атты кітабында кездесті. Кейін бұл терминмен Ж. Лагранж (1736-1813) қолдана бастады. Қазіргі кездегі  белгілеулерін де сол еңгізген-ді. Бұл атау мынадай ұғымның мағынасын ашады:  фукциясы   -тен шығады, -тің туындысы болып табылады. И. Ньютон функцияның туындысын флюксия деп, ал функцияның өзін флюента деп атаған. Г. Лейбниц дифференциалдық қатынас туралы айтқан және туындыны  түрінде белгілеген. Бұл белгілеу қазіргі әдебиетте де жиі кездеседі. Лейбниц  символын функциясының дифференциалын белгілеу үшін таңдап алған.функциясының  дифференциалы -  туындысының  өсімшесіне көбейтіндісі, яғни  ал  белгілеуін  -пен алмастырып, оны былай да жазуға болады:  осыдан   Дифференциалдың геометриялық мағынасы 1- суреттен анық көрінеді: мұнда түзуі – графикке жүргізілген жанама.

1.1.1 – сурет.

Дифференциалдық есептеуде қабылданған терминология туралы әңгімені шек және шексіз аз ұғымдары толықтыра түседі. Шек төменде егжей-тегжейлі айтылады, әзірге мынанны ескеруіміз қажет, мысалы, туынды барлық нұсқауларда шек ретінде анықталады. Доғарыда қабылданған  жағдайда  деп жазудың орнына  түрінде жазады.

 белгіленуі – латынның limes (меже, шекара) деген сөзінің қысқарған түрі: мысалы, - ті кеміте келіп, біз  мәнін  «шекарасына» ұмтыламыз. «Шек» терминін Ньютон еңгізген. -тен  функциясы шексіз аз шаманың мысалы бола алады, өйткені  жағдайда  Жалпы, егер  болса, -шексіз аз деп атайды.

 Дифференциалдық есептеуді Ньютон мен Лейбниц біршама беріректе XVII ғасырдың соңында құрды. Таңқаларлық бір нәрсе, бұдан көп бұрын Архимед аса күрделі спиральсияқты қисыққа жанама жүргізу есебін шығарған (ол мұнда шекке көшуді қолданған), сонымен бірге  функциясының максимумын таба білген.

Жанама ұғымы (өзіміз білетіндей, туынды ұғымымен байланысты) итальян математигі Н. Тарталья (1500-1557 ж. шамасында) еңбектерінде ауық-ауық ұшырасып қалады, мұнда жанама зеңбіректің оқты барынша алысқа атуға көмектесетін көлбеулік бұрышы жөніндегі мәселені оқып-үйрену барысында айтылады. И. Кеплер радиусы берілген шарға іштей сызылған параллелепипедтің ең үлкен көлкмі туралы есепті шығару барысында жанаманы қарастырған.

XVII ғасырдың Г. Галилейдің қозғалыс туралы ілімі негізінде туындының кинематикалық концепциясы қарыштап өркендеді. Әр түрлі есептерді шығаруға қолданылған алуан түрлі варианттардың баяндалуы Р. Декартта, француз математигі Робервальде (1602-1675), ағылшын ғалымы Д. Грегориде (1638-1675), И. Барроу (1630-1677) мен И. Ньюион еңбектерінде кездеседі.

Жанама мен нормальды (жанамаға перпендикуляр және жанасу нүктесінде жүргізілген түзу осылай аталады) қарастыруда Декарт линзалардың оптикалық қасиеттерін зерттеу барысында келді. Ол аналитикалық геометрия әдістерінің және өзі ойлап тапқан анықталмаған коэффициенттер әдісінің көмегімен бірқатар қисықтарға, соның ішінде эллипске нормальдар салу туралы есепті шығара білді.

Туындылар туралы ғылымды жүйелі дамытқан Лейбниц пен Ньютон болды, олар анализдің негізгі екі проблемасын тұжырымдады:

1)       Жүретін жолдың тұрақты (яғни кез келген уақыт мезетіндегі) ұзындығы берілген; көрсетілген уақыт ішіндегі қозғалыс жылдамдығын табу керек.

2)       Қозғалыс жылдамдығы тұрақты берілген, көрсетілген уақыт ішінде жүргізілген жолдың ұзындығын табу керек сияқты проблемаларын қарастырған.

Бірінші проблема дифференциалдық есептеудің даму бағдарламасын береді, ал екінші интегралдық есептеуді береді.

Ньютон механика есептерін негізге алса (ньютондық анализ ньютондық классикалық механикамен қатар жасалғанда), Лейбництің артықшылығы ол геометрия есептерін негіз етіп алды.

Анализ идеяларының одан кейінгі дамулары туралы айтқанда (ол идеялар өте тез тарап кетті және өзіне көптеген ізбасарлар тапты). Лейбництің шәкірті – ағайынды Я және И. Бернуллилердің есімдерін алдымен атаған жөн.

А. Лопиталь (1661-1704) И. Бернуллиден дәріс алған, ол 1696 жылдың өзінде дифференциалдық есептеудің алғаш курсы «Қисық сызықтарды зерттеуге арналған шексіз аздар анализін» баспадан шығарып үлгерді, бұл жаңа әдістердің тарауына септігін тигізді.

Бұл салада ірі нәтижелерге жеткен Лагранж еді, оның еңбектері анализ негіздерінің мән-мағынасын түсіндіруде зор роль атқарадыя