Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Инструкции к практическим работам по дисциплине
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Инструкции к практическим работам по дисциплине

Выберите документ из архива для просмотра:

26 КБ Перечень практических работ.doc
54 КБ указанания к пр. раб. №29 двойной интеграл.doc
67.5 КБ указания к пр. р 10 кривые второго порядка.doc
327 КБ указания к пр. раб 31 Линейные диф. уравнения.doc
243.5 КБ указания к пр. раб 32. ду второго порядка.doc
54 КБ указания к пр. раб №26. ряд Тейлора и Маклорена..doc
109 КБ указания к пр. раб. 14. непрерывность функции.doc
223 КБ указания к пр. раб. № 18. исследование функции с помощью производной.doc
124.5 КБ указания к пр. раб. № 20. методы интегрирования.doc
62.5 КБ указания к пр. раб. №11 кривые второго порядка.doc
97.5 КБ указания к пр. раб. №19. табличное интегрирование.doc
137.5 КБ указания к пр. раб. №24 ряды.doc
132.5 КБ указания к пр. раб. №28 частные производные..doc
180.5 КБ указания к пр. раб. №33. комплексные числа.doc
92.5 КБ указания к пр. раб.№ 12 предел последовательности.doc
58 КБ указания к пр. раб.№ 25 радиус сходимости.doc
152.5 КБ указания к пр.раб 16,17 производная, дифференциал.doc
106.5 КБ указания к пр.раб №27. предел функции двух переменных..doc
151 КБ указания к пр.раб.15 вычисление производных.doc
123.5 КБ указания к пр.раб.№30. диф ур.doc
71.5 КБ указания к пр.раб1 матрицы.doc
87.5 КБ указания к пр.раб2. определители.doc
68 КБ указания к практической работе №7 действия с векторами.doc
44.5 КБ указания к практической работе №8 умножение векторов.doc
119.5 КБ указания пр.раб.13 предел функции.doc
161 КБ указания пр.раб.21. определенный интеграл.doc
118 КБ указания пр.раб.22 приложения определенного интеграла.doc
101 КБ указания пр.раб.23 несобственные интнгралы.doc
122.5 КБ указания пр.раб.3 обратные матрицы.doc
109.5 КБ указания пр.раб.4 гаусс.doc
92 КБ указания пр.раб.5 метод обратных матриц.doc
83 КБ указания пр.раб.6 крамер.doc
170.5 КБ указания пр.раб.9 уравнение прямой.doc

Выбранный для просмотра документ Перечень практических работ.doc

библиотека
материалов

Перечень практических работ


  1. Действия над матрицами.

  2. Вычисление определителей.

  3. Вычисление обратной матрицы. Решение матричных уравнений.

  4. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

  5. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.

  6. Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера.

  7. Операции над векторами. Решение задач векторным методом.

  8. Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

  9. Уравнение прямой на плоскости

  10. Кривые второго порядка: окружность, эллипс.

  11. Кривые второго порядка: гипербола, парабола.

  12. Вычисление пределов последовательностей.

  13. Вычисление пределов функций.

  14. Исследование функций на непрерывность.

  15. Вычисление производных.

  16. Вычисление производных сложных и обратных функций.

  17. Вычисление дифференциала функции.

  18. Исследование функций с помощью производной.

  19. Табличное интегрирование.

  20. Вычисление неопределенного интеграла.

  21. Вычисление определенного интеграла.

  22. Приложения определенного интеграла.

  23. Вычисление несобственных интегралов.

  24. Нахождение суммы ряда. Исследование рядов на сходимость.

  25. Нахождение радиуса и области сходимости степенного ряда.

  26. Разложение элементарных функций в ряд.

  27. Предел и непрерывность функции 2-х независимых переменных.

  28. Вычисление частных производных функции двух переменных. Нахождение экстремума функции двух переменных.

  29. Вычисление двойных интегралов. Приложения двойного интеграла.

  30. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

  31. Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка.

  32. Решение дифференциальных уравнений 2-го порядка.

  33. Различные формы записи комплексных чисел. Операции над комплексными числами.

  34. Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

  35. Интерполяция. Численное дифференцирование и интегрирование. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Выбранный для просмотра документ указанания к пр. раб. №29 двойной интеграл.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №29

по дисциплине «Элементы высшей математики»


Тема: «Вычисление двойных интегралов. Приложения двойного интеграла»


Цель: учиться вычислять двойной интеграл.

Обеспечение: методические указания


1) Вычислить двойной интегралhello_html_17ef6989.gif

Решение. В соответствии с известной формулой:

hello_html_5bde94f5.gif

Вычисляем внутренний интеграл, считая y постоянным:

hello_html_719b92ca.gif

Вычисляем внешний интеграл, для чего полученную функцию интегрируем по y в пределах от 1 до 2:

hello_html_m4d924dbb.gif

Следовательно,

hello_html_e0fa095.gif


Задания для самостоятельного выполнения:


Вариант 1.

  1. Вычислить hello_html_6a976e38.gif, если область D ограничена линиями x=0, x=y2, y=2.

  2. Вычислить hello_html_m3af6952e.gif

  3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: x=y2-2y, x+y=0.



Вариант 2.

  1. Вычислить hello_html_113664ea.gif, если область D ограничена линиями y=x, x=0, y=1, y=2.

  2. Вычислить hello_html_m5f5c7382.gif

  3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: y=2-x, y2=4x+4,.




Вариант 3.

  1. Вычислить hello_html_6a976e38.gif, если область D ограничена линиями x=0, x=y, y=1.

  2. Вычислить hello_html_m64e7872f.gif

  3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: x=y2-3y, x+y=0.






Вариант 4.

  1. Вычислить hello_html_113664ea.gif, если область D ограничена линиями y=x, x=0, y=1, y=2.

  2. Вычислить hello_html_m567e8d4b.gif

  3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: y=2-5x, y2=4x+4,.





Вариант 5.

  1. Вычислить hello_html_m60ab2b10.gif, если область D ограничена линиями x=0, x=y2, y=2.

  2. Вычислить hello_html_m4b6982d0.gif

  3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: x=y2-y, x+y+1=0.






Вариант 6.

  1. Вычислить hello_html_mbb02803.gif, если область D ограничена линиями y=x, x=0, y=1, y=2.

  2. Вычислить hello_html_m72997e53.gif

  3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: y=4+x, y2=4x+2,.







Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009










Преподаватель ________________О.С. Соседова


Выбранный для просмотра документ указания к пр. р 10 кривые второго порядка.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №10

по дисциплине «Элементы высшей математики


Тема: «Кривые второго порядка: окружность, эллипс»

Цель: учиться составлять уравнения окружности и эллипса, учиться работать с уравнениями эллипса и окружности для нахождения неизвестных величин.

Обеспечение: методические указания



1) Написать уравнение окружности радиуса R = 7 с центром в начале координат:

Решение.

Непосредственной подстановкой значения радиуса в каноническое уравнение окружности

х2 + у2 = R2 получим: х2 + у2 = 72 или х2 + у2 = 49.


2) Написать уравнение окружности радиуса R = 9 с центром в точке С(3;-6):

Решение.

Непосредственной подстановкой значения радиуса и значение координат точки С в общее уравнение окружности (х-а)2 + (у-b)2 = R2 получим: (х-3)2 + (у-(-6))2 = 92 или (х-3)2 + (у+6)2 =81.


3) Найти центр и радиус окружности: (х+3)2 + (у-5)2 =100.

Решение:

Сравнивая данное уравнение с общим уравнением окружности (х-а)2 + (у-b)2 = R2, видим что

а = -3, в =5, R =10. Следовательно центр окружности находится в точке С(-3;5), а радиус R=10.


4) Составить уравнение эллипса, если расстояние между фокусами равно 6, а большая ось равна 10.

Решение:

Из условия имеем 2а = 10 а = 5 и 2с = 6 с =3. По формуле b2 = a2c2 находим b2 = 52 – 32 = 25 –9 =16. Подставив значения а2 и b2 в уравнение hello_html_3427e237.gif, получим hello_html_m558713c7.gif

5) Дан эллипс 36х2+100у2=3600. Найдите координаты вершин и фокусов эллипса, длины его полуосей и фокальное расстояние, эксцентриситет эллипса.

Решение:

Разделив и левую и правую часть исходного уравнения на 3600 получим следующее уравнение эллипса: hello_html_m410d7219.gif, из которого имеем а2 =100 а=10 и b2 =36 b=6. Из формулы b2=a2c2 выразим с2= a2 - b2 hello_html_79f6d782.gif. Следовательно получили: большая полуось а =10, малая полуось b = 6, а фокальное расстояние равно 2с= 2·8 = 16. Запишем координаты вершин: А(10; 0), В(0; 6), С(-10; 0), Д(0; -6), координаты фокусов: F1(-8; 0) , F2(8; 0). Эксцентриситет эллипса вычисляется по формуле:hello_html_5abae5d0.gif и следовательно получаем: hello_html_m56d24db0.gif.




Задания для самостоятельного выполнения:


  1. Составьте уравнение окружности:

Вариант № 1

R= 4 с центром в точке О(0;0)

Вариант № 4

R= 7/5 с центром в точке A(-1;3/5)

Вариант № 2

R= 4/3 с центром в начале координат

Вариант № 5

R= 5,5 с центром в точке A(-1;2)

Вариант № 3

R= 5 с центром в точке A(-4;2)

Вариант № 6

R= 6 с центром в точке A(0;-2)


  1. Найдите центр и радиус окружности:

Вариант № 1

(х-5)2+(у-3)2=49

Вариант № 4

х22=7

Вариант № 2

(х+7)2+(у+1/2)2=64

Вариант № 5

(х-7)2+(у+4,5)2=81

Вариант № 3

х22=36

Вариант № 6

(х-3)2+(у+6)2=24


  1. Составить уравнение окружности, центр которой совпадает с началом координат, если окружность касается прямой

Вариант № 1

х = 2

Вариант № 4

х – 4 = 0

Вариант № 2

х = 3

Вариант № 5

хhello_html_m6c8dc27c.gif

Вариант № 3

х = 1

Вариант № 6

х+6=0


  1. Напишите каноническое уравнение эллипса, если:

Вариант № 1

малая полуось равна 4, фокусное расстояние равно 6

Вариант № 4

полуоси равны 3 и 4

Вариант № 2

полуоси равны 7 и 3

Вариант № 5

большая полуось равна 6, фокусное расстояние равно 8

Вариант № 3

большая полуось равна 6, фокусное расстояние равно 5

Вариант № 6

полуоси равны а=5, b=8


  1. Определите полуоси, координаты вершин и фокусов эллипса:

Вариант № 1

х2+9у2=4

Вариант № 4

0,25х22=1

Вариант № 2

2+9у2=1

Вариант № 5

2+9у2=36

Вариант № 3

2+16у2=144

Вариант № 6

0,25х22=4


  1. Для данного эллипса найдите:

Вариант № 1

25х2+49у2=1225, найти большую полуось и координаты фокусов

Вариант № 2

hello_html_mfa33684.gif, найти малую полуось и эксцентриситет

Вариант № 3

25х2+49у2=1225, найти малую полуось и фокальное расстояние

Вариант № 4

hello_html_mfa33684.gif, найти координаты вершин и эксцентриситет

Вариант № 5

hello_html_12d69b7f.gif, найти координаты фокусов и вершин

Вариант № 6

hello_html_6b61b3cc.gif, найти фокальное расстояние и эксцентриситет




Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009










Преподаватель ________________О.С. Соседова



Выбранный для просмотра документ указания к пр. раб 31 Линейные диф. уравнения.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №31

по дисциплине «Элементы высшей математики»


Тема: «Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка»

Цель: учиться решать однородные дифференциальные уравнения, линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Обеспечение: методические указания


1) Найти общее решение уравнения hello_html_78c77f7d.png

hello_html_7804b061.png

Решение. Данное уравнение является линейным: здесь hello_html_m377d3cc.png

Положим у = иг и продифференцируем это равенство по х:

hello_html_6b8e389c.png

Подставив теперь выражения для hello_html_m6f9d09a4.pngв исходное уравнение, получим

hello_html_74013e9.png

или hello_html_m4f9b52b4.png

Так как одну из вспомогательных функций и или z можно выбрать произвольно, то в качестве и возьмем одно из частных решений уравнения hello_html_m151a2046.png

Разделив в этом уравнении переменные и интегрируя, получим:

hello_html_m1db1b372.png

hello_html_5f7e53ad.png

hello_html_5e4585b4.png

произвольную постоянную принимаем равной нулю, так как находим одно из частных решений.

Подставим теперь выражение для и в уравнение (*), тогда по лучим

hello_html_m515f2b23.png, или hello_html_m7d7c9769.png

Отсюда находим hello_html_m56b639fe.png

Зная и и z, получаем общее решение данного уравнения:

hello_html_5b73d46f.png

hello_html_7e8f3455.png


2) Найти частное решение уравнения hello_html_3d3552ce.pnghello_html_mb5c5ce.png


Решение. Разделив все члены данного уравнения на cos х, придем к уравнению

hello_html_m286d904d.png

которое является линейным . Положим y=uz; тогда

hello_html_724ba512.pnghello_html_596349fb.png

Подставив выражение для hello_html_de6bc6d.png

hello_html_m5aca3540.png

или

hello_html_m5cccd130.png

Для отыскания u получаем уравнение

hello_html_3ecf0657.png

из которого следует

hello_html_68c646d2.png

hello_html_m29b7f7aa.png

Подставляя выражение для и в уравнение (**), приходим к

hello_html_m437b24ea.png

т.е hello_html_m3310396a.png

Следовательно, общее решение исходного уравнения:

hello_html_m59319044.png

Используя начальные условия, получаем hello_html_m637c51cb.png

Откуда С=0. Таким образом, искомое частное решение имеет вид hello_html_m775d84e6.png

Задания для самостоятельного выполнения:


1. Найти общее решение уравнения:


Вариант № 1

а) hello_html_m89c8bf9.gif


Вариант № 2

а) hello_html_m74ca925a.gif


Вариант № 3

а) hello_html_342dd1c5.gif


Вариант № 4

а) hello_html_f840815.gif

Вариант № 5

а) hello_html_m89c8bf9.gif


Вариант № 6

а) hello_html_m74ca925a.gif



2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию


Вариант № 1

а) hello_html_m3700a201.gif y=e при x=1


Вариант № 2

а) hello_html_m3e90c4b4.gif y=0 при x=0

Вариант № 3

а) hello_html_144c16e6.gif; y=1 при x=2


Вариант № 4

а) hello_html_74d051f2.gif y=3 при x=0

Вариант № 5

а) hello_html_m3700a201.gify=e при x=1


Вариант № 6

а) hello_html_m3e90c4b4.gif y=0 при x=0









Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009










Преподаватель ________________О.С. Соседова



Выбранный для просмотра документ указания к пр. раб 32. ду второго порядка.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №32

по дисциплине «Элементы высшей математики»


Тема: «Решение дифференциальных уравнений 2-го порядка»

Цель: учиться решать однородные неполные дифференциальные уравнения второго порядка, линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Обеспечение: методические указания


1) Найти общее решение неполного дифференциального уравнения второго порядка hello_html_539bef9c.gif.

Решение. Полагаем hello_html_2310d65c.gif; тогда данное уравнение можно записать в виде hello_html_3de5b130.gif, т.е. hello_html_m7038977d.gif.

Разделим переменные: hello_html_m1e91f59a.gif. Проинтегрируем получившееся равенство:

hello_html_m5e68806b.gif

hello_html_m6a29e03a.gif.

Следовательно, hello_html_m6ad6e38d.gif. Разделим переменные, получим: hello_html_4056a8.gif. Проинтегрируем полученное равенство:

hello_html_m62e2abc6.gif

hello_html_1023f377.gif- общее решение.

2) Найти частное решение неполного дифференциального уравнения второго порядка hello_html_5d9fa0eb.gifhello_html_212f7b39.gif, если hello_html_5cdad5f1.gif, hello_html_212f7b39.gif при hello_html_m1922f9a7.gif.

Решение. Полагаем hello_html_m743a76bc.gif; тогда данное уравнение можно записать в виде hello_html_me35ec94.gif.

Разделим переменные: hello_html_37a4e07c.gif. Проинтегрируем полученное равенство:

hello_html_m3e22010f.gif

hello_html_m298d746a.gif(*)

Следовательно, hello_html_6389ed25.gif. Разделим переменные, получим: hello_html_41935a8.gif.

Проинтегрируем полученное равенство:

hello_html_m16843705.gif

hello_html_m21e5a411.gif(**).

Найдем частное решение уравнения. Подставляя в равенства (*) и (**) начальные данные, получим систему уравнений:

hello_html_7e3f4e8.gif, откуда С1 = 20, С2 = 2. Таким образом, частное решение имеет вид: hello_html_m1afbd46c.gif.



3) Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка hello_html_bf5f3bd.gif.

Решение: Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

hello_html_7ee507bf.gif

Корни характеристического уравнения действительные и различные, поэтому общее решение данного дифференциального уравнения запишется в виде:

hello_html_m2a0f46f3.gif.


4) Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка hello_html_40f0f296.gif, если hello_html_39fa8bd4.gif и hello_html_m3b651e11.gif приhello_html_69c4e849.gif.

Решение: Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:

hello_html_m32f27b6a.gif

Корни характеристического уравнения действительные и различные, поэтому общее решение данного дифференциального уравнения запишется в виде:

hello_html_45b2158c.gif.

Найдем значения С1 и С2. Для этого подставим в общее решение значения hello_html_39fa8bd4.gif и hello_html_69c4e849.gif. Получим: hello_html_2048f33f.gif.

Продифференцировав общее решение и подставив в полученное выражение значения hello_html_69c4e849.gifи hello_html_m3b651e11.gif, имеем:

hello_html_19b9b5ab.gif

hello_html_35a01ba2.gif

Таким образом, искомое частное решение имеет вид: hello_html_mf14c561.gif.









Задания для самостоятельного выполнения:


1. Найти общее решение неполного дифференциального уравнения второго порядка:


Вариант № 1

hello_html_maca03d4.gif

Вариант № 2

hello_html_m45e5c2e9.gif

Вариант № 3

hello_html_m426d2214.gif

Вариант № 4

hello_html_70eef9fb.gif

Вариант № 5

hello_html_m5f9be13a.gif

Вариант № 6

hello_html_1c36acd5.gif


2. Найти частное решение неполного дифференциального уравнения второго порядка:


Вариант № 1

hello_html_m5f9be13a.gif, hello_html_28c5348c.gif, hello_html_m2def223d.gif при hello_html_69c4e849.gif

Вариант № 2

hello_html_1c36acd5.gif, hello_html_m6b3cb2b7.gif, hello_html_m7feeb842.gif при hello_html_69c4e849.gif

Вариант № 3

hello_html_2e031180.gif, hello_html_1108255e.gif, hello_html_m7feeb842.gif при hello_html_69c4e849.gif

Вариант № 4

hello_html_m57262dae.gif, hello_html_1108255e.gif, hello_html_m695e1a10.gif при hello_html_m4cd8016d.gif

Вариант № 5

hello_html_m426d2214.gif, hello_html_m5a168422.gif, hello_html_m5285779f.gifпри hello_html_m1922f9a7.gif

Вариант № 6

hello_html_70eef9fb.gif, hello_html_369286d8.gif, hello_html_93b1cdd.gifпри hello_html_m1922f9a7.gif



3. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка


Вариант № 1

hello_html_4178e04.gif

Вариант № 2

hello_html_31eedaee.gif

Вариант № 3

hello_html_40538a53.gif

Вариант № 4

hello_html_m61488108.gif

Вариант № 5

hello_html_123941a4.gif

Вариант № 6

hello_html_6ae286e2.gif




4) Найти частное решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка:


Вариант № 1

hello_html_8b1ec25.gif; hello_html_1108255e.gif, hello_html_m15fe70bd.gif при hello_html_69c4e849.gif

Вариант № 2

hello_html_233a77d9.gif; hello_html_m676d251e.gif, hello_html_m15fe70bd.gif при hello_html_69c4e849.gif

Вариант № 3

hello_html_m28989005.gif; hello_html_m104684e9.gif, hello_html_m15fe70bd.gif при hello_html_69c4e849.gif

Вариант № 4

hello_html_m34851b5c.gif; hello_html_39fa8bd4.gif, hello_html_607f1735.gif при hello_html_69c4e849.gif

Вариант № 5

hello_html_mcdbc713.gif; hello_html_1108255e.gif, hello_html_m695e1a10.gif при hello_html_69c4e849.gif

Вариант № 6

hello_html_59b4cd62.gif; hello_html_39fa8bd4.gif, hello_html_m7feeb842.gif при hello_html_69c4e849.gif



Замечание:

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка строится в зависимости от корней характеристического уравнения. Возможны три случая:

Корни

Общее решение

Корни hello_html_6995d0b8.gif и hello_html_m622edd0f.gif - действительные и различные

hello_html_m4e2530ab.gif

Корни hello_html_6995d0b8.gif и hello_html_m622edd0f.gif - действительные и равные

hello_html_m6e45ee82.gif

Корни hello_html_6995d0b8.gif и hello_html_m622edd0f.gif - комплексно сопряженные :

hello_html_7b9a38a1.gif, hello_html_m43775edb.gif

hello_html_m628f048b.gif



Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009







Преподаватель ________________О.С. Соседова


Выбранный для просмотра документ указания к пр. раб №26. ряд Тейлора и Маклорена..doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия № 26

по дисциплине «Элементы высшей математики»


Тема: «Разложение элементарных функций в ряд»

Цель: учиться раскладывать функцию в ряд Тейлора.

Обеспечение: методические указания.


1) Разложить функцию f(x) = ex по формуле Тейлора до третьего порядка, записать ряд Маклорена:

Решение.

Найдем производные: hello_html_m4e0ccc65.gifи подставим в формулу:

hello_html_m527c7af0.gif.

В результате получим: hello_html_m47c211d8.gif

Зhello_html_641a623b.gifапишем ряд Маклорена для случая, когда х0 =0 : hello_html_59355314.gif


Задания для самостоятельного выполнения:


  1. Разложить по формуле Маклорена в точке х0 = 0 следующую функцию:

Вариант № 1

у = cos х до 5 порядка

Вариант № 4

у = е до 3 порядка

Вариант № 2

у = sin х до 5 порядка.

Вариант № 5

у = sin х до 4 порядка

Вариант № 3

у = е до 3 порядка

Вариант № 6

у = cos х до 4 порядка







Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009


1


Выбранный для просмотра документ указания к пр. раб. 14. непрерывность функции.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №14

по дисциплине «Элементы высшей математики


Тема: «Исследование функций на непрерывность»

Цель: учиться исследовать функции на непрерывность.

Обеспечение: методические указания


1). Исследовать на непрерывность функцию: hello_html_2b821eb4.gif:

Решение: Дадим аргументу х приращение Δх и найдем приращение функции Δу:

уhello_html_195efa50.gif + Δу = 2·(х + Δх)2 + 1 = 2х2 + 4х Δх +2 Δх2 +1

у = 2·х2 + 1

Δу = 4х Δх +2 Δх2

Найдем предел Δу при Δх→0: hello_html_m41a352d1.gif. Равенство hello_html_893f9b7.gif справедливо при любом конечном значении х, следовательно функция hello_html_2b821eb4.gif непрерывна при любом значении х.


2)Исследовать на непрерывность функцию

hello_html_m472448dc.gif

Решение

Функции hello_html_13926277.gif, hello_html_4add4654.gif и hello_html_m55fd1668.gif непрерывны на всей числовой прямой, поэтому данная функция может иметь разрывы только в точках, где меняется ее аналитическое выражение, т. е. в точках hello_html_7ba126fa.gif и hello_html_34b268f1.gif.

Исследуем функцию на непрерывность в этих точках, для чего найдем соответствующие односторонние пределы и значения функции.

В точке hello_html_7ba126fa.gif имеем:

hello_html_2952e4ae.gif (так как при hello_html_515be719.gifhello_html_m1ac4ed30.gif),

hello_html_m3f30c5.gif (так как при hello_html_m3324523e.gifhello_html_36164969.gif),

hello_html_22bce3b9.gif (так как при hello_html_7ba126fa.gifhello_html_m1ac4ed30.gif).

Таким образом, в этой точке все три числа равны:

hello_html_m6a505c4e.gif

т. е. функция непрерывна в точке hello_html_7ba126fa.gif.

Проверим точку hello_html_34b268f1.gif:

hello_html_m142a3381.gif,

hello_html_122f6d68.gif,

hello_html_m7bd80d22.gif.

Левый предел не равен правому:

hello_html_685a4e42.gif,

значит точка hello_html_34b268f1.gif является точкой разрыва первого рода

Задания для самостоятельного выполнения:


  1. Исследовать на непрерывность функцию:

Вариант № 1

а)hello_html_6c997d52.gif

б) hello_html_m73227073.gif

Вариант № 4

а) hello_html_e103770.gif

б) hello_html_43f1bf41.gif

Вариант № 2

а) hello_html_m6390f357.gif

б) hello_html_2810a50.gif

Вариант № 5

а)hello_html_3ea7ea35.gif

б) hello_html_3bc0e796.gif

Вариант № 3

а) hello_html_3a492134.gif

б) hello_html_mb353ef6.gif

Вариант № 6

а) hello_html_m105eca58.gif

б) hello_html_98f22e.gif

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009










Преподаватель ________________О.С. Соседова


2


Выбранный для просмотра документ указания к пр. раб. № 18. исследование функции с помощью производной.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия № 18

по дисциплине «Элементы высшей математики


Тема: «Исследование функций с помощью производной»

Цель: учиться исследовать функцию с помощью первой и второй производной, по проведенному исследованию строить график функции.

Обеспечение: методические указания



  1. Найти промежутки монотонности функции hello_html_51d30779.gif:

Решение.

Находим производную: hello_html_mb8aa3ac.gif. Находим критические точки: hello_html_3eba337.gif. Составим таблицу:


x

(-∞ ; 0)

0

(0 ; 4)

4

(4 ; ∞)

f '(x)

+

0

-

0

+

f(x)

hello_html_m2fe09baf.gif

f(0)=4

hello_html_m5e49bc6d.gif

f(4)=-28

hello_html_66a219df.gif

Таким образом, данная функция в промежутках (-∞ ; 0) и (4 ; ∞) возрастает, а в промежутке (0 ; 4) убывает.


  1. Исследовать функцию на экстремум с помощью первой производной hello_html_4b6f54c4.gif:

Решение:

Находим производную: hello_html_31b62215.gif. Полагаяhello_html_m26bb9476.gif, получим единственную критическую точку х=2. Далее составим таблицу:


x

(-∞ ; 2)

2

(2 ; ∞)

f '(x)

-

0

+

f(x)

hello_html_m1ccb3111.gif

min

fmin=f(2)=-4

hello_html_5b480478.gif

Таким образом, данная функция в точке (2 ; -4) имеет минимум.


  1. Исследовать функцию на экстремум с помощью второй производнойhello_html_m7a8116bb.gif:

Решение:

Находим производную: hello_html_m75310394.gif. Решая уравнение hello_html_m26bb9476.gif, получим единственную критическую точку х=0. Найдем вторую производную: hello_html_m39cd760f.gif и исследуем ее знак в точке х=0: hello_html_m618ae7d0.gif. Т.к. вторая производная в критической точке х=0 положительна, то при х=0 функция имеет минимум: fmin=f(0)=-4


  1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном промежутке: hello_html_m54c4919c.gif

Решение:

Находим производную: hello_html_4cb951a3.gif. Находим критические точки: hello_html_mba19cc1.gif. Найденная критическая точка х=2 принадлежит данному отрезку [0; 3]. Следовательно, найдем значение функции в данной точке и на концах отрезка и полученные результаты сравним: f(0)=3, f(2)=-1, f(3)=0. Итак, наименьшее значение функции равно -1 и достигается в точке х=2 , а наибольшее значение функции равно 3 и достигается оно в точке х=0.


  1. Найти точки перегиба функции: hello_html_1da3a44e.gif:

Решение:

Находим производную: hello_html_6d0ab90c.gifhello_html_m6b256ad9.gif. Полагая hello_html_3ac4e8c3.gifполучим единственную критическую точку х=2 . Далее составим таблицу:


x

(-∞ ; 2)

2

(2 ; ∞)

hello_html_6290dfb7.gif

+

0

-

f(x)

hello_html_m9751ff5.gif

точка перегиба

f(2)=16

hello_html_117bb19b.gif

Таким образом, данная функция в точке (2 ; 16) имеет точку перегиба.


  1. Исследовать функцию hello_html_82827ad.gifи построить ее график:

Решение:

Исследование функции проведем по общему плану:

  1. Область определения функции: Д(х)= (-∞; 3) U (3; ∞).

  2. Функция ни четная (т.к. не выполняется: f(-x) = f(x)), ни нечетная (т.к. не выполняется условие f(-x) = -f(x)), ни периодическая.

  3. Найдем производную: hello_html_m6481afc8.gif. Производная обращается в нуль в точках х=0 и х=6, и терпит разрыв, т.е. не существует, в точке х=3. Это критические точки. Промежутки монотонности найдем позже, в сводной таблице.

  4. Найдем вторую производную: hello_html_5369a832.gif. Вторая производная нуль нигде не обращается в нуль и терпит разрыв при х=3.

  5. Найдем асимптоты графика функции: х=3 – вертикальная асимптота, т.к. hello_html_4b467dee.gif

Найдем наклонную асимптоту, для этого найдем: hello_html_4f8a4ff3.gif

hello_html_m697c2eb3.gif. Следовательно, прямая у=х+3 является наклонной асимптотой.

  1. Найдем значение функции в точке х=0: f(0)=0 график проходит через начало координат. В критических точках: f(6)=12

  2. Составляем таблицу:

    х

    (-∞ ; 0)

    0

    (0 ; 3)

    3

    (3 ;6)

    6

    (6 ; ∞)

    f '(x)

    +

    0

    -

    не существует

    -

    0

    +

    f(x)

    hello_html_m3a8e7cc1.gif

    max

    fmax=f(0)=0

    hello_html_24b019e9.gif


    hello_html_m78a68ba0.gif

    min

    fmin=f(6)=12

    hello_html_me6c3a60.gif

    hello_html_6290dfb7.gif

    -

    -

    -

    не существует

    +

    +

    +

    f(x)

    hello_html_m76c515a2.gif

    hello_html_m76c515a2.gif

    hello_html_m76c515a2.gif


    hello_html_3a1132c.gif

    hello_html_3a1132c.gif

    hello_html_3a1132c.gif

  3. Сhello_html_251877bf.gifтроим график:




Задания для самостоятельного выполнения:


  1. Найти промежутки монотонности функции:

Вариант № 1

hello_html_95029df.gif

Вариант № 4

hello_html_6ea6f4e6.gif

Вариант № 2

hello_html_m243fde10.gif

Вариант № 5

hello_html_m63fe7003.gif

Вариант № 3

hello_html_m46f83a5f.gif

Вариант № 6

hello_html_m2845fe3c.gif


  1. Исследовать функцию на экстремум с помощью первой производной:

Вариант № 1

hello_html_23ee8922.gif

Вариант № 4

hello_html_m20e62905.gif

Вариант № 2

hello_html_m574708f6.gif

Вариант № 5

hello_html_m45c1f354.gif

Вариант № 3

hello_html_1494d95d.gif

Вариант № 6

hello_html_6d0feee4.gif


  1. Исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной:

Вариант № 1

hello_html_2493f2c9.gif

Вариант № 4

hello_html_m3af82b52.gif

Вариант № 2

hello_html_2b07d5e2.gif

Вариант № 5

hello_html_6b73aa21.gif

Вариант № 3

hello_html_7d2d1417.gif

Вариант № 6

hello_html_135ac5ea.gif


  1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции в заданном промежутке:

Вариант № 1

hello_html_m62964806.gif

Вариант № 4

hello_html_m53bc4125.gif

Вариант № 2

hello_html_3c44fdfb.gif

Вариант № 5

hello_html_m45a45658.gif

Вариант № 3

hello_html_36a524ce.gif

Вариант № 6

hello_html_m1bbd935.gif


  1. Найти точки перегиба функции:

Вариант № 1

hello_html_m1632a491.gif

Вариант № 4

hello_html_mcdf31bd.gif

Вариант № 2

hello_html_44a7948c.gif

Вариант № 5

hello_html_1c451409.gif

Вариант № 3

hello_html_5294f84d.gif

Вариант № 6

hello_html_m366b9564.gif


  1. Исследовать следующие функции и построить их графики:

Вариант № 1

hello_html_m63a09a55.gif

Вариант № 4

hello_html_m79b69c82.gif

Вариант № 2

hello_html_2477ecf3.gif

Вариант № 5

hello_html_48050f16.gif

Вариант № 3

hello_html_m2d2d5325.gif

Вариант № 6

hello_html_4961fde3.gif











Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009










Преподаватель ________________О.С. Соседова


4


Выбранный для просмотра документ указания к пр. раб. № 20. методы интегрирования.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №20

по дисциплине «Элементы высшей математики


Тема: «Вычисление неопределенного интеграла»


Цель: учиться вычислять неопределенный интеграл методом подстановки, методом интегрирования по частям, путем представления подынтегральной функции в виде суммы простейших дробей.

Обеспечение: методические указания


  1. Вычислить следующие интегралы методом подстановки: а) hello_html_4103b6b7.gif , б) hello_html_4e32823.gif

Решение.

а) Полагая hello_html_m5c56dc47.gif, имеем hello_html_m7ec4c145.gif, а следовательно выразим: hello_html_22711228.gif:

hello_html_m22d38224.gif

б) Полагая hello_html_m17d3d3e4.gif, имеем hello_html_218c49e2.gif, а следовательно выразим: hello_html_m7b06b733.gif:

hello_html_a81ddc6.gif


  1. Вычислить следующие интегралы методом интегрирования по частям: hello_html_33a99cdb.gif.:

Решение.

Положим u = x , = sin x dx , тогда du = dx, hello_html_m36196d27.gif, т.е. υ = - cos x.

Используя формулу интегрирования по частям: hello_html_m7d444a33.gif, получим: hello_html_m568d2b9e.gif

  1. Вычислить интеграл: hello_html_m59f077cc.gif

Решение.

Разложим знаменатель на множители: hello_html_m7d3e392c.gif

Представим данную дробь в виде суммы простейших дробей:

hello_html_m7894c2c6.gif

Найдем коэффициенты А, В и С, для этого найдем дополнительные множители дробей в правой части равенства и приравняем числители полученных дробей:

hello_html_5efb3059.gif

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений:

hello_html_fc100c2.gif , решая которую находим коэффициенты: hello_html_752085a0.gif.

Таким образом получаем:

hello_html_11e126c5.gif

Задания для самостоятельного выполнения:

  1. Вычислить следующие интегралы методом подстановки:

Вариант № 1

а) hello_html_m5c6d340e.gif

б) hello_html_49eb36d7.gif

Вариант № 2

а) hello_html_2f2966a3.gif

б) hello_html_m38b7af94.gif

Вариант № 3

а) hello_html_m300788e3.gif

б) hello_html_m5695b66c.gif

Вариант № 4

а) hello_html_m66116e3a.gif

б) hello_html_m72acad84.gif

Вариант № 5

а) hello_html_m2733726c.gif

б) hello_html_5e1f6af5.gif

Вариант № 6

а) hello_html_4aeb9a1f.gif

б) hello_html_819c00a.gif


  1. Вычислить следующие интегралы методом интегрирования по частям:

Вариант № 1

hello_html_m1b6d023a.gif

Вариант № 4

hello_html_m49cfe7f9.gif

Вариант № 2

hello_html_46a19d53.gif

Вариант № 5

hello_html_m7c49b6d2.gif

Вариант № 3

hello_html_33a99cdb.gif

Вариант № 6

hello_html_m6a4e9e43.gif


  1. Вычислить интеграл:

Вариант № 1

hello_html_be82e5.gif

Вариант № 4

hello_html_m447291ca.gif

Вариант № 2

hello_html_63a44e8f.gif

Вариант № 5

hello_html_me21b68f.gif

Вариант № 3

hello_html_7823a84f.gif

Вариант № 6

hello_html_2326820f.gif








Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  5. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  6. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009










Преподаватель ________________О.С. Соседова


Выбранный для просмотра документ указания к пр. раб. №11 кривые второго порядка.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия № 11

по дисциплине «Элементы высшей математики


Тема: «Кривые второго порядка: гипербола, парабола»

Цель: учиться составлять уравнения гиперболы и параболы; учится работать с уравнениями гиперболы и параболы для нахождения неизвестных величин.

Обеспечение: методические указания



1) Составить уравнение гиперболы, если ее действительная ось равна 16, а мнимая ось равна 8.

Решение:

Для составления уравнения гиперболы необходимо знать параметры а и b. Из условия имеем: 2а=16 а =8 и 2b=8 b = 4. Подставив эти значения в уравнении гиперболы hello_html_m5281ae3c.gif получим: hello_html_5deea4eb.gif

2) Дано уравнение гиперболы hello_html_m6b850b33.gif. Найдите координаты ее вершин и фокусов, уравнения асимптот и эксцентриситет.

Решение:

Из уравнения гиперболы имеем: а2 =81 а=9 и b2 =144 b=12. Следовательно координаты действительных вершин: А(-9; 0) и В(9; 0), а координаты мнимых вершин: С(0; -12) и Д(0; 12).

Из формулы b2= c2a2 выразим с2= b2+ a2 hello_html_m2baf053.gif, тогда получим координаты фокусов F1(-15; 0) , F2(15; 0). Уравнения асимптот имеют вид hello_html_m36496357.gif, подставляя наши значения а и b получим : hello_html_m4b53d8fe.gif. Эксцентриситет гиперболы вычисляется по формуле:hello_html_5abae5d0.gif и следовательно получаем: hello_html_m35f803d7.gif.


3) Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее директрисой служит прямая х = - 4.

Решение:

Расстояние от директрисы до начала координат равно hello_html_m78505c50.gif; следовательно: hello_html_m279f8bfd.gif. Уравнение параболы имеет вид: у2= 2рх. Подставив в это уравнение значение параметра р получим: у2=16х.


4) Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично оси ординат и проходит через точку А(4; 2).

Решение:

Уравнение данной параболы имеет вид: х2=2ру (т.к. парабола расположена в верхней полуплоскости). Подставив в это уравнение координаты точки А, найдем р: 16=2р·2 р=4. Подставляя значение параметра р в уравнение х2=2ру, окончательно получим: х2=2·4у х2=8у.












Задания для самостоятельного выполнения:

  1. Напишите каноническое уравнение гиперболы, если:

    Вариант № 1

    действительная полуось равна 8, эксцентриситет равен 5/4

    Вариант № 2

    фокальное расстояние равно 6, мнимая ось равна 4

    Вариант № 3

    действительная полуось равна 8, мнимая полуось равна 13

    Вариант № 4

    фокальное расстояние равно 6, эксцентриситет равен 1,5

    Вариант № 5

    действительная полуось равна 7, мнимая полуось равна 4

    Вариант № 6

    фокальное расстояние равно 10, мнимая полуось равна 4

  2. Для данной гиперболы найдите:

    Вариант № 1

    2-16у2- 144 = 0, найти полуоси

    Вариант № 2

    2-16у2- 144 = 0, найти координаты фокусов

    Вариант № 3

    2-16у2- 144 = 0, найти координаты вершин

    Вариант № 4

    2-16у2- 144 = 0, найти уравнения асимптот

    Вариант № 5

    2-4у2 = 36, найти уравнения асимптот

    Вариант № 6

    2-4у2 = 36, найти координаты фокусов

  3. Напишите уравнение параболы, если известно:

    Вариант № 1

    координаты фокуса (4; 0)

    Вариант № 2

    парабола расположена в правой полуплоскости и проходит через точку (5; 3)

    Вариант № 3

    уравнение директрисы: х - 6 = 0

    Вариант № 4

    координаты фокуса (3; 0)

    Вариант № 5

    парабола расположена в левой полуплоскости и проходит через точку (2; 4)

    Вариант № 6

    уравнение директрисы: х = 4

  4. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если:


Вариант № 1

парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 3

Вариант № 2

парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 6

Вариант № 3

парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси абсцисс, а ее фокальный параметр равен 3

Вариант № 4

парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси абсцисс, а ее фокальный параметр равен 5

Вариант № 5

парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси абсцисс, а ее фокальный параметр равен 7

Вариант № 6

парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси абсцисс, а ее фокальный параметр равен 2

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009





Преподаватель ________________О.С. Соседова


2


Выбранный для просмотра документ указания к пр. раб. №19. табличное интегрирование.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия № 19

по дисциплине «Элементы высшей математики


Тема: «Табличное интегрирование»

Цель: учиться находить неопределенные интегралы, используя таблицу интегралов.


  1. Найти следующие интегралы: а) hello_html_6f74fe68.gif , б) hello_html_m751f8b85.gif

Решение.

а) Используя свойства неопределенного интеграла и формулу интегрирования степенной функции имеем:

hello_html_m34ce1393.gif

б) Так как: hello_html_7491c093.gifто получаем:

hello_html_m39652295.gif



Задания для самостоятельного выполнения:


  1. Найти следующие интегралы:

Вариант № 1

а) hello_html_2aa2dc4b.gif

б) hello_html_38e76ea0.gif

в)hello_html_4ecdd808.gif

г) hello_html_5a3b7dcd.gif

Вариант № 2

а) hello_html_m535ffa55.gif

б) hello_html_m5be8c0b5.gif

в) hello_html_m718a549e.gif

г) hello_html_9f18d68.gif

Вариант № 3

а) hello_html_5128fc87.gif

б) hello_html_m50aafe4c.gif

в) hello_html_m4bcb782d.gif

г) hello_html_79baa6c2.gif

Вариант № 4

а) hello_html_m22d971e5.gif

б) hello_html_m7c85bc12.gif

в) hello_html_6a486e0d.gif

г) hello_html_m17403085.gif

Вариант № 5

а) hello_html_m551133e.gif

б) hello_html_5e187747.gif

в) hello_html_m34d96129.gif

г) hello_html_m2cac3fff.gif

Вариант № 6

а) hello_html_2abc1fb6.gif

б) hello_html_m2d118b07.gif

в) hello_html_m25ba548e.gif

г) hello_html_m3312b3d0.gif

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  5. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  6. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009





Преподаватель ________________О.С. Соседова

1


Выбранный для просмотра документ указания к пр. раб. №24 ряды.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия № 24

по дисциплине «Элементы высшей математики»


Тема: «Нахождение суммы ряда. Исследование рядов на сходимость»

Цель: учиться исследовать ряд на сходимость, находить сумму ряда.

Обеспечение: методические указания.


1) Найдите суммы следующих рядов: а) hello_html_m641506e8.gif б) hello_html_4c6457c7.gif

Решение.

а) hello_html_m22a3eaed.gif

бhello_html_m72cdaa89.gif) hello_html_m33911ff.gifПолученный ряд - это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем hello_html_m458d150.gif , сумма которой вычисляется по формуле: hello_html_3e4c3c12.gif . Следовательно, сумма ряда: hello_html_m19336870.gif

2) Сходятся или расходятся следующие ряды:

а)hello_html_6b314351.gif б) hello_html_m5a0f89dd.gif

Решение.

а) Воспользуемся необходимым условием сходимости ряда и найдем : hello_html_1af420bb.gif Т.к. полученный предел отличен от 0, можно сделать вывод, что данный ряд расходится

б) Воспользуемся необходимым условием сходимости ряда и найдем : hello_html_m169c74b2.gif Т.к. полученный предел отличен от 0, можно сделать вывод, что данный ряд расходится

hello_html_641a623b.gif

3) Используя признак Даламбера исследуйте на сходимость следующие ряды:

а) hello_html_m1e96dec0.gif б) hello_html_45b966f5.gif

Решение. Используя признак Даламбера, получаем:

а) hello_html_5d10606a.gif , а ряд сходится

б) hello_html_m2378bc08.gif а следовательно ряд сходится

hello_html_641a623b.gif










Задания для самостоятельного выполнения:


  1. Найдите суммы следующих рядов:

Вариант № 1

а) hello_html_m4c910ccf.gif

б) hello_html_631cae4a.gif

Вариант № 4

а) hello_html_m6a359a5.gif б) hello_html_274891b.gif

Вариант № 2

а) hello_html_m344f77b3.gif

б) hello_html_m4e0d313a.gif

Вариант № 5

а) hello_html_m1af0ac2d.gif б) hello_html_10040e74.gif

Вариант № 3

а) hello_html_m5b41370.gif

б) hello_html_28b3f82d.gif

Вариант № 6

а) hello_html_m55abd977.gif б) hello_html_7ddb78c3.gif


  1. Сходится или расходится следующий ряд: hello_html_m53d4ecad.gif

Вариант № 1

hello_html_m70b78e99.gif

Вариант № 4

hello_html_238f7600.gif

Вариант № 2

hello_html_db644dd.gif

Вариант № 5

hello_html_m1cc8a5e9.gif

Вариант № 3

hello_html_9ee69ce.gif

Вариант № 6

hello_html_219ebb3c.gif



  1. Используя признак Даламбера, исследуйте на сходимость следующий ряд:

Вариант № 1

hello_html_66f03756.gif

Вариант № 4

hello_html_3433e435.gif

Вариант № 2

hello_html_m4c889460.gif

Вариант № 5

hello_html_m7e9e1d4a.gif

Вариант № 3

hello_html_6d757547.gif

Вариант № 6

hello_html_240fca06.gif























Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009










Преподаватель ________________О.С. Соседова


3


Выбранный для просмотра документ указания к пр. раб. №28 частные производные..doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №28

по дисциплине «Элементы высшей математики»


Тема: «Вычисление частных производных функции двух переменных. Нахождение экстремума функции двух переменных»


Цель: учиться вычислять частные производные функции нескольких переменных; учиться находить экстремум функции нескольких переменных.

Обеспечение: методические указания


1) Найдите частные производные функции:

а) hello_html_126a9df6.gif б) hello_html_m7ad2ef3b.gif

Решение.

а) hello_html_60ee2f5e.gif

б) hello_html_m43f8842a.gif



2) Вычислить частные производные второго порядка для функции hello_html_45950d95.gif:

Решение.

Сначала найдем частные производные первого порядка по х и по у:

hello_html_m788e70d2.gifhello_html_9f108f.gif

Затем найдем производные второго порядка: hello_html_m2884c175.gif; hello_html_m36de7f39.gif

hello_html_m12815c2a.gif


3) Найти экстремум функции hello_html_646b3de3.gif

Решение. Найдем частные производные hello_html_a26119b.gif

Найдем точки возможного экстремума. Для этого решим систему уравнений hello_html_3ee7ebaf.gif

hello_html_m11ac106d.gif

Решением этой системы является пара чисел hello_html_m285343fb.gif Следовательно, hello_html_75b69952.gif - точка возможного экстремума.

Теперь найдем вторые частные производные и ∆: hello_html_2e72309d.gif, hello_html_5846c92e.gif, hello_html_3c17300f.gif.

hello_html_m4fa35e0.gifhello_html_m1c32b599.gifТак как ∆=3>0 и hello_html_60834223.gif>0, то в точке hello_html_75b69952.gif данная функция имеет минимум.

Задания для самостоятельного выполнения:



  1. Найдите частные производные функции

Вариант № 1

а) hello_html_m6b2180e0.gif

б) hello_html_7bb028a3.gif

Вариант № 4

а) hello_html_249162b7.gif

б) hello_html_m2f4cae7d.gif

Вариант № 2

а) hello_html_6a2d6b1b.gif

б) hello_html_4c6cdb27.gif

Вариант № 5

а) hello_html_7a4db446.gif

б) hello_html_m4d1dcb97.gif

Вариант № 3

а) hello_html_5b38bcce.gif

б) hello_html_m70adeef5.gif

Вариант № 6

а) hello_html_m2d6ec53c.gif

б) hello_html_m1f92b688.gif


  1. Вычислить частные производные второго порядка для функции:

Вариант № 1

hello_html_54fcdf2.gif

Вариант № 4

hello_html_m28d415f5.gif

Вариант № 2

hello_html_6211c2c9.gif

Вариант № 5

hello_html_7bd279c6.gif

Вариант № 3

hello_html_mddad83c.gif

Вариант № 6

hello_html_m155b58d3.gif



3. Найти экстремум функции:


Вариант № 1

hello_html_m498a47bd.gif

Вариант № 4

hello_html_m396961f4.gif

Вариант № 2

hello_html_m1ebe9ed0.gif

Вариант № 5

hello_html_1c2d6d1d.gif

Вариант № 3

hello_html_m4acdb5a7.gif

Вариант № 6

hello_html_3cb213a5.gif



Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009










Преподаватель ________________О.С. Соседова



2


Выбранный для просмотра документ указания к пр. раб. №33. комплексные числа.doc

библиотека
материалов


Методические указания по проведению практического занятия №33

по дисциплине «Элементы высшей математики»


Тема: «Различные формы записи комплексных чисел. Операции над комплексными числами».


Цель: учиться представлять комплексные числа в алгебраической и геометрической формах; учиться производить алгебраические операции над комплексными числами..

Обеспечение: методические указания


1) Найти модуль и главное значение аргумента комплексных чисел: а)hello_html_m8687cc0.gifб) z =2-2i

Решение.

а) hello_html_m8687cc0.gif

а = 1, b = 1 ( I четверть )

hello_html_314235cf.gif

б) z =2-2i

а = 2, b = -2 ( IV четверть )

hello_html_4334b722.gif

2) Выполните действия:

hello_html_m7742a9fc.gif

3) Для данных комплексных чисел запишите сопряженное и противоположное числа:

Данное число

Сопряженное число

Противоположное число

z = 3 + i

hello_html_m554044df.gif

-z = -3 - i

z = 1 - 5i

hello_html_886ed3a.gif

-z = -1 + 5i

z = -7+ i

hello_html_7058053d.gif

-z = 7 - i

4) Выполните действия:

hello_html_mbe7a881.gif

5) Представьте в тригонометрической форме следующие числа: а) z =3+3i b) z=-2+2hello_html_774d1622.gifi

Решение:

а) hello_html_522f0d99.gif

а = 3, b = 3 ( I четверть )

hello_html_m265853e.gif

б) hello_html_351a073e.gif

а = -2, b = hello_html_m7a2c76e2.gif ( II четверть )

hello_html_m19a33030.gif

6) Представьте в алгебраической форме следующее число: hello_html_m25e56123.gif

Решение: hello_html_m6f1e382b.gif


7) Выполните действия над комплексными числами в тригонометрической форме:

hello_html_44d151ab.gif

8) Решите уравнение: а) х2 - 2х + 5 = 0 б) х2 = -16

hello_html_m186dcc89.gif

hello_html_m108bbe40.gif





Задания для самостоятельного выполнения:


  1. Найти модуль и главное значение аргумента комплексных чисел:

Вариант № 1

hello_html_5304e007.gif

Вариант № 4

hello_html_m16847a4.gif

Вариант № 2

hello_html_m5fcb57a5.gif

Вариант № 5

hello_html_1ed90da4.gif

Вариант № 3

hello_html_m677f96c9.gif

Вариант № 6

hello_html_ddcf8b4.gif


  1. Найдите сумму, разность, произведение и частное данных комплексных чисел:

Вариант № 1

hello_html_5d26a5b2.gif

Вариант № 4

hello_html_m11e23a86.gif

Вариант № 2

hello_html_248ca67.gif

Вариант № 5

hello_html_7a0bbdc.gif

Вариант № 3

hello_html_7150c5fb.gif

Вариант № 6

hello_html_5d4dd126.gif


  1. Представьте в тригонометрической форме следующие числа:

Вариант № 1

hello_html_m5db54326.gif

Вариант № 4

hello_html_m12c92753.gif

Вариант № 2

hello_html_7ad9d970.gif

Вариант № 5

hello_html_m73f39d58.gif

Вариант № 3

hello_html_1ed90da4.gif

Вариант № 6

hello_html_m677f96c9.gif


  1. Представьте в алгебраической форме следующее число:

Вариант № 1

hello_html_79b39dd5.gif

Вариант № 4

hello_html_m2d47f61e.gif

Вариант № 2

hello_html_m1068da7e.gif

Вариант № 5

hello_html_m55c8a634.gif

Вариант № 3

hello_html_m341d90a7.gif

Вариант № 6

hello_html_m1591e561.gif


  1. Выполните действия над комплексными числами в тригонометрической форме:

Вариант № 1

hello_html_m4dc4fb37.gif

Вариант № 4

hello_html_38db9f37.gif

Вариант № 2

hello_html_m7ee54274.gif

Вариант № 5

hello_html_3cf909a8.gif

Вариант № 3

hello_html_7eb2a40e.gif

Вариант № 6

hello_html_1aa0fbcc.gif



  1. Решите уравнение:

Вариант № 1

х2 - 8х + 20 = 0

Вариант № 4

х2 = -64

Вариант № 2

х2 = -81

Вариант № 5

х2 - 8х + 25 = 0

Вариант № 3

х2 - 6х + 10 = 0

Вариант № 6

х2 - 6х + 25 = 0



Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010


Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009










Преподаватель ________________О.С. Соседова


3


Выбранный для просмотра документ указания к пр. раб.№ 12 предел последовательности.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №12

по дисциплине «Элементы высшей математики


Тема: «Вычисление пределов последовательностей»


Цель: учиться работать с числовыми последовательностями, заданными формулой общего члена, заданными реккурентным способом; учиться вычислять предел последовательности.

Обеспечение: методические указания


1) Вычислить первые шесть членов следующей последовательности hello_html_m73eab779.gif:

      Решение. Непосредственной подстановкой значения n в формулу получаем: hello_html_m15b632fc.gif

hello_html_m77ffbb35.gif

2) Найдите первые пять членов последовательности аn , если: hello_html_2b648b9f.gif:

      Решение. Непосредственной подстановкой значения n в формулу получаем: hello_html_m3c1a2f72.gif;

hello_html_28bb74d4.gifhello_html_647f141a.gifhello_html_41900414.gif

3) Вычислите пределы последовательностей: а) hello_html_70b0056e.gif; б) hello_html_5305811b.gif

Решение: Числители и знаменатели данных дробей не имеют предела, т.к. это неограниченные последовательности, следовательно для вычисления пределов применим следующий прием:

а) и числитель и знаменатель дроби разделим на n. В результате получим:

hello_html_57483dae.gif;

б) и числитель и знаменатель дроби разделим на n2 . В результате получим:

hello_html_m49dfe732.gif














Задания для самостоятельного выполнения:


  1. Вычислить пять первых членов следующей последовательности:

    Вариант № 1

    hello_html_m32db96e7.gif

    Вариант № 4

    hello_html_m7a667fd4.gif

    Вариант № 2

    hello_html_67e0eaad.gif

    Вариант № 5

    hello_html_m2d372a77.gif

    Вариант № 3

    hello_html_m6b3ebf47.gif

    Вариант № 6

    hello_html_4282a5b3.gif

  2. Найдите первые пять членов последовательности аn , если:

    Вариант № 1

    hello_html_6367f692.gif

    Вариант № 4

    hello_html_m1981c0ff.gif

    Вариант № 2

    hello_html_389286df.gif

    Вариант № 5

    hello_html_23eb902b.gif

    Вариант № 3

    hello_html_320d3463.gif

    Вариант № 6

    hello_html_mae6344a.gif

  3. Вычислите предел последовательности:

Вариант № 1

hello_html_6e1f0994.gif

Вариант № 4

hello_html_5bbbf02d.gif

Вариант № 2

hello_html_m6d5b86b8.gif

Вариант № 5

hello_html_74bdb76f.gif

Вариант № 3

hello_html_77a5ebb3.gif

Вариант № 6

hello_html_65f82d22.gif



Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  5. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  6. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009










Преподаватель ________________О.С. Соседова


Выбранный для просмотра документ указания к пр. раб.№ 25 радиус сходимости.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №25

по дисциплине «Элементы высшей математики»


Тема: «Нахождение радиуса и области сходимости степенного ряда»

Цель: учиться находить радиус и область сходимости степенных рядов.

Обеспечение: методические указания

hello_html_m6b6844f5.png

Пример 1. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда


hello_html_18b946f.png

Решение: Сделаем замену: u = x + 3. Тогда ряд принимает вид .


hello_html_m6d64e8d5.png


Вычислим радиус сходимости:



Соответственно, интервал сходимости равен (− ∞; ∞).

hello_html_7c5d95bb.png

Пример 2. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда


hello_html_13f8fbd.png


Решение: Вычислим радиус сходимости:



Рhello_html_mc27348.pngассмотрим сходимость в конечных точках. Если x = −1, то мы имеем расходящийся ряд hello_html_3f78ddc2.png

Если x = 1, то ряд также расходится.


hello_html_7c5d95bb.png

Следовательно, исходный ряд сходится на открытом интервале (− 1; 1).


Пhello_html_72d8890c.pngример 3. Найти радиус и интервал сходимости степенного ряда hello_html_8a542d5.png

hello_html_m3381544b.png

Решение: Здесь и . Радиус сходимости будет равен


hello_html_2399898.pnghello_html_7e4d3bd3.png

В точке x = −1 мы имеем сходящийся ряд .



Пhello_html_145ddb20.pngри x = 1 получаем расходящийся гармонический ряд .


Таким образом, заданный ряд сходится на полуоткрытом интервале [− 1; 1).

Задания для самостоятельного выполнения:


Найти радиус и интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на границах интервала:


Вариант № 1

а) hello_html_35c6221b.gif

б) hello_html_38a6d170.gif

Вариант № 2

а) hello_html_m738603c5.gif

б) hello_html_m3982aa04.gif

Вариант № 3

а) hello_html_m1bbc0496.gif

б) hello_html_40d24590.gif

Вариант № 4

а) hello_html_40d24590.gif

б) hello_html_m738603c5.gif

Вариант № 5

а) hello_html_38a6d170.gif

б) hello_html_m1bbc0496.gif

Вариант № 6

а) hello_html_m3982aa04.gif

б) hello_html_35c6221b.gif




Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  5. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  6. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009










Преподаватель ________________О.С. Соседова

Выбранный для просмотра документ указания к пр.раб 16,17 производная, дифференциал.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №16,17

по дисциплине «Элементы высшей математики


Тема: «Вычисление производных сложных и обратных функций. Вычисление дифференциала функции»

Цель: учиться вычислять производные сложных и обратных функций; учиться находить дифференциал функции; учиться вычислять производные высших порядков.

Обеспечение: методические указания



  1. Найти производные сложных функций:

а) hello_html_m29a00db7.gif

б) hello_html_3b173a2c.gif

вhello_html_m31a1d4e7.gif

гhello_html_720b1275.gif



д hello_html_3426f913.gif


      Решение.

а) hello_html_1b6656.gif

б) hello_html_m51915ad5.gif

в hello_html_5fae86c2.gif

hello_html_681e7017.gif

д) hello_html_m4274084.gif

2) Найти дифференциал функции: hello_html_m7a036dd.gif

      Решение.

Дифференциал функции будем искать по формуле: hello_html_656d21d1.gif

Найдем hello_html_m5ba8cef6.gif и получим: hello_html_m1d30a310.gif

3) Найти производную третьего порядка для функции hello_html_m7663a2db.gif:

Решение:

hello_html_22f8ebe1.gif












Задания для самостоятельного выполнения:


  1. Найдите производные следующих сложных функций:


Вариант № 1

а) у =ln ( х2+2)

б)hello_html_m1aaeec71.gif

в)hello_html_5fe80ece.gif

г) hello_html_m6a7f360d.gif

Вариант № 2

а) hello_html_35b491fc.gif

б)hello_html_m37b292c1.gif

в)hello_html_3147fdae.gif

г) hello_html_m48291aaa.gif

Вариант № 3

а) hello_html_5a369a21.gif

б)hello_html_m7c0b3691.gif

в)hello_html_m7213cedc.gif

г) hello_html_1379ff24.gif

Вариант № 4

а) hello_html_74187214.gif

б)hello_html_me666abf.gif

в)hello_html_20d5644d.gif

г) hello_html_m1aa37152.gif

Вариант № 5

а)hello_html_m49101d8c.gif

б)hello_html_m25de658d.gif

в)hello_html_m1d1c1b77.gif

г) hello_html_m1d3d2a86.gif

Вариант № 6

а) hello_html_m4cae50b2.gif

б)hello_html_m430ab025.gif

в)hello_html_m52266e4f.gif

г) hello_html_2568f26e.gif


  1. Найдите дифференциал функций:


Вариант № 1

hello_html_m3df6107c.gif

Вариант № 2

hello_html_m6ebcb902.gif

Вариант № 3

hello_html_m5c19c948.gif

Вариант № 4

hello_html_m7d4c4d62.gif

Вариант № 5

hello_html_238ad7b4.gif

Вариант № 6

hello_html_m5a069f67.gif


  1. Найдите производную второго порядка :


Вариант № 1

hello_html_mdd1ee2b.gif

Вариант № 2

hello_html_m1be15d19.gif

Вариант № 3

hello_html_m20e152e.gif

Вариант № 4

hello_html_3552eb8b.gif

Вариант № 5

hello_html_69940a2a.gif

Вариант № 6

hello_html_63e16383.gif





Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  5. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  6. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009










Преподаватель ________________О.С. Соседова


3


Выбранный для просмотра документ указания к пр.раб №27. предел функции двух переменных..doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №27

по дисциплине «Элементы высшей математики»


Тема: «Предел и непрерывность функции двух независимых переменных»


Цель: учиться исследовать на непрерывность функцию двух переменных; учиться находить предел функции нескольких переменных»

Обеспечение: методические указания

1) Найдите полное и частные приращения функции: hello_html_1e6402a8.gif

Решение.

hello_html_f1890aa.gif


2) Исследовать на непрерывность функцию: hello_html_m47d4e458.gif

Решение.

Дадим аргументу х приращение Δх, а аргументу у приращение Δу и найдем приращение функции Δz:

zhello_html_195efa50.gif + Δz = (х + Δх)3 + 3(y+Δy) = х3 +3х Δх2 +3 x2 Δх + Δх3+ 3y +3 Δy

z = х3 +3y

Δz = 3х Δх2 +3 x2 Δх + Δх3+3 Δy

Найдем предел Δz при Δх→0 и Δу→0: hello_html_541fb2e9.gif. Так как hello_html_m66deed90.gif то, следовательно, функция hello_html_m47d4e458.gifнепрерывна на множестве всех упорядоченных пар числе (х; у).


3) Найти предел функции: а) hello_html_m2562928f.gif

Решение.

hello_html_65543b26.gif


Задания для самостоятельного выполнения:


  1. Найдите полное и частные приращения функции:

Вариант № 1

hello_html_m6f923259.gif

Вариант № 4

hello_html_2bf4b981.gif

Вариант № 2

hello_html_42806ede.gif

Вариант № 5

hello_html_m60640c91.gif

Вариант № 3

hello_html_m71221d49.gif

Вариант № 6

hello_html_m7ab33ea5.gif


  1. Исследовать на непрерывность функцию: hello_html_m53d4ecad.gif

Вариант № 1

hello_html_21196b2a.gif

Вариант № 4

hello_html_m71221d49.gif

Вариант № 2

hello_html_5fbe600e.gif

Вариант № 5

hello_html_m57e2b966.gif

Вариант № 3

hello_html_2d610c00.gif

Вариант № 6

hello_html_557568ec.gif


  1. Найти предел функции:

Вариант № 1

hello_html_6e328153.gif

Вариант № 4

hello_html_2447bd0.gif

Вариант № 2

hello_html_5e0cdff2.gif

Вариант № 5

hello_html_4782a698.gif

Вариант № 3

hello_html_m5e4fe2a8.gif

Вариант № 6

hello_html_18475c99.gif



Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009










Преподаватель ________________О.С. Соседова



2


Выбранный для просмотра документ указания к пр.раб.15 вычисление производных.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия № 15

по дисциплине «Элементы высшей математики


Тема: «Вычисление производных»

Цель: учиться вычислять производную функции, пользуясь определением производной; учиться вычислять производную функции используя правила дифференцирования; учиться применять геометрический и физический смысл производной.

Обеспечение: методические указания



1) Найти производную функции, пользуясь непосредственно определением производной hello_html_m7e1b6df2.gif:

      Решение.

Находим производную по общему правилу:

  1. у + Δу = 2(х + Δх)2 - 3(х + Δх) = 2х2 + 4хΔх + 2Δх2 – 3х -3Δх

hello_html_4d0be3ca.gifhello_html_36742a9b.gif у = 2х2 - 3х

  1. Δу = 4хΔх + 2Δх2 -3Δх

  2. hello_html_1152ff07.gif

  3. hello_html_m56e3f2e.gif


2) Определить тангенс угла наклона касательной к кривой hello_html_52967f8f.gifв точке hello_html_4a5428.gif:

      Решение.

Найдем производную данной функции: hello_html_3fd8e696.gif

Подставим в полученную формулу вместо х данное значениеhello_html_4a5428.gif и получим: hello_html_m5eaa88dc.gif, это и есть тангенс угла наклона касательной к кривой в данной точке.



3) Вычислить производные следующих функций:

а) hello_html_746b796c.gif; б) hello_html_m5009b3f6.gif в) hello_html_m771c99fc.gif

Решение:

Для нахождения производных воспользуемся основными правилами дифференцирования и таблицей производных:

а) hello_html_6fcd1a2c.gif

б) hello_html_61641ea1.gif

в) hello_html_35306fd0.gif



4) Найти скорость и ускорение в момент времени t = 2 для точки, движущейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением: hello_html_m3964838f.gif

Решение:

Найдем скорость движения точки в любой момент времени t: hello_html_740defa9.gif

Вычислим скорость движения точки в момент времени t = 4: hello_html_m612ee7c9.gif

Найдем ускорение движения точки в любой момент времени t: hello_html_3d080a7b.gif

Вычислим скорость движения точки в момент времени t = 4: hello_html_1d6602c8.gif


Задания для самостоятельного выполнения:


  1. Найти производную функции, пользуясь непосредственно определением производной

Вариант № 1

у = х3

Вариант № 4

hello_html_m2c4410ca.gif

Вариант № 2

hello_html_d9cda82.gif

Вариант № 5

у = х2+ 2х+ 4

Вариант № 3

у = х2 + 1

Вариант № 6

у = х3 – 2х


  1. Определить тангенс угла наклона касательной к кривой в данной точке:


Вариант № 1

hello_html_d9cda82.gifпри hello_html_4a5428.gif

Вариант № 4

у = х3 при х = -1

Вариант № 2

у = х3 при х = 1

Вариант № 5

hello_html_d9cda82.gifпри hello_html_4d5868ee.gif

Вариант № 3

у = х2 - х при х = 1

Вариант № 6

hello_html_m2c4410ca.gifпри х = 0


  1. Вычислить производные следующих функций:

Вариант № 1

а) hello_html_m7d24908d.gif

б) hello_html_1ab0a3a6.gif

в) hello_html_m3ea7af1d.gif

Вариант № 2

а) hello_html_m411ba635.gif

б) hello_html_m5bf9d58a.gif

в) hello_html_m1f680bd0.gif

Вариант № 3

а) hello_html_646ee683.gif

б) hello_html_5f8fa2ce.gif

в) hello_html_m4a2d3c7b.gif

Вариант № 4

а) hello_html_m6035882b.gif

б) hello_html_m13bdbbc0.gif

в) hello_html_3a172e9b.gif

Вариант № 5

а) hello_html_m54927a55.gif

б) hello_html_7264aafb.gif

в) hello_html_2cdc204c.gif

Вариант № 6

а) hello_html_4bd83da0.gif

б) hello_html_m7a043000.gif

в) hello_html_3e86fa91.gif


  1. Найти скорость и ускорение в данный момент времени для точки, движущейся прямолинейно, если движение точки задано уравнением:


Вариант № 1

hello_html_1e0362ae.gif

Вариант № 2

hello_html_2ab7a746.gif

Вариант № 3

hello_html_m39be2cc5.gif

Вариант № 4

hello_html_128278d7.gif

Вариант № 5

hello_html_m5b49cb5b.gif

Вариант № 6

hello_html_m2edd4554.gif

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  5. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  6. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009










Преподаватель ________________О.С. Соседова




3


Выбранный для просмотра документ указания к пр.раб.№30. диф ур.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №30

по дисциплине «Элементы высшей математики»


Тема: «Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными»

Цель: учиться решать дифференциальные уравнения I порядка с разделяющимися переменными.

Обеспечение: методические указания


1) Найти общее решение уравнения hello_html_4d716cbf.png


Решение. Разделив переменные, получим hello_html_m69a19c91.png

Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

hello_html_c2dbfe5.png

hello_html_m5c3d8db7.png

Так как произвольная постоянная может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований в качестве такой постоянной приняли hello_html_5ce1f7ab.png

Потенцируя по­следнее равенство, получим hello_html_7ae7b655.png

Это и есть общее решение данного уравнения.


2) Найти частное решение уравнения hello_html_m4002beec.png, удовлет­воряющее начальным условиям S = 4 при hello_html_m9b7e86f.gif.


Решение. Разделив переменные, получим hello_html_633e0c6c.png

Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

hello_html_m50bc25dc.png

hello_html_m1ff7f240.png

или hello_html_1cd582ed.png

hello_html_m28a19303.png

Это общее решение данного уравнения. Для нахождения значе­ния произвольной постоянной С подставим значения hello_html_m9b7e86f.gifи S=4 в выражение для общего решения: hello_html_3098a155.png

или 4 = С/2, откуда С = 8.

Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, имеет вид S = 8 cos t.





Задания для самостоятельного выполнения:


1. Найти общее решение уравнения:

Вариант № 1

а) y2dx + (x - 2)dy = 0



Вариант № 2

а) x2dy - (2xy+3y)dx=0



Вариант № 3

а)(x2yx2)dy +(y2+xy2)dx=0



Вариант № 4

а) (1 + y2)dx -hello_html_45443a93.gifdy=0



Вариант № 5

а) y2dx + (x - 2)dy = 0



Вариант № 6

а) x2dy - (2xy+3y)dx=0




2. Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее указанному начальному условию

Вариант № 1

а) ds = (3t2-2t)dt s=4 при t=2




Вариант № 2

а) hello_html_4867c8bb.gify=4 при х=0



Вариант № 3

а) hello_html_m426c05ce.gif y=2 при х=0



Вариант № 4

а) (1 + y)dx = (1 - x)dy y=3 при х=-2



Вариант № 5

а) ds = (3t2-2t)dt s=4 при t=2



Вариант № 6

а) hello_html_4867c8bb.gify=4 при х=0




Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009



Преподаватель ________________О.С. Соседоваhello_html_m28a19303.png

Выбранный для просмотра документ указания к пр.раб1 матрицы.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №1

по дисциплине «Элементы высшей математики


Тема: «Операции над матрицами»

Цель: учиться выполнять алгебраические операции над матрицами.

Обеспечение: методические указания.


1) Сложить две матрицы А и В, если

hello_html_m1ec5b734.png

      Решение

      Матрицы А и В квадратные матрицы второго порядка. Складывая их соответствующие элементы, получаем:

hello_html_64e218a2.png


hello_html_6cc4a0f1.png

      Решение

      Матрицы А и В прямоугольные матрицы размера 2x3. Складывая их соответствующие элементы, получаем:

hello_html_4b85c9ee.png

2) Умножить матрицу А на число k = 3

hello_html_m4f89ff2f.png

      Решение.

      Умножая каждый элемент матрицы А на 3, получим

hello_html_m327c5ae0.png

    

3) Найти линейную комбинацию 3А-2В матриц:


hello_html_m3fa8d1a6.png

      Решение.

      Сначала находим произведение матрицы А на 3, затем произведение матрицы В на 2:  


hello_html_6be9486.png

      Теперь найдем разность полученных матриц

hello_html_3e9eb167.png

 4)Найти произведения матриц

hello_html_m74753eb2.png

      Решение.

      Умножая каждый элемент первой строки матрицы А на соответствующий элемент первого столбца матрицы В и складывая полученные произведения получим элемент с11 матрицы С и т.д., (например, чтобы получить элемент с23 матрицы С необходимо каждый элемент второй строки матрицы А умножить на соответствующий элемент третьего столбца матрицы В и полученные произведения сложить). В результате получим:

hello_html_4a668d72.gif


5) Вычислить

hello_html_ma0d4661.png

      Решение

hello_html_m30c9d0a9.png










Задания для самостоятельного выполнения:


  1. Даны матрицы А и В и число k

а) найти сумму матриц А+В;

б) умножить матрицу А на число k;

в) найти произведение матриц А·В;

г) вычислить: А2+2В.

Вариант № 1.

hello_html_50d5a9f4.gifk =3.

Вариант № 2

hello_html_m794c356.gifk =2.

Вариант № 3

hello_html_m293a8498.gifk =4

Вариант № 4

hello_html_2312a538.gifk =hello_html_m3d4efe4.gif

Вариант № 5

hello_html_m5ea0c7a7.gifk =-2

Вариант № 6

hello_html_2d487ed7.gifk =-0,5


Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009




Преподаватель ________________О.С. Соседова

3


Выбранный для просмотра документ указания к пр.раб2. определители.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №2

по дисциплине «Элементы высшей математики


Тема: «Вычисление определителей»

Цель: учиться вычислять определители второго порядка; учиться вычислять определители третьего порядка по правилу треугольников и используя теорему о разложении определителя по элементам строки или столбца; учиться вычислять миноры и алгебраические дополнения.

Обеспечение: методические указания

      


1) Вычислить определитель второго порядка


hello_html_m6563764f.png

      Решение

hello_html_m631803e1.png


2) Вычислить определитель третьего порядка двумя способами.


hello_html_7c49f2e4.png

      Решение.

      1. По правилу треугольников (правилу Сарруса):


hello_html_m355fc03.png

      2. По теореме о разложении определителя по элементам строки или столбца.


hello_html_53eec0cc.png


3) Записать все миноры определителя


hello_html_m6b8589dc.png

      Решение.


hello_html_m790641e9.png

hello_html_2e833e13.png

4) Вычислить алгебраические дополнения матрицы


hello_html_743833ec.png

      Решение.


hello_html_7381b2a2.png


Задания для самостоятельного выполнения:

  1. Вычислить определители:

    Вариант № 1.

    а) hello_html_m692b8766.gif б) hello_html_1d93cf94.gif

    Вариант № 2

    а) hello_html_9e67ac3.gif б) hello_html_m5ffa6e85.gif

    Вариант № 3

    а) hello_html_2f0b48cb.gif б) hello_html_m23140391.gif

    Вариант № 4

    а) hello_html_771e146d.gif б) hello_html_m6a1bb34e.gif

    Вариант № 5

    а) hello_html_m670ea1e3.gif б) hello_html_m334d05fd.gif

    Вариант № 6

    а) hello_html_m6bc425bc.gif б) hello_html_2f443eac.gif

  2. Дана матрица А.

а) записать все миноры определителя матрицы;

б) вычислить алгебраические дополнения для указанных элементов матрицы А.

Вариант № 1.

hello_html_m4797f0dd.gif для элементов а12, а22, а33

Вариант № 2

hello_html_m68655c57.gif для элементов а13, а21, а32

Вариант № 3

hello_html_m4bf38c78.gif для элементов а11, а23, а31

Вариант № 4

hello_html_m43a888dd.gif для элементов а12, а21, а31

Вариант № 5

hello_html_m776a9767.gif для элементов а13, а22, а33

Вариант № 6

hello_html_39969373.gif для элементов а11, а21, а32


Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  5. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  6. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009




Преподаватель ________________О.С. Соседова


3


Выбранный для просмотра документ указания к практической работе №7 действия с векторами.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №7

по дисциплине «Элементы высшей математики


Тема: «Операции над векторами. Решение задач векторным методом».

Цель: учиться решать задачи векторным методом; учиться производить алгебраические операции над векторами

Обеспечение: методические указания



  1. Найдите сумму изображенных на рисунке векторов:

hello_html_m2823cef2.gifhello_html_34402f1d.gifhello_html_m3e7b5095.gifhello_html_m2823cef2.gifhello_html_3fd9eab1.gifhello_html_34402f1d.gifhello_html_m3e7b5095.gifhello_html_388aa344.gifhello_html_3fd9eab1.gifhello_html_53afb20b.gif

а

Решение: Последовательно соединим

векторы. Суммой будет вектор, идущий

из начала первого вектора в конец

hello_html_388aa344.gifhello_html_m2823cef2.gif последнего,

а

а

в нашем случае это вектор 2а


  1. По координатам векторов а=(-4; 6; 0), b=(1; -1; 7) найдите координаты векторов а+b, a-b, 5a, 3a-2b.

Решение: Используя правила сложения и вычитания векторов, заданных своими координатами, а также правило умножения вектора на число получим:

а+b= (-4+1; 6+(-1); 0+7) = (-3; 5; 7)

a-b = (-4 -1; 6 -(-1); 0 -7) = (-5; 7; -7)

5a= (5*(-4); 5*6; 5*0) = (-20; 30; 0)

3a-2b= (-12; 18; 0) – (2; -2; 14) = (-14; 20; -14)






Задания для самостоятельного выполнения:


  1. Найдите сумму изображенных на рисунках векторов:

    hello_html_m10e9f65a.gifhello_html_m2d03b267.gif

    Вариант

    № 1

    аhello_html_658e86d0.gifhello_html_m1793eba0.gif) b)




    Вариант № 4

    а) b)




    Вариант № 2

    аhello_html_m34f13f80.gifhello_html_m53a5d0eb.gifhello_html_34402f1d.gifhello_html_m2823cef2.gifhello_html_34402f1d.gifhello_html_m7804be9e.gifhello_html_3d5885d4.gifhello_html_m1f7d5ff2.gifhello_html_37862b01.gif) b)




    Вариант № 5

    аhello_html_m2b48f926.gifhello_html_274919ec.gifhello_html_34402f1d.gifhello_html_m2823cef2.gifhello_html_34402f1d.gifhello_html_22276426.gifhello_html_m766e26a3.gifhello_html_m61fdcdba.gifhello_html_m6a8f326c.gif) b)




    Вариант № 3

    аhello_html_m49bb59ab.gifhello_html_m2823cef2.gifhello_html_m3e3a7937.gifhello_html_m2823cef2.gifhello_html_m441c28a9.gifhello_html_m2e18566c.gifhello_html_3d5885d4.gif) b)



    Вариант № 6

    аhello_html_516c6a2b.gifhello_html_4641c3ba.gifhello_html_m8de550a.gifhello_html_m48312614.gifhello_html_4641c3ba.gifhello_html_m2823cef2.gifhello_html_34402f1d.gifhello_html_m2823cef2.gifhello_html_34402f1d.gifhello_html_m7804be9e.gifhello_html_3d5885d4.gifhello_html_m765741f0.gifhello_html_760faf07.gifhello_html_d916380.gif) b)




  2. Дан тетраэдр ABCS. Найдите сумму векторов:

    Вариант № 1

    hello_html_3b8a6ff7.gifhello_html_3b8a6ff7.gif

    Ahello_html_3b8a6ff7.gifB + BC + CS

    Вариант № 4

    hello_html_3b8a6ff7.gifhello_html_3b8a6ff7.gifhello_html_3b8a6ff7.gifhello_html_3b8a6ff7.gif

    СB + BS + SC + CA

    Вhello_html_3b8a6ff7.gifариант № 2

    hello_html_3b8a6ff7.gifhello_html_3b8a6ff7.gifhello_html_3b8a6ff7.gif

    AС + CS + SA + AB

    Вариант № 5

    hello_html_3b8a6ff7.gifhello_html_3b8a6ff7.gifhello_html_3b8a6ff7.gifhello_html_3b8a6ff7.gif

    BС + CА + АS + SB

    Вариант № 3

    hello_html_3b8a6ff7.gifhello_html_3b8a6ff7.gifhello_html_3b8a6ff7.gif

    СA + AS + SB

    Вариант № 6

    hello_html_3b8a6ff7.gifhello_html_3b8a6ff7.gif

    Shello_html_3b8a6ff7.gifA + AB + BC

  3. Даны векторы а и b. Вычислите:

а) a - b

б) 3a - b

в)2a + 3b


Вариант № 1

a = (4; -2; 0), b = (1; 2; 3)

Вариант № 4

a = (3; -1; 0), b = (3; 4; 5)

Вариант № 2

a = (3; 1; -2), b = (1; 3; 2)

Вариант № 5

a = (-1; 0; 7), b = (-2; 1; 5)

Вариант № 3

a = (2; -3; 1), b = (0; 4; -2)

Вариант № 6

a = (0; 1; 5), b = (5; -2; 3)


Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009





Преподаватель ________________О.С. Соседова


1


Выбранный для просмотра документ указания к практической работе №8 умножение векторов.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №8

по дисциплине «Элементы высшей математики


Тема: «Скалярное, векторное и смешанное произведение векторов»

Цель: учиться вычислять скалярное, векторное и смешанное произведение векторов.

Обеспечение: методические указания


  1. Вычислить скалярное произведение векторов: а=(2; -3; 4) и b=(5; 7; -1).

Решение: по формуле ab1∙х21∙у2+z1z2 имеем: ab = 2∙5 + (-3)∙7 + 4∙(-1) = -15


  1. Вычислить векторное произведение векторов: а=(2; 3; -4) и b=(5; 1; 2).

Решение: По формуле для векторного произведения: hello_html_m1e7ff9f8.gif имеем: hello_html_64fdd209.gif

  1. Вычислить смешанное произведение векторов: а=(4; -1; 1), b=(8; 3; 3) и с=(5; 1; 1).

Решение: По формуле для смешанного произведения: hello_html_m35cbb77a.gif имеем: hello_html_49cac6b6.gif


Задания для самостоятельного выполнения:

  1. Даны векторы а и b. Вычислите:

а) a · b в) (a - b)2

б) b2 г) (3a - b)·(2a + 3b)

Вариант № 1

a = (4; -2; 0), b = (1; 2; 3)

Вариант № 4

a = (3; -1; 0), b = (3; 4; 5)

Вариант № 2

a = (3; 1; -2), b = (1; 3; 2)

Вариант № 5

a = (-1; 0; 7), b = (-2; 1; 5)

Вариант № 3

a = (2; -3; 1), b = (0; 4; -2)

Вариант № 6

a = (0; 1; 5), b = (5; -2; 3)


  1. Найдите векторное произведение [a; b] векторов:

Вариант № 1

a = (1; -2; 3) ; b = (2; 2; -1)

Вариант № 4

a = (4; 1; -2) ; b = (2; -3; 0)

Вариант № 2

a = (0; 1; -2) ; b = (2; -1; 0)

Вариант № 5

a = (4; -5; 1) ; b = (2; -1; 0)

Вариант № 3

a = (2; -1; 3) ; b = (-1; 1; 0)

Вариант № 6

a = (-3; -2; -1) ; b = (1; 2; 3)


  1. Найдите смешанное произведение (a; b; c) векторов:

Вариант № 1

a = (0; 3; -1) ; b = (5; 0; 0) ;

с = (7; -2; 4)

Вариант № 4

a = (6; -3; 2) ; b = (1; 0; 1) ;

с = (-3; 2; 4).

Вариант № 2

a = (4; -2; 1) ; b = (2; 1; 0) ; с = (1; 0; 4)

Вариант № 5

a = (0; 4; -3) ; b = (1; -2; 5) ;

с = (6; 0; -2)

Вариант № 3

a = (3; -1; 2) ; b = (2; 1; 2) ; с = (5; 0; 0

Вариант № 6

ahello_html_6ab3a16b.gifhello_html_6ab3a16b.gifhello_html_6ab3a16b.gif = (-4; 3; 2) ; b = (5; 0; 4) ;

с = (-3; -2; 3)

Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  5. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  6. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009










Преподаватель ________________О.С. Соседова


Выбранный для просмотра документ указания пр.раб.13 предел функции.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия № 13

по дисциплине «Элементы высшей математики


Тема: «Вычисление пределов функций»

Цель: Учиться вычислять пределы функций используя различные способы раскрытия неопределенностей.

1) Вычислить пределы: а) hello_html_m2b694aa4.gif; б) hello_html_m5f7bf33e.gif; в) hello_html_m45ca4868.gif

Решение: а) hello_html_70183744.gif

б) hello_html_47045f82.gif

в) hello_html_4e9cb58a.gif

2) Вычислить пределы: а) hello_html_1bf12d5b.gif; б) hello_html_m4e096494.gif

Решение: а) hello_html_m322d71b1.gif

б) hello_html_m7dd2a44c.gif


Задания для самостоятельного выполнения:


  1. Вычислить пределы:

    Вариант № 1

    а) hello_html_m2a568e4a.gif б) hello_html_m6c94322d.gif в) hello_html_m534e4016.gif

    Вариант № 2

    а) hello_html_m740a18ef.gif б) hello_html_m1ca24434.gif в) hello_html_m1588d333.gif

    Вариант № 3

    а) hello_html_m758e8409.gif б) hello_html_m51617208.gif в) hello_html_7bcccb01.gif

    Вариант № 4

    а) hello_html_1ebdd850.gif б) hello_html_m2c92b795.gif в) hello_html_m628846e0.gif

    Вариант № 5

    а) hello_html_4a41d7a6.gif б) hello_html_22d8aed4.gif в) hello_html_m41bedd38.gif

    Вариант № 6

    а) hello_html_63b06848.gif б) hello_html_4f848b36.gif в) hello_html_500433ae.gif

  2. Вычислить пределы:

Вариант № 1

а) hello_html_221566fa.gif б) hello_html_m3151d8f4.gif

Вариант № 4

а) hello_html_m6cd43354.gif б)hello_html_m29663dee.gif

Вариант № 2

а) hello_html_m2fffe6f5.gif б) hello_html_m12bfe0ed.gif

Вариант № 5

а) hello_html_m330aedee.gif б) hello_html_m32507a6b.gif

Вариант № 3

а) hello_html_5281753c.gif б) hello_html_777ef810.gif

Вариант № 6

а) hello_html_m74bafede.gif б) hello_html_7e429d28.gif




Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  5. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  6. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009










Преподаватель ________________О.С. Соседова


2


Выбранный для просмотра документ указания пр.раб.21. определенный интеграл.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №21

по дисциплине «Элементы высшей математики»


Тема: «Вычисление определенного интеграла»

Цель: учиться вычислять определенный интеграл, используя табличное интегрирование, применяя метод подстановки и метод интегрирования по частям.

Обеспечение: методические указания


  1. Вычислить определенный интеграл: а) hello_html_m262f67af.gif , б) hello_html_2d3d7fd3.gif

Решение.

а) Используя свойства определенного интеграла, формулу интегрирования степенной функции и формулу Ньютона-Лейбница имеем:

hello_html_m622e674f.gif

б) hello_html_770a6417.gif

  1. Вычислить определенный интеграл методом подстановки:

а) hello_html_67f004fe.gif , б) hello_html_195d54ed.gif

Решение.

а) Введем новую переменную интегрирования с помощью подстановки hello_html_m48bf7fdc.gif, найдем hello_html_687e258b.gif, затем выразим hello_html_m7dd1373.gif. Находим новые пределы интегрирования. Подставляя в соотношение hello_html_m48bf7fdc.gif значения х = 2 и х = 3, соответственно получим: hello_html_m12dad42a.gif и hello_html_m3708c8aa.gif. Следовательно:

hello_html_5570e995.gif

б) Полагая hello_html_m62093564.gif, имеем hello_html_1182a41e.gif, а следовательно выразим: hello_html_m6851d565.gif. Вычисляем новые пределы интегрирования: hello_html_237d6849.gif и hello_html_m3d74732b.gif.

hello_html_122100e1.gif

  1. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям: hello_html_571e85b8.gif.:

Решение.

Положим u = ln x , = x dx , тогда du =hello_html_m27f6c509.gif, hello_html_136c0b14.gif.

Используя формулу интегрирования по частям: hello_html_m6fcbc230.gif, получим:

hello_html_m2c5125be.gif


Задания для самостоятельного выполнения:


  1. Вычислить определенный интеграл:

Вариант № 1

а) hello_html_m3ea45a6a.gif

б) hello_html_m61c01db6.gif

Вариант № 2

а) hello_html_5ef3642a.gif

б) hello_html_m9086287.gif

Вариант № 3

а) hello_html_5f3cd219.gif

б) hello_html_m4a292cf6.gif

Вариант № 4

а) hello_html_m5d7dc686.gif

б) hello_html_m48066c8d.gif

Вариант № 5

а) hello_html_6cd2f52d.gif

б) hello_html_md4e16bf.gif

Вариант № 6

а) hello_html_m302372ff.gif

б) hello_html_m40668db4.gif


  1. Вычислить определенный интеграл методом подстановки:

Вариант № 1

а) hello_html_e8f336e.gif

б) hello_html_1a66103d.gif

Вариант № 2

а) hello_html_555f6bce.gif

б) hello_html_m5d6cd49a.gif

Вариант № 3

а) hello_html_m4b460f56.gif

б) hello_html_599e1474.gif

Вариант № 4

а) hello_html_m918ed6.gif

б) hello_html_m390f8a1e.gif

Вариант № 5

а) hello_html_77a5bf16.gif

б) hello_html_3d9f7270.gif

Вариант № 6

а) hello_html_m1ebed806.gif

б) hello_html_m4cc0e888.gif



  1. Вычислить определенный интеграл методом интегрирования по частям:

Вариант № 1

hello_html_m6d7867d8.gif

Вариант № 4

hello_html_3a3f5c93.gif

Вариант № 2

hello_html_63bc9cb2.gif

Вариант № 5

hello_html_m29cf14ac.gif

Вариант № 3

hello_html_1931a135.gif

Вариант № 6

hello_html_3c1a8a2b.gif



Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009










Преподаватель ________________О.С. Соседова


3


Выбранный для просмотра документ указания пр.раб.22 приложения определенного интеграла.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №22

по дисциплине «Элементы высшей математики»


Тема: «Приложения определенного интеграла»

Цель: учиться вычислять площадь плоской фигуры, ограниченной линиями; учиться вычислять длину дуги кривой; учиться находить закон движения тела и пройденный путь.

Обеспечение: методические указания



  1. Вычислить площадь следующей плоской фигуры, ограниченной линиями:

hello_html_mbbf3748.gifhello_html_966386.gif

Решение.

Построим данную фигуру. Это треугольник, ограниченный прямыми hello_html_7f3059d2.gif и осью Ох (см.рис.) Площадь фигуры находим по формуле: hello_html_m7331688a.gif, где hello_html_m4cbfc658.gif

hello_html_2a18e544.gif

  1. Вычислить длину дуги параболы : hello_html_m310ed2f0.gifмежду точками О(0;0) и А(hello_html_4fa5ae61.gif)

Решение.

Дифференцируя уравнение параболы, получим hello_html_m5edc25c7.gif. Вычислим длину дуги по формуле: hello_html_5cba8704.gif. Для нашего примера имеем:

hello_html_m3184330d.gif

  1. Тело движется со скоростью hello_html_255b64b1.gif . Найдите путь, пройденный телом за первые 10 секунд.

Решение.

hello_html_181c5cd8.gif
















Задания для самостоятельного выполнения:


  1. Вычислить площади следующих плоских фигур, ограниченными линиями:

Вариант № 1

а) hello_html_m2cdbad19.gif

Вариант № 2

а) hello_html_8e50306.gif

Вариант № 3

а) hello_html_3559a498.gif

Вариант № 4

а) hello_html_7fe24d76.gif

Вариант № 5

а) hello_html_m446d74aa.gif:

Вариант № 6

а) hello_html_m6fa5ce51.gif


  1. Вычислить длину дуги кривой:

Вариант № 1

а) hello_html_20987a0c.gif

Вариант № 2

а) hello_html_65fa2d45.gif

Вариант № 3

а) hello_html_76b83a74.gif

Вариант № 4

а) hello_html_4a58ecca.gif

Вариант № 5

а) hello_html_md796898.gif

Вариант № 6

а) hello_html_m2f0a5e0.gif


  1. Тело движется со скоростью V(t). Найдите путь, пройденный телом за первые t секунд.

Вариант № 1

hello_html_m4b63790d.gif, t = 2 c

Вариант № 4

hello_html_50a103ee.gif, t = 5 c

Вариант № 2

hello_html_3a9007dc.gif, t = 3 c

Вариант № 5

hello_html_358dbaf7.gif, t =3 с

Вариант № 3

hello_html_m74b85dad.gif, t = 4 c

Вариант № 6

hello_html_38de437.gif, t = 4 c






Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009










Преподаватель ________________О.С. Соседова


2


Выбранный для просмотра документ указания пр.раб.23 несобственные интнгралы.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №23

по дисциплине «Элементы высшей математики»


Тема: «Вычисление несобственных интегралов»

Цель: учиться вычислять несобственные интегралы.

Обеспечение: методические указания



Вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость):

а) hello_html_mf51d4e6.gif б) hello_html_m7fd4a0b3.gif в) hello_html_m786861fb.gif г) hello_html_2b5a5bd2.gif

Решение.

а) hello_html_3d126840.gif ,

следовательно данный предел не существует, и несобственный интеграл расходится.


б) hello_html_m6781ccfe.gif


в) Подынтегральная функция hello_html_230d225d.gif четная, следовательно можно записать:

hello_html_4f927cf2.gif

Вычислим второй интеграл:

hello_html_m29b53f16.gif

Следовательно искомый интеграл равен: hello_html_m20cbe628.gif


г) Функция hello_html_m37277221.gif в точке х = 0 терпит разрыв (т.к. эта точка обращает в нуль знаменатель), следовательно:hello_html_407ce371.gif

данный предел не существует, и несобственный интеграл расходится.
















Задания для самостоятельного выполнения:


Вычислить несобственные интегралы (или установить их расходимость):


Вариант № 1

а) hello_html_7642ea7b.gif

б) hello_html_m17d39ad9.gif

в) hello_html_30d00f3c.gif

Вариант № 2

а) hello_html_m76de5fca.gif

б) hello_html_5b445822.gif

в) hello_html_7736e860.gif

Вариант № 3

а) hello_html_m76622c51.gif

б) hello_html_m206b5317.gif

в) hello_html_m6be7b589.gif

Вариант № 4

а) hello_html_7736e860.gif

б) hello_html_m17d39ad9.gif

в) hello_html_m76622c51.gif

Вариант № 5

а) hello_html_5b445822.gif

б) hello_html_7642ea7b.gif

в) hello_html_m206b5317.gif

Вариант № 6

а) hello_html_30d00f3c.gif

б) hello_html_m76de5fca.gif

в) hello_html_m6be7b589.gif



Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009










Преподаватель ________________О.С. Соседова


2


Выбранный для просмотра документ указания пр.раб.3 обратные матрицы.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №3

по дисциплине «Элементы высшей математики


Тема: «Обратная матрица. Матричные уравнения».

Цель: учиться находить обратную матрицу, решать матричные уравнения.

Обеспечение: методические указания


1) Найти матрицу, обратную матрице

hello_html_m24775ef1.png

      Решение.

      1. Находим определитель матрицы А:


det A

hello_html_m6a2a618d.png

      Т.к. det A ≠ 0  , то можно найти матрицу hello_html_765b1f7.png 

      2. Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:


hello_html_58afb8c5.png

      Запишем новую матрицу

hello_html_5f44e48.png

      Транспонируем полученную матрицу

hello_html_20128666.png

      3. Умножим полученную матрицу на hello_html_4f81345.gif и найдем А-1:

hello_html_6d72c69b.png

     

 4. Проверим полученный ответ. Имеем

hello_html_5924921d.png



hello_html_m61621cfd.png

2) Решить уравнение:

hello_html_m42ca2137.gif

Решение:

Пользуясь правилом вычисления определителя 2 порядка, получаем следующее уравнение:

hello_html_m600b5805.gif

3) Решить матричное уравнение

hello_html_60f1f601.png

      Решение.

     1. Найдем обратную матрицу hello_html_m172f199a.png  . Для этого сначала найдем определитель матрицы А:

hello_html_436405ea.png

det A

      Вычислим алгебраические дополнения каждого элемента матрицы А:


hello_html_3607f31a.png

      Запишем матрицу: hello_html_m751f02c3.png  , и транспонируем ее: hello_html_3b2f40da.png 

      Учитывая, что hello_html_70f83583.gif , запишем обратную матрицу:

hello_html_6a1315ae.png

     2. Умножим матрицу hello_html_m172f199a.png  на матрицу В слева:

hello_html_d0230e4.png

      Т.к. hello_html_7544fcce.png  , то по определению равных матриц получим hello_html_41a51717.png 


Задания для самостоятельного выполнения:


  1. Найти обратную матрицу для матрицы А:


Вариант № 1

hello_html_m3be9b4a8.gif


Вариант № 4

hello_html_31cf7f4.gif

Вариант № 2

hello_html_m4f5c7176.gif


Вариант № 5

hello_html_m45bdcd7c.gif

Вариант № 3

hello_html_21c2fdd2.gif


Вариант № 6

hello_html_304c53c.gif


  1. Решить уравнение:

Вариант № 1

hello_html_15f4cf5.gif


Вариант № 4

hello_html_m6f465743.gif

Вариант № 2

hello_html_m15486014.gif


Вариант № 5

hello_html_m113f20e3.gif

Вариант № 3

hello_html_m49071946.gif


Вариант № 6

hello_html_m2621c3d7.gif


  1. Решить матричные уравнения:

Вариант № 1

а) hello_html_mc09c1c8.gif б) hello_html_49aba4e3.gif

Вариант № 2

а) hello_html_m5c9749a7.gif б) hello_html_238faf0e.gif

Вариант № 3

а) hello_html_m6f93b83a.gif б) hello_html_1173624d.gif

Вариант № 4

а) hello_html_51badbd4.gif б) hello_html_7354fc40.gif

Вариант № 5

а) hello_html_1fa0a264.gif б) hello_html_m3be3be3c.gif

Вариант № 6

а) hello_html_m6aeca061.gif б) hello_html_6763fd95.gif



Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Пирумов У.Г. Численные методы. – М.: Дрофа, 2007.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  5. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  6. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009




Преподаватель ________________О.С. Соседова



4


Выбранный для просмотра документ указания пр.раб.4 гаусс.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №4

по дисциплине «Элементы высшей математики


Тема: «Решение систем линейных уравнений методом Гаусса»

Цель: учиться решать системы линейных уравнений методом Гаусса.

Обеспечение: методические указания



Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса:

Пример 1) hello_html_5e0b995.gif

      Решение.

  1. Составим расширенную матрицу и выполним следующие преобразования системы:

hello_html_5a706f6a.gif

  1. Полученная матрица есть расширенная матрица системы канонического вида:

hello_html_m1d709e52.gifhello_html_m6e4518ae.gif - это и есть решение данной системы.

Пример 2) hello_html_m7acd69e.gif

Решение.

  1. Составим расширенную матрицу и выполним следующие преобразования системы:

hello_html_m5bc8c91f.gif

  1. Полученная матрица есть расширенная матрица системы канонического вида:

hello_html_m138983ab.gif , и тогда общее решение системы будет иметь вид: hello_html_69f7c0e5.gif

Т.е. система имеет множество решений. Придавая свободной переменной х3 различные числовые значения, будем получать различные частные решения системы.

Пhello_html_6271ec22.gifример 3) hello_html_5fe37a9d.gif

Решение.

  1. Составим расширенную матрицу и выполним следующие преобразования системы:

hello_html_3d88e27f.gif

  1. Соответствующая этой матрице система имеет вид:

hello_html_m56a1e80a.gif

последнее уравнение этой системы противоречивое, а следовательно система линейных уравнений несовместна, т.е. не имеет решений

hello_html_6271ec22.gif

Пример 4) hello_html_64462232.gif

Решение.

  1. Составим расширенную матрицу и выполним следующие преобразования системы:

hello_html_51f9fbff.gif

  1. Соответствующая этой треугольной матрице система имеет вид:

hello_html_mdebaa4c.gif - это и есть решение системы.

hello_html_6271ec22.gif


Задания для самостоятельного выполнения:


  1. Решить следующие системы линейных уравнений методом Гаусса

Вариант № 1

а)hello_html_5cb69ee0.gif

б)hello_html_2ff6deee.gif

в) hello_html_m7031490f.gif

Вариант № 2

а) hello_html_m400eef53.gif

б) hello_html_m618549a9.gif

в) hello_html_5249d05a.gif

Вариант № 3

а) hello_html_3b954493.gif

б) hello_html_m79f738da.gif

в) hello_html_3a6ede21.gif

Вариант № 4

а) hello_html_459f6405.gif

б) hello_html_3fde3159.gif

в) hello_html_m6632e07a.gif

Вариант № 5

а) hello_html_m366637c7.gif

б) hello_html_m1b2b42f4.gif

в) hello_html_150d69fc.gif

Вариант № 6

а) hello_html_m3ad5b69.gif

б) hello_html_3d95f31b.gif

в) hello_html_m4fc3e4df.gif









Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009




Преподаватель ________________О.С. Соседова


3


Выбранный для просмотра документ указания пр.раб.5 метод обратных матриц.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №5

по дисциплине «Элементы высшей математики

Тема: «Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы»

Цель: учиться решать системы линейных уравнений методом обратной матрицы

Обеспечение: методические указания



1) Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы:


hello_html_7ede3cdc.gif

      Решение.

  1. Составим матрицу А из коэффициентов при неизвестных, а матрицу-столбец В из свободных членов:

hello_html_2496e887.gif; hello_html_m657645e.gif и рассмотрим матричное уравнение: А·Х=В, где hello_html_m14478e9b.gif

Решением данного матричного уравнения, а следовательно и исходной системы будет: Х=А-1·В

  1. Найдем обратную матрицу А-1:

2.1. Найдем определитель матрицы А:

hello_html_2fba1321.gif

    1. Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:

hello_html_mc064e67.gif

получим матрицу: hello_html_m712d2545.gif, а затем транспонируем ее: hello_html_m64ba4f1e.gif

    1. Умножим полученную матрицу на величину, обратную определителю, т.е. на hello_html_1ba283a4.gif и получим: hello_html_m5dfaf88c.gif

  1. Найдем Х:

hello_html_m1e5267b9.gif

Ответ запишем в виде: hello_html_m38a365ec.gif




Задания для самостоятельного выполнения:


  1. Решить следующие системы линейных уравнений методом обратной матрицы:

Вариант № 1

а) hello_html_3d1dcd12.gif

б) hello_html_m7b7000c1.gif

Вариант № 2

а) hello_html_m78c59cde.gif

б) hello_html_436a3400.gif

Вариант № 3

а) hello_html_25d7988f.gif

б) hello_html_m45bed08f.gif

Вариант № 4

а) hello_html_m2bc05f24.gif

б) hello_html_m54fc1838.gif

Вариант № 5

а) hello_html_m62d3e939.gif

б) hello_html_4a3a8d36.gif

Вариант № 6

а) hello_html_6c75e2a9.gif

б) hello_html_m618e60f5.gif



Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009




Преподаватель ________________О.С. Соседова

2


Выбранный для просмотра документ указания пр.раб.6 крамер.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №6

по дисциплине «Элементы высшей математики

Тема: «Решение систем линейных уравнений с помощью формул Крамера».


Цель: учиться решать системы линейных уравнений при помощи формул Крамера

Обеспечение: методические указания


1) Решить систему линейных уравнений с помощью формул Крамера:

hello_html_m738dbd40.png

Решение:

  1. Составим матрицу А из коэффициентов при неизвестных, а матрицу-столбец В из свободных членов:

hello_html_m13ea8544.gif; hello_html_212e5c10.gif

  1. Составим и вычислим следующие определители:

hello_html_m55c9deb9.gif

3. По формулам Крамера найдем решение системы:

hello_html_m4bba1e42.gif



Задания для самостоятельного выполнения:


  1. Решить следующие системы линейных уравнений с помощью формул Крамера :



(дополнит. задание) решить

любым из изученных методов

Вариант № 1

а) hello_html_m62d3e939.gif

б) hello_html_4a3a8d36.gif

в)hello_html_m4425d158.gif

Вариант № 2

а) hello_html_m2bc05f24.gif

б) hello_html_m54fc1838.gif

Вариант № 3

а) hello_html_6c75e2a9.gif

б) hello_html_m618e60f5.gif

в)hello_html_m5a355e4e.gif

Вариант № 4

а) hello_html_m78c59cde.gif

б) hello_html_436a3400.gif

Вариант № 5

а) hello_html_3d1dcd12.gif

б) hello_html_m7b7000c1.gif

в)hello_html_724f24ec.gif

Вариант № 6

а) hello_html_25d7988f.gif

б) hello_html_m45bed08f.gif








Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009










Преподаватель ________________О.С. Соседова


2


Выбранный для просмотра документ указания пр.раб.9 уравнение прямой.doc

библиотека
материалов

Методические указания по проведению практического занятия №9

по дисциплине «Элементы высшей математики


Тема: «Уравнение прямой на плоскости»

Цель: учиться составлять параметрическое, каноническое уравнения прямой, уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору, уравнение прямой, проходящей через две точки, уравнение прямой в отрезках, уравнение прямой, перпендикулярной данному вектору; учиться находить угол наклона прямой; учиться вычислять угол между прямыми; учиться определять параллельность и перпендикулярность прямых.

Обеспечение: методические указания



1) Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М0 с координатами (3;-5), параллельно вектору а с координатами (4;2):

      Решение.

Непосредственной подстановкой координат точки М0 и координат вектора а в уравнения hello_html_m4d991cde.gif получим: hello_html_m27a45193.gif

2) Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М0(-1;1) параллельно вектору а=(2;3),

Решение:

Подставляя координаты точки М0 и координаты вектора а в уравнение hello_html_5a5fe31d.gif получим: hello_html_m7beb19ed.gif

3) Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М0(3;-4) параллельно вектору а=(0;5),

Решение:

Координата х направляющего вектора прямой равна 0, т.е. а1=0, поэтому воспользоваться уравнением hello_html_5a5fe31d.gif нельзя. Запишем параметрические уравнения данной прямой: hello_html_mfff9ad1.gif, т.е. получим прямую, параллельную оси Оу: х=3.

4) Составить уравнение прямой, проходящей через две точки М1(3;-2) и М2(5;1).

Решение:

После подстановки координат точек М1 и М2 в уравнение hello_html_618f42f.gifполучим: hello_html_1896436.gif или 3х-2у-13=0.

5) Для прямой hello_html_5e591da4.gif напишите ее уравнение в отрезках. Вычислите площадь треугольника, образованного этой прямой и осями координат.

Решение:

Пhello_html_ee88964.gifреобразуем данное уравнение следующим образом: hello_html_m26a8d835.gif;

разделим и левую и правую часть уравнения на 3: hello_html_1efcb66e.gif;

запишем данное уравнение в виде: hello_html_m20c7510a.gif, которое и является уравнением данной прямой в отрезках. Треугольник, образованный данной прямой и осями координат является

прямоугольным треугольником с катетами, равными 4 и 3, поэтому его площадь равна: hello_html_m75c3e501.gif(кв.ед.)


6) Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А (2; -3) перпендикулярно вектору

n = (-1;5).

Решение:

Пользуясь формулой hello_html_7a208145.gif находим уравнение данной прямой: hello_html_1e01053e.gif или окончательно получим: х -5у -17=0.

7) .Найти угол наклона прямой hello_html_m54c893b2.gif

Решение:

Приведем данное уравнение к виду: hello_html_m37d177c.gif. Следовательно hello_html_m63d01f34.gif.

hello_html_mc5455c2.gif- это отрезок, который отсекает прямая по оси Оу от начала координат.

8) Вычислите угол между прямыми: -3х -4у +25 =0 и 4х +3у -25 =0.

Решение:

По формуле hello_html_maee8aae.gif получаем: hello_html_1c8a2966.gif откуда по таблице косинусов находим hello_html_m784fb5d7.gif.


9) Среди следующих пар укажите пары параллельных или перпендикулярных прямых:

а) hello_html_m73dbf685.gif б) hello_html_m2b5e5a6b.gif

Решение:

Данные уравнения прямых – это канонические уравнения, для которых надо проверить выполнимость следующих условий:

- для параллельности hello_html_m69cd5e77.gif ; - для перпендикулярности: hello_html_72c66a9a.gif

Для первой пары прямых выполняется первое условие hello_html_m47c662f1.gif следовательно, прямые параллельны.

Для второй пары прямых первое условие не выполняется hello_html_m321af410.gif, а выполняется второе условие hello_html_6fb0b4a7.gif следовательно, прямые перпендикулярны.












Задания для самостоятельного выполнения:


1. Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через данную точку М0 параллельно вектору а, если:

Вариант № 1

М0 (-1 ; 2), а = (3 ; 2)

Вариант № 4

М0 (2 ; 0), а = (0 ; -3)

Вариант № 2

М0 (0 ; 1), а = (1 ; 0)

Вариант № 5

М0 (4 ; -1), а = (0 ; 5)

Вариант № 3

М0 (3 ; -2), а = (1 ; 3)

Вариант № 6

М0 (0 ; -6), а = (-2 ; 1)





2. Составить каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М0 параллельно вектору а,

Вариант № 1

М0 (hello_html_m6e3dd289.gif ; 1,5), а = (-3 ; -2)

Вариант № 4

М0 (2 ; 0), а = (0 ; -3)

Вариант № 2

М0 (0 ; -3), а = (- 4 ; 0)

Вариант № 5

М0 (hello_html_14f42fd4.gif ; 1), а = (-1 ; 2)

Вариант № 3

М0 (3; - 4), а = (1 ; - 4)

Вариант № 6

М0 (-1 ;hello_html_m55dde8fb.gif), а = (1 ; 4)


3. Для данной прямой напишите ее уравнение в отрезках.

Вариант № 1

hello_html_38ee4cf5.gif

Вариант № 4

3х – 2у -12 = 0

Вариант № 2

hello_html_155847b.gif

Вариант № 5

hello_html_m61971a.gif

Вариант № 3

у = 3х - 6

Вариант № 6

2х + 6у = 3

4. Вычислите площадь треугольника, отсекаемого данной прямой от координатного угла.

Вариант № 1

3х + 4у – 12 = 0

Вариант № 4

2х + 6у – 12 = 0

Вариант № 2

5х + 8у – 40 = 0

Вариант № 5

у = 2х + 6

Вариант № 3

5х - 2у + 11 = 0

Вариант № 6

у = hello_html_2d2716b4.gif


5. Составьте уравнение прямой, проходящей через данную точку А перпендикулярно вектору n.

Вариант № 1

А (3 ; - 2), n = (3;-2)

Вариант № 4

А (2 ; - 3), n = (4;-1).

Вариант № 2

А (0 ; 0), n = (3; 4)

Вариант № 5

А (0 ; 0), n = (-1; 3).

Вариант № 3

А (3 ; - 2), n = (1;4).

Вариант № 6

А(-1; 5), n = (-1; 2).


6. Найдите тангенс угла наклона прямой и определите, какой отрезок она отсекает на оси ординат.

Вариант № 1

3х – 4у + 13 = 0

Вариант № 4

2х – у + 3 = 0

Вариант № 2

3х – 7у + 2 = 0

Вариант № 5

2х – у + 5 = 0

Вариант № 3

5х – 3у + 7 = 0

Вариант № 6

3х – 7у + 3 = 0


7. Вычислите угол между прямыми:

Вариант № 1

hello_html_m6a577606.gif

Вариант № 4

hello_html_m49659ad1.gif

Вариант № 2

х + 5у + 9 = 0 и 2х – 3у + 1 = 0


Вариант № 5

2х – 3у + 12 = 0 и 3х – у + 5 = 0

Вариант № 3

hello_html_m2814e482.gif

Вариант № 6

3х + 2у - 7 = 0 и 2х – 3у + 9 = 0






8. Среди следующих пар укажите пары параллельных или перпендикулярных прямых:

Вариант №1

а) hello_html_785e9d52.gif

б) 3х + 2у – 5 = 0 и 4х - 6у + 9 = 0

в) hello_html_422450a1.gif

Вариант №4

а) hello_html_m44eb606f.gif

б) 3х + 2у – 5 = 0 и 4х - 6у + 9 = 0

в) hello_html_46432bb8.gif

Вариант №2

а) hello_html_65c4adc.gif

б) 2х - 3у – 7 = 0 и 4х - 6у + 8 = 0

в) hello_html_m43e7d11e.gif

Вариант №5

а) hello_html_m2acc401f.gif

б) х + 5у + 9 = 0 и 2х - 3у + 1 = 0

в) hello_html_m4fa0133f.gif

Вариант №3

а) hello_html_6ab2ad2b.gif

б) 3х + 2у + 5 = 0 и 4х - 6у - 5 = 0

в) hello_html_m79255e43.gif

Вариант №6

а) hello_html_561bc2cb.gif

б) 2х + у – 5 = 0 и 3х - у + 4 = 0

в) hello_html_m4fa0133f.gif




Учебная и специальная литература.

Основные источники:

  1. Григорьев В., Дубинский Ю. Элементы высшей математики. – ОИЦ «Академия», 2008

  2. Григорьев В.П., Сабурова Т.Н. Сборник задач по высшей математике. - ОИЦ "Академия", 2010

Дополнительные источники:

  1. Филимонова Е.В. Математика. – Ростов н/Д: Феникс, 2008.

  2. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 1 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  3. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2 – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век», 2006.

  4. Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика. - Издательство "Дрофа", 2009

  5. Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания. - Издательство "Дрофа", 2009










Преподаватель ________________О.С. Соседова


4



Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Краткое описание документа:

1.     Действия над матрицами.

2.     Вычисление определителей.

3.     Вычисление обратной матрицы. Решение матричных уравнений.

4.     Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

5.     Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.

6.     Решение систем линейных уравнений с помощью формул  Крамера.

7.     Операции над векторами. Решение задач векторным методом.

8.     Скалярное,  векторное и смешанное произведение векторов.

9.     Уравнение прямой на плоскости

10.Кривые второго порядка: окружность, эллипс.

11.Кривые второго порядка: гипербола, парабола.

12.Вычисление пределов последовательностей.

13.Вычисление пределов функций.

14.Исследование функций на непрерывность.

15.Вычисление производных.

16.Вычисление производных сложных и обратных функций.

17.Вычисление дифференциала функции.

18.Исследование функций с помощью производной.

19.Табличное интегрирование.

20.Вычисление неопределенного интеграла.

21.Вычисление определенного интеграла.

22.Приложения определенного интеграла.

23.Вычисление несобственных интегралов.

24.Нахождение суммы ряда. Исследование рядов на сходимость.

25.Нахождение радиуса и области сходимости степенного ряда.

26.Разложение элементарных функций в ряд.

27.Предел и непрерывность функции 2-х независимых переменных.

28.Вычисление частных производных функции двух переменных. Нахождение экстремума функции двух переменных.

29.Вычисление двойных интегралов. Приложения двойного интеграла.

30.Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

31.Решение дифференциальных уравнений 1-го порядка.

32.Решение дифференциальных уравнений 2-го порядка.

33.Различные формы записи комплексных чисел. Операции над комплексными числами.

34.Приближенное решение алгебраических и трансцендентных уравнений.

 

35.Интерполяция. Численное дифференцирование и  интегрирование. Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений.

Автор
Дата добавления 19.05.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров571
Номер материала 539059
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх