Индивидуальный исследовательский проект по математике на тему: "Комбинаторика в курсе алгебры" выполнен студенткой группы 1 КНК Лихобабиной Ангелиной

ПАВЛОВСКИЙ ФИЛИАЛ ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО УЧРЕЖДЕНИЯ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

"ГУБЕРНСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ"

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

по учебному предмету "Математика"

"КОМБИНАТОРИКА В КУРСЕ АЛГЕБРЫ"

                                        Выполнила: студентка группы 1 КНК

                                                       Лихобабина Ангелина Сергеевна

Руководитель: преподаватель математики, ВВК

                              Данилова Любовь Александрова

Павловск, 2021

Содержание

Введение..........................................................................................................3

Глава 1 История и понятие комбинаторики...............................................5

     1.1 История возникновения комбинаторики.........................................5

     1.2 Правила комбинаторики.....................................................................7

     1.3 Применение комбинаторики .............................................................7

Глава 2 Практическая часть комбинаторики…………………………...9

      2.1 Комбинаторные задачи и задания ...................................................9

Заключение....................................................................................................12

Список использованных источников..........................................................14

Приложение 1................................................................................................16

Приложение 2................................................................................................17

Приложение 3................................................................................................18

Приложение 4................................................................................................19

Введение

          Комбинато́рика — это область математики, прежде всего связанная с подсчетом, как средство и цель получения результатов, так и с определением свойств конечных структур. Она тесно связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и применяется в различных областях знаний.

          Слово - это последовательность букв данного алфавита. Длина слова - число букв в данном слове. Размещение - ряд, заполненный объектами данного множества (размещаем объекты на определенных местах). Перестановка - упорядоченный набор объектов. Этот термин возник потому, что сначала брались объекты, каким-то образом расставленные, а другие способы упорядочения требовали представить эти объекты.

          Данная тема актуальна, потому что комбинаторику успешно применяют в различных областях науки и сферы. С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому-химику, биологу, конструктору, диспетчеру. В последнее время интерес к комбинаторике усилился из-за бурного развития кибернетики и вычислительной техники.

Объект исследования: объектом исследования являются студенты группы 1 КНК участвующие в интеллектуальной игре.

Предметом исследования: комбинаторика в курсе алгебры

Цель: ознакомиться с историей возникновения комбинаторики и уметь применять ее в практике и в жизни.

Задачи:

- изучить учебный материал по теме: "Комбинаторика в курсе алгебры";

- найти информацию в литературе по указанной теме;

- найти информацию на интернет ресурсах;

- обобщить и систематизировать изученный материал и создать презентацию для демонстрации конечного результата.

Методы исследования: поисковый, практический, анализ, метод изучения данных.

Итак, как было написано ранее, что комбинато́рика — это область математики, прежде всего связанная с подсчетом, как средство и цель получения результатов, так и с определением свойств конечных структур. Она тесно связана со многими другими областями математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и применяется в различных областях знаний.

Глава 1.  История и понятие комбинаторики.

1.1    История и возникновение комбинаторики.

Термин "комбинаторика" был введён в математический обиход знаменитым Лейбницем. Готфрид Вильгельм Лейбниц (1.07.1646 - 14.11.1716) - всемирно известный немецкий учёный, занимался философией, математикой, физикой, организовал Берлинскую академию наук и стал её первым президентом.

В математике он вместе с И. Ньютоном разделяет честь создателя дифференциального и интегрального исчислений. В течение всей своей жизни Лейбниц многократно возвращался к идеям комбинаторного искусства.

 Комбинаторику он понимал весьма широко, именно, как составляющую любого исследования, любого творческого акта, предполагающего сначала анализ (расчленение целого на части), а затем синтез (соединение частей в целое).

Мечтой Лейбница, оставшейся, увы, неосуществлённой, оставалось построение общей комбинаторной теории. Комбинаторике Лейбниц предрекал блестящее будущее, широкое применение. В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались выдающиеся математики. Так, Леонард Эйлер рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов.[1;15]

В 1713 году было опубликовано сочинение Я. Бернулли "Искусство предположений", в котором с достаточной полнотой были изложены известные к тому времени комбинаторные факты. "Искусство предположений" появилось после смерти автора и не было автором завершено.

Сочинение состояло из 4 частей, комбинаторике была посвящена вторая часть, в которой содержатся формулы:

-для числа перестановок из n элементов;

-для числа сочетаний (называемого Я. Бернулли классовым числом) без повторений и с повторениями;

-для числа размещений с повторениями и без повторений.

Для вывода формул автор использовал наиболее простые и наглядные методы, сопровождая их многочисленными таблицами и примерами. Сочинение Я. Бернулли превзошло работы его предшественников и современников систематичностью, простотой методов, строгостью изложения и в течение XVIII века пользовалось известностью не только как серьёзного научного трактата, но и как учебно-справочного издания.

В работах Я. Бернулли и Лейбница тщательно изучены свойства сочетаний, размещений, перестановок. Перечисленные комбинаторные объекты относятся к основным комбинаторным конфигурациям . В математике в XIX веке появился сначала термин "геометрическая конфигурация" в лекциях по проективной геометрии профессора университета в Страсбурге К.Т. Рейе (1882).

Комбинаторика, пройдя многовековой путь развития, обретя собственные методы исследования, с одной стороны, широко используется при решении задач алгебры, геометрии, анализа, с другой стороны, сама использует геометрические, аналитические и алгебраические методы исследования. [2;36]

В конце XVIII века учёные, принадлежащие комбинаторной школе Гинденбурга, попытались построить общую комбинаторную теорию, используя бесконечные ряды.

 Исследователи этой школы изучили большое количество преобразований рядов: умножение, деление, возведение в степень, извлечение корней, обращение рядов, разложение трансцендентных функций. Использование производящих функций в комбинаторике можно отнести к уже классическим традициям. [4;15]

1.2.  Правила комбинаторики.

Существует 3 правила комбинаторики.

1. Правило умножения.

Число пар, составленных из элементов множества А и В, равно произведению элементов этих множеств.

|А * В| = |A| * |B|

2. Правило включения - исключения.

Пусть множество А и В общая часть насчитывает k элементов. Тогда в объединении множества А и В число элементов равно m + n - k, |A v B| = |A| + |B| - |A ^ B|

3. Правило сложения.

Пусть в множестве А имеется m элементов, а в множестве В - n элементов. Если у множеств А и В нет общих элементов, то в их объединении число элементов равно m + n. [1;15]

1.4 Применение комбинаторики

Комбинаторика используется в:

1. Учебные заведения (составление расписаний).

2. Сфера общественного питания (составление меню0.

3. Лингвистика (рассмотрение вариантов комбинаций букв).

4. География (раскраска карт).

5. Спортивные соревнования (расчет количества игр между участниками).

6. Производство (распределение нескольких видов работ между рабочими).

7. Агротехника (размещение посевов на нескольких полях).

8. Азартные игры (подсчет частоты выйгрыша).

9. Химия (анализ возможных связей между химическими элементами).

10. Экономика (анализ вариантов купли-продажи акции).

11. Криптография (разработка методов шифрования).

12. Доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки).

13. Биология (расшифровка кода ДНК).

14. Военное дело (расположение подразделений).

15. Астрология (анализ расположения планет и созвездий).

16. Так же комбинаторику используют в моде.

          Комбинаторные методы проектирования одежды впервые применили в 1920-х гг. советские конструктивисты А. Родченко, Л. Попова, В. Степанова.

           При проектировании производственной одежды они применяли программированные методы формообразования нескольких уровней: комбинирование стандартных элементов из набора простейших геометрических форм.

          Комбинирование различных видов декора на основе базовой формы; трансформацию одежды в процессе эксплуатации; комбинирование стандартных готовых объектов.

          В последствии программированные методы формообразования стали не только ведущими методами при проектировании промышленных коллекций, но и легли в основу графических компьютерных программ.[3;15]

Глава 2. Практическая часть комбинаторики

2.1. Комбинаторные задачи и задания

Примеры задач и их решения.

Пример 1.

При окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными карточками. Сколько всего визитных карточек перешло из рук в руки, если во встрече участвовали 6 специалистов? [11;15],

Решение:

Каждый из 6-ти специалистов отдал по 5 карточек (всем, кроме себя). Потребовалось
6·5 = 30 карточек.

Пример 2

Сколькими способами могут быть расставлены 5 участниц финального

забега на 5-ти беговых дорожках? [12;15]

Решение:

Р₅ = 5!= 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 способов.

Пример 3

Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз? [13;15]

Решение:

перестановки, 4! – 3! =18

Пример 4

В магазине «Все для чая» есть 6 разных чашек и 4 разных блюдца. Сколько вариантов чашки и блюдца можно купить?

Решение:

Чашку мы можем выбрать 6-ю способами, а блюдце 4-я способами. Так как нам надо купить пару чашку и блюдце, то это можно сделать 6 · 4 = 24 способами (по правилу произведения).

На столе лежат яблоко, груша и банан.. Выкладываем фрукты слева направо в следующем порядке: яблоко / груша / банан Вопрос первый: сколькими способами их можно переставить?

Решение:

яблоко / банан / груша

 груша / яблоко / банан

груша / банан / яблоко

банан / яблоко / груша

банан / груша / яблоко

Итого: 6 комбинаций или 6 перестановок. [14;15]

Задания к интеллектуальной игре:

1. Комбинаторика отвечает на вопрос

1.     какова частота массовых случайных явлений;

2.с какой вероятностью произойдет некоторое случайное событие;

     3. сколько различных комбинаций можно составить из элементов   

     данного множества.

2. Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

1.     120

2.     3125

3.     5

4.     20

  3. Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?

1.     20

2.     4

3.     24

     4. 16

    4. Выберите из предложенных множеств множество натуральных чисел

1.     N

2.     C

3.     Q

4.     R

          В итоге, мы смогли применить на практике ранее изученную нами информацию. Рассмотрели практические задачи комбинаторики в действии. А так же в группе работали над разработкой математической интерактивной игры. [15;15].

Заключение

          В начале нашей работы мы поставили перед собой цель: ознакомиться с историей возникновения комбинаторики и уметь применять ее в практике и в жизни.

          Мы изучили эту тему такими методами как: поисковый, практический, анализ, метод изучения данных.

          В нашем проекте мы рассмотрели правила комбинаторики, а так же ознакомились с ее историей и научились ее применять на практике.

          В первой главе, мы как раз и рассмотрели все правила комбинаторики, которые помогают нам решить те или иные задачи. Ознакомились с историей создания комбинаторики и какие ученые внесли больший вклад в ее развитие. Узнали где же можно применять комбинаторику, оказывается во многих отраслях можно ее применять, так как по-моему мнению это будет проще.

          Во второй главе мы смогли применить на практике ранее изученную нами информацию. А так же в группе работали над разработкой математической интерактивной игры.

Итак, по-моему мнению комбинаторика очень практичная часть алгебры, так как с помощью таких подсчетов можно быстро что-нибудь составить или распределить. Комбинаторика повсюду. Комбинаторика везде. Комбинаторика вокруг нас. 

          Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов осуществления некоторого действия.

           Разные пути или варианты, которые приходится выбирать человеку, складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, называемый комбинаторикой, занят поиском ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или другом случае.

Список использованных источников.

1. Комбинаторика в курсе алгебры.

Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М. И. Башмаков. - 5-е изд., испр. - М.: Издательский центр "Академия", 2012. - 265 с.

2. Комбинаторика в нашей жизни.

https://vk.com/away.php?utf=1&to=https%3A%2F%2Fschool-science.ru%2F7%2F7%2F38896

3. Комбинаторика и ее применение.

https://vk.com/away.php?utf=1&to=https%3A%2F%2Furok-1sept-ru.turbopages.org%2Furok.1sept.ru%2Fs%2Farticles%2F585278%3Fturbo_uid%

4. История комбинаторики.

https://vk.com/away.php?utf=1&to=https%3A%2F%2Fvuzlit.ru%2F926739%2Fistoriya_kombinatoriki

5. Комбинаторика - метод формообразования в дизайне.

https://poisk-ru.ru/s17081t10.html

6. Практическое применение комбинаторики.

https://infourok.ru/issledovatelskaya-rabota-prakticheskoe-primenenie-kombinatoriki-2667229.html

7. Комбинаторика в графике.

https://yandex.ru/images/search?from=tabbar&nomisspell=1&text=комбинаторика%20в%20графике&source=related-1&p=1&pos=35&rpt=simage&img_url=http%3A%2F%2Ftrushinbv.ru%2Fimages%2Fkombi9.jpg

8. Комбинаторика в одежде.

https://yandex.ru/images/search?from=tabbar&source-serpid=cSOiJqUtOUZuktOfjNfoeA&nomisspell=1&text=комбинаторика%20в%

9. Комбинаторика фигур.

https://yandex.ru/images/search?from=tabbar&source-serpid=kgSiE9WwtxHeLIvwWesTgw&nomisspell=1&text=комбинаторика%

10. Комбинаторика в химии.

https://yandex.ru/images/search?text=комбинаторика%20в%20химии&from=tabbar

11. Задачи комбинаторики.

 http://mathematichka.ru/school/combinatorics/combination_problems.html

12. Задачи по теме комбинаторика.

https://infourok.ru/zadachi-po-teme-kombinatorika-1212946.html

13. Задачи по комбинаторике

 https://4ege.ru/trening-matematika/60458-zadachi-po-kombinatorike.html

14. Методы решения комбинаторных задач.

 https://blog.tutoronline.ru/metody-reshenija-kombinatornyh-zadach

15. Комбинаторика. Комбинаторные задачи.

http://www.eduportal44.ru/Kostroma_EDU/Licey17/273_FZ_obrazovanie_RF/uchiteljam/metodicheskie_obiedinenija/mo_nachalnye_klassy/shelouhova_ea/SiteAssets/SitePages/МЕТОДИЧЕСКАЯ%20КОПИЛКА/Комбинаторика.pdf

Приложение 1.

1. Комбинаторика в графике. [7;15]

Приложение 2

2. Комбинаторика в одежде [8;15]

 

Приложение 3

3. Комбинаторика фигур. [9;15]

 

Приложение 4

4. Комбинаторика в химии. [10;15]

 

Краткое описание документа:

Индивидуальный исследовательский проект по математике на тему: "Комбинаторика в курсе алгебры" выполнен студенткой группы 1 КНК Лихобабиной Ангелиной