инструкции к практическим работам по дисциплине

Методические указания по проведению практического занятия № 19

по дисциплине «Элементы высшей математики

Тема: «Табличное интегрирование»

Цель: учиться находить неопределенные интегралы, используя таблицу интегралов.

1)      Найти следующие интегралы:    а)  ,         б)

Решение.

а) Используя свойства неопределенного интеграла и формулу интегрирования степенной функции имеем:

б) Так как:  то получаем:

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Найти следующие интегралы:

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1.      Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2.      Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1)      Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2)      Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.

3)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

5)      Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

6)      Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия № 24

по дисциплине «Элементы высшей математики»

Тема: «Нахождение суммы ряда. Исследование рядов на сходимость»

Цель: учиться исследовать ряд на сходимость, находить сумму ряда.

Обеспечение: методические указания.

1) Найдите суммы следующих рядов:  а)      б)

Решение.

а)     

б)       Полученный ряд - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем  , сумма которой вычисляется по формуле:  . Следовательно, сумма ряда:     

2) Сходятся или расходятся следующие ряды:  

а)                                     б)  

Решение.

а) Воспользуемся необходимым условием сходимости ряда и найдем :     Т.к. полученный предел отличен от 0, можно сделать вывод, что  данный ряд расходится                              

б)   Воспользуемся необходимым условием сходимости ряда и найдем :     Т.к. полученный предел отличен от 0, можно сделать вывод, что  данный ряд расходится   

3) Используя признак Даламбера исследуйте на сходимость следующие ряды:  

а)                      б)

Решение. Используя признак Даламбера, получаем:

а)  , а   Þ  ряд сходится                

б)  а следовательно ряд сходится                 

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Найдите суммы следующих рядов:        

2. Сходится или расходится следующий ряд: 

3. Используя признак Даламбера, исследуйте на сходимость следующий ряд:

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1.      Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2.      Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1)      Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

3)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4)      Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

5)      Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия №28

по дисциплине «Элементы высшей математики»

Тема: «Вычисление частных производных функции двух переменных. Нахождение экстремума функции двух переменных»

Цель: учиться вычислять частные производные функции нескольких переменных; учиться находить экстремум функции нескольких переменных.

Обеспечение: методические указания

1) Найдите частные производные функции:    

а)             б)

Решение.

а)

б) 

2) Вычислить частные производные второго порядка для функции :    

Решение.

Сначала найдем частные производные первого порядка по х и по у:

Затем найдем производные второго порядка: ;   

3) Найти экстремум функции    

Решение. Найдем частные производные  

Найдем точки возможного экстремума. Для этого решим систему уравнений

Решением этой системы является пара чисел  Следовательно,  -  точка возможного экстремума.

 Теперь найдем вторые частные производные и ∆: , , .

Так как ∆=3>0 и >0, то в точке  данная функция имеет минимум.

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Найдите частные производные функции

2. Вычислить частные производные второго порядка для функции:   

3. Найти экстремум функции:

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1.      Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2.      Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1)      Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

3)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4)      Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

5)      Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия №33

по дисциплине «Элементы высшей математики»

Тема:  «Различные формы записи комплексных чисел. Операции над комплексными числами».

Цель: учиться представлять комплексные числа в алгебраической и геометрической формах; учиться производить алгебраические операции над комплексными числами..

Обеспечение: методические указания

1) Найти модуль и главное значение аргумента комплексных чисел:  а)  б) z =2-2i                   

Решение.

2) Выполните действия:      

3) Для данных комплексных чисел запишите сопряженное и противоположное числа:    

4) Выполните действия:    

5) Представьте в тригонометрической форме следующие числа:  а) z =3+3i    b) z=-2+2i

Решение:

6) Представьте в алгебраической форме следующее число: 

Решение:   

7) Выполните действия над комплексными числами в тригонометрической форме:

8) Решите уравнение:   а) х² - 2х + 5 = 0                       б) х² = -16           

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Найти модуль и главное значение аргумента комплексных чисел:         

2. Найдите сумму, разность, произведение и частное данных комплексных чисел:

3. Представьте в тригонометрической форме следующие числа:                   

4. Представьте в алгебраической форме следующее число:

5. Выполните действия над комплексными числами в тригонометрической форме: 

6. Решите уравнение:   

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1.      Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2.      Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1)      Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

3)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4)      Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

5)      Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия № 18

по дисциплине «Элементы высшей математики

Тема: «Исследование функций с помощью производной»

Цель: учиться исследовать функцию с помощью первой и второй производной, по проведенному исследованию строить график функции.

Обеспечение: методические указания

1)      Найти промежутки монотонности функции :

Решение.

Находим производную: . Находим критические точки: . Составим таблицу:

Таким образом, данная функция в промежутках (-∞ ; 0) и (4 ; ∞) возрастает, а в промежутке (0 ; 4) убывает.

2)      Исследовать функцию на экстремум с помощью первой производной :

Решение:

Находим производную: . Полагая, получим единственную критическую точку х=2. Далее составим таблицу:

Таким образом, данная функция в точке (2 ; -4) имеет минимум.

3)      Исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной:

Решение:

Находим производную: . Решая уравнение , получим единственную критическую точку х=0. Найдем вторую производную:  и исследуем ее знак в точке х=0: . Т.к. вторая производная в критической точке х=0 положительна, то при х=0 функция имеет минимум: fmin=f(0)=-4

4)      Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном промежутке:

Решение:

Находим производную: . Находим критические точки: . Найденная критическая точка х=2 принадлежит  данному отрезку [0; 3]. Следовательно, найдем значение функции в данной точке и на концах отрезка и полученные результаты сравним:   f(0)=3,   f(2)=-1,    f(3)=0. Итак, наименьшее значение функции равно -1 и достигается в точке х=2 , а наибольшее значение функции равно 3 и достигается оно в точке х=0.

5)      Найти точки перегиба функции: :

Решение:

Находим производную:    . Полагая получим единственную критическую точку х=2 . Далее составим таблицу:

Таким образом, данная функция в точке (2 ; 16) имеет точку перегиба.

6)      Исследовать функцию     и построить ее график:

Решение:

Исследование функции проведем по общему плану:

1.    Область определения функции: Д(х)= (-∞; 3) U (3; ∞).

2.    Функция ни четная (т.к. не выполняется: f(-x) = f(x)), ни нечетная (т.к. не выполняется условие f(-x) = -f(x)), ни периодическая.

3.    Найдем производную: . Производная обращается в нуль в точках х=0 и х=6, и терпит разрыв, т.е. не существует, в точке х=3.  Это критические точки. Промежутки монотонности найдем позже, в сводной таблице.

4.    Найдем вторую производную: . Вторая производная нуль нигде не обращается  в нуль и терпит разрыв при  х=3.  

5.    Найдем асимптоты графика функции:  х=3 – вертикальная асимптота, т.к.

Найдем наклонную асимптоту, для этого найдем: 

. Следовательно, прямая у=х+3 является наклонной асимптотой.

6.    Найдем значение функции в точке х=0:   f(0)=0 Þ   график проходит через начало координат. В критических точках:   f(6)=12

7.    Составляем таблицу:

8.    Строим график:

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Найти промежутки монотонности функции:

2. Исследовать функцию на экстремум с помощью первой производной:

3. Исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной:   

4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном промежутке:

5. Найти точки перегиба функции:

6. Исследовать следующие функции и построить их графики:

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1.      Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2.      Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1)      Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

3)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4)      Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

5)      Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия №20

по дисциплине «Элементы высшей математики

Тема: «Вычисление неопределенного интеграла»

Цель: учиться вычислять неопределенный интеграл методом подстановки, методом интегрирования по частям, путем представления подынтегральной функции в виде суммы простейших дробей.

Обеспечение: методические указания

1)      Вычислить следующие интегралы методом подстановки: а)  ,   б)

Решение.

а) Полагая , имеем , а следовательно выразим:   :

б) Полагая , имеем , а следовательно выразим:   :

2)      Вычислить следующие интегралы методом интегрирования по частям:  .:

Решение.

Положим   u = x , dυ = sin x dx , тогда  du = dx,  , т.е. υ = - cos x.

Используя формулу интегрирования по частям:  ,    получим: 

3)      Вычислить интеграл:  

Решение.

Разложим знаменатель на множители:

Представим данную дробь в виде суммы простейших дробей:

Найдем коэффициенты А, В и С, для этого найдем дополнительные множители дробей в правой части равенства и приравняем числители полученных дробей:

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений:

   , решая которую находим коэффициенты:  .

Таким образом получаем:

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:

2. Вычислить следующие интегралы методом интегрирования по частям:    

3. Вычислить интеграл: 

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1.      Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2.      Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1)      Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2)      Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.

3)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

5)      Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

6)      Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия №12

по дисциплине «Элементы высшей математики

 Тема: «Вычисление пределов последовательностей»

Цель: учиться работать с числовыми последовательностями, заданными формулой общего члена, заданными реккурентным способом; учиться вычислять предел последовательности.

Обеспечение: методические указания

1)   Вычислить первые шесть членов следующей последовательности :

      Решение. Непосредственной подстановкой значения n в формулу получаем:

2)   Найдите первые пять членов последовательности а_n , если:  :

      Решение. Непосредственной подстановкой значения n в формулу получаем: ;

3)   Вычислите пределы последовательностей:        а)  ;                б)

      Решение: Числители и знаменатели данных дробей не имеют предела, т.к. это неограниченные последовательности, следовательно для вычисления пределов применим следующий прием:

а) и числитель и знаменатель дроби разделим на n. В результате получим:

     ;

б) и числитель и знаменатель дроби разделим на n² . В результате получим:

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Вычислить пять первых членов следующей последовательности:     

2. Найдите первые пять членов последовательности а_n , если:

3. Вычислите предел последовательности:      

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1.      Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2.      Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1)      Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2)      Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.

3)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

5)      Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

6)      Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия №25

по дисциплине «Элементы высшей математики»

Тема: «Нахождение радиуса и области сходимости степенного ряда»

Цель: учиться находить радиус и область сходимости степенных рядов.

Обеспечение: методические указания

Пример 1.  Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение:  Сделаем замену: u = x + 3. Тогда ряд принимает вид             .

Вычислим радиус сходимости:

Соответственно, интервал сходимости равен (− ∞; ∞).

Пример 2.  Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение: Вычислим радиус сходимости:

Рассмотрим сходимость в конечных точках. Если x = −1, то мы имеем расходящийся ряд            

Если x = 1, то ряд            также расходится.

Следовательно, исходный ряд               сходится на открытом интервале (− 1; 1).

Пример 3.  Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение: Здесь                  и                      . Радиус сходимости будет равен

В точке x = −1 мы имеем сходящийся ряд                  .

При x = 1 получаем расходящийся гармонический ряд              .

Таким образом, заданный ряд сходится на полуоткрытом интервале [− 1; 1).

Задания для самостоятельного выполнения:

Найти радиус и интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на границах интервала:

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1.      Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2.      Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1)      Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2)      Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.

3)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

5)      Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

6)      Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия №1

по дисциплине «Элементы высшей математики

Тема: «Операции над матрицами»

Цель: учиться выполнять алгебраические операции над матрицами.

Обеспечение: методические указания.

1) Сложить две матрицы А и В, если

      Решение

      Матрицы А и В квадратные матрицы второго порядка. Складывая их соответствующие элементы, получаем:

      Решение

      Матрицы А и В прямоугольные матрицы размера 2x3. Складывая их соответствующие элементы, получаем:

2) Умножить матрицу А на число k = 3

      Решение.

      Умножая каждый элемент матрицы А на 3, получим

3) Найти линейную комбинацию 3А-2В матриц:

      Решение.

      Сначала находим произведение матрицы А  на 3, затем произведение матрицы В на 2:  

      Теперь найдем разность полученных матриц

 4)Найти произведения матриц

      Решение.

      Умножая каждый элемент первой строки матрицы А на соответствующий элемент первого столбца матрицы В и складывая полученные произведения получим элемент с₁₁ матрицы С и т.д., (например, чтобы получить элемент с₂₃  матрицы С необходимо каждый элемент второй строки матрицы А умножить на соответствующий элемент третьего столбца матрицы В и полученные произведения сложить). В результате получим:

5) Вычислить

      Решение

Задания для самостоятельного выполнения:

1.      Даны матрицы   А  и  В и число k

а) найти сумму матриц  А+В;

б) умножить матрицу А на число k;

в) найти произведение матриц А·В;

г) вычислить: А²+2В.

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1.      Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2.      Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1)      Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

3)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4)      Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

5)      Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия №2

по дисциплине «Элементы высшей математики

Тема: «Вычисление определителей»

Цель: учиться вычислять определители второго порядка; учиться вычислять определители третьего порядка по правилу треугольников и используя теорему о разложении определителя по элементам строки или столбца; учиться вычислять миноры и алгебраические дополнения.

Обеспечение: методические указания

1) Вычислить определитель второго порядка

      Решение

2) Вычислить определитель третьего порядка двумя способами.

      Решение.

      1. По правилу треугольников (правилу Сарруса):

      2. По теореме о разложении определителя по элементам строки или столбца.

3) Записать все миноры определителя

      Решение.

4) Вычислить алгебраические дополнения матрицы

      Решение.

Задания для самостоятельного выполнения:

1.      Вычислить определители:

2.      Дана матрица А.

а) записать все миноры определителя матрицы;

б) вычислить алгебраические дополнения для указанных элементов  матрицы А.

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1.      Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2.      Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1)      Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2)      Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.

3)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

5)      Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

6)      Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия №16,17

по дисциплине «Элементы высшей математики

Тема: «Вычисление производных сложных и обратных функций. Вычисление дифференциала функции»

Цель: учиться вычислять производные сложных и обратных функций; учиться находить дифференциал функции; учиться вычислять производные высших порядков.

Обеспечение: методические указания

1)      Найти производные сложных функций:

      Решение.

а)

б)

в

д)

2)   Найти дифференциал функции: 

      Решение.

Дифференциал функции будем искать по формуле:

Найдем             и      получим: 

3)   Найти производную третьего порядка для функции :        

      Решение:

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Найдите  производные следующих сложных функций:       

2. Найдите дифференциал функций:

3. Найдите производную второго порядка :      

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1.      Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2.      Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1)      Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2)      Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.

3)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

5)      Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

6)      Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия №27

по дисциплине «Элементы высшей математики»

Тема: «Предел и непрерывность функции двух независимых переменных»

Цель: учиться исследовать на непрерывность функцию двух переменных; учиться находить предел функции нескольких переменных»

Обеспечение: методические указания

1) Найдите полное и частные приращения функции:        

Решение.

2) Исследовать на непрерывность функцию:                          

Решение.

Дадим аргументу х приращение Δх, а  аргументу у приращение Δу и найдем приращение функции Δz: 

Найдем предел Δz при Δх→0 и Δу→0: . Так как   то, следовательно, функция  непрерывна на множестве всех упорядоченных пар числе (х; у).

 3) Найти предел функции:      а)                 

Решение.

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Найдите полное и частные приращения функции:       

2. Исследовать на непрерывность функцию:                         

3. Найти предел функции:                   

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1.      Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2.      Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1)      Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

3)      Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4)      Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

5)      Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия № 15

по дисциплине «Элементы высшей математики

Тема: «Вычисление производных»

Цель: учиться вычислять производную функции, пользуясь определением производной; учиться вычислять производную функции используя правила дифференцирования; учиться применять геометрический и физический смысл производной.

Обеспечение: методические указания

1)   Найти производную функции, пользуясь непосредственно определением производной  :

      Решение.

Находим производную по общему правилу:

1. у + Δу = 2(х + Δх)² - 3(х + Δх) = 2х² + 4хΔх + 2Δх² – 3х -3Δх

                     у = 2х² - 3х

2.        Δу = 4хΔх + 2Δх² -3Δх
3. 
4. 

2)   Определить тангенс угла наклона касательной к кривой  в точке  :  

      Решение.

Найдем производную данной функции:

Подставим в полученную формулу вместо х данное значение и получим: , это и есть тангенс угла наклона касательной к кривой в данной точке.

3)   Вычислить производные следующих функций:        

а)  ;                б)                         в)

      Решение:

Для нахождения производных воспользуемся основными правилами дифференцирования и таблицей производных:

а)

б)

в)

4)  Найти скорость и ускорение  в момент времени  t = 2   для точки, движущейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением:   

   Решение:

Найдем скорость движения точки в любой момент времени t:    

Вычислим скорость движения точки в момент времени t = 4:   

Найдем ускорение движения точки в любой момент времени t:  

Вычислим скорость движения точки в момент времени t = 4:    

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Найти производную функции, пользуясь непосредственно определением производной