Индивидуальный исследовательский проект по математике на тему: "Стереометрия" выполнен студенткой группы 1 АФК Голубевой Екатериной

ПАВЛОВСКИЙ ФИЛИАЛ

ГОСУДАРСТВЕННОГО БЮДЖЕТНОГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО

УЧРЕЖДЕНИЯ ВОРОНЕЖСКОЙ ОБЛАСТИ

«ГУБЕРНСКИЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

по учебному предмету «Математика»

 

«СТЕРЕОМЕТРИЯ»

Выполнила: студентка группы 1АФК Голубева Екатерина Руководитель проекта: преподаватель математики, ВВК Данилова Любовь Александровна

                                                            Павловск, 2021

Содержание

Введение…………………………………………………………………………3

I Глава Стереометрия, как отдельная сфера в геометрии…….……………..4

          1.1.Геометрия, наука изучающая стереометрию……………………….……4

          1.2.Стереометрия вокруг нас…………………………………………………10

II Глава Cоздание поделки из геометрических фигур с помощью развёрток.22

2.1.Развёртки и задачи объёмных геометрических фигур в стереометрии..22

Заключение……………………………………………………………………..27

Список использованной литературы……………………..………………….28

Приложение ……………………………………………………………………29

Введение

Математику называют Царицей наук, и мы с этим полностью согласны. С самого первого класса на уроках математики мы стали знакомиться с различными геометрическими фигурами. Нас это очень заинтересовало. Рассматривая предметы в каждом из них, я начала видеть различные фигуры.

Каждого человека в повседневной жизни окружают геометрические фигуры, но мы их не замечаем. Это наблюдение нам показалось очень интересным и мы решили исследовать тему: «Мир геометрических фигур» поэтому наша тема является актуальной.

У нас появился вопрос: «Почему и какие предметы имеют геометрическую форму?»

В данной работе, мы решили заняться изучением и исследованием геометрических фигур в природе, быту и строительстве.
Объект исследования: рассмотреть раздел геометрии «Стереометрия» вместе со студентами группы 1 АФК в форме интеллектуальной игры.

Предмет исследования: объёмные фигуры в стереометрии.

Цель исследования: Рассмотреть раздел геометрии, стереометрия, как науки, которая развивается и имеет применение в повседневной жизни.

Задачи:

- изучить учебный материал по теме: «Стереометрия»;

- найти информацию в литературе по теме «Стереометрия»;

- найти информацию на интернет ресурсах;

- обобщить и систематизировать изученный материал и создать презентацию для демонстрации конечного результата.

Глава I.  Стереометрия, как отдельная сфера в геометрии

1.1.          Геометрия, наука изучающая стереометрию

Геометрия - одна из древнейших наук. Она зародилась в Древнем Египте. В этом государстве плодородные земли были расположены на очень узком участке земли в долине реки Нил. Каждую весну Нил разливался и удобрял землю плодородным илом. Но при разливе реки смывались границы участков, менялись их площади. Тогда пострадавшие обращались к фараону, он посылал землемеров, чтобы восстановить границы участков, выяснить, как изменилась их площадь и установить размер налога.

Занимались измерениями особые специалисты, их называли "натягивателями веревки" гарпетонаптами. Ремесленникам  необходимо  было  изготавливать  посуду,  строителям подбирать  камни  различной  формы  для  строительства  храмов  и  пирамид, астрономам измерять углы для определения положения звезд. Знания постепенно накапливались и систематизировались.

Так около 4 тыс. лет назад возникла наука об измерении расстояний, площадей и объемов, о свойствах различных фигур геометрия

название произошло от двух слов  «гео» земля  и  «метриа» измерение, то есть землемерие.

В  геометрии  изучаются  формы,  размеры,  взаимное  расположение предметов независимо от их других свойств: массы, цвета и так далее. Если  взять  во внимание только форму и размеры предметов, мы приходим к понятию геометрической фигуры. [12;25]

Геометрия не только даёт представление о фигурах, их свойствах, взаимном расположении,  но  и  учит  рассуждать,  ставить  вопросы, анализировать, делать выводы, то есть логически мыслить. Посмотрите вокруг. Многие окружающие нас предметы напоминают геометрические фигуры.

Геометрические фигуры – это совокупность множества точек, линий, поверхностей или тел, которые расположены на поверхности, плоскости или пространстве и формирует конечное количество линий.

Появление и развитие знаний связано с повседневной деятельностью людей. Геометрических фигур очень много. В древности у фигур никаких имён не было. Люди нашли гениальный выход: они стали называть фигуры словами, обозначавшими предметы похожей формы.

К примеру, название конуса произошло от греческого «conos», что значит сосновая шишка. Действительно, конус похож на шишку.

Знакомясь с литературой, мы узнали, что геометрические фигуры бывают плоскими и объёмными, а главное свойства этих фигур определяет их использование в различных целях. Например, рассмотрим такую фигуру, как треугольник.

Треугольник представляет собой важнейшую фигуру в геометрии. Это многоугольник, который имеет три стороны и три вершины.

Крыша дома имеет треугольную форму, но этот треугольник повторяется со всех четырёх сторон. А это уже объёмная геометрическая фигура, которая называется пирамидой. Она имеет такую форму, чтобы дождь и снег не задерживались на ней.

Теперь рассмотрим геометрическую фигуру под названием «круг».

Круг - это геометрическая фигура, ограниченная окружностью.

Окружность – это граница круга.

Для чего же в нашей жизни были внедрены предметы округлой формы?[125;133]

Круглые тела еще в древности заинтересовали человека. Вернемся в Древний Египет, для постройки пирамид еще не было никаких грандиозных сооружений.

Но огромные каменные глыбы требовали постоянной переноски, так египтяне заметили, что ставя тележку на тонкие круглые пластинки, которые они вырезали из стволов деревьев, перетаскивать грузы стало намного проще. Квадрат - это прямоугольник, у которого все стороны ровны.

Казалось бы, квадрат - одна из самых простых геометрических фигур. Но на самом деле она имеет множество до сих пор, не разгаданных тайн. В древнем мире квадрат символизировал четыре стороны света. Египтяне в свою очередь обожествляли квадрат.

Изучением геометрических фигур занимаются различные разделы геометрии. Геометрические фигуры, точки которых лежат в одной плоскости, изучает стереометрия.

Точка, одно из основных понятий геометрии. При систематическом изложении геометрии точка обычно принимается за одно из исходных понятий.

Прямая, одно из основных понятий геометрии. Можно провести через любые две точки и притом одну.

ОКРУЖНОСТЬ, замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от ее центра O.

ПРЯМОУГОЛЬНИК, четырёхугольник, у которого все углы прямые.

КВАДРАТ, равносторонний прямоугольник.

КРУГ, часть плоскости ограниченная окружностью.

ТРАПЕЦИЯ, четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет.

ПАРАЛЛЕЛОГРАММ, четырехугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны.[55;72]

РОМБ, параллелограмм у которого все стороны равны.

Геометрические фигуры, точки которых лежат в разных плоскостях, изучает стереометрия.

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД, призма, основанием которой служит параллелограмм. «Призма» - латинская форма греческого слова «присма» - опиленная (имелось в виду опиленное бревно)

КОНУС, геометрическое тело, образованное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. «Конус» - латинская форма греческого слова «Конос», означающего сосновую шишку.

ЦИЛИНДР, геометрическое тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Означает «валик», «каток».

ПИРАМИДА, многогранник, основание которого представляет собой многоугольник, а остальные грани — треугольники с общей вершиной. Это название пошло от египетских пирамид.

ШАР, часть пространства ограниченного сферой.

Параллелепипед.

Параллелепипед (др.-греч. - «параллельный» и «плоскость») - многогранник, у которого шесть граней и каждая из них - параллелограмм.

 Типы параллелепипеда

Различается несколько типов параллелепипедов:

●        Прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, у которого все грани - прямоугольники.

●        Прямой параллелепипед - это параллелепипед, у которого 4 боковые грани прямоугольники.

●        Наклонный параллелепипед - это параллелепипед, боковые грани которого не перпендикулярны основаниям.[40;45]

Основные элементы параллелепипеда

Две грани параллелепипеда, не имеющие общего ребра, называются противоположными, а имеющие общее ребро - смежными.

Две вершины параллелепипеда, не принадлежащие одной грани, называются противоположными. 

Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда.

Длины трёх рёбер прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, называют его измерениями.

Свойства параллелепипеда

●        Параллелепипед симметричен относительно середины его диагонали.

●        Любой отрезок с концами, принадлежащими поверхности параллелепипеда и проходящий через середину его диагонали, делится ею пополам; в частности, все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

●        Противолежащие грани параллелепипеда параллельны и равны.

●        Квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Параллелепипеды вокруг нас

Параллелепипед широко распространён в жизни.

Пирамида.

Пирамида (др.-греч.) - многогранник, одна из граней которого (называемая основанием) - произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) - треугольники, имеющие общую вершину. По числу углов основания различают пирамиды треугольные (тетраэдр), четырёхугольные и т. д. Пирамида является частным случаем конуса.[15;118]

 История пирамиды

Начало геометрии пирамиды было положено в Древнем Египте и Вавилоне, однако активное развитие получило в Древней Греции. Объем пирамиды был известен древним египтянам. Первым греческим математиком, кто установил, чему равен объём пирамиды, был Демокрит, а доказал Евдокс Книдский. Древнегреческий математик Евклид систематизировал знания о пирамиде в своих «Начал», а также вывел первое определение пирамиды: телесная фигура, ограниченная плоскостями, которые от одной плоскости сходятся в одной точке.

Элементы пирамиды

●        боковые грани - треугольники, сходящиеся в вершине;

●        боковые ребра - общие стороны боковых граней;

●        вершина пирамиды - точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания;

●        высота - отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра);

●        диагональное сечение пирамиды - сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания;

●        основание - многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды

Правильная пирамида

Пирамида называется правильной, если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания. Тогда она обладает такими свойствами:

●        боковые рёбра правильной пирамиды равны;

●        в правильной пирамиде все боковые грани - равнобедренные треугольники;

●        в любую правильную пирамиду можно как вписать, так и описать вокруг неё сферу; [99;165]

●        площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Прямоугольная пирамида

Пирамида называется прямоугольной, если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. В данном случае, это ребро и является высотой пирамиды.

Пирамиды вокруг нас

Изучая курс истории Древнего мира, мы познакомились с одним из семи чудес света - египетскими пирамидами.

Эта конструкция очень распространена в строительстве. Треугольник – это единственная геометрическая фигура, которая сохраняет свою форму под воздействием нагрузки, приложенной к соединительным точкам, или стыкам, даже если эти стыки являются шарнирными. Если деформируется только одна сторона, треугольник не теряет форму.

1.2 Стереометрия вокруг нас

Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства пространственных фигур, то есть фигур, не принадлежащих одной плоскости. В стереометрии рассматриваются различные случаи взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве, такие пространственные фигуры, как призма, пирамида, тела вращения, правильные многогранники.

При изучении стереометрии обобщаются некоторые планиметрические понятия: вектор, геометрическое преобразование, прямоугольная система координат и др. Важными вопросами в стереометрии являются вопросы измерения площадей и объёмов рассматриваемых пространственных фигур.[86;89]

Нашу жизнь очень трудно представить без стереометрии. Все предметы, которые нас окружают, изготовлены в виде геометрических фигур. В архитектуре применяются знания о стереометрии для строительства зданий. Дизайнеры применяют правильные многогранники  для изготовления декоративных вещей и предметов роскоши.

Стереометрия, как и планиметрия, возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека. О зарождении геометрии в Древнем Египте около 2000 лет до н.э. древнегреческий ученый Геродот (V век до н.э.) писал, что египетский фараон разделил землю, дав каждому египтянину участок по жребию, и взимал соответствующим образом налог с каждого участка. Случалось, что Нил заливал тот или иной участок, тогда пострадавший обращался к царю, а царь посылал землемеров, чтобы установить, на сколько уменьшился участок, и в соответствии с этим уменьшал налог. Так возникла геометрия в Египте, а откуда перешла в Грецию.

Геометрия как теоретическая наука возникла в Древней Греции, многие современные геометрические термины имеют древние происхождения. Труды древнегреческих математиков сыграли исключительно важную роль в развитие науки вообще и геометрии в частности. Они стали достоянием общей культуры человечества.

Древние греки считаются основателями стереометрии. В Древней Греции не только применяли законы и свойства стереометрии в строительстве, но и создавали труды по этому разделу геометрии. Основоположником стереометрии считается Евклид. [40;82]

Евклидова геометрия, система геометрии, основанная на аксиомах, сформулированных в книге Евклида «Начала». Исходя из набора самоочевидных положений (аксиом) и пользуясь жесткой логикой, Евклид  пришел к ряду важных результатов. Его выводы считались абсолютной истиной в применении к физическому миру на протяжении почти 2000 лет

Евкли́д или Эвкли́д (др.-греч. Εὐκλείδης, от «добрая слава», время расцвета — ок. 300 г. до н. э.) — древнегреческий математик, автор первого из дошедших до нас теоретических трактатов по математике. Биографические сведения о Евклиде крайне скудны. Достоверным можно считать лишь то, что его научная деятельность протекала в Александрии в 3 веке до н. э.

К наиболее достоверным сведениям о жизни Евклида принято относить то немногое, что приводится в Комментариях Прокла к первой книге Начал Евклида. Отметив, что «писавшие по истории математики» не довели изложение развития этой науки до времени Евклида, Прокл указывает, что Евклид был старше Платоновского кружка, но моложе Архимеда.

 И Эратосфена и «жил во времена Птолемея I Сотера», «потому что и Архимед, живший при Птолемее Первом, упоминает об Евклиде и, в частности, рассказывает, что Птолемей спросил его, есть ли более короткий путь изучения геометрии, нежели Начала; а тот ответил, что нет царского пути к геометрии».

Основное сочинение Евклида называется Начала. Книги с таким же названием, в которых последовательно излагались все основные факты геометрии и теоретической арифметики, составлялись ранее Гиппократом Хиосским, Леонтом и Февдием. Однако Начала Евклида вытеснили все эти сочинения из обихода и в течение более чем двух тысячелетий оставались базовым учебником геометрии. Создавая свой учебник, Евклид включил в него многое из того, что было создано его предшественниками, обработав этот материал и сведя его воедино. [10;18]

Начала состоят из тринадцати книг. Первая и некоторые другие книги предваряются списком определений. Первой книге предпослан также список постулатов и аксиом. Как правило, постулаты задают базовые построения (напр., «требуется, чтобы через любые две точки можно было провести прямую»), а аксиомы — общие правила вывода при оперировании с величинами (напр., «если две величины равны третьей, они равны между собой»).

В I книге изучаются свойства треугольников и параллелограммов; эту книгу венчает знаменитая теорема Пифагора для прямоугольных треугольников. Книга II, восходящая к пифагорейцам, посвящена так называемой «геометрической алгебре». В III и IV книгах излагается геометрия окружностей, а также вписанных и описанных многоугольников; при работе над этими книгами Евклид мог воспользоваться сочинениями Гиппократа Хиосского. В V книге вводится общая теория пропорций, построенная Евдоксом Книдским, а в VI книге она прилагается к теории подобных фигур. VII—IX книги посвящены теории чисел и восходят к пифагорейцам; автором VIII книги, возможно, был Архит Тарентский. В этих книгах рассматриваются теоремы о пропорциях и геометрических прогрессиях, вводится метод для нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (известный ныне как алгоритм Евклида), строится чётные совершенные числа, доказывается бесконечность множества простых чисел. В X книге, представляющей собой самую объёмную и сложную часть Начал, строится классификация иррациональностей; возможно, что её автором является Теэтет Афинский. XI книга содержит основы стереометрии. В XII книге с помощью метода исчерпывания доказываются теоремы об отношениях площадей кругов, а также объёмов пирамид и конусов; автором этой книги по общему признанию является Евдокс Книдский. Наконец, XIII книга посвящена построению пяти правильных многогранников; считается, что часть построений была разработана Теэтетом Афинским. [122;130]

В дошедших до нас рукописях к этим тринадцати книгам прибавлены ещё две. XIV книга принадлежит александрийцу Гипсиклу (ок. 200 г. до н. э.), а XV книга создана во время жизни Исидора Милетского, строителя храма св. Софии в Константинополе (начало VI в. н. э.).

В создании и развитии науки Нового времени Начала также сыграли важную идейную роль. Они оставались образцом математического трактата, строго и систематически излагающего основные положения той или иной математической науки.

Вокруг нас в основном встречаются тела, напоминающие по форме правильные многогранники.

Правильный многогранник или плато́ново тело — это выпуклый многогранник, состоящий из одинаковых правильных многоугольников и обладающий пространственной симметрией

Многогранник называется правильным, если:

1.                  он выпуклый;

2.                  все его грани являются равными правильными многоугольниками;

3.                  в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер.

Правильные многогранники известны с древнейших времён. Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах, созданных в период позднего неолита, в Шотландии, как минимум за 1000 лет до Платона. В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников. [6;12]

В значительной мере правильные многогранники были изучены древними греками. Некоторые источники (такие как Прокл Диадох) приписывают честь их открытия Пифагору. Другие утверждают, что ему были знакомы только тетраэдр, куб и додекаэдр, а честь открытия октаэдра и икосаэдра принадлежит Теэтету Афинскому, современнику Платона. В любом случае, Теэтет дал математическое описание всем пяти правильным многогранникам и первое известное доказательство того, что их ровно пять.

Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела». Платон писал о них в своём трактате Тимей (360г до н. э.), где сопоставил каждую из четырёх стихий (землю, воздух, воду и огонь) определённому правильному многограннику. Земля сопоставлялась кубу, воздух — октаэдру, вода — икосаэдру, а огонь — тетраэдру.

Для возникновения данных ассоциаций были следующие причины: жар огня ощущается чётко и остро (как маленькие тетраэдры); воздух состоит из октаэдров: его мельчайшие компоненты настолько гладкие, что их с трудом можно почувствовать; вода выливается, если её взять в руку, как будто она сделана из множества маленьких шариков (к которым ближе всего икосаэдры); в противоположность воде, совершенно непохожие на шар кубики составляют землю, что служит причиной тому, что земля рассыпается в руках, в противоположность плавному току воды. По поводу пятого элемента, додекаэдра, Платон сделал смутное замечание: «…его бог определил для Вселенной и прибегнул к нему в качестве образца». Аристотель добавил пятый элемент — эфир и постулировал, что небеса сделаны из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

Евклид дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал. Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке. Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра. [38;53]

В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников. Андреас Шпейзер отстаивал точку зрения, что построение пяти правильных многогранников является главной целью дедуктивной системы геометрии в том виде, как та была создана греками и канонизирована в «Началах» Евклида. Большое количество информации XIII книги «Начал», возможно, взято из трудов Теэтета.

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы (исключая Землю) и правильными многогранниками. В книге «Тайна мира», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет (Меркурию, Венере, Земле, Марсу, Юпитеру и Сатурну). Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб.

 Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками. Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников.

Иногда в природе можно встретить кристаллы, очень похожие на правильные многогранники. В кристаллическом многограннике можно найти разные сочетания элементов симметрии – у одних мало, у других много. По симметрии кристаллы делятся на три категории. К высшей категории относятся самые симметричные кристаллы. [17;90]

 К таким формам относятся: куб, октаэдр, тетраэдр. Из кристаллов к высшей категории относятся: алмаз, квасцы, гранаты, германий, кремний, медь, алюминий, золото, серебро, серое олово вольфрам. Кристаллы средней категории: призмы, пирамиды и другие. К ним относятся графит, рубин, кварц, цинк, магний, белое олово, турмалин, берилл, поваренная соль.

Кристаллами обычно называют твердые тела, образующиеся в природных или лабораторных условиях и имеющие вид многогранников, которые напоминают строгие геометрические построения. Поверхность таких фигур ограничена более или менее совершенными плоскостями- гранями, пересекающимися по прямым линиям- ребрам. Точки пересечения ребер образуют вершины. Кристаллы обычно твердые тела.

Кристаллов в природе существует великое множество и так же много существует различных форм кристаллов. Было установлено, что все кристаллы построены из элементарных частиц, расположенных в строгом порядке внутри кристаллического тела. Рассматривая различные кристаллы, мы видим, что все они разные по форме, но любой из них представляет симметричное тело. Симметричность - одно из основных свойств кристаллов.

В химии каждый элемент периодической системы таблицы Менделеева имеет свое строение кристаллической решетки.

Если узлы кристаллической решетки расположены только в вершинах параллелепипеда элементарной сетки, то решетка называется примитивной (простой); если, кроме того, есть узлы в центре оснований параллелепипеда – базоцентрированной;

 По форме ячейки в зависимости от углов между гранями a,b,и величины ребер a,b,c различают 7 кристаллических схем :

а) правильная или кубическая;

б) гексогональная (прямая призма, в основании ромб с углами 600 и 1200, высота призмы не равна стороне ромба);

в) тетрагональная (прямоугольный параллелепипед, в основании – квадрат); г) тригональная (ромбоэдрическая) – ромбоэдр, a=b=; [90;110]

д) ромбическая (прямоугольный параллелепипед с разной длиной ребер);

е) моноклинная (наклонный параллелепипед, две пары граней – прямоугольники);

ж) триклинная (параллелепипед).

Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии по форме напоминает икосаэдр.

Большинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Оно больше похоже на звёздчатый многогранник. Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности. Это свойство помогает морскому организму преодолевать толщи давления воды.

Икосаэдр оказался в центре внимания биологов в их спорах относительно формы вирусов. Вирус не может быть совершенно круглым, как считалось ранее. Чтобы установить его форму, брали различные многогранники, направляли на них свет под теми же углами, что и поток атомов на вирус. Оказалось, что только один многогранник дает точно такую же тень - икосаэдр.

Вокруг нас большинство вещей и предметов представляют правильные многогранники. Мебель в комнате имеет форму параллелепипеда и куба. Посуда, вазы, цветочные горшки напоминают по форме цилиндр. Дизайнерские вещи и предметы роскоши изготовлены в форме разнообразных правильных многогранников. [114;128]

В эпоху Возрождения произошло слияние трех течений, что упростило изучение многогранников. С одной стороны, с возвратом интереса к Античности стало уделяться особое внимание этим геометрическим фигурам, которые рассматривал еще Евклид в «Началах» с математической точки зрения, а Платон в своих диалогах — с космологической точки зрения. С другой стороны, с распространением математической перспективы впервые стало возможным «увидеть» эти фигуры на рисунках, и они стали изучаться более подробно.

В эту эпоху в работах художников помимо правильных и полуправильных, или архимедовых, многогранников начинают появляться другие геометрические фигуры — конусы, призмы и ограненные сферы. Ограненные сферы, которые встречаются в книге «О божественной пропорции» и в инкрустациях Фра Джованни да Верона, можно вписать в идеальную сферу, которая, в свою очередь, будет описывать все ограненные сферы одного радиуса.

В архитектуре Древнего мира применялись свойства фигур стереометрии. В Египте строились пирамиды. В Риме были построен Колизей в форме цилиндра. Цилиндр и пирамида считаются очень прочными конструкциями, поэтому памятники мировой архитектуры сохранились и сегодня.

Геометрические узоры были частью национальных костюмов уже давно, и не удивительно, что они плавно перешли и в мир современной моды. Вот уже много лет одежда с геометрическими фигурами и просто линиями не выходит из моды.

Дизайнеры и модельеры вносят в свои коллекции многогранники и другие геометрические фигуры.  

Показано, что геометрия – наука, без которой невозможно представить нашу жизнь.

Дизайнеры применяют правильные многогранники  для изготовления декора-тивных вещей и предметов роскоши. Но встречаются произведения дизайнерского творчества и в архитектуре. [222;238]

Главная библиотека страны была основана в 1922 году при Белорусском государ-ственном университете и получила название Белорусской государственной и университет-ской библиотеки. С течением времени фонды значительно увеличились, поэтому возникла необходимость строительства нового, более масштабного и современного здания.
Еще в 1989 году был проведен всесоюзный конкурс на лучший проект будущего сооружения. Его победители – архитекторы Виктор Крамаренко и Михаил Виноградов – предложили модель "белорусского алмаза". Идея предполагала возведение оригинального здания в виде ромбокубооктаэдра – сложного многогранника из 18 квадратов и 8 треугольников. По задумке авторов, форма ограненного алмаза символизирует ценность знаний и бесконечность познаваемого мира. Открытие состоялось в 2006 году.
В вечернее время фасад здания превращается в многоцветный светодиодный экран из более 4500 источников. Всего доступны более 20 вариантов цветовых эффектов, которые образуются с помощью свыше 65 тысяч оттенков.

Также одними из наиболее известных дизайнерских построек являются: «Дом желтых кубиков»  Роттердам, Нидерланды. Построен архитектором Пиет Бломом в 1984 году и Гиперболоидная сетчатая башня в порту Кобе, Япония. Построена в 1963 году.  Высота 108 метров.

Зарождение архитектуры относится ко времени первобытнообщинного строя, когда возникли первые искусственно сооружаемые жилища и поселения. С возникновением государств сложилась и новая форма поселения - город как центр управления, ремесленного производства и торговли. [240;268]

 В древние века возникают большие государства Египет, Греция, Япония, Римская империя, Китай где создается своеобразная архитектура. Уже в то время возникло абстрактное понятие геометрического тела и отмечается связь геометрии и реального мира. 

 Геометрия, как практическая наука, использовалась египтянами для восстановления земельных участков после каждого разлива Нила, при различных хозяйственных работах, при сооружении оросительных каналов, грандиозных храмов и пирамид, при высечении из гранита знаменитых сфинксов.

Одна из самых «прочных», «устойчивых» и «уверенных» геометрических фигур - это хорошо известный квадрат, иными словами, абсолютно правильный прямоугольник. Форму прямоугольника имеет кирпич, доска, плита, стекло - то есть все, что нам нужно для постройки здания имеет прямоугольную форму.

Прямой угол - величайший организатор пространства, особенно рукотворного. Архитектурные сооружения состоят из отдельных деталей, каждая из которых строится на базе определенных геометрических фигур либо на их комбинации. Кроме того, форма любого архитектурного сооружения имеет своей моделью определенную геометрическую фигуру. 

Конечно, говорить о соответствии архитектурных форм геометрическим фигурам можно только приближенно, отвлекаясь от мелких деталей. В архитектуре используются почти все геометрические фигуры. Выбор использования той или иной фигуры в архитектурном сооружении зависит от множества факторов: эстетичного внешнего вида здания, его прочности, удобства в эксплуатации. [270;283]

 Эстетические особенности архитектурных сооружений изменялись в ходе исторического процесса и воплощались в архитектурных стилях. Стилем принято называть совокупность основных черт и признаков архитектуры определенного времени и места. Геометрические формы, свойственные архитектурным сооружениям в целом и их отдельным элементам, также являются признаками архитектурных стилей. 

Архитектура в наши дни имеет все более необычный характер. Здания становятся самых разных форм . Многие здания украшаются колоннами и лепнинами. Геометрические фигуры различной формы можно увидеть в постройке конструкциях мостов. Самые «молодые» здания - это небоскребы , подземные сооружения с модернизированным дизайном. Такие здания проектируются с использованием архитектурных пропорций.

Дом-мастерская архитектора К.С. Мельникова 1927—1929 гг.

Уникальным в доме Мельникова является уже то, что в конце 1920-х годов, когда в СССР шло сворачивание НЭПа, а по всей стране началось строительство домов-коммун, одному человеку разрешили построить частный дом в центре столицы. Конструкции стен и перекрытий дома-мастерской не только оригинальны, но и выполнены на уровне технических изобретений, несколько из которых были Мельниковым впоследствии запатентованы.

Объёмная композиция дома представляет собой два разновысоких вертикальных цилиндра одинакового диаметра, врезанных друг в друга на треть радиуса, образуя тем самым необычную форму плана в виде цифры «8», ориентированную по направлению «север — юг». Более низкий цилиндр со срезанной по вертикали южной частью завершён плоской крышей с открытой террасой. Возвышающийся над ним задний цилиндр имеет покатую кровлю, понижающуюся от центра здания к его северной части. [ 280;286]

К. С. Мельников подробно обосновывает преимущества цилиндрической конструкции: «Экономия материалов: Прямая связь архитектурного изучения геометрии с экономическим эффектом. Задача состоит в том, чтобы… площадь пола была окружена минимальным периметром стен. Требуемая площадь, скажем, 1600 кв. м. Высота — величина постоянная… Возьмем параллелепипед, куб и цилиндр… Итак, по трем вариантам периметр составит соответственно 200, 160 и 140 м. Совершенно реальная экономия от формы объема».

Стереометрию можно найти и в архитектуре нашего города. Гениальные идеи Мельникова живы и сегодня. Они отобразились в архитектуре нашего города.  

 Таким образом, стереометрия окружает человека.  Мы можем найти стереометрию в искусстве, в науке, в технике. Мебель в комнате, окна, двери – все это содержит в себе основные свойства и форму фигур стереометрии.

Глава II Cоздание поделки из геометрических фигур с помощью развёрток

        2.1. Развёртки и задачи объёмных геометрических фигур в стереометрии

Задача 1.

Параллельные плоскости α и β пересекают стороны угла АВС в точках А₁, С₁, А₂, С₂ соответственно.
Найти ВС₁, если А₁В : А₁А₁ = 1 : 3, ВС₂ = 12.

Решение.

Рассмотрим рис. 1.

1) Так как А₁В : А₁А₂ = 1 : 3, то А₁В = х, А₁А₂ = 3х.

2) Плоскость (АВС) пересекает плоскость α по прямой А₁С₁, а плоскость β – по прямой А₂С₂. Так как плоскости α и β параллельны, то параллельны и прямые А₁С₁ и А₂С₂.

3) Рассмотрим угол АВС. По теореме Фалеса выполняется:

ВА₁/ВА₂ = ВС₁/ВС₂.

Кроме того, ВА₂ = ВА₁ + А₁А₂, а значит, учитывая пункт 1

ВА₂ = ВА₁ + А₁А₂ = х + 3х = 4х.

Тогда х/(4х) = ВС₁/12, то есть ВС₁ = 3.

Ответ: 3.

Задача 2.

В ромбе АВСD угол А равен 60°, сторона ромба равна 4. Прямая АЕ перпендикулярна плоскости ромба. Расстояние от точки Е до прямой DC равно 4. Найти квадрат расстояния от точки А до плоскости ЕDC.

Решение.

1) Проведем АН перпендикулярно DC (рис. 2), тогда ЕН перпендикулярно DC по теореме о трех перпендикулярах. Значит ЕН – расстояние от точки Е до прямой DC, то есть ЕН = 4.

2) Проведем АК – высоту треугольника АЕН – и докажем, что АК – расстояние от точки А до плоскости (ЕDC):

DC перпендикулярно АН и DC перпендикулярно ЕН, значит, DC перпендикулярно плоскости (АЕН) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. АК содержится в плоскости (АЕН), значит АК перпендикулярно DC. Кроме того, АК перпендикулярна ЕН по построению. Так как прямая АК перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ЕDC (ЕН и DC), то АК перпендикулярно плоскости (ЕDC), значит, АК – расстояние от точки А до плоскости (EDC). [125]

3) Рассмотрим треугольник ADH: АD = 4, угол ADH = 60° (накрест лежащий с углом ВАD), тогда АН = АD · sin ADH. Имеем, что АН = 4 · √3/2 = 2√3.

4) Рассмотрим треугольник ЕАН – прямоугольный (угол ЕАН = 90°). По теореме Пифагора

ЕН² = ЕА² + АН²;

ЕА² = 16 – 12 = 4; ЕА = 2.

Для площади треугольника ЕАН можно использовать формулы

S_EAH = (EA · AH)/2 или S_EAH = (AК · ЕH)/2, тогда

EA · AH = AК · ЕH или АК = (EA · AH)/ЕН.

Имеем: АК = (2 · 2√3)/4 = √3, поэтому АК² = 3.

Ответ: 3.

Задача 3.

В треугольнике АВС угол В – прямой, ВС = 2. Проекцией этого треугольника на некоторую плоскость является треугольник ВDC, АD = √2, угол между плоскостями АВC и ВСD равен 45°. Найти угол (в градусах) между прямой АС и плоскостью (ВDC).

Решение.

1) По теореме о трех перпендикулярах ВD перпендикулярно ВС, тогда угол между плоскостями (АВС) и (ВDC) – есть угол АВD равный 45° (рис. 3).

2) АС – наклонная, АD – перпендикуляр к плоскости (BCD), CD – проекция АС на плоскость (ВСD), значит угол АСD равен углу между прямой АС и плоскостью (ВDC), то есть угол АСD – искомый. [126]

3) Рассмотрим треугольник АВD – прямоугольный (угол АВD = 90°):

АВ = АD/sin ABD;

AB = √2/(√2/2) = 2.

4) Рассмотрим треугольник АВС – прямоугольный (угол АВС = 90°). По теореме Пифагора

АС² = АВ² + ВС²;

АС² = 4 + 4 = 8;

АС = 2√2.

5) Рассмотрим треугольник АСD – прямоугольный (угол ADC = 90°):

так как АD = 1/2 АС, то угол АСD = 30°.

Ответ: 30°.

Задача 4.

АВСDA₁B₁C₁D₁ – куб. Найти угол (в градусах) между АВ₁ и ВD₁.

Решение.

Рассмотрим рис. 4.

1) Прямая АВ₁ содержится в плоскости (АА₁В₁), прямая ВD₁ пересекает плоскость (АА₁В₁) в точке В, но В не принадлежит АВ₁, значит прямые АВ₁ и ВD₁ скрещивающиеся (по признаку скрещивающихся прямых) (рис. 4).

2) Введем прямоугольную систему координат с началом отсчета в точке В и единичным отрезком, равным по длине ребру куба.

3) Определим координаты точек B, D₁, A, B₁ в заданной системе координат:

В(0; 0; 0);

D₁(1; 1; 1);

A(1; 0; 0);

B₁(0; 0; 1), тогда вектор BD₁ {1; 1; 1}, а вектор АВ₁ – {-1; 0; 1}.

4) Найдем скалярное произведение векторов ВD₁ и АВ₁:

ВD₁ и АВ₁ = 1 · (-1) + 1 · 0 + 1 · 1 = 0. [127]

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, то они взаимно перпендикулярны, значит, угол между АВ₁ и ВD₁ равен 90°.

Ответ: 90°.

Задача 5.

Длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равна 8. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найти значение выражения √3 · V, где V – объем пирамиды.

Решение.

Так как по условию четырехугольная пирамида правильная, то в ее основании лежит квадрат ABCD (рис. 5).

1) Высота пирамиды РО проецируется в центр основания (точку О – точку пересечения диагоналей квадрата АВСD).

2) Угол между прямой РС и плоскостью (АВС) равен плоскому углу РСО и равен 60°.

3) Рассмотрим треугольник РОС – прямоугольный (угол РОС = 90°):

РО = РС · sin PCO;

OC = PC · cos PCO;

PO = 8 · √3/2 = 4√3;

OC = 8 · 1/2 = 4.

4) Рассмотрим квадрат ABCD:

АС = 2 · ОС = 2 · 4 = 8, тогда S_ABCD = d²/2, где d – диагональ квадрата, то есть S_ABCD = 64/2 = 32. [128]

5) V = 1/3 S_осн · h;

V = 1/3 · 32 · 4√3 = 128√3/3.

6) √3 · V = √3 · 128√3/3 = 128.

Ответ: 128.

Развёртки всех объёмных фигур  смотрите в приложении. [128]

Заключение

В начале нашей работы мы поставили перед собой цель - рассмотреть раздел геометрии (стереометрия) как науки, которая развивается и имеет применение в повседневной жизни. Мы изучили эту тему и достигли нашу цель.

В нашем проекте мы рассмотрели и поставили задачи, с помощью который мы смогли глубже изучить и рассмотреть тему данного проекта «Стереометрия».

В первой главе, мы рассмотрели геометрию, как науку изучающую стереометрию. Стереометрию в повседневной жизни

Во второй главе мы  использовали практический метод по созданию объёмных фигур. Cделали поделки из геометрических фигур с помощью развёрток.

Итак, стереометрия окружает человека везде, куда бы мы не посмотрели.  Мы можем найти стереометрию в искусстве, в науке, в технике. Многие предметы в нашей комнате, окна, двери – все это содержит в себе основные свойства и форму фигур стереометрии.

Список использованных источников

1.     Журнал «Квант»,  2012 год. - 98с.

2.     Новейший полный справочник школьника; издательство «Эксмо». - 298с.

3.     Энциклопедия Археологических открытий; издательство «Махаон». - 311с.

4.     Энциклопедия Эрудита; издательство «Махаон». - 304с.

5.     Пространственные фигуры. http://geometry-and-art.ru/stereo.html

6.     Мир геометрических фигур.

https://multiurok.ru/files/proiekt-po-vnieurochnoi-dieiatiel-nosti-na-tiemu-2.html

7.     Стереометрия.

https://infourok.ru/uchebniy-proekt-na-temu-stereometriya-1984102.html

8.     Стереометрия. Начальные сведения.

https://kopilkaurokov.ru/matematika/presentacii/tvorcheskii_proekt_stereometriia_nachalnye_svedeniia

9.      Основы стереометрии

https://myslide.ru/presentation/skachat-osnovy-stereometrii

10.   Темы исследовательских работ по стереометрии.

 https://obuchonok.ru/node/437

11.  Задачи на построение сечений. http://www.myshared.ru/slide/1137312

12.  Предмет стереометрия.

 https://znanio.ru/media/prezentatsiya_po_matematike_predmet_stereometriya-77684

13.  Стереометрия. https://znanio.ru/media/prezentatsiya_po_matematike_predmet_stereometriya-77684

14.  Стереометрия. https://ru.wikipedia.org

Приложение 1

Краткое описание документа:

Индивидуальный исследовательский проект по математике на тему: "Стереометрия" выполнен студенткой группы 1 АФК Голубевой Екатериной