Индивидуальный проект на тему "Научись решать квадратные уравнения" 8 класс

МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАЕТЛЬНАЯ ШКОЛА № 42»

Индивидуальный проект:

«Научись решать квадратные уравнения»

                                                     Автор проекта: Ярина Ольга,                                                                                                           

ученица 8 класса МКОУ«СОШ № 42».

                                     Наставник проекта: Кнышова Вера Петровна,

                                              учитель математики МКОУ«СОШ № 42»

г Миасс 2021г.

Содержание

 Введение ………………………………………………….………….…...…..3

Исторические сведения………………………………………...…………………………4

1. Способы решения

  1.1 Дискриминант…………………………………………...…………………………...5

  1.2 Формула четного коэффициента……………………………………………..……..6

  1.3 Теорема Виета………………………………………………………………………..7

     1.3.1 Биография Виета………………………………………………………………....8

  1.4 Метод коэффициентов……………………………………………………………….9

  1.5 Разложение с использование корней квадратного уравнения……………………10

  1.6 Графическое решение квадратных уравнений…………………………………….11

Заключение…………………………………………………………..……….…………...13

Список используемой литературы………………...…………………………………….14

Введение

   Квадратные уравнения-это уравнения вида , причем a≠0

a-1ый коэффициент

b-2ой коэффициент

c- свободный член уравнения

   Квадратные уравнения делятся на

1.      Полные: имеет два коэффициента и свободный член, отличные от нуля.

    – приведенное квадратное уравнение, относится к полным квадратным уравнениям;

2.      Неполные: один или оба коэффициента равны нулю, кроме коэффициента a. Если коэффициент a будет равен нулю, то такое уравнение не считается квадратным!

  

  

Цель: научиться решать квадратные уравнения с помощью перечисленных в проекте способов

Задачи проекта:

1. Рассмотреть способы решения квадратных уравнений
2. Разобраться в их применении
3. Научиться применять на практике

Исторические сведения

    Квадратные уравнения впервые встречаются в работе индийского математика и астронома Ариабхатты. Другой индийский ученый Брахммагуппта (VII) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. Задачи часто облекались в стихотворную форму.

   Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду     аx2 + bx + c = 0 было Сформулировано в Европе лишь в 1544 Году немецким математиком Михаэлем Штифелем.

1. Способы решения

  1.1 Дискриминант

      Дискриминант-D (определитель)

ax² + bx + c = 0

D = b² - 4ac

D=0 – 1 корень

D‹󠇕0 – нет корней

D›0 – 2 корня

Пример решения квадратного уравнения

  Неполное квадратное уравнение не рекомендуется решать формулой дискриминанта, т.к. другими способами они решаются проще.

Полное квадратное уравнение:

                                                     3x²-7x-8=0

                                                     D=b²-4ac ;                                                D=(-7)²-4*3*(-8)=49-96=-47 – нет корней, Д –отрицательно 

                                                    

                                                       Ответ: данное уравнение не имеет корней.

1.2 Формула четного коэффициента

ax² + bx + c = 0

Пример решения квадратного уравнения

  Неполное квадратное уравнение не рекомендуется решать формулой формулой четного коэффициента.

Полное квадратное уравнение:

  Ответ: 1; -2,5.

1.3 Теорема Виета

Прямая теорема Виета

  Если  - корни уравнения, то числа  ,

Обратная теорема Виета

  Если числа ,b связаны равенствами:

то  - корни уравнения.

Пример решения квадратного уравнения прямой теоремой Виета

  Неполное квадратное уравнение:

 

Ответ: 1; -1

  Полное квадратное уравнение:

  Ответ: -1; 6

1.3.1 Биография Виета

    По образованию Виет был юристом. Виет мог просиживать по трое суток подряд за столом, только иногда забываясь сном на несколько минут. Свободное время он посвящал астрономии. Занятия астрономией требовали знаний алгебры и тригонометрии. Виет занялся этими науками и вскоре пришел к выводу о необходимости их усовершенствования, над чем и проработал ряд лет. Вскоре он смог добиться успеха и стал Французским математиком. Он ввел в алгебру буквенные обозначения, до него в математике не было формул. Разработал почти всю элементарную алгебру.

1.4 Метод коэффициентов

       I схема

  Если

 

      II схема

  Если

Пример решения квадратного уравнения

Полное квадратное уравнение:

  

     

Ответ: .

1.5 Разложение  квадратного трехчлена  на множители  с использованием корней квадратного уравнения

    Этот способ в основном используется для решения задач. Для решения отдельных примеров (квадратных уравнений) этот способ применяю реже.

Пример решения квадратного уравнения

Полное квадратное уравнение:

Корни находят по формуле дискриминанта.

1.6 Графическое решение квадратных равнений

1)Разделим квадратный трехчлен на две части и введем функции

1) Построим графики полученных функций

  2) Найдем точки пересечения графиков функций

  3) Абсциссы точек пересечения  являются корнями данного уравнения

Пример решения квадратного уравнения графическим способом:

Неполное квадратное уравнение:

 - одна точка пересечения.

  Ответ:0.  

Полное квадратное уравнение:

    - точек пересечения нет!

  Ответ: корней уравнения нет. 

Заключение

   В ходе исследования, выяснилось, что существует множество способов решения квадратных уравнений. Здесь я, перечислив многие способы нахождения корня, постаралась более доступно изложить интересные факты и известную Вам информацию о квадратных уравнениях и их истории.

   В ходе написания работы я применила все способы на практике.

   Изучив несколько способов решения квадратных уравнений, я считаю, что при решении важно правильно выбрать рациональный способ решения и применить соответствующий алгоритм.

Список используемой литературы

1. https://nsportal.ru/shkola/algebra/library/2019/11/12/kvadratnye-uravneniya-sposoby-resheniya
2. https://www.youtube.com/watch?v=Zh9x_4QlyYg
3. https://tutomath.ru/uroki/kvadratnye-uravneniya-polnoe-kvadratnoe-uravnenie-nepolnoe-kvadratnoe-uravnenie-diskriminant.html
4. https://ru.wiktionary.org/wiki/дискриминант
5. Виет биография кратко
6. https://infourok.ru/proekt-po-matematike-na-temu-kvadratnie-uravneniya-i-sposobi-ih-resheniya-2328031.html
7. https://izamorfix.ru/matematika/algebra/diskriminant.html