Инструкционно-технологическая карта к практической работе по элементам высшей математики на тему: «Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера.»

Практическая работа №5

Тема: «Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера.»

Цель: сформировать умение исследовать и использовать различные методы для решения систем линейных алгебраических уравнений

Методические указания и теоретические сведения к практической работе

1. Системы линейных уравнений

(общие сведения)

         Пусть задана система  линейных уравнений с  неизвестными

                                              (1)                                                                    

   Решением системы (1) называется совокупность чисел (, , …, ), которая при подстановке в систему (1) вместо неизвестных обращает каждое уравнение системы в тождество. Система может иметь решение, тогда она называется совместной, причем, если решение единственное, система определенная, если решений множество – система неопределенная. Если система не имеет решений, она называется несовместной. Рассмотрим два способа решения системы: метод Крамера и метод Гаусса.

2. Метод Крамера

         При решении методом Крамера используем определители -го порядка. Пусть задана система (1). Составим главный определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

                                      .

         ТЕОРЕМА. Если определитель системы , то систему (3) можно решить по формуле Крамера, причем это решение единственное:

                   ;               ;              … ;             ,

где определитель  может быть получен из главного определителя путем замены -го столбца на столбец из свободных членов.

 

         Пример 1.

                            .

         Составляем главный определитель, элементами которого являются коэффициенты при неизвестных:

                                              

и три вспомогательных определителя:

         ;       ;          .

         Определитель  составлен из определителя  путем замены элементов первого столбца свободными членами системы уравнений. В определителях  и  соответственно второй и третий столбцы заменены свободными членами. Вычислим все четыре определителя.

         ;

         ;

         ;

         .

Неизвестные , ,  находим по формулам

                            ;              ;              ;

                            ;          ;          .  

Ответ: ;     ;     .

Пример2. Решить систему  методом Крамера.

Решение. Выписываем A - матрицу системы и B - столбец свободных членов: , . Далее вычисляем определители:

;

;

;

.

По теореме Крамера ; ; .  Ответ:  ;     ;     .

Для проверки результата подставим полученные значения неизвестных в каждое уравнение системы: ,  , . Все уравнения обратились в тождества, значит, решение найдено верно.

         Условия неопределенности и несовместности системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Если определитель системы , то система является либо несовместной (когда  и ), либо неопределенной (когда  и ).  В последнем случае система сводится к одному уравнению, а другое является следствием этого уравнения.

Условия несовместности системы двух линейных уравнений с двумя переменными можно записать в виде:

Условия неопределенности системы двух линейных уравнений с двумя переменными можно записать в виде:

 

      Если один из вспомогательных определителей отличен от нуля, то  система уравнений (1) не имеет решения (если ).

         Если главный и все вспомогательные определители равны нулю, то система (1) имеет бесконечно много решений.

         Если главный определитель отличен от нуля, то система уравнений (1) имеет единственное решение.

Содержание практической работы

Вариант 1.                                Вариант 2

Задание 1. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

 

Задание 2. Решить систему уравнений по формулам Крамера:

 

Задание 3. Решить систему уравнений по формулам Крамера: