Последовательности и их свойства. Предел последовательностей
Определение 1. Функцию вида у = f(x), xN называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают: у=f(n) или у1, у2, у3, …, уn,...
Способы задания
Словесный - задания последовательности описано словами, без указания каких-то формул
Аналитический - указывают формулу ее n-го члена
Рекурентный- задают правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности через предшествующий,
Пример.
уn =n3 последовательность вида
1, 8, 27, 64, ... ,n3, ...
уn =С. последовательность вида
С, С, С, .... С,...
Она называется постоянной
е
2. Свойства числовых последовательностей
а) Последовательность (уn) называют ограниченной
сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.
То есть, число М такое, что выполняется неравенство
уnМ. Число М называют верхней границей последовательности.
Например: последовательность –1, –8, –27, –64, ... , –n3 , ... ограничена сверху.
В качестве верхней границы можно взять число М= –1
б) Последовательность (уn) называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа. То есть, число т такое, что выполняется неравенство уnт. Число т называют нижней границей последовательности.
Например: последовательность 0, 1, 2, 3, 4, ..., (n–1), ... ограничена снизу.
В качестве нижней границы можно взять число т=0 .
в)Если последовательность ограничена и сверху, и снизу, то ее называют ограниченной.
Например: –1, , , , ... , , ...Эта последовательность ограничена и сверху, и снизу. В качестве верхней границы можно взять число М=0, в качестве нижней границы – число m= –1.
г) Последовательность (уn) называют возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего. Например: 1, 3, 5, 7, … , 2n–1, ... – возрастающая последовательность.
д) Последовательность (уn) называют убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего Например: 1, , , ... , , ...— убывающая последовательность
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.