Инструкции к практическим работам по дисциплине

Перечень практических работ

1. Действия над матрицами.

2. Вычисление определителей.

3. Вычисление обратной матрицы. Решение матричных уравнений.

4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

5. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.

6. Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера.

7. Операции над векторами. Решение задач векторным методом.

8. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

9. Уравнение прямой на плоскости

10. Кривые второго порядка: окружность, эллипс.

11. Кривые второго порядка: гипербола, парабола.

12. Вычисление пределов последовательностей.

13. Вычисление пределов функций.

14. Исследование функций на непрерывность.

15. Вычисление производных.

16. Вычисление производных сложных и обратных функций.

17. Вычисление дифференциала функции.

18. Исследование функций с помощью производной.

19. Табличное интегрирование.

20. Вычисление неопределенного интеграла.

21. Вычисление определенного интеграла.

22. Приложения определенного интеграла.

23. Вычисление несобственных интегралов.

24. Нахождение суммы ряда. Исследование рядов на сходимость.

25. Нахождение радиуса и области сходимости степенного ряда.

26. Разложение элементарных функций в ряд.

27. Предел и непрерывность функции 2-х независимых переменных.

28. Вычисление частных производных функции двух переменных. Нахождение экстремума функции двух переменных.

29. Вычисление двойных интегралов. Приложения двойного интеграла.

30. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

31. Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка.

32. Решение дифференциальных уравнений 2-го порядка.

33. Различные формы записи комплексных чисел. Операции над комплексными числами.

34. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

35. Интерполяция. Численное дифференцирование и интегрирование. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Методические указания по проведению практического занятия №29

по дисциплине «Элементы высшей математики»

Тема: «Вычисление двойных интегралов. Приложения двойного интеграла»

Цель: учиться вычислять двойной интеграл.

Обеспечение: методические указания

1) Вычислить двойной интеграл

Решение. В соответствии с известной формулой:

Вычисляем внутренний интеграл, считая y постоянным:

Вычисляем внешний интеграл, для чего полученную функцию интегрируем по y в пределах от 1 до 2:

Следовательно,

Задания для самостоятельного выполнения:

Вариант 1.

1. Вычислить , если область D ограничена линиями x=0, x=y², y=2.

2. Вычислить

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: x=y²-2y, x+y=0.

Вариант 2.

1. Вычислить , если область D ограничена линиями y=x, x=0, y=1, y=2.

2. Вычислить

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: y=2-x, y²=4x+4,.

Вариант 3.

1. Вычислить , если область D ограничена линиями x=0, x=y, y=1.

2. Вычислить

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: x=y²-3y, x+y=0.

Вариант 4.

1. Вычислить , если область D ограничена линиями y=x, x=0, y=1, y=2.

2. Вычислить

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: y=2-5x, y²=4x+4,.

Вариант 5.

1. Вычислить , если область D ограничена линиями x=0, x=y², y=2.

2. Вычислить

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: x=y²-y, x+y+1=0.

Вариант 6.

1. Вычислить , если область D ограничена линиями y=x, x=0, y=1, y=2.

2. Вычислить

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: y=4+x, y²=4x+2,.

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия №10

по дисциплине «Элементы высшей математики

Тема: «Кривые второго порядка: окружность, эллипс»

Цель: учиться составлять уравнения окружности и эллипса, учиться работать с уравнениями эллипса и окружности для нахождения неизвестных величин.

Обеспечение: методические указания

1) Написать уравнение окружности радиуса R = 7 с центром в начале координат:

Решение.

Непосредственной подстановкой значения радиуса в каноническое уравнение окружности

х² + у² = R² получим: х² + у² = 7² или х² + у² = 49.

2) Написать уравнение окружности радиуса R = 9 с центром в точке С(3;-6):

Решение.

Непосредственной подстановкой значения радиуса и значение координат точки С в общее уравнение окружности (х-а)² + (у-b)² = R² получим: (х-3)² + (у-(-6))² = 9² или (х-3)² + (у+6)² =81.

3) Найти центр и радиус окружности: (х+3)² + (у-5)² =100.

Решение:

Сравнивая данное уравнение с общим уравнением окружности (х-а)² + (у-b)² = R², видим что

а = -3, в =5, R =10. Следовательно центр окружности находится в точке С(-3;5), а радиус R=10.

4) Составить уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 6, а большая ось равна 10.

Решение:

Из условия имеем 2а = 10  а = 5 и 2с = 6  с =3. По формуле b² = a² –c² находим b² = 5² – 3² = 25 –9 =16. Подставив значения а² и b² в уравнение , получим

5) Дан эллипс 36х²+100у²=3600. Найдите координаты вершин и фокусов эллипса, длины его полуосей и фокальное расстояние, эксцентриситет эллипса.

Решение:

Разделив и левую и правую часть исходного уравнения на 3600 получим следующее уравнение эллипса: , из которого имеем а² =100  а=10 и b² =36  b=6. Из формулы b²=a² –c² выразим с²= a² - b²  . Следовательно получили: большая полуось а =10, малая полуось b = 6, а фокальное расстояние равно 2с= 2·8 = 16. Запишем координаты вершин: А(10; 0), В(0; 6), С(-10; 0), Д(0; -6), координаты фокусов: F₁(-8; 0) , F₂(8; 0). Эксцентриситет эллипса вычисляется по формуле: и следовательно получаем: .

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Составьте уравнение окружности:

Вариант № 1

R= 4 с центром в точке О(0;0)

Вариант № 4

R= 7/5 с центром в точке A(-1;3/5)

Вариант № 2

R= 4/3 с центром в начале координат

Вариант № 5

R= 5,5 с центром в точке A(-1;2)

Вариант № 3

R= 5 с центром в точке A(-4;2)

Вариант № 6

R= 6 с центром в точке A(0;-2)

2. Найдите центр и радиус окружности:

Вариант № 1

(х-5)²+(у-3)²=49

Вариант № 4

х²+у²=7

Вариант № 2

(х+7)²+(у+1/2)²=64

Вариант № 5

(х-7)²+(у+4,5)²=81

Вариант № 3

х²+у²=36

Вариант № 6

(х-3)²+(у+6)²=24

3. Составить уравнение окружности, центр которой совпадает с началом координат, если окружность касается прямой

Вариант № 1

х = 2

Вариант № 4

х – 4 = 0

Вариант № 2

х = 3

Вариант № 5

х

Вариант № 3

х = 1

Вариант № 6

х+6=0

4. Напишите каноническое уравнение эллипса, если:

Вариант № 1

малая полуось равна 4, фокусное расстояние равно 6

Вариант № 4

полуоси равны 3 и 4

Вариант № 2

полуоси равны 7 и 3

Вариант № 5

большая полуось равна 6, фокусное расстояние равно 8

Вариант № 3

большая полуось равна 6, фокусное расстояние равно 5

Вариант № 6

полуоси равны а=5, b=8

5. Определите полуоси, координаты вершин и фокусов эллипса:

Вариант № 1

х²+9у²=4

Вариант № 4

0,25х²+у²=1

Вариант № 2

4х²+9у²=1

Вариант № 5

4х²+9у²=36

Вариант № 3

9х²+16у²=144

Вариант № 6

0,25х²+у²=4

6. Для данного эллипса найдите:

Вариант № 1

25х²+49у²=1225, найти большую полуось и координаты фокусов

Вариант № 2

, найти малую полуось и эксцентриситет

Вариант № 3

25х²+49у²=1225, найти малую полуось и фокальное расстояние

Вариант № 4

, найти координаты вершин и эксцентриситет

Вариант № 5

, найти координаты фокусов и вершин

Вариант № 6

, найти фокальное расстояние и эксцентриситет

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия №31

по дисциплине «Элементы высшей математики»

Тема: «Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка»

Цель: учиться решать однородные дифференциальные уравнения, линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Обеспечение: методические указания

1) Найти общее решение уравнения

Решение. Данное уравнение является линейным: здесь

Положим у = иг и продифференцируем это равенство по х:

Подставив теперь выражения для в исходное уравнение, получим

или

Так как одну из вспомогательных функций и или z можно выбрать произвольно, то в качестве и возьмем одно из частных решений уравнения

Разделив в этом уравнении переменные и интегрируя, получим:

произвольную постоянную принимаем равной нулю, так как находим одно из частных решений.

Подставим теперь выражение для и в уравнение (*), тогда по лучим

, или

Отсюда находим

Зная и и z, получаем общее решение данного уравнения:

2) Найти частное решение уравнения

Решение. Разделив все члены данного уравнения на cos х, придем к уравнению

которое является линейным . Положим y=uz; тогда

Подставив выражение для

или

Для отыскания u получаем уравнение

из которого следует

Подставляя выражение для и в уравнение (**), приходим к

т.е

Следовательно, общее решение исходного уравнения:

Используя начальные условия, получаем

Откуда С=0. Таким образом, искомое частное решение имеет вид

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Найти общее решение уравнения:

Вариант № 1

а)

Вариант № 2

а)

Вариант № 3

а)

Вариант № 4

а)

Вариант № 5

а)

Вариант № 6

а)

2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию

Вариант № 1

а) y=e при x=1

Вариант № 2

а) y=0 при x=0

Вариант № 3

а) ; y=1 при x=2

Вариант № 4

а) y=3 при x=0

Вариант № 5

а) y=e при x=1

Вариант № 6

а) y=0 при x=0

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия №32

по дисциплине «Элементы высшей математики»

Тема: «Решение дифференциальных уравнений 2-го порядка»

Цель: учиться решать однородные неполные дифференциальные уравнения второго порядка, линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Обеспечение: методические указания

1) Найти общее решение неполного дифференциального уравнения второго порядка .

Решение. Полагаем ; тогда данное уравнение можно записать в виде , т.е. .

Разделим переменные: . Проинтегрируем получившееся равенство:

.

Следовательно, . Разделим переменные, получим: . Проинтегрируем полученное равенство:

- общее решение.

2) Найти частное решение неполного дифференциального уравнения второго порядка , если , при .

Решение. Полагаем ; тогда данное уравнение можно записать в виде .

Разделим переменные: . Проинтегрируем полученное равенство:

(*)

Следовательно, . Разделим переменные, получим: .

Проинтегрируем полученное равенство:

(**).

Найдем частное решение уравнения. Подставляя в равенства (*) и (**) начальные данные, получим систему уравнений:

, откуда С₁ = 20, С₂ = 2. Таким образом, частное решение имеет вид: .

3) Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка .

Решение: Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

Корни характеристического уравнения действительные и различные, поэтому общее решение данного дифференциального уравнения запишется в виде:

.

4) Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка , если и при.

Решение: Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

Корни характеристического уравнения действительные и различные, поэтому общее решение данного дифференциального уравнения запишется в виде:

.

Найдем значения С₁ и С₂. Для этого подставим в общее решение значения и . Получим: .

Продифференцировав общее решение и подставив в полученное выражение значения и , имеем:

Таким образом, искомое частное решение имеет вид: .

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Найти общее решение неполного дифференциального уравнения второго порядка:

Вариант № 1

Вариант № 2

Вариант № 3

Вариант № 4

Вариант № 5

Вариант № 6

2. Найти частное решение неполного дифференциального уравнения второго порядка:

Вариант № 1

, , при

Вариант № 2

, , при

Вариант № 3

, , при

Вариант № 4

, , при

Вариант № 5

, , при

Вариант № 6

, , при

3. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка

Вариант № 1

Вариант № 2

Вариант № 3

Вариант № 4

Вариант № 5

Вариант № 6

4) Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка:

Вариант № 1

; , при

Вариант № 2

; , при

Вариант № 3

; , при

Вариант № 4

; , при

Вариант № 5

; , при

Вариант № 6

; , при

Замечание:

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка строится в зависимости от корней характеристического уравнения. Возможны три случая:

Корни

Общее решение

Корни и - действительные и различные

Корни и - действительные и равные

Корни и - комплексно сопряженные :

,

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия № 26

по дисциплине «Элементы высшей математики»

Тема: «Разложение элементарных функций в ряд»

Цель: учиться раскладывать функцию в ряд Тейлора.

Обеспечение: методические указания.

1) Разложить функцию f(x) = e^x по формуле Тейлора до третьего порядка, записать ряд Маклорена:

Решение.

Найдем производные: и подставим в формулу:

.

В результате получим:

Запишем ряд Маклорена для случая, когда х₀ =0 :

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Разложить по формуле Маклорена в точке х₀ = 0 следующую функцию:

Вариант № 1

у = cos х до 5 порядка

Вариант № 4

у = е^3х до 3 порядка

Вариант № 2

у = sin х до 5 порядка.

Вариант № 5

у = sin х до 4 порядка

Вариант № 3

у = е^2х до 3 порядка

Вариант № 6

у = cos х до 4 порядка

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Методические указания по проведению практического занятия №14

по дисциплине «Элементы высшей математики

Тема: «Исследование функций на непрерывность»

Цель: учиться исследовать функции на непрерывность.

Обеспечение: методические указания

1). Исследовать на непрерывность функцию: :

Решение: Дадим аргументу х приращение Δх и найдем приращение функции Δу:

у + Δу = 2·(х + Δх)² + 1 = 2х² + 4х Δх +2 Δх² +1

у = 2·х² + 1

Δу = 4х Δх +2 Δх²

Найдем предел Δу при Δх→0: . Равенство справедливо при любом конечном значении х, следовательно функция непрерывна при любом значении х.

2)Исследовать на непрерывность функцию

Решение

Функции , и непрерывны на всей числовой прямой, поэтому данная функция может иметь разрывы только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, т. е. в точках и .

Исследуем функцию на непрерывность в этих точках, для чего найдем соответствующие односторонние пределы и значения функции.

В точке имеем:

(так как при ),

(так как при ),

(так как при ).

Таким образом, в этой точке все три числа равны:

т. е. функция непрерывна в точке .

Проверим точку :

,

,

.

Левый предел не равен правому:

,

значит точка является точкой разрыва первого рода

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Исследовать на непрерывность функцию:

Вариант № 1

а)

б)

Вариант № 4

а)

б)

Вариант № 2

а)

б)

Вариант № 5

а)

б)

Вариант № 3

а)

б)

Вариант № 6

а)

б)

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия № 18

по дисциплине «Элементы высшей математики

Тема: «Исследование функций с помощью производной»

Цель: учиться исследовать функцию с помощью первой и второй производной, по проведенному исследованию строить график функции.

Обеспечение: методические указания

1. Найти промежутки монотонности функции :

Решение.

Находим производную: . Находим критические точки: . Составим таблицу:

x

(-∞ ; 0)

0

(0 ; 4)

4

(4 ; ∞)

f '(x)

+

0

-

0

+

f(x)

f(0)=4

f(4)=-28

Таким образом, данная функция в промежутках (-∞ ; 0) и (4 ; ∞) возрастает, а в промежутке (0 ; 4) убывает.

2. Исследовать функцию на экстремум с помощью первой производной :

Решение:

Находим производную: . Полагая, получим единственную критическую точку х=2. Далее составим таблицу:

x

(-∞ ; 2)

2

(2 ; ∞)

f '(x)

-

0

+

f(x)

min

fmin=f(2)=-4

Таким образом, данная функция в точке (2 ; -4) имеет минимум.

3. Исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной:

Решение:

Находим производную: . Решая уравнение , получим единственную критическую точку х=0. Найдем вторую производную: и исследуем ее знак в точке х=0: . Т.к. вторая производная в критической точке х=0 положительна, то при х=0 функция имеет минимум: fmin=f(0)=-4

4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном промежутке:

Решение:

Находим производную: . Находим критические точки: . Найденная критическая точка х=2 принадлежит данному отрезку [0; 3]. Следовательно, найдем значение функции в данной точке и на концах отрезка и полученные результаты сравним: f(0)=3, f(2)=-1, f(3)=0. Итак, наименьшее значение функции равно -1 и достигается в точке х=2 , а наибольшее значение функции равно 3 и достигается оно в точке х=0.

5. Найти точки перегиба функции: :

Решение:

Находим производную: . Полагая получим единственную критическую точку х=2 . Далее составим таблицу:

x

(-∞ ; 2)

2

(2 ; ∞)

+

0

-

f(x)

точка перегиба

f(2)=16

Таким образом, данная функция в точке (2 ; 16) имеет точку перегиба.

6. Исследовать функцию и построить ее график:

Решение:

Исследование функции проведем по общему плану:

1. Область определения функции: Д(х)= (-∞; 3) U (3; ∞).

2. Функция ни четная (т.к. не выполняется: f(-x) = f(x)), ни нечетная (т.к. не выполняется условие f(-x) = -f(x)), ни периодическая.

3. Найдем производную: . Производная обращается в нуль в точках х=0 и х=6, и терпит разрыв, т.е. не существует, в точке х=3. Это критические точки. Промежутки монотонности найдем позже, в сводной таблице.

4. Найдем вторую производную: . Вторая производная нуль нигде не обращается в нуль и терпит разрыв при х=3.

5. Найдем асимптоты графика функции: х=3 – вертикальная асимптота, т.к.

Найдем наклонную асимптоту, для этого найдем:

. Следовательно, прямая у=х+3 является наклонной асимптотой.

6. Найдем значение функции в точке х=0: f(0)=0  график проходит через начало координат. В критических точках: f(6)=12

7. Составляем таблицу:

   х

   (-∞ ; 0)

   0

   (0 ; 3)

   3

   (3 ;6)

   6

   (6 ; ∞)

   f '(x)

   +

   0

   -

   не существует

   -

   0

   +

   f(x)

   
   

   max

   f_max=f(0)=0

   
   

   
   

   
   

   min

   f_min=f(6)=12

   
   

   

   -

   -

   -

   не существует

   +

   +

   +

   f(x)

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

   
   

8. Строим график:

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Найти промежутки монотонности функции:

Вариант № 1

Вариант № 4

Вариант № 2

Вариант № 5

Вариант № 3

Вариант № 6

2. Исследовать функцию на экстремум с помощью первой производной:

Вариант № 1

Вариант № 4

Вариант № 2

Вариант № 5

Вариант № 3

Вариант № 6

3. Исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной:

Вариант № 1

Вариант № 4

Вариант № 2

Вариант № 5

Вариант № 3

Вариант № 6

4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном промежутке:

Вариант № 1

Вариант № 4

Вариант № 2

Вариант № 5

Вариант № 3

Вариант № 6

5. Найти точки перегиба функции:

Вариант № 1

Вариант № 4

Вариант № 2

Вариант № 5

Вариант № 3

Вариант № 6

6. Исследовать следующие функции и построить их графики:

Вариант № 1

Вариант № 4

Вариант № 2

Вариант № 5

Вариант № 3

Вариант № 6

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия №20

по дисциплине «Элементы высшей математики

Тема: «Вычисление неопределенного интеграла»

Цель: учиться вычислять неопределенный интеграл методом подстановки, методом интегрирования по частям, путем представления подынтегральной функции в виде суммы простейших дробей.

Обеспечение: методические указания

1. Вычислить следующие интегралы методом подстановки: а) , б)

Решение.

а) Полагая , имеем , а следовательно выразим: :

б) Полагая , имеем , а следовательно выразим: :

2. Вычислить следующие интегралы методом интегрирования по частям: .:

Решение.

Положим u = x , dυ = sin x dx , тогда du = dx, , т.е. υ = - cos x.

Используя формулу интегрирования по частям: , получим:

3. Вычислить интеграл:

Решение.

Разложим знаменатель на множители:

Представим данную дробь в виде суммы простейших дробей:

Найдем коэффициенты А, В и С, для этого найдем дополнительные множители дробей в правой части равенства и приравняем числители полученных дробей:

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений:

, решая которую находим коэффициенты: .

Таким образом получаем:

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:

Вариант № 1

а)

б)

Вариант № 2

а)

б)

Вариант № 3

а)

б)

Вариант № 4

а)

б)

Вариант № 5

а)

б)

Вариант № 6

а)

б)

2. Вычислить следующие интегралы методом интегрирования по частям:

Вариант № 1

Вариант № 4

Вариант № 2

Вариант № 5

Вариант № 3

Вариант № 6

3. Вычислить интеграл:

Вариант № 1

Вариант № 4

Вариант № 2

Вариант № 5

Вариант № 3

Вариант № 6

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2. Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

5. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

6. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия № 11

по дисциплине «Элементы высшей математики

Тема: «Кривые второго порядка: гипербола, парабола»

Цель: учиться составлять уравнения гиперболы и параболы; учится работать с уравнениями гиперболы и параболы для нахождения неизвестных величин.

Обеспечение: методические указания

1) Составить уравнение гиперболы, если ее действительная ось равна 16, а мнимая ось равна 8.

Решение:

Для составления уравнения гиперболы необходимо знать параметры а и b. Из условия имеем: 2а=16  а =8 и 2b=8  b = 4. Подставив эти значения в уравнении гиперболы получим:

2) Дано уравнение гиперболы . Найдите координаты ее вершин и фокусов, уравнения асимптот и эксцентриситет.

Решение:

Из уравнения гиперболы имеем: а² =81  а=9 и b² =144  b=12. Следовательно координаты действительных вершин: А(-9; 0) и В(9; 0), а координаты мнимых вершин: С(0; -12) и Д(0; 12).

Из формулы b²= c² – a² выразим с²= b²+ a²  , тогда получим координаты фокусов F₁(-15; 0) , F₂(15; 0). Уравнения асимптот имеют вид , подставляя наши значения а и b получим : . Эксцентриситет гиперболы вычисляется по формуле: и следовательно получаем: .

3) Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее директрисой служит прямая х = - 4.

Решение:

Расстояние от директрисы до начала координат равно ; следовательно: . Уравнение параболы имеет вид: у²₌ 2рх. Подставив в это уравнение значение параметра р получим: у²=16х.

4) Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично оси ординат и проходит через точку А(4; 2).

Решение:

Уравнение данной параболы имеет вид: х²=2ру (т.к. парабола расположена в верхней полуплоскости). Подставив в это уравнение координаты точки А, найдем р: 16=2р·2  р=4. Подставляя значение параметра р в уравнение х²=2ру, окончательно получим: х²=2·4у х²=8у.

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Напишите каноническое уравнение гиперболы, если:

   Вариант № 1

   действительная полуось равна 8, эксцентриситет равен 5/4

   Вариант № 2

   фокальное расстояние равно 6, мнимая ось равна 4

   Вариант № 3

   действительная полуось равна 8, мнимая полуось равна 13

   Вариант № 4

   фокальное расстояние равно 6, эксцентриситет равен 1,5

   Вариант № 5

   действительная полуось равна 7, мнимая полуось равна 4

   Вариант № 6

   фокальное расстояние равно 10, мнимая полуось равна 4

2. Для данной гиперболы найдите:

   Вариант № 1

   9х²-16у²- 144 = 0, найти полуоси

   Вариант № 2

   9х²-16у²- 144 = 0, найти координаты фокусов

   Вариант № 3

   9х²-16у²- 144 = 0, найти координаты вершин

   Вариант № 4

   9х²-16у²- 144 = 0, найти уравнения асимптот

   Вариант № 5

   9х²-4у² = 36, найти уравнения асимптот

   Вариант № 6

   9х²-4у² = 36, найти координаты фокусов

3. Напишите уравнение параболы, если известно:

   Вариант № 1

   координаты фокуса (4; 0)

   Вариант № 2

   парабола расположена в правой полуплоскости и проходит через точку (5; 3)

   Вариант № 3

   уравнение директрисы: х - 6 = 0

   Вариант № 4

   координаты фокуса (3; 0)

   Вариант № 5

   парабола расположена в левой полуплоскости и проходит через точку (2; 4)

   Вариант № 6

   уравнение директрисы: х = 4

4. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если:

Вариант № 1

парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 3

Вариант № 2

парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 6

Вариант № 3

парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси абсцисс, а ее фокальный параметр равен 3

Вариант № 4

парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси абсцисс, а ее фокальный параметр равен 5

Вариант № 5

парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси абсцисс, а ее фокальный параметр равен 7

Вариант № 6

парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси абсцисс, а ее фокальный параметр равен 2

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия № 19

по дисциплине «Элементы высшей математики

Тема: «Табличное интегрирование»

Цель: учиться находить неопределенные интегралы, используя таблицу интегралов.

1. Найти следующие интегралы: а) , б)

Решение.

а) Используя свойства неопределенного интеграла и формулу интегрирования степенной функции имеем:

б) Так как: то получаем:

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Найти следующие интегралы:

Вариант № 1

а)

б)

в)

г)

Вариант № 2

а)

б)

в)

г)

Вариант № 3

а)

б)

в)

г)

Вариант № 4

а)

б)

в)

г)

Вариант № 5

а)

б)

в)

г)

Вариант № 6

а)

б)

в)

г)

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2. Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

5. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

6. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия № 24

по дисциплине «Элементы высшей математики»

Тема: «Нахождение суммы ряда. Исследование рядов на сходимость»

Цель: учиться исследовать ряд на сходимость, находить сумму ряда.

Обеспечение: методические указания.

1) Найдите суммы следующих рядов: а) б)

Решение.

а)

б) Полученный ряд - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем , сумма которой вычисляется по формуле: . Следовательно, сумма ряда:

2) Сходятся или расходятся следующие ряды:

а) б)

Решение.

а) Воспользуемся необходимым условием сходимости ряда и найдем : Т.к. полученный предел отличен от 0, можно сделать вывод, что данный ряд расходится

б) Воспользуемся необходимым условием сходимости ряда и найдем : Т.к. полученный предел отличен от 0, можно сделать вывод, что данный ряд расходится

3) Используя признак Даламбера исследуйте на сходимость следующие ряды:

а) б)

Решение. Используя признак Даламбера, получаем:

а) , а  ряд сходится

б) а следовательно ряд сходится

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Найдите суммы следующих рядов:

Вариант № 1

а)

б)

Вариант № 4

а) б)

Вариант № 2

а)

б)

Вариант № 5

а) б)

Вариант № 3

а)

б)

Вариант № 6

а) б)

2. Сходится или расходится следующий ряд:

Вариант № 1

Вариант № 4

Вариант № 2

Вариант № 5

Вариант № 3

Вариант № 6

3. Используя признак Даламбера, исследуйте на сходимость следующий ряд:

Вариант № 1

Вариант № 4

Вариант № 2

Вариант № 5

Вариант № 3

Вариант № 6

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия №28

по дисциплине «Элементы высшей математики»

Тема: «Вычисление частных производных функции двух переменных. Нахождение экстремума функции двух переменных»

Цель: учиться вычислять частные производные функции нескольких переменных; учиться находить экстремум функции нескольких переменных.

Обеспечение: методические указания

1) Найдите частные производные функции:

а) б)

Решение.

а)

б)

Методические указания по проведению практического занятия №33

по дисциплине «Элементы высшей математики»

Тема: «Различные формы записи комплексных чисел. Операции над комплексными числами».

Цель: учиться представлять комплексные числа в алгебраической и геометрической формах; учиться производить алгебраические операции над комплексными числами..

Обеспечение: методические указания

1) Найти модуль и главное значение аргумента комплексных чисел: а)б) z =2-2i

Решение.

а)

а = 1, b = 1 ( I четверть )

б) z =2-2i

а = 2, b = -2 ( IV четверть )

2) Выполните действия:

3) Для данных комплексных чисел запишите сопряженное и противоположное числа:

Данное число

Сопряженное число

Противоположное число

z = 3 + i

-z = -3 - i

z = 1 - 5i

-z = -1 + 5i

z = -7+ i

-z = 7 - i

4) Выполните действия:

5) Представьте в тригонометрической форме следующие числа: а) z =3+3i b) z=-2+2i

Решение:

а)

а = 3, b = 3 ( I четверть )

б)

а = -2, b = ( II четверть )

6) Представьте в алгебраической форме следующее число:

Решение:

7) Выполните действия над комплексными числами в тригонометрической форме:

8) Решите уравнение: а) х² - 2х + 5 = 0 б) х² = -16

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Найти модуль и главное значение аргумента комплексных чисел:

Вариант № 1

Вариант № 4

Вариант № 2

Вариант № 5

Вариант № 3

Вариант № 6

2. Найдите сумму, разность, произведение и частное данных комплексных чисел:

Вариант № 1

Вариант № 4

Вариант № 2

Вариант № 5

Вариант № 3

Вариант № 6

3. Представьте в тригонометрической форме следующие числа:

Вариант № 1

Вариант № 4

Вариант № 2

Вариант № 5

Вариант № 3

Вариант № 6

4. Представьте в алгебраической форме следующее число:

Вариант № 1

Вариант № 4

Вариант № 2

Вариант № 5

Вариант № 3

Вариант № 6

5. Выполните действия над комплексными числами в тригонометрической форме:

Вариант № 1

Вариант № 4

Вариант № 2

Вариант № 5

Вариант № 3

Вариант № 6

6. Решите уравнение:

Вариант № 1

х² - 8х + 20 = 0

Вариант № 4

х² = -64

Вариант № 2

х² = -81

Вариант № 5

х² - 8х + 25 = 0

Вариант № 3

х² - 6х + 10 = 0

Вариант № 6

х² - 6х + 25 = 0

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия №12

по дисциплине «Элементы высшей математики

Тема: «Вычисление пределов последовательностей»

Цель: учиться работать с числовыми последовательностями, заданными формулой общего члена, заданными реккурентным способом; учиться вычислять предел последовательности.

Обеспечение: методические указания

1) Вычислить первые шесть членов следующей последовательности :

      Решение. Непосредственной подстановкой значения n в формулу получаем:

2) Найдите первые пять членов последовательности а_n , если: :

      Решение. Непосредственной подстановкой значения n в формулу получаем: ;

3) Вычислите пределы последовательностей: а) ; б)

Решение: Числители и знаменатели данных дробей не имеют предела, т.к. это неограниченные последовательности, следовательно для вычисления пределов применим следующий прием:

а) и числитель и знаменатель дроби разделим на n. В результате получим:

;

б) и числитель и знаменатель дроби разделим на n² . В результате получим:

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Вычислить пять первых членов следующей последовательности:

   Вариант № 1

   

   Вариант № 4

   

   Вариант № 2

   

   Вариант № 5

   

   Вариант № 3

   

   Вариант № 6

   

2. Найдите первые пять членов последовательности а_n , если:

   Вариант № 1

   

   Вариант № 4

   

   Вариант № 2

   

   Вариант № 5

   

   Вариант № 3

   

   Вариант № 6

   

3. Вычислите предел последовательности:

Вариант № 1

Вариант № 4

Вариант № 2

Вариант № 5

Вариант № 3

Вариант № 6

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2. Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

5. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

6. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия №25

по дисциплине «Элементы высшей математики»

Тема: «Нахождение радиуса и области сходимости степенного ряда»

Цель: учиться находить радиус и область сходимости степенных рядов.

Обеспечение: методические указания

Пример 1. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение: Сделаем замену: u = x + 3. Тогда ряд принимает вид .

Вычислим радиус сходимости:

Соответственно, интервал сходимости равен (− ∞; ∞).

Пример 2. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение: Вычислим радиус сходимости:

Рассмотрим сходимость в конечных точках. Если x = −1, то мы имеем расходящийся ряд

Если x = 1, то ряд также расходится.

Следовательно, исходный ряд сходится на открытом интервале (− 1; 1).

Пример 3. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда

Решение: Здесь и . Радиус сходимости будет равен

В точке x = −1 мы имеем сходящийся ряд .

При x = 1 получаем расходящийся гармонический ряд .

Таким образом, заданный ряд сходится на полуоткрытом интервале [− 1; 1).

Задания для самостоятельного выполнения:

Найти радиус и интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на границах интервала:

Вариант № 1

а)

б)

Вариант № 2

а)

б)

Вариант № 3

а)

б)

Вариант № 4

а)

б)

Вариант № 5

а)

б)

Вариант № 6

а)

б)

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2. Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

5. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

6. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия №16,17

по дисциплине «Элементы высшей математики

Тема: «Вычисление производных сложных и обратных функций. Вычисление дифференциала функции»

Цель: учиться вычислять производные сложных и обратных функций; учиться находить дифференциал функции; учиться вычислять производные высших порядков.

Обеспечение: методические указания

1. Найти производные сложных функций:

а)

б)

в

г

д

      Решение.

а)

б)

в

д)

2) Найти дифференциал функции:

      Решение.

Дифференциал функции будем искать по формуле:

Найдем и получим:

3) Найти производную третьего порядка для функции :

Решение:

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Найдите производные следующих сложных функций:

Вариант № 1

а) у =ln ( х²+2)

б)

в)

г)

Вариант № 2

а)

б)

в)

г)

Вариант № 3

а)

б)

в)

г)

Вариант № 4

а)

б)

в)

г)

Вариант № 5

а)

б)

в)

г)

Вариант № 6

а)

б)

в)

г)

2. Найдите дифференциал функций:

Вариант № 1

Вариант № 2

Вариант № 3

Вариант № 4

Вариант № 5

Вариант № 6

3. Найдите производную второго порядка :

Вариант № 1

Вариант № 2

Вариант № 3

Вариант № 4

Вариант № 5

Вариант № 6

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2. Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

5. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

6. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия №27

по дисциплине «Элементы высшей математики»

Тема: «Предел и непрерывность функции двух независимых переменных»

Цель: учиться исследовать на непрерывность функцию двух переменных; учиться находить предел функции нескольких переменных»

Обеспечение: методические указания

1) Найдите полное и частные приращения функции:

Решение.

2) Исследовать на непрерывность функцию:

Решение.

Дадим аргументу х приращение Δх, а аргументу у приращение Δу и найдем приращение функции Δz:

z + Δz = (х + Δх)³ + 3(y+Δy) = х³ +3х Δх² +3 x² Δх + Δх³+ 3y +3 Δy

z = х³ +3y

Δz = 3х Δх² +3 x² Δх + Δх³+3 Δy

Найдем предел Δz при Δх→0 и Δу→0: . Так как то, следовательно, функция непрерывна на множестве всех упорядоченных пар числе (х; у).

3) Найти предел функции: а)

Решение.

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Найдите полное и частные приращения функции:

Вариант № 1

Вариант № 4

Вариант № 2

Вариант № 5

Вариант № 3

Вариант № 6

2. Исследовать на непрерывность функцию:

Вариант № 1

Вариант № 4

Вариант № 2

Вариант № 5

Вариант № 3

Вариант № 6

3. Найти предел функции:

Вариант № 1

Вариант № 4

Вариант № 2

Вариант № 5

Вариант № 3

Вариант № 6

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия № 15

по дисциплине «Элементы высшей математики

Тема: «Вычисление производных»

Цель: учиться вычислять производную функции, пользуясь определением производной; учиться вычислять производную функции используя правила дифференцирования; учиться применять геометрический и физический смысл производной.

Обеспечение: методические указания

1) Найти производную функции, пользуясь непосредственно определением производной :

      Решение.

Находим производную по общему правилу:

1. у + Δу = 2(х + Δх)² - 3(х + Δх) = 2х² + 4хΔх + 2Δх² – 3х -3Δх

у = 2х² - 3х

2. Δу = 4хΔх + 2Δх² -3Δх

3. 

4. 

2) Определить тангенс угла наклона касательной к кривой в точке :

      Решение.

Найдем производную данной функции:

Подставим в полученную формулу вместо х данное значение и получим: , это и есть тангенс угла наклона касательной к кривой в данной точке.

3) Вычислить производные следующих функций:

а) ; б) в)

Решение:

Для нахождения производных воспользуемся основными правилами дифференцирования и таблицей производных:

а)

б)

в)

4) Найти скорость и ускорение в момент времени t = 2 для точки, движущейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением:

Решение:

Найдем скорость движения точки в любой момент времени t:

Вычислим скорость движения точки в момент времени t = 4:

Найдем ускорение движения точки в любой момент времени t:

Вычислим скорость движения точки в момент времени t = 4:

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Найти производную функции, пользуясь непосредственно определением производной

Вариант № 1

у = х³

Вариант № 4

Вариант № 2

Вариант № 5

у = х²+ 2х+ 4

Вариант № 3

у = х² + 1

Вариант № 6

у = х³ – 2х

2. Определить тангенс угла наклона касательной к кривой в данной точке:

Вариант № 1

при

Вариант № 4

у = х³ при х = -1

Вариант № 2

у = х³ при х = 1

Вариант № 5

при

Вариант № 3

у = х² - х при х = 1

Вариант № 6

при х = 0

3. Вычислить производные следующих функций:

Вариант № 1

а)

б)

в)

Вариант № 2

а)

б)

в)

Вариант № 3

а)

б)

в)

Вариант № 4

а)

б)

в)

Вариант № 5

а)

б)

в)

Вариант № 6

а)

б)

в)

4. Найти скорость и ускорение в данный момент времени для точки, движущейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением:

Вариант № 1

Вариант № 2

Вариант № 3

Вариант № 4

Вариант № 5

Вариант № 6

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2. Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

5. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

6. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия №30

по дисциплине «Элементы высшей математики»

Тема: «Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными»

Цель: учиться решать дифференциальные уравнения I порядка с разделяющимися переменными.

Обеспечение: методические указания

1) Найти общее решение уравнения

Решение. Разделив переменные, получим

Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

Так как произвольная постоянная может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований в качестве такой постоянной приняли

Потенцируя по­следнее равенство, получим

Это и есть общее решение данного уравнения.

2) Найти частное решение уравнения , удовлет­воряющее начальным условиям S = 4 при .

Решение. Разделив переменные, получим

Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

или

Это общее решение данного уравнения. Для нахождения значе­ния произвольной постоянной С подставим значения и S=4 в выражение для общего решения:

или 4 = С/2, откуда С = 8.

Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, имеет вид S = 8 cos t.

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Найти общее решение уравнения:

Вариант № 1

а) y²dx + (x - 2)dy = 0

Вариант № 2

а) x²dy - (2xy+3y)dx=0

Вариант № 3

а)(x² –yx²)dy +(y²+xy²)dx=0

Вариант № 4

а) (1 + y²)dx -dy=0

Вариант № 5

а) y²dx + (x - 2)dy = 0

Вариант № 6

а) x²dy - (2xy+3y)dx=0

2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию

Вариант № 1

а) ds = (3t²-2t)dt s=4 при t=2

Вариант № 2

а) y=4 при х=0

Вариант № 3

а) y=2 при х=0

Вариант № 4

а) (1 + y)dx = (1 - x)dy y=3 при х=-2

Вариант № 5

а) ds = (3t²-2t)dt s=4 при t=2

Вариант № 6

а) y=4 при х=0

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия №1

по дисциплине «Элементы высшей математики

Тема: «Операции над матрицами»

Цель: учиться выполнять алгебраические операции над матрицами.

Обеспечение: методические указания.

1) Сложить две матрицы А и В, если

      Решение

      Матрицы А и В квадратные матрицы второго порядка. Складывая их соответствующие элементы, получаем:

      Решение

      Матрицы А и В прямоугольные матрицы размера 2x3. Складывая их соответствующие элементы, получаем:

2) Умножить матрицу А на число k = 3

      Решение.

      Умножая каждый элемент матрицы А на 3, получим

3) Найти линейную комбинацию 3А-2В матриц:

      Решение.

      Сначала находим произведение матрицы А на 3, затем произведение матрицы В на 2:  

      Теперь найдем разность полученных матриц

 4)Найти произведения матриц

      Решение.

      Умножая каждый элемент первой строки матрицы А на соответствующий элемент первого столбца матрицы В и складывая полученные произведения получим элемент с₁₁ матрицы С и т.д., (например, чтобы получить элемент с₂₃ матрицы С необходимо каждый элемент второй строки матрицы А умножить на соответствующий элемент третьего столбца матрицы В и полученные произведения сложить). В результате получим:

5) Вычислить

      Решение

Задания для самостоятельного выполнения:

1. Даны матрицы А и В и число k

а) найти сумму матриц А+В;

б) умножить матрицу А на число k;

в) найти произведение матриц А·В;

г) вычислить: А²+2В.

Вариант № 1.

k =3.

Вариант № 2

k =2.

Вариант № 3

k =4

Вариант № 4

k =

Вариант № 5

k =-2

Вариант № 6

k =-0,5

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009

Преподаватель ________________О.С. Соседова

Методические указания по проведению практического занятия №2

по дисциплине «Элементы высшей математики

Тема: «Вычисление определителей»

Цель: учиться вычислять определители второго порядка; учиться вычислять определители третьего порядка по правилу треугольников и используя теорему о разложении определителя по элементам строки или столбца; учиться вычислять миноры и алгебраические дополнения.

Обеспечение: методические указания

1) Вычислить определитель второго порядка

      Решение

2) Вычислить определитель третьего порядка двумя способами.

      Решение.

      1. По правилу треугольников (правилу Сарруса):

      2. По теореме о разложении определителя по элементам строки или столбца.

3) Записать все миноры определителя