Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Научные работы / Информационная проектная работа «ДРОБИ». Автор проекта Хапсироков Тимур( 5 класс).

Информационная проектная работа «ДРОБИ». Автор проекта Хапсироков Тимур( 5 класс).

Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

МУНИЦИПАЛЬНОЕ КАЗЕННОЕ

ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ «ГИМНАЗИЯ №9»

ГОРОДА ЧЕРКЕССКА

Информационная

проектная работа

«ДРОБИ»

hello_html_153efd45.jpg

ПОДГОТОВИЛ

УЧЕНИК 5 «А» КЛАССА

ХАПСИРОКОВ ТИМУР

РУКОВОДИТЕЛЬ

УЧИТЕЛЬ МАТЕМАТИКИ

САЛПАГАРОВА Ф.Д.

ЧЕРКЕССК 2016 ГОД







hello_html_m2aaaf4fe.gif


  1. Доли и Дроби . Понятия и опредления……………………………………………

  2. Виды дробей

  3. История дробей………………………………………………………………………..

    1. Из истории возникновения обыкновенных дробей…………………………

    2. Дроби в Древнем Египте ……………………………………………………….

    3. Дроби в Древней Греции ……………………………………………………..

    4. Дроби в Индии……………………………………………………………………

    5. Дроби у арабов ………………………………………………………………….

    6. Дроби в Вавилоне……………………………………………………………….

    7. Дроби в Древне Китае…………………………………………………………

    8. Дроби в Древнем Риме………………………………………………………..

    9. Дроби на Руси……………………………………………………………………

  4. Десятичная запись дробных чисел…………………………………………………..

  5. Дроби в музыке.

  6. Действия с дробями

  7. Использование дробей в науке и экономике……………………………………..

  8. Игры и задачи с дробями ……………………………………………………….…..

  9. Заключение














  1. Доли и Дроби. Понятия и определения

Предположим, что у нас есть некоторый предмет, составленный из нескольких абсолютно одинаковых (то есть, равных) частей. Для наглядности можно представить, например, апельсин, состоящий из нескольких равных долек.

hello_html_m27d80b99.png

Каждую из этих равных частей, составляющих целый предмет, называют долей целого или просто долей.


hello_html_136d162d.png

Доля – каждая из равных частей единицы.

Посмотрим мультфильм «Апельсин».

Так как апельсин разделили на 5 равных частей (долей), то каждый получил «одну пятую» долю апельсина, или, короче «одну пятую апельсина». Для записи любой доли используют горизонтальную чёрточку. Ее называют дробной чертой .

hello_html_m49a6bacf.png


Число под чертой показывает на сколько равных частей (долей) разделили единицу.

Название доли зависит от того, на сколько равных частей разделили единицу. Самая

известная доля – это, конечно, половина. Слова с приставкой «пол» можно услышать часто: полчаса, полкилометра, полведра…

Долю hello_html_6623b929.gif называют половиной. hello_html_45bd4882.gif

Долю hello_html_m1d858997.gif называют третью. hello_html_m503630e0.gif

Если единицу разделили на 4 части, то получается hello_html_m2681a413.gif или четверть.

hello_html_5f22a7d5.gif

hello_html_ma7c4ca4.png

При чтении дробей надо помнить:

числитель дроби – количественное числительное женского рода, отвечает на вопрос СКОЛЬКО? (одна, две, восемь и т.д.),

знаменатель – порядковое числительное, отвечает на вопрос КАКАЯ или КАКИХ?

(седьмая, сотая, двести тридцатая и т.д.)

hello_html_m73d3669b.gifНапример: hello_html_356c81d6.png- одна пятая; hello_html_m12ddb89e.png- две шестых.





  1. Виды дробей

hello_html_34895ac.png

На схеме показана структура дробей. Обыкновенные дроби делятся на правильные (числитель которых меньше знаменателя) и неправильные (числитель дроби больше

знаменателя).

Сhello_html_7c2e8cba.gifмешанные дроби – это дроби в виде записи целого числа и правильной дроби. Она понимается как сумма этого целого числа и дроби. hello_html_m2039f91.png

Смешанная дробь





Каждый может за версту

Видеть дробную черту.

Над чертой – числитель, знайте,

Под чертою – знаменатель.

Дробь такую, непременно

Надо звать обыкновенной

hello_html_m3ebb476c.jpghello_html_2f8cb0c8.jpg



  1. История дробей

    1. Из истории возникновения обыкновенных дробей.

Необходимость в дробных числах возникла у человека на весьма ранней стадии развития. Уже дележ добычи, состоявший из нескольких убитых животных, между участниками охоты, когда число животных оказывалось не кратным числу охотников, могло привести первобытного человека к понятию о дробном числе.

Наряду с необходимостью считать предметы у людей с древних времён появилась потребность измерять длину, площадь, объём, время и другие величины. Результат измерений не всегда удаётся выразить натуральным числом, приходится учитывать и части употребляемой меры. Исторически дроби возникли в процессе измерения.

Потребность в более точных измерениях привела к тому, что начальные единицы меры начали дробить на 2, 3 и более частей. Более мелкой единице меры, которую получали как следствие раздробления, давали индивидуальное название, и величины измеряли уже этой более мелкой единицей.

В связи с этой необходимой работой люди стали употреблять выражения: половина, треть, два с половиной шага. Откуда можно было сделать вывод, что дробные числа возникли как результат измерения величин. Народы прошли через многие варианты записи дробей, пока не пришли к современной записи.

    1. Дроби в Древнем Египте

hello_html_58d21ccd.png

В Древнем Египте архитектура достигла высокого развития. Для того, чтобы строить грандиозные пирамиды и храмы, чтобы вычислять длины, площади и объемы фигур, необходимо было знать арифметику. hello_html_2b5dfabb.png

Из расшифрованных сведений на папирусах ученые узнали, что египтяне 4 000 лет назад имели десятичную (но не позиционную) систему счисления, умели решать многие задачи, связанные с потребностями строительства, торговли и военного дела.

В Древнем Египте некоторые дроби имели свои особые названия – а именно, часто возникающие на практике 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/6 и 1/8. Кроме того, египтяне умели оперировать с так называемыми аликвотными дробями (от лат. aliquot – несколько) типа 1/n – их поэтому иногда также называют «египетскими»; эти дроби имели свое написание: вытянутый горизонтальный овальчик и под ним обозначение знаменателя. Что касается остальных дробей, то их следовало раскладывать в сумму египетских. Древние египтяне уже знали, как поделить 2 предмета на троих, для этого числа - 2/3 - у них был специальный значок. Это была единственная дробь в обиходе египетских писцов, у которой в числителе не стояла единица - все остальные дроби непременно имели в числителе единицу (так называемые основные дроби). Если египтянину нужно было использовать другие дроби, он представлял их в виде суммы основных дробей. Например, вместо 8/15 писали 1/3+1/5. Иногда это бывало удобно. Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Ещё сложнее обстояло с делением. Важную работу по исследованию египетских дробей провёл математик XIII века Фибоначчи.


3.3 Дроби в Древней Греции

Египетские дроби продолжались использоваться в древней Греции и впоследствии математиками всего мира до средних веков, несмотря на имеющиеся к ним замечания древних математиков (к примеру, Клавдий Птолемей говорил о неудобстве использования египетских дробей по сравнению с Вавилонской системой). Максим Плануд греческий монах, ученый, математик в 13 веке ввел название числителя и знаменателя

В Греции употреблялись наряду с единичными, «египетскими» дробями и общие обыкновенные


дроби. Среди разных записей употреблялась и такая: сверху знаменатель, под ним – числитель дроби. Например, hello_html_24aeb6f8.gif означало три пятых. Еще за 2-3 столетия до Евклида и Архимеда греки свободно владели арифметическими действиями с дробями.


3.4 Дроби в Индии.

Современную систему записи дробей создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель снизу, и не писали дробной черты. Зато вся дробь помещалась в прямоугольную рамку. Иногда использовалось и «трехэтажное» выражение с тремя числами в одной рамке; в зависимости от контекста это могло обозначать неправильную дробь (a + b/c) или деление целого числа a на дробь b/c. Правила действий над дробями почти не отличались от современных.

3.5 Дроби у арабов.

Записывать дроби как сейчас стали арабы. Средневековые арабы пользовались тремя системами записи дробей. Во-первых, на индийский манер записывая знаменатель под числителем; дробная черта появилась в конце XII – начале XIII в. Во-вторых, чиновники, землемеры, торговцы пользовались исчислением аликвотных дробей, похожим на египетское, при этом применялись дроби со знаменателями, не превышающими 10 (только для таких дробей арабский язык имеет специальные термины); часто использовались приближенные значения; арабские ученые работали над усовершенствованием этого исчисления. В-третьих, арабские ученые унаследовали вавилонско-греческую шестидесятеричную систему, в которой, как и греки, применяли алфавитную запись, распространив ее и на целые части.


3.6 Дроби в Вавилоне

Вавилоняне пользовались всего двумя цифрами. Вертикальная черточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежащих черточек – десять. Эти черточки у них получались в виде клиньев, потому что вавилоняне писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали.

В древнем Вавилоне предпочитали постоянный знаменатель, равный 60-ти. Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие и арабские математики и астрономы. Исследователи по-разному объясняют появление у вавилонян шестидесятеричной системы счисления. Скорее всего здесь учитывалось основание 60, которое кратно 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60, что значительно облегчает всякие расчеты.

Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной. А работать с обыкновенными дробями было уже совсем трудно. Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям.

3.7 Дроби в Древнем Китае


В Древнем Китае уже пользовались десятичной системой мер, обозначали дробь словами, используя меры длины чи: цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки. Дробь вида 2,135436 выглядела так: 2 чи, 1 цунь, 3 доли, 5 порядковых, 4 шерстинки, 3 тончайших, 6 паутинок. Так записывались дроби на протяжении двух веков, а в V веке китайский ученый Цзу-Чун-Чжи принял за единицу не чи, а чжан = 10 чи, тогда эта дробь выглядела так: 2 чжана, 1 чи, 3 цуня, 5 долей, 4 порядковых, 3 шерстинки, 6 тончайших, 0 паутинок.



3.8 Дроби в Древнем Риме

Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью - весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошел семь унций пути или прочел пять унций книги. При этом, конечно, речь шла не о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено 7/12 пути или прочтено 5/12 книги. А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.

Даже сейчас иногда говорят: "Он скрупулёзно изучил этот вопрос." Это значит, что вопрос изучен до конца, что не одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово "скрупулёзно" от римского названия 1/288 асса - "скрупулус". В ходу были и такие названия: "семис"- половина асса, "секстанс"- шестая его доля, "семиунция"- половина унции, т.е. 1/24 асса и т.д. Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было помнить для этих дробей таблицу сложения и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложении триенса (1/3 асса) и секстанса получается семис, а при умножении беса (2/3 асса) на сескунцию (2/3 унции, т.е.1/8 асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до нас.



3.9 Дроби на Руси

В русском языке слово "дробь" появилось лишь в VIII веке. Происходит слово "дробь" от слова "дробить, разбивать, ломать на части". У других народов название дроби также связано с глаголами "ломать", "разбивать", "раздроблять". В первых учебниках дроби назывались "ломанные числа". В старых руководствах находили следующие названия дробей на Руси:

hello_html_2b2ed72.gifполовина, полтина, hello_html_m137b52a5.gif– треть,

hello_html_m51a1c247.gifчеть, hello_html_38a088d0.gif– полтреть,

hello_html_68adb44d.gifполчеть, hello_html_722ce853.gif– полполтреть,

hello_html_6d30f19d.gifполполчеть, hello_html_2950bbaf.gif– полполполтреть (малая треть),

hello_html_m2934aee3.gifполполполчеть (малая четь), hello_html_57bf6a8.gif– пятина,

hello_html_m257de828.gifседьмина, hello_html_7da2e4b4.gif– десятина.

Древние математики 100/11 не считали дробью. Остаток от деления 1 фунт предлагается поменять на яйца, которых можно было купить 91 штуки. Если 91:11 то получится по 8 яиц и 3 яйца в остатке. Автор рекомендует отдать их тому, кто делил, или же поменять на соль, чтобы посолить яйца.

4. Десятичные дроби.

Уже несколько тысячелетий человечество пользуется дробными числами, а вот записывать их удобными десятичными знаками оно додумалось значительно позже.

Почему же люди перешли от обыкновенных дробей к десятичным? Да потому, что действия с ними более простые, особенно сложение и вычитание.

Появились десятичные дроби в трудах арабских математиков в Средние века и независимо от них в древнем Китае. Но и раньше, в древнем Вавилоне, использовали дроби такого же типа, только шестидесятеричные.

Позднее учёный Гартман Бейер (1563-1625) выпустил сочинение “Десятичная логистика”, где писал: “…я обратил внимание на то, что техники и ремесленники, когда измеряют какую-нибудь длину, то очень редко и лишь в исключительных случаях выражают её в целых числах одного наименования; обыкновенно им приходится или брать мелкие меры, или обращаться к дробям. Точно так же астрономы измеряют величины не только в градусах, но и в долях градуса, т.е. минутах, секундах и т.п. Их деление на 60 частей не так удобно, как деление на 10, на 100 частей и т.д., потому что в последнем случае гораздо легче складывать, вычитать и вообще производить арифметические действия; мне кажется, что десятичные доли, если бы ввести вместо шестидесятеричных, пригодились бы не только для астрономии, но и для всякого рода вычислений”.

Сегодня мы пользуемся десятичными дробями естественно и свободно. Однако то, что кажется естественным нам, служило настоящим камнем преткновения для учёных Средневековья. В Западной Европе 16 в. вместе с широко распространённой десятичной системой представления целых чисел в расчётах повсюду применялись шестидесятеричные дроби, восходящие ещё к древней традиции вавилонян. Понадобился светлый ум нидерландского математика Симона Стевина, чтобы привести запись и целых, и дробных чисел в единую систему. По-видимому, толчком создания десятичных дробей послужили составленные им таблицы сложных процентов. В 1585 г. он опубликовал книгу “Десятина”, в которой объяснил десятичные дроби.

С начала XVII века начинается интенсивное проникновение десятичных дробей в науку и практику. В Англии в качестве знака, отделяющего целую часть от дробной, была введена точка. Запятая, как и точка, в качестве разделительного знака была предложена в 1617 году математиком Непером.

Развитие промышленности и торговли, науки и техники требовали все более громоздких вычислений, которые с помощью десятичных дробей легче было выполнять. Широкое применение десятичные дроби получили в XIX веке после введения тесно связанной с ними метрической системы мер и весов. Например, в нашей стране в сельском хозяйстве и промышленности десятичные дроби и их частный вид – проценты – применяются намного чаще, чем обыкновенные дроби.



5.Дроби в музыке.

Пифагорейцы, много занимавшихся музыкой и обожествлявшие число, считали, что Земля имеет форму шара и находится в центре Вселенной: ведь нет никаких оснований, чтобы она была смещена или вытянута в какую-то одну сторону. Солнце же, Луна и 5 планет (Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн) движутся вокруг Земли. Расстояния от них до нашей планеты таковы, что они как бы составляют семиструнную арфу, и при их движении возникает прекрасная музыка – музыка сфер. Обычно люди не слышат её из-за суеты жизни, и лишь после смерти некоторые из них смогут насладиться ею. А Пифагор слышал её при жизни.

Его ученики – пифагорейцы, много занимавшиеся музыкой и обожествлявшие число, исследовали, насколько повышается тон струны, если её прижать посередине, или на четверть расстояния одного из концов, или на треть. Обнаружилось, что одновременное звучание двух струн приятно для слуха, если длины их относятся как 1:2, или 2:3, или 3:4, что соответствует музыкальным интервалам в октаву, квинту и кварту. Гармония оказалась тесно связанной с дробями, что подтверждало основную мысль пифагорейцев: «число правит миром»…

Так дроби сыграли определяющую роль в музыке. И сейчас в общепринятой нотой записи длинная нота – целая – делится на половинки (вдвое короче), четверти, восьмые, шестнадцатые и тридцать вторые.

Я учусь в музыкальной школе, и я знаю, что 6/8 – это три четверти, и что в одной половине восемь шестнадцатых. Разучивая новую пьесу, я вслух отсчитываю каждую ноту в такте («раз и, два и…») даже и не подозревая, что считает обыкновенные дроби. Таким образом, ритмический рисунок любого музыкального произведения, созданного европейской культурой, каким бы сложным он ни был, определяется двоичными дробями.

В процессе познания действительности математика играет все возрастающую роль. Сегодня нет такой области знаний, где в той или иной степени не использовались бы математические понятия и методы. Проблемы, решение которых раньше считалось невозможным, успешно решаются благодаря применению математики, тем самым расширяются возможности научного познания. Математика всегда была неотъемлемой и существеннейшей составной частью человеческой культуры, она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности.





6.Действия с дробями

hello_html_m7a17261.png

Сложение дробей 1/8 и 5/8 можно интерпретировать как следующее действие: на тарелке находится одна восьмая часть яблока, после чего на эту же тарелку кладут еще пять восьмых частей такого же яблока, в результате на тарелке оказывается сумма 1/8+5/8 яблока. Сложение дробей проводится по определенным правилам, а результатом сложения двух обыкновенных дробей является обыкновенная дробь (в частном случае она сократится до натурального числа). Дальнейшая детальная информация по теме собрана в статье -сложение дробей правила, примеры и решения

Сначала разберем сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Получить правило сложения дробей нам поможет следующий пример.

Пусть на тарелку положили три восьмых доли яблока и после этого еще две восьмых доли такого же яблока. Эти действия можно описать так: 3/8+2/8. В результате на тарелке оказалось 3+2=5 восьмых долей яблока, то есть, 5/8. Таким образом, сложение обыкновенных дробей 3/8 и 2/8 дает обыкновенную дробь 5/8.

Из рассмотренного примера можно сделать вывод, что сложение дробей с одинаковыми знаменателями дает дробь, числитель которой равен сумме числителей складываемых дробей, а знаменатель равен знаменателям исходных дробей.

Итак, мы получили правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями: при сложении дробей с одинаковыми знаменателями числители складываются, а знаменатель остается прежним.

Запишем это правило сложения дробей с помощью букв. Пусть нам нужно выполнить сложение обыкновенной дроби a/b и обыкновенной дроби c/b. Тогда, согласно правилу сложения дробей с одинаковыми знаменателями, справедливо равенство hello_html_64499c7b.png.

hello_html_17fc2060.png

Сложение дробей с разными знаменателями можно свести к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого достаточно складываемые дроби привести к общему знаменателю.

Исходя из этих соображений, получаем правило сложения дробей с разными знаменателями, которое содержит два шага:

  • во-первых, складываемые дроби приводятся к общему знаменателю (обычно, к наименьшему общему знаменателю);

  • во-вторых, выполняется сложение полученных дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим решения примеров, в которых выполняется сложение двух дробей с разными знаменателями.

hello_html_1c42b6ab.png


Вычитание дробей является действием, обратным к сложению. То есть, по одной известной дроби и известной сумме двух дробей находится неизвестная вторая дробь. Если говорить о вычитании обыкновенных дробей (без рассмотрения отрицательных дробей), то это действие возможно лишь тогда, когда вычитаемая обыкновенная дробь меньше уменьшаемой дроби. Продолжение смотрите в статье-вычитание дробей правила, примеры и решения

Для начала приведем пример, который позволит нам выяснить, как проводитсявычитание дробей с одинаковыми знаменателями.

Пусть на тарелке находилось пять восьмых долей яблока, то есть, 5/8 яблока, после чего две восьмых доли забрали. По смыслу вычитания (смотрите общее представление о вычитании), указанное действие описывается так: hello_html_m57d649fe.png. Понятно, что при этом на тарелке остается 5−2=3 восьмых доли яблока. То есть, hello_html_21ede683.png.

Рассмотренный пример иллюстрирует правило вычитания дробей с одинаковыми знаменателями: при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями из числителя уменьшаемого вычитается числитель вычитаемого, а знаменатель остается прежним.

Озвученное правило с помощью букв записывается так: hello_html_m6324da63.png. Эту формулу и будем использовать при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим примеры вычитания дробей с одинаковыми знаменателями.

Пример.

Выполните вычитание обыкновенной дроби 17/15 из обыкновенной дроби24/15.

Решение.

Знаменатели вычитаемых дробей равны. Числитель уменьшаемого равен 24, а числитель вычитаемого равен 17, их разность равна 7 (24−17=7 при необходимости смотрите вычитание натуральных чисел). Поэтому вычитание дробей с одинаковыми знаменателями 24/15 и 17/15 дает дробь 7/15.

Краткий вариант решения выглядит так: hello_html_m58d0b689.png.

Ответ:

hello_html_m7528670b.png.

При возможности нужно проводить сокращение дроби и (или) выделение целой части из неправильной дроби, которая получается при вычитании дробей с одинаковыми знаменателями.

Вычитание дробей с разными знаменателями сводится к вычитанию дробей с одинаковыми знаменателями. Для этого дроби с разными знаменателями достаточно привести к общему знаменателю.

Итак, чтобы провести вычитание дробей с разными знаменателями, надо:

  • привести дроби к общему знаменателю (обычно дроби приводят к наименьшему общему знаменателю);

  • вычесть полученные дроби с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим примеры вычитания дробей с разными знаменателями.

hello_html_201e9b67.png

hello_html_m283c2053.png


Умножение дробей можно рассматривать как действие, при котором находится дробь от дроби. Для пояснения приведем пример. Пусть у нас есть 1/6 часть яблока и нам нужно взять 2/3 части от нее. Нужная нам часть является результатом умножения дробей 1/6 и 2/3. Результатом умножения двух обыкновенных дробей является обыкновенная дробь (которая в частном случае равна натуральному числу). Дальше рекомендуем к изучению информацию статьи -умножение дробей правила, примеры и решения

Начнем с формулировки правила умножения обыкновенных дробей: умножение дроби на дробь дает дробь, числитель которой равен произведению числителей умножаемых дробей, а знаменатель равен произведению знаменателей.

То есть, умножению обыкновенных дробей a/b и c/d отвечает формула hello_html_m52140f17.png.

Приведем пример, иллюстрирующий правило умножения обыкновенных дробей. Рассмотрим квадрат со стороной 1 ед., при этом его площадь равна 1 ед2. Разделим этот квадрат на равные прямоугольники со сторонами 1/4 ед. и 1/8 ед., при этом исходный квадрат будет состоять из 4·8=32 прямоугольников, следовательно, площадь каждого прямоугольника составляет 1/32 долю площади исходного квадрата, то есть, она равна 1/32 ед2. Теперь закрасим часть исходного квадрата. Все наши действия отражает рисунок ниже.

hello_html_m34b64fb2.png

Стороны закрашенного прямоугольника равны 5/8 ед. и 3/4 ед., значит, его площадь равна произведению дробей 5/8 и 3/4, то есть, hello_html_m49ef1111.png ед2. Но закрашенный прямоугольник состоит из 15 «маленьких» прямоугольников, значит, его площадь равна 15/32 ед2. Следовательно, hello_html_116d3c92.png. Так как 5·3=15 и 8·4=32, то последнее равенство можно переписать как hello_html_705386a1.png, что подтверждает формулу умножения обыкновенных дробей вида hello_html_m52140f17.png.

Заметим, что с помощью озвученного правила умножения можно умножать иправильные и неправильные дроби, и дроби с одинаковыми знаменателями, и дроби с разными знаменателями.

Рассмотрим примеры умножения обыкновенных дробей.

hello_html_54fafa60.png

Обратным действием к умножению дробей является деление дробей. Оно заключается в нахождении дроби, на которую нужно умножить известную дробь чтобы получить известное произведение двух дробей. Продолжением материала является статья -деление дробей правила, примеры и решения .

Деление обыкновенной дроби на обыкновенную дробь

Известно, что деление является действием, обратным умножению (смотрите связь деления с умножением). То есть, деление предполагает нахождение неизвестного множителя, когда известно произведение и другой множитель. Этот же смысл деления сохраняется и при делении обыкновенных дробей.

Пусть нам нужно разделить обыкновенную дробь a/b на обыкновенную дробь c/d. Иными словами, нам нужно определить такое число, умножение которого на делитель c/d даст делимое a/b. Это число равно произведению hello_html_m1c1b99f4.png (d/c  число, обратное числу c/d). Действительно, свойства умножения позволяют нам записать следующие равенства hello_html_m35be0281.png, из которых следует, что hello_html_m1c1b99f4.pngесть частное от деления a/b на c/d.

Обобщив всю приведенную информацию, получаем правило деления обыкновенных дробей: чтобы разделить обыкновенную дробь a/b на дробь c/dнужно делимое умножить на число, обратное делителю.

С помощью букв озвученное правило умножения обыкновенных дробей записывается так: hello_html_m4f94f445.png.

Итак, правило деления обыкновенных дробей сводит деление к умножению. Таким образом, чтобы успешно выполнять деление дробей по этому правилу, надо уметь выполнять умножение обыкновенных дробей.

hello_html_m423d7d4f.png

hello_html_m7a945707.png


7.Использование долей и дробей в науке и экономике

Обычно в статистике и экономике используют доли в процентах%. Что это означает? Целое число берется за 100%, а доля выделяется как часть от 100%. Приведем примеры:


Структура воды на земном шаре.

На рисунке ниже мы видим, что доля воды на земном шаре составляет 75/100 = ¾= 75% всей земли, а именно 75%, а суша составляет 25/100=1/4 = 25% земного шара

hello_html_1f846367.png





Доля пресной воды стоставляет всего 3/100 , а доля соленой воды 97/100 или 97% всей воды на земле.

hello_html_7126118c.png

Структура и доли населения по категориям населенных пунктов:


hello_html_24ac1267.png

Из рисунка мы видим , что более ¼ (26,3%)= 26/100 это население городов-миллиоников.



Струкутура населения по половому признаку:

Динамика доли работающих женщин. На данном графике мы видим, что доля работающих мужчин с каждым годом сокращается, а доля работающих женщин увеличивается. Их уже более 60/100, то есть более 60% от 100%.

hello_html_m5d113287.jpg

Структура потребления человека:

hello_html_m6d664126.jpg

Из данного рисунка мы видим, что самое большое количество в рационе человека составляет мясо и колбаса. Они занимают 29,5/100 = 29,5% от всего объема продуктов . А на втором месте молоко и молочные продукты. Рассмотрим потребление молочных продуктов :

hello_html_m2674831d.png

Из данного рисунка видно, что самую большую долю из молочных продуктов занимает молоко. Это значит, что люди пьют 60/100 или 60% молока, а кисломолочные продукты и любимые йогурты составляют 25% = 25/100 = ¼ всего объема потребления молочных продуктов

Структура развития высоких технологий. Если раньше телефон использовали только для связи, то сейчас доля использования мобильной связи для интернета заняла уже 19% или 19/100 и скоро достигнет ¼ всей связи. Но лидером 71/100 продолжает оставаться голосовая связь.

hello_html_8294b53.png

Я представил несколько примеров, показывающих, на сколько важны доли и дроби для анализа в экономике и развитии наук и технологий.







8. Игры и задачи с дробями

Существует множество игр и задач, которые могут развивать и обучать детей быстрому счету, а также пониманию применения дробей.

Игра «Сложи дроби»

hello_html_11a58dfe.jpgСейчас в продаже можно купить готовые дроби для игры, вырезанные из фанеры, но не у всех есть такая возможность. А сделать эту игру не сложно. У меня самой эта игра осталась еще от старших детей. Этот вариант я сделала специально по просьбе одной мамочки, которой легче распечатать, чем купить. Вот для таких мамочек я и приготовила подарок – готовые для распечатывания дроби. Для чего и кому полезна эта игра?

Представление о дроби, как части целого, может сформироваться у малыша рано. Ведь в жизни он видит и половину яблока или даже четвертушку, дает откусить или отламывает половину конфеты, печенья, сухарика. На равные части можно разрезать пирог или круглый торт.

Разделить или раздробить целый круг оказалось удобным и для игры. А пользуясь в игре целым кругом и его частями, малыши приобретают и многие представления о дробях, об их соотношениях, хотя школа отодвигает почему-то их усвоение на 5–6 лет – к 3–4-му классу.

Предоставьте своему ребенку возможность уже в детстве познакомиться с понятиями дроби в легкой и непринужденной обстановке игры!

Как сделать игру

Документ PDF состоит из 12 страниц. На каждой странице по два кружка, разделенных на определенное количество частей. Каждая часть подписана. Для тех, у кого нет цветного принтера, в документе вы найдете и белые кружочки, разделенные на части и подписанные. Их можно наклеить на цветной картон и тоже получить замечательную и полезную игру.

Распечатайте документ с нужными вам страницами (печатайте без полей, чтобы не потерялась часть круга). Наклейте их на плотный картон, возможно даже в два слоя для большей плотности. Для работы я использую клей ПВА – он не оставляет грязных следов на работе. Высушите все заготовки в страницах плотной книги сутки или даже двое.

Затем вырежьте круги и разрежьте с помощью канцелярского ножа на части. Детали лучше обклеить  прозрачным скотчем для того, чтобы краска не стиралась.

Каждый кружок точно разделен на равные части:

1-й кружок остается целым;

2-й кружок делится на 2 части по диаметру;

3-й – на 3 части по радиусам;

4-й – на 4 части и т. д. до 12 частей.

hello_html_2e3ceccc.jpg

Для укладки дробей нужна прочная квадратная коробка с крышкой, куда бы помещались все дроби, уложенные в целые кружки, вроде показанной на рисунке.

hello_html_m49d0a9d8.png

Описание игры

Представление о дроби, как части целого, может сформироваться у малыша рано. Ведь в жизни он видит и половину яблока или даже четвертушку, дает откусить или отламывает половину конфеты, печенья, сухарика. На равные части можно разрезать пирог или круглый торт.

Разделить или раздробить целый круг оказалось удобным и для игры. А пользуясь в игре целым кругом и его частями, малыши приобретают и многие представления о дробях, об их соотношениях, хотя школа отодвигает почему-то их усвоение на 5–6 лет – к 3–4-му классу.

 

 Как сделать  игру

 

 Для игры надо найти или вырезать из картона, пластика, фанеры или подобных материалов 12 одинаковых кружков диаметром примерно

200 мм, толщиною 1–2 мм. Кружки окрасить с одной стороны в 12 разных цветов, чтобы они легко различались. Краски берите технические – нитрокраски или масляные. Можно, конечно, ограничиться и оклейкой кружков цветной бумагой, но тогда они быстро изнашиваются.

Каждый кружок точно разметить и разделить на равные части:

1-й кружок остается целым;

2-й кружок делится на 2 части по диаметру;

3-й – на 3 части по радиусам;

4-й – на 4 части и т. д. до 12 частей, как показано на рис. 55.

На обратной стороне целого кружка напишите крупно цифру 1, а на частях соответственно 1/2, 1/3, 1/4 и т.д. до 1/12.

Для укладки дробей нужна прочная квадратная коробка с крышкой, куда бы помещались все дроби, уложенные в целые кружки, вроде показанной на рис. 54. Такую коробку нетрудно согнуть из тонкой жести умелому папе. Проследите только, чтобы крышку ребенок мог открывать сам.

 

hello_html_m49d0a9d8.png

Рис. 54

 

hello_html_d6ee3e6.png

Рис. 55

 


Как играть

 

 Как и в других играх, это зависит от возраста и уровня развития ребенка, т. е. его сил, умения считать, сообразительности. Если малыш не видел, как вы изготавливали игру, то покажите ему закрытую коробку и, конечно, заинтригуйте его вопросами: “Что там спрятано в коробке?” и “Сумеешь ли ты ее открыть?” Можно даже потрясти ее и послушать, что в ней там шумит.

Хорошо, если малыш сумел сам обнаружить, что здесь крышка откроется не так, как у картонных коробок, а сдвигается в сторону, как в школьном пенале. Если же вам пришлось помогать и показывать, как надо открывать крышку, – значит, ребенок не приобрел что-то важное, вы не позволили сделать ему одно микрооткрытие.

В этой игре нет такого четкого чередования заданий, как в других играх; и каждый раз все 78 частей надо высыпать из коробки на стол или на пол, а потом, в конце, снова укладывать их кружками в коробку. Поэтому задача № 1 для малыша будет складываться из нескольких частей:

а) открыть крышку коробки;

б) высыпать все дроби на стол или на пол;

в) перевернуть их окрашенной стороной вверх, так как при высыпании их из коробки многие могут упасть тыльной стороной кверху; г) разложить дроби кучками так, чтобы собрать вместе одинаково окрашенные (подобно задаче в “Сложи квадрат”);

д) сложить из каждой кучки кружок одного цвета;

е) уложить после игры дроби в коробку и закрыть крышку.

В первом задании кружки можно складывать в каком угодно порядке, важно, чтобы выходил кружок, а части плотно прилегали друг к другу.

Если старшие чувствуют, что 78 частей сразу – это слишком много и малыш не справится с укладкой всех, тогда уложить в коробку надо лишь несколько первых, например 1–5-й, где только 15 кусочков, а в следующие дни постепенно увеличивать их число.

Задача № 2. Как называются части кружков?

Для маленьких эта задача может растянуться на дни, недели и даже месяцы. И не надо ее форсировать, только обрадуйтесь, если какие-то он назовет сразу: “розовая половинка” или “оранжевая четвертушка”.

Для умеющих считать до 100, т. е. для 3–4-летнего развитого малыша, эта задача решается в один присест.

Названия частям давайте не только свои, семейные, бытовые, но и математически правильные: “одна вторая”, “одна треть”, “одна четверть”, “одна пятая” и т. д.

Задача № 3. Уложите в ряд по одной части всех цветов: а) по порядку: первой положите самую большую часть, затем поменьше и меньше, и так до самой маленькой, чтобы каждая следующая была меньше предыдущих; б) уложите рядом такие же части, но стопкой.

Внизу  положите  самую  большую,  а  вверху  –  самую  маленькую. Складывать, чтобы стопка была красивой (например, “лесенка” или “ступеньки” с одной стороны, с двух сторон и т.п.).

Задача № 4. Какая часть больше: одна пятая или одна четвертая? как это проверить? (Наложить меньшую на большую.)

Задачи, какая часть больше или меньше, можно давать самые разные и до тех пор, пока вам не станет ясно, что малыш схватил принцип определения: “чем на большее число частей делится круг, тем меньше части”.

Как записать, что 1/4 больше 1/5 математически? (1/4 > 1/5). Как записать, что 1/5 меньше1/4 математически? (1/5 < 1/4).

Задача № 5. Сколько четвертых частей помещается на одной половине? Сколько шестых, восьмых, десятых, двенадцатых частей?

Во сколько раз одна вторая больше четвертой, шестой, восьмой, десятой, двенадцатой?

Задача № 6. Какие части и сколько их поместится точно на одной трети (шестых, девятых, двенадцатых)?

Во сколько раз шестая (девятая, двенадцатая) меньше одной трети?

Задача № 7. Можно ли из частей разного цвета сложить целый круг (двухцветный, трехцветный, четырехцветный)?

Какие части для этого надо взять?

Задача № 8. Сколько целых разноцветных кругов можно сложить из игры “Дроби”? (Каково наибольшее их число?)

Задача № 9. Можно ли сложить 12 разноцветных кругов из всех 78 частей?

Придумайте новые задачи из игры “Дроби”.


Другие задачи с дробями


hello_html_m9a0650d.gif

hello_html_6437e552.gif

hello_html_56d91190.gif





hello_html_427cf330.gif

hello_html_m7f68297d.gif

hello_html_c970000.gif

hello_html_m392c8c58.gif

Игра : Дробный мозгодром

hello_html_5b0a670c.gif

hello_html_48bef0c5.gif

hello_html_m48c2193a.gif



hello_html_m1a1c6922.gif

hello_html_m8a22608.gif

Эти дроби… Ох, эти дроби!

Жизнь, как дробь, и точна, а - мимо,

В ней делитель упрям, неудобен,

А делимое – неделимо.



Памятка-приложение

hello_html_2044a423.png





Литература

  1. М.Я.Выгодский «Арифметика и алгебра в Древнем мире».

  2. Г.И.Глейзер «История математики в школе».

  3. И.Я.Депман «История арифметики».

  4. Виленкин Н.Я. « Из истории дробей»

  5. Фридман Л.М. «Изучаем математику».

  6. Федеральный государственный образовательный стандарт начального общего образования. – М., Просвещение, 2010.

  7. Г.Вилейтнер История математики от Декарта до середины 19 столетия (перевод А.П.Юшкевича). – Москва, Изд-во Государственное Физико-математической литературы, 1960.

  8. И.Я.Депман История арифметики, – Москва, Просвещение, 2-е издание, 1965.

  9. Детская энциклопедия. – М.,1965.

  10. Н.Б.Истомина Математика: учебник для 4 класса общеобразовательных учреждений. В двух частях. Часть 1. – Смоленск: Ассоциация XXI век, 2012.

  11. Н.Б.Истомина Математика: рабочая тетрадь к учебнику для 4 класса общеобразовательных учреждений. В 2 ч. Ч.1. – Смоленск: Ассоциация XXI век, 2013.

  12. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика. – М.: Аванта +, 1998.

  13. www.referatwork.ru

  14. http://storyof.ru/chisla/istoriya-poyavleniya-matematicheskoj-drobi/

  15. http://freecode.pspo.perm.ru/436/work/ss/ist_ch.html/

  16. http://revolution.allbest.ru/mathematics/

  17. http://www.researcher.ru/methodics/teor/











Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Автор
Дата добавления 17.07.2016
Раздел Математика
Подраздел Научные работы
Просмотров149
Номер материала ДБ-143658
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх