Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Информационный лист на тему: "Процесс и его моделирование в математике"

Информационный лист на тему: "Процесс и его моделирование в математике"

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Процесс и его моделирование в математике

1.Что изучает математический анализ?

В основе математического анализа лежит идея движения, изменения процесса. Он предлагает набор некоторых стандартных математических моделей, с помощью которых можно описать различные процессы, разнообразные связи между меняющимися величинами, переменными.

1. Дискретная модель — последовательность.

Стандартный пример — банковский вклад.
При начальном вкладе А
0, годовом проценте роста вклада р и при условии капитализации вклада (в конце годового срока накопленный процент добавляется к вкладу и последующее начисление производится с увеличенной суммы) изменения вклада происходят один раз в год. Моделью этого процесса является числовая последовательность А0, A1 А2, где Ап — сумма вклада через n лет (n — натуральное число).

2. Непрерывная модель — функция, заданная формулой.

Стандартный пример — закон движения материальной точки под действием силы тяжести. По этому закону положение г точки, движущейся в пространстве под действием силы тяжести в момент времени t, может быть описано формулой:hello_html_1674725f.png

где г0 — вектор начального положения точки (при t = 0);

v0 — вектор начальной скорости;
g — некоторый постоянный вектор (ускорение свободного падения).

В этой модели время — переменная t — меняется непрерывно в течение некоторого промежутка. Модель позволяет вычислить положение точки в любой момент времени.

3. Модель в форме зависимости — уравнение.

Стандартный пример — второй закон Ньютона. Масса тела m, действующая на него сила F и его ускорение а связаны зависимостью F = mа. Если нам явно заданы выражения для определения силы и массы, то нахождение ускорения является задачей решения алгебраического уравнения. Если при тех же данных требуется найти закон движения, необходимо не только определить ускорение, но и знать новый вид связи между положением точки r и ее ускорением - а в момент времени t. Моделирование этого вида связи происходит с помощью новой, не алгебраической, операции дифференцирования, — а само уравнение становится дифференциальным уравнением.

4. Интегральная модель — плотность.
Стандартный пример — масса тела с переменной плотностью. В простейших случаях
масса тела
m пропорциональна его объему V: m = ρV, где ρ — некоторое постоянное число (плотность). Так, для ртути ρ = 13 600 кг/м3 и банка ртути объемом

1 л = 1 дм3 = 10 3 м3 имеет массу m= 13,6 кг. Во многих случаях плотность вещества может меняться при переходе от одной точки к другой. Тогда удается записать лишь приближенное равенство mρV, которое верно только вблизи рассматриваемой точки и при переходе от одной точки А данного тела к другой коэффициент ρ будет меняться по закону: ρ = ρ(А). Исследование модели такого рода требует еще одной новой операции — интегрирования.

Таким образом, математический анализ создает модели для описания различных процессов, исследование которых требует применения наряду с известными методами и новых операций — дифференцирования и интегрирования.

Прогрессия, как простая математическая модель.

Арифметические и геометрические прогрессии являются самыми простыми и наиболее часто встречающимися примерами числовых последовательностей.

Арифметическая прогрессия — последовательность, задаваемая рекуррентной формулой: где d- разность прогрессии.hello_html_m7d08d69d.png

hello_html_m32f7ec35.png

Сумма n-членов арифметической прогрессии


Геометрическая прогрессия — последовательность, задаваемая рекуррентной формулой , где q-знаменатель прогрессии.
hello_html_m4e8a2d4d.pnghello_html_1f877920.png

Сумма n-членов геометрической прогрессии

Функция, как математическая модель.

Линейные функции. Линейной функцией называется функция, значения которой могут быть вычислены по формуле: у = kx + b.hello_html_m76e748b4.png

Область определения. Линейная функция, заданная формулой у = kx + b, имеет областью определения множество R всех действительных чисел.

Обращение в нуль. Линейная функция при k0 имеет единственный нуль:hello_html_963d5b1.png

Промежутки постоянного знака. Линейная функция

у = kx + b, k ≠ 0, сохраняет постоянный знак на каждом из промежутков в зависимости от khello_html_7bfb9353.png



Векторные уравнения движения, как математическая модель.

Векторное уравнение движения. С движением точки по некоторой кривой связан ряд векторных величин: г — радиус-вектор; характеризующий положение точки; v — скорость точки; а — ускорение.

Зафиксируем некоторую точку отсчета О и будем положение движущейся точки в момент времени t задавать радиусом-вектором относительно О. Если в моменты времени t1 t2, t3 точка занимает положения A1 А2, А3, то ее радиус векторы: hello_html_m12c68374.pnghello_html_m486ee1f0.png

hello_html_m7a35bf5d.png


При решении задач от векторных уравнений переходят к координатным. Примером может служить уравнение равноускоренного движения (свободного падения) материальной точки: hello_html_m851fa72.png


Вопросы:

1) Какие виды математических моделей существуют?

2)К каким видам математических моделей относятся: прогрессия, функция, уравнение?

Общая информация

Номер материала: ДВ-548720

Похожие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»