Индивидуальный проект по математике на тему: "Как математика помогает добиться прочности сооружений""

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное АВТОНОМНОЕ образовательное учреждение высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ»

Озерский технологический институт – филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» (ОТИ НИЯУ МИФИ)

Специальность 08.02.01 Строительство и эксплуатация зданий и сооружений

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ   ПРОЕКТ

Тема: «Как математика помогает добиться прочности сооружений»

Разработали ________________/Д. А. Шахурин/

                                                      подпись               инициалы, фамилия

                                  ______________________/П. А. Шиханов/

Руководитель проекта _____________/Н.П.Лазарева /

                                                           подпись            инициалы, фамилия

Озерск

2018

ЦЕЛЬ проекта: изучить вопрос о том, как математика помогает добиться прочности сооружений

ЗАДАЧИ проекта:

1.     Выяснить, от чего зависит прочность сооружения.

2.     Изучить вопрос и собрать информацию о том, как математика помогает добиться прочности сооружений.

3.     Обработать собранные данные, подобрать иллюстрации.

4.     Оформить наработанный материал в виде проекта.

5.     Составить презентацию.

6.     Защитить творческий проект.

Руководитель индивидуального проекта _____________ / Н. П. Лазарева /

                                                                 подпись                                           

Дата выдачи задания «____» ______________2017 г.

Срок окончания проекта «____» ____________2018 г.

Задание получили ______________________ / Д. А Шахурин /

                                              подпись

                                ______________________ / П. А. Шиханов /

                                              подпись

Содержание:

 Введение ……………………………………………………………………......... с. 5

1. Как математика помогает добиться прочности сооружений

1.1 От чего зависит прочность сооружения………………………………………..

1.1.1 Как зависит прочность сооружений от строительного материала…………

1.1.2 Как зависит прочность сооружений от конструкции

1.2 Чем интересны для архитекторов линейчатые поверхности…………………..

1.3 Преимущество новых строительных материалов………………………………

Заключение ……………………………………………………………………..с. 14

Список использованной литературы …………………………………….........с. 15

Введение

                                                                                              Все (в архитектуре)…

                                                                                              должно делать, принимая во внимание

                                                                                               прочность, пользу и красоту.

                                                                                                                                  М.Витрувий

     Люди с древних времен, возводя свои жилища, думали, в первую очередь, об их прочности.  В формуле М. Витрувия именно прочность упоминается на первом месте. Поэтому не случайно в первом дошедшем до нас строительном кодексе, разработанном за 1800 лет до нашей эры, в царствование вавилонского царя Хаммурапи, говорится: «Если строитель построил дом для человека, и дом, построенный им, обвалился и убил владельца, то строитель сей должен быть казнен». Известен и такой факт, что архитектор, создавший проект моста, в прежние времена должен был стоять под ним, когда мост открывался и по нему ехал первый транспорт. В случае если он оказывался не прочным, т.е. он не выдерживал тех нагрузок, на которые был рассчитан, то его создатель должен быть первым, кто поплатится за свою ошибку жизнью.

     Становится ясно, что прочность сооружений была связана с безопасностью людей, которые ими пользовались. Прочность связана и с долговечностью. На возведение зданий люди тратили огромные усилия, а значит, были заинтересованы в том, чтобы они простояли как можно дольше. Именно, благодаря этому, до наших дней дошли и древнегреческий Парфенон, и древнеримский Колизей.

     Не возникает сомнений в том, что математика играет далеко не последнюю роль в такой важной составляющей зданий и сооружений, как прочность и долговечность. Мы решили убедиться в этом, выбрав соответствующую тему проекта.

1        Как математика помогает добиться прочности сооружений

1.1 От чего зависит прочность сооружения

1.1.1 Как зависит прочность сооружений от строительного материала

     От чего же зависит прочность сооружения? Первое, что приходит на ум, это толщина стен. Сразу оживает сцена взятия крепости, будь то Древняя Русь или Средневековая Европа. Толщина стен этих сооружений соотносилась с пробивными возможностями орудий, которые использовались при штурме. Но еще важнее для обеспечения прочности сооружений особенности тех материалов, из которых они построены. Вспомним в связи с этим хотя бы  сказку о трех поросятах.

     Традиционным строительным материалом на земле является камень – гранит, мрамор, песчаник и другие. 

   В России, богатой лесами, большинство зданий первоначально строились из дерева. Достаточно вспомнить образцы древнерусского деревянного зодчества на острове Кижи (приложение №1) или в музеях под открытым небом под Архангельском и Костромой (приложение №2).

     Можно вспомнить в этой связи, что в древних Китае и Японии, например, был весьма распространен бамбук в качестве строительного материала

 (приложение №3).

     Очевидно, что люди для строительства своих жилищ использовали, в первую очередь, тот материал, который был под рукой. Однако это не означало, что он был наиболее прочным. Самым прочным строительным материалом всегда был камень. Он обладал еще рядом замечательных свойств, которые делали его предпочтительным строительным материалом. 

      С  развитием промышленного производства у человека появились возможности создавать самому новые строительные материалы, которые, с одной стороны, были похожи на камень, а, с другой, превосходили его в ряде характеристик, тем самым, обеспечивая прочность сооружений. К ним относятся кирпич, металл (в первую очередь, железо) и, наконец, железобетон. 

       В современной архитектуре широко используются материалы, которые раньше или просто не существовали, или были слишком дороги в производстве.

К таким материалам относятся пластмасса, стекло. В последнее время все более широкое применение при создании архитектурных сооружений стал занимать титан.

  Многие специалисты считают, что титан это металл для будущих архитектурных сооружений, которые люди будут возводить, возможно, не только на Земле, но и на других планетах. 

1.1.2 Как зависит прочность сооружений от конструкции

      Но прочность сооружения обеспечивается не только материалом, из которого оно создано, но и конструкцией, которая используется в качестве основы при его проектировании и строительстве. Прочность архитектурных сооружений, важнейшее их качество. Связывая прочность, во-первых, с теми материалами,

из которых они созданы, а, во-вторых, с особенностями конструктивных решений, оказывается, прочность сооружения напрямую связана с той геометрической формой, которая является для него базовой. Математик  бы сказал, что здесь очень важна геометрическая форма (тело), в которое вписывается сооружение.

Говоря о «вписанности» архитектурного сооружения в определенное геометрическое тело, обычно отступают от точного геометрического представления об этом понятии. Речь идет о том, что архитектурное сооружение можно представить как помещенное в определенное геометрическое тело, как можно ближе к его границам. Другими словами, речь идет о той геометрической фигуре, которая может рассматриваться как модель соответствующей архитектурной формы. Оказывается, что геометрическая форма также определяет прочность архитектурного сооружения.    

     Самым прочным архитектурным сооружением с давних времен считаются египетские пирамиды (приложение №4). Как известно, они имеют форму правильных четырехугольных пирамид. Именно эта геометрическая форма обеспечивает наибольшую устойчивость за счет большой площади основания. С другой стороны, форма пирамиды обеспечивает уменьшение массы по мере увеличения высоты над землей. Именно эти два свойства делают пирамиду устойчивой, а, значит, и прочной в условиях земного тяготения. «Рациональность» геометрической формы пирамиды, которая позволяет выбирать и внушительные размеры для этого сооружения, придает пирамиде величие, вызывает ощущение вечности и внушительности.

      На смену пирамидам пришла стоечно-балочная система. С точки зрения геометрии, она представляет собой многогранник, который получится, если мысленно на два вертикально стоящих прямоугольных параллелепипеда поставить еще один прямоугольный параллелепипед (рис. 1).

                    

                     Рис. 1

     Это одна из первых конструкций, которая стала использоваться при возведении зданий и представляет собой сооружения, которые состоят из вертикальных стоек и покрывающих их горизонтальных балок. Первым таким сооружением было культовое сооружение – дольмен. Оно состояло из двух вертикально поставленных камней, на которые был поставлен третий вертикальный камень (приложение №5). Назначение этого культового сооружения до сих пор неясно. Однако в нем воплощена идея  преодоления человеком силы притяжения.  Кроме дольмена,  до нас дошло еще одно сооружение, представляющее простейшую стоечно-балочную конструкцию – кромлех. Это также культовое сооружение, предположительно предназначенное для жертвоприношений и ритуальных торжеств. Кромлех состоял из отдельно стоящих камней, которые накрывались горизонтальными камнями. При этом они образовывали две или несколько концентрических окружностей. Самый знаменитый кромлех сохранился до наших дней в местечке Стоунхендж в Англии (приложение №6). Некоторые ученые считают, что он был древней астрономической обсерваторией. Сегодня это сооружение связывают с посещением Земли инопланетянами.

      Нужно заметить, что до сих пор стоечно-балочная конструкция является наиболее распространенной  в строительстве. Большинство современных жилых домов в своей основе имеют именно стоечно-балочную конструкцию.

Камень, из которого возводились сооружения на основе стоечно-балочной конструкции, плохо гнется, он обычно разрушается под действием своего собственного веса. Поэтому под балки нужно было ставить достаточно много стоек. Их делали в виде колонн различного вида. Для того, чтобы украсить здание, такие колонны облачали в формы кариатид или атлантов

(приложение №7).  

     Камень плохо работает на изгиб, но хорошо работает на сжатие. Это привело

 к использованию в архитектуре арок и сводов. Так возникла новая арочно-сводчатая конструкция. С появлением арочно-сводчатой конструкции 

в архитектуру прямых линий и плоскостей, вошли окружности, круги, сферы и круговые цилиндры. Первоначально в архитектуре использовались только полуциркульные арки или полусферические купола. Это означает, что граница арки представляла собой полуокружность, а купол – половину сферы. Например, именно полусферический купол имеет Пантеон – храм всех богов в Риме (приложение №8). Диаметр купола составляет 43 м. При этом высота стен Пантеона равна радиусу полусферы купола. В связи с этим получается, что само здание этого храма как бы «накинуто» на шар диаметром 43 м.

      Этот вид конструкции был наиболее популярен в древнеримской архитектуре. Арочно-сводчатая конструкция позволяла древнеримским архитекторам возводить гигантские сооружения из камня. К ним относится знаменитый Колизей или амфитеатр Флавиев (приложение №9). Свое название он получил от латинского слова colosseus, которое переводится как колоссальный, или огромный.

     Эта же конструкция использовалась при создании гигантских терм (бань) Каракаллы и Диоклетиана (приложение №10), вмещавших одновременно до 3 тысяч посетителей. Сюда же следует отнести и систему арочных водоводов-акведуков, общая протяженность которых составляла 60 км.

      Всем была хороша арочно-сводчатая конструкция, но она имела один недостаток – слишком большая сила действовала в основании арок (сводов) наклонно вбок (в отличие от стоечно-балочной конструкции, где сила тяжести действует вертикально). Эти боковые усилия, которые архитекторы называют боковым распором, требуют большой толщины стен, которая должна гасить эти усилия. Так, например, толщина стен Пантеона в Риме, поддерживающих купол, равна 7 метрам. Это требовало большого расхода материалов.

     Следующим этапом развития архитектурных конструкций явилась каркасная система, которая в основном используется в современной архитектуре. Прообразом ее стала разновидность арочно-сводчатой конструкции, содержащей стрельчатые арки. На смену полуциркульным аркам приходят стрельчатые, которые с точки зрения геометрии являются более сложными. Стрельчатую арку нельзя построить одним движением циркуля. Рассмотрим один из способов построения схематического изображения стрельчатой арки.

   Стрельчатая арка состоит из двух дуг окружности одного радиуса. Значит, необходимо выбрать определенный раствор циркуля и закрепить его. Затем провести горизонтальную прямую. В любую точку этой прямой поставить ножку циркуля и провести дугу (можно полуокружность). Затем ножку циркуля поставить на горизонтальную прямую так, чтобы она оказалась со стороны выпуклой части уже построенной дуги, и снова провести дугу тем же радиусом. Две дуги пересекутся. Над горизонтальной линией мы получили схематическое изображение стрельчатой арки.

Рис.2

   Стрельчатые своды выполнялись не как монолитные, а состоящие из частей – распалубок. Каждая распалубка выполнялась на каменных ребрах, называемых нервюрами. Нервюры являются подобием скелета свода, которые принимают на себя основную нагрузку.

   Боковой распорот стрельчатых арок гасился вне стен, несущих свод. Для этого вне сооружения ставились специальные опоры – контрфорсы, нагрузка на которые передавалась с помощью арочных конструкций – аркбутанов.

  Аркбутаны как раз и являлись тем каркасом, который окружал сооружение и принимал на себя основные нагрузки. Арочная конструкция послужила прототипом каркасной конструкции, которая сегодня используется в качестве основной при возведении современных сооружений из металла, стекла и бетона. Достаточно вспомнить конструкции известных башен: Эйфелевой башни в Париже и телебашни на Шаболовке (приложение №11).

     Телебашня на Шаболовке состоит из  нескольких поставленных друг на друга частей однополостных гиперболоидов. Причем каждая часть сделана из двух семейств прямолинейных балок. Эта башня построена по проекту замечательного инженера В. Г. Шухова.

1.2 Чем интересны для архитекторов линейчатые поверхности

       Разберемся, какие поверхности называются линейчатыми в частности, какая геометрическая фигура называется однополостным гиперболоидом. Само слово «гиперболоид» может быть знакомо по названию фантастического романа А.Н.Толстого «Гиперболоид инженера Гарина». Однако, что это за геометрическая фигура, какими свойствами она обладает?

     Однополостной гиперболоид – это поверхность, образованная вращением в пространстве  гиперболы, расположенной симметрично относительно одной из осей координат в прямоугольной системе координат, вокруг другой оси.

  На рисунке 3, который изображен ниже, выделена гипербола, которая симметрична относительно оси у, а вращается она относительно оси z.

Рис. 3

 Таким образом, мы получили гиперболоид, который называется однополостным.

     Другой интересной для архитекторов геометрической поверхностью оказался гиперболический параболоид. Это поверхность, которая в сечении имеет параболы и гиперболу. На рисунке изображен гиперболический параболоид. Именно его архитекторы кратко называют гипар (рис. 4).

Рис. 4

   Именно гипар использовал испанский архитектор и инженер Феликс Кандела при строительстве зала в Акапулько.

     Почему  эти геометрические фигуры оказались интересными для современных архитекторов? Дело в том, что они обладают одним очень важным с практической точки зрения свойством. Не являясь плоскими, они могут быть, в то же время, построены с помощью прямых линий. А это очень важно при строительстве различных сооружений из железобетона. Чтобы придать этому материалу нужную форму, изготавливают опалубку (форму), которую делают из прямых досок. Поэтому так важно, чтобы поверхность можно было образовать с помощью прямых линий.

   Самые простые неплоские поверхности – цилиндрическую и коническую - можно построить с помощью прямых. Это хорошо видно на рисунке 5.

                                                                     Рис.5

     В первом случае, если речь идет о прямом круговом  цилиндре, то прямая должна перемещаться параллельно в пространстве и проходить через все точки окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной этой прямой. Во втором случае, прямая должна также проходить через все точки окружности  и через одну точку в пространстве, не лежащей в плоскости окружности. Однополостной гиперболоид и гиперболический параболоид образованы перемещением не одной, а двух прямых. Иногда говорят, что они образованы семействами двух прямых.

     Свойство поверхностей, состоящее в том, что они могут быть образованы прямыми, называется линейчатым, а сами поверхности также носят название линейчатых.

1.3 Преимущество новых строительных материалов

     Появление новых строительных материалов делает возможным создание тонкого железобетонного каркаса и стен из стекла. Достаточно вспомнить американские небоскребы (приложение №12) или, например, здание Кремлевского дворца съездов (приложение №13), созданных из стекла и бетона. Именно эти материалы и каркасные конструкции стали преобладающими в архитектурных сооружениях XX века. Они обеспечивают зданиям высокую степень прочности.

      С давних времен и до наших дней эталоном прочности для архитекторов являлась скорлупа куриного яйца. Отношение диаметра куриного яйца к толщине его скорлупы в среднем равно 130. Такое соотношение между диаметром пролета и  его толщиной в сооружениях из камня было невозможно. Например, это отношение для купола Флорентийского собора, выполненного из камня и кирпича равнялось 11. Но для железобетонных сводов это отношение сегодня может достигать 1800, т.е. почти в 15 раз превосходить показатель, характеризующий прочность яичной скорлупы.                                                                                                                                                                                                            

Заключение

     Из всего сказанного можно сделать вывод, что прочность сооружения обеспечивается не только материалом, из которого оно создано, но и конструкцией, которая используется в качестве основы при его проектировании

и строительстве, а так же его геометрической формой.

     Только неотступно следуя законам геометрии, архитекторы древности могли создать шедевры. Неслучайно говорят, что пирамида Хеопса –  немой трактат по геометрии, а греческая архитектура – внешнее выражение Евклида.

     Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по-прежнему остается грамматикой архитектора.

 Список литературы

1.     Аксенова М. «Энциклопедия для детей Аванта+. Том 11» 1998 г.

2.      Хинн О.Г. под общ. Ред. ООО «Издательство АСТ-ЛТД» 1998 г.

 «Я познаю мир: математика»

3.     Якушева Г. «Справочник школьника: математика» Филологическое общество: «Слово» 1995 г.

4.     Захидов П.Ш. Основы гармонии в архитектуре. – Ташкент: Фан, 1982. –

163 с.

5.     Интернет-ресурсы

Приложение №1

Кижи – памятник русского зодчества

Приложение №2

Музей под открытым небом под Костромой

Приложение №3

Дома из бамбука в Китае и Японии

Приложение №4

Египетские пирамиды

Приложение №5

Дольмен

Приложение №6

Знаменитый кромлех в Стоунхендж в Англии

Приложение №7

Колонны в виде кариатид

Атланты Нового Эрмитажа

Приложение №8

Пантеон – Храм всех богов в Риме.

Приложение №9

Колизей в Риме

Приложение №10

Бани каракалы, Рим.

Приложение №11

Эйфелева башня в Париже

Телебашня на Шаболовке

Приложение №12

Небоскрёб Аква, США

Приложение №13

Кремлёвский Дворец съездов

• 1 слайд

  
  ТЕМА проекта:
  
  
  «Как математика помогает добиться
  прочности сооружений»
  Разработали: студенты группы С-61
  Шахурин Д.А. и Шиханов П.А.
  Руководитель: Лазарева Н. П.
  
  Озёрск, 2017
  

• 2 слайд

  ЦЕЛЬ проекта:
  
  изучить вопрос о том, как математика помогает добиться прочности сооружений
  
  

• 3 слайд

  ЗАДАЧИ проекта:
  
  1. Выяснить, от чего зависит прочность сооружения.
  2. Изучить вопрос и собрать информацию о том, как математика помогает добиться прочности сооружений.
  3. Обработать собранные данные, подобрать иллюстрации.
  4. Оформить наработанный материал в виде проекта.
  

• 4 слайд

  Все (в архитектуре)…
  должно делать,
  принимая во внимание
  прочность, пользу и красоту.
  М. Витрувий
  

• 5 слайд

  Музей
  под открытым небом
  под Костромой
  Кижи –
  памятник русского зодчества
  

• 6 слайд

  Египетские пирамиды
  

• 7 слайд

  Стоечно-балочная система
  Дольмен
  Кромлех
  

• 8 слайд

  Колонны в виде кариатид
  
  Атланты Нового Эрмитажа
  

• 9 слайд

  Колизей в Риме
  

• 10 слайд

  Бани каракалы, Рим
  

• 11 слайд

  Эйфелева башня в Париже
  Телебашня на Шаболовке
  

• 12 слайд

  Небоскрёб Аква, США
  

• 13 слайд

  Кремлёвский Дворец съездов
  

• 14 слайд

  Спасибо за внимание !
  

Краткое описание документа:

Научно-исследовательская деятельность студентов является инновационной формой учебного процесса.

Исследовательская работа студентов выполняется во внеаудиторное (аудиторное) время по заданию и при методическом руководстве преподавателя, но без его непосредственного участия или при частичном непосредственном участии преподавателя, оставляющем за собой роль не стороннего наблюдателя, но руководителя этого вида работы студентов.

Я, как преподаватель математики, занимаюсь этой работой четвёртый год. Предлагаю Вашему вниманию некоторые работы своих студентов.