Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Инструктивно-методические материалы к выполнению практических работ
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Инструктивно-методические материалы к выполнению практических работ

библиотека
материалов


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

ДОНЕЦКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

ГПОУ «ГОРЛОВСКИЙ КОЛЛЕДЖ ПРОМЫШЛЕННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И ЭКОНОМИКИ»





УТВЕРЖДАЮ:

Зам. директора

_________О.Ю.Цыба

__.__.2015






ИНСТРУКТИВНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ



к выполнению практических работ

по дисциплине «Математика»


Специальность: 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям)








Рассмотрено на заседании цикловой комиссии математической и общей естественнонаучной подготовки и рекомендовано к утверждению

Протокол № от « » г.

Зав.методическим кабинетом _________________Т.В.Кучеренко


Подготовил преподаватель

Е.В.Мудрецкая








г.Горловка, 2015

Инструктивно-методические материалы к выполнению практических работ по дисциплине «Математика». Подготовил преподаватель высшей квалификационной категории Е.В.Мудрецкая - Горловка: ГПОУ «Горловский колледж промышленных технологий и экономики», 2015.-

81 с.






Представлен: перечень тематических практических работ по дисциплине «Математика», предусмотренных рабочей программой учебной дисциплины для студентов 2 курса дневной формы обучения специальности 38.02.01 Экономика и бухгалтерский учет (по отраслям), непосредственно практические задания и методические рекомендации к их выполнению, задания для формирования знаний и умений, задания для закрепления знаний.

Предназначены для организации практических занятий по дисциплине, используется как методическое обеспечение занятий.



Для преподавателей и студентов





Рецензенты:

1. Арчаков А.В., преподаватель Енакиевского металлургического техникума,

специалист высшей категории.

2. Свириденко М.Н., преподаватель Горловского колледжа промышленных технологий и экономики, специалист высшей категории.







СОДЕРЖАНИЕ


практ.

зан.

Номер и тема практической работы

с

1

Практическая работа 1

по теме «Действия над матрицами»

5

2

Практическая работа 2

по теме «Вычисление определителей второго и третьего порядка»

11

3

Практическая работа 3

по теме «Нахождение обратной матрицы. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы»

14

4

Практическая работа 4

по теме «Решение систем линейных уравнений: задачи с профессиональной направленностью»

18

6

Практическая работа 5

По теме «Вычисление первого и второго замечательных пределов»

23

7

Практическая работа 6

по теме «Вычисление производных сложных функций. Дифференцирование сложной функции.»

26

8

Практическая работа 7

по теме «Решение заданий экономического смысла методом дифференциального исчисления»

30

9

Практическая работа 8

по теме «Вычисление неопределенных интегралов методом замены переменной и по частям»

37

10


Практическая работа 9

по теме «Вычисление определенного интеграла методом замены переменной и интегрированием по частям»

40

11

Практическая работа 10

по теме «Решение заданий экономического смысла методом интегрального исчисления»

44

13

Практическая работа 11

по теме «Действия над комплексными числами»

49

15

Практическая работа 12

по теме «Выполнение операций над множествами»

56

16

Практическая работа 13

по теме «Нахождение вероятности при повторении испытаний»

60


практ.

зан.

Номер и тема практической работы

с

17

Практическая работа 14

по теме «Составление и анализ случайных величин»

68

18,19

Практические работы 15,16

по теме «Составление и анализ случайных величин. Нахождение числовых характеристик.»

74

20

Практическая работа 17

по теме «Решение задач математической статистики»

78


Литература

81




























Практическое занятие 1


Практическая работа 1

по теме «Действия над матрицами»


Цель работы: сформировать необходимые умения и навыки по выполнению элементарных операций на матричном множестве.


Актуализация знаний

Фронтальный опрос

1. Матрицы, виды матриц.

2. Действия над матрицами.



Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы


Матрицей называется множество чисел, которые образуют прямоугольную таблицу и содержат m строк и n столбцов

Действия над матрицами:

-умножение матрицы на число:

hello_html_m578aa288.gif






- сумма и разность матрицы

hello_html_4eaae22d.gif






- транспонирование






hello_html_4d2ab47e.gif









- умножение матриц


hello_html_m65c24aea.gif









Формирование необходимых знаний и умений

Коллективное решение и обсуждение предложенных задач


Пример 1

Даны матрицы А и В. Найти матрицы А+В и 5А, если


hello_html_m35a466a6.gif





Решение:

По формуле получим:

hello_html_169e9d84.gif

hello_html_m5fa843e8.gif

Пример 2


Вычислить произведение матриц А и В, если

hello_html_5c981865.gif


Решение:

hello_html_531df7c.gif

hello_html_m5a2f935c.gif


Пример 3

В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины М1, М2 и М3, причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М1 стоит 50 ден. ед., в магазин М2 - 70, а в М3 - 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные расходы каждого завода.


Магазин


М1

М2

М3

1

20

35

10

2

15

27

8


Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, а через
В - матрицу, характеризующую стоимость доставки единицы продукции в магазины, т.е.,

А =hello_html_1c9cea68.gif, В = (50, 70, 130).

Тогда матрица затрат на перевозки будет иметь вид:

АВT = hello_html_1c9cea68.gifhello_html_327697f5.gif.

Итак, первый завод ежедневно тратит на перевозки 4750 ден. ед., второй - 3680 ден.ед.


Пример 4

Швейное предприятие производит зимние пальто, демисезонные пальто и плащи. Плановый выпуск за декаду характеризуется вектором X = (10, 15, 23). Используются ткани четырех типов Т1, Т2, Т3, Т4. В таблице приведены нормы расхода ткани (в метрах) на каждое изделие. Вектор С = (40, 35, 24, 16) задает стоимость метра ткани каждого типа, а вектор P = (5, 3, 2, 2) - стоимость перевозки метра ткани каждого вида.


Расход ткани


Т1

Т2

Т3

Т4

Зимнее пальто

5

1

0

3

Демисезонное пальто

3

2

0

2

Плащ

0

0

4

3


1. Сколько метров ткани каждого типа потребуется для выполнения плана ?

2. Найти стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида.

3. Определить стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана.

4. Подсчитать стоимость всей ткани с учетом ее транспортировки.

Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, т. е.,

A = hello_html_m2ac37bfc.gif,

тогда для нахождения количества метров ткани, необходимой для выполнения плана, нужно вектор X умножить на матрицу А:

X А = (10,15, 23) hello_html_m2ac37bfc.gif = hello_html_572d30a5.gif =
= (95, 40, 92, 129).

Стоимость ткани, расходуемой на пошив изделия каждого вида, найдем, перемножив матрицу А и вектор CT:

А CT = hello_html_m2ac37bfc.gifhello_html_1a65c9bd.gif=hello_html_2d714559.gif.

Стоимость всей ткани, необходимой для выполнения плана, определится по формуле:

X А C T = (10,15,23)hello_html_m7ff33100.gif=hello_html_57f87581.gif.

Наконец, с учетом транспортных расходов вся сумма будет равна стоимости ткани, т. е. 9472 ден. ед., плюс величина

X А P T = (95, 40, 92, 129)hello_html_m24bb9c76.gif.

Итак, X А C T + X А P T = 9472 + 1037 = 10509 (ден. ед).



Примеры

Известны матрицы А = hello_html_1969a614.gif и В = hello_html_m75208e89.gif . Найти Ст , если “C” является результатом указанных действий над матрицами А и В.


Закрепление сформированных знаний и учений:

Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий


Известны матрицы А = hello_html_1969a614.gif и В = hello_html_m75208e89.gif . Найти Ст , если “C” является результатом указанных действий над матрицами А и В.



Задачи для домашнего решения


1.Найти матрицы: 1) 2А+5В; 2)3В-2А; 3) АТ-В; 4) 2АТ+5ВТ, если hello_html_m169cb94c.gif


2. Найти матрицы: 1) 3А+4В; 2)7В-2А; 3) АТ-3В; 4) АТ+2ВТ, еслиhello_html_14793017.gif


3. Найти произведение АВ и ВА матриц А и В, если

1) hello_html_m79b18d7.gif 2) hello_html_m147e9ffc.gif

3) hello_html_1891d823.gif 4) hello_html_m5051e2fb.gif















Практическое занятие 2


Практическая работа 2

по теме «Вычисление определителей второго и третьего порядка»


Цель работы: сформировать необходимые умения и навыки вычисления определителей второго и третьего порядков.


Актуализация знаний

Фронтальный опрос

1. Понятие определителя, его свойства.

2. Вычисление определителей второго порядка.

3. Вычисление определителей третьего порядка.


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы


Определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и вспомогательной диагоналей:

hello_html_4243bfde.gif

Определитель третьего порядка вычисляется по формуле:

hello_html_m52648bcc.gif При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (правилом Сарруса)

hello_html_m735e0e51.png





Формирование необходимых знаний и умений

Коллективное решение и обсуждение предложенных задач





Пример 1

Вычислить определитель:

hello_html_m9bc1b52.gif.


Решение:

Вычислим определитель по правилу треугольников:

hello_html_47107be3.gif


Примеры:

Вычислить определители::

1) hello_html_6989274e.gif; 2) hello_html_73778981.gif; 3) hello_html_7e2d6d0b.gif; 4) hello_html_m32dc384a.gif; 5) hello_html_4f69fabb.gif


6)hello_html_m7b1daa74.gif ; 7) hello_html_m3288e44c.gif; 8) hello_html_m42450350.gif; 9) hello_html_46a19342.gif;


10) hello_html_m7e486411.gif; 11) hello_html_59dee4d3.gif; 12) hello_html_656261a1.gif; 13) hello_html_72809d68.gif.


Закрепление сформированных знаний и учений:

Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий


Вычислить определители:

1) hello_html_m286b3210.gif 2)hello_html_m6e4edd7d.gif


3) hello_html_m4a1e6f31.gif 4)hello_html_5ce49f6d.gif




5) hello_html_31fb10ab.gif 6) hello_html_m6bc0bf16.gif



7) hello_html_6620d1b1.gif 8) hello_html_ba09181.gif


Задачи для домашнего решения

Вычислить определители:


1) hello_html_m2a75273d.gif 2)hello_html_82fd32e.gif


3) hello_html_m478186c0.gif 4) hello_html_6da19453.gif



















Практическое занятие 3


Практическая работа 3

по теме «Нахождение обратной матрицы. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы»


Цель работы: сформировать необходимые умения и навыки нахождения обратной матрицы, навыки решения систем линейных уравнений методом обратной матрицы.


Актуализация знаний

Фронтальный опрос

1. Понятие определителя, его свойства.

2. Вычисление определителей второго порядка.

3. Вычисление определителей третьего и высшего порядка.

4. Миноры и алгебраические дополнения.

5. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.

6. Алгоритм нахождения обратной матрицы.

7. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы.


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы


Пусть имеется квадратная матрица n-го порядка

hello_html_714abf07.jpg

Матрица А-1 называется обратной матрицей по отношению к матрице А, если А*А-1 = Е, где Е — единичная матрица n-го порядка.

Теорема условия существования обратной матрицы

Для того чтобы матрица имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Матрица называется невырожденной, если векторы-столбцы являются линейно независимыми. Число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом матрицы hello_html_e162a85.png. Поэтому можно сказать, что для того, чтобы существовала обратная матрица, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы равнялся ее размерности, т.е. r = n.



Алгоритм нахождения обратной матрицы:


  1. Находят определитель матрицы А:

  2. Находят алгебраические дополнения всех элементов hello_html_m78c1d974.gif матрицы А и

Записывают новую матрицу из алгебраических дополнений:


hello_html_m53d4ecad.gifhello_html_m35680271.gif


3. Транспонируют матрицу В.


hello_html_7e8db926.gif =hello_html_m34b1b8d2.gif

  1. Умножить транспонированную матрицу на обратный определитель, т.е.

hello_html_504eb47f.gif


Простейшее матричное уравнение:

Х=В*А-1


Схема решения:

  1. Найти обратную матрицу А-1.

  2. Найти произведение обратной матрицы А-1 на столбец свободных членов , т.е. hello_html_471bbe73.gif .

3. Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

Так как, систему линейных уравнений можно записать в виде матричного уравнения, то эту систему можно решить как матричное уравнение.


Формирование необходимых знаний и умений

Коллективное решение и обсуждение предложенных задач


Пример 1

Найти обратную матрицу для матрицы А, сделать проверку, если

hello_html_200ab1e6.gif

Решение. Вычислим определитель матрицы А:

hello_html_7b16c445.gif.

Поскольку detА≠0, то существует обратная матрица А-1. Найдем алгебраическое дополнение для каждого элемента матрицы А.

hello_html_5de8f8c5.gif hello_html_m2cc843e3.gifhello_html_m6ce0f99f.gif

hello_html_8f92766.gif hello_html_m34ea8728.gifhello_html_5bb0bcab.gif

hello_html_715ad136.gif hello_html_m6cf95f72.gifhello_html_4c4f83f1.gif

Тогда

hello_html_m6cf79a94.gif

Сделаем проверку:

hello_html_m3a35ab24.gif

Примеры:

1. Дана матрица А. Найти обратную матрицу. Выполнить проверку

1) hello_html_m4b409e46.gif; 2) hello_html_m6aa3317a.gif; 3) hello_html_m4f51d946.gif;


2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы:


1) hello_html_383be976.gif 2) hello_html_1bb1617f.gif


Закрепление сформированных знаний и учений:

Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий


1. Дана матрица А. Найти обратную матрицу. Выполнить проверку

1) hello_html_37f2617d.gif; 2) hello_html_2c34f627.gif; 3) hello_html_76b2edb3.gif;

4) hello_html_27bfa0e6.gif; 5) hello_html_m108980b1.gif

2. Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы:


1) hello_html_6060f172.gif 2) hello_html_m6e16b871.gif


Задачи для домашнего решения


Решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы:


1) hello_html_m1a338c3a.gif 2) hello_html_30100aab.gif









Практическое занятие 4


Практическая работа 4

по теме «Решение систем линейных уравнений: задачи с профессиональной направленностью»


Цель работы: сформировать необходимые умения и навыки решения систем линейных уравнений методами Крамера и Гаусса для решения задач с профессиональной направленностью.


Актуализация знаний

Фронтальный опрос

1. Понятие определителя, его свойства.

2. Вычисление определителей второго порядка.

3. Вычисление определителей третьего и высшего порядка.

4. Миноры и алгебраические дополнения.

5. Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца.

6. Алгоритм нахождения обратной матрицы.

7. Решение систем линейных уравнений методом обратной матрицы, Крамера и Гаусса.


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы


Метод Гаусса:

1. Систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной

матрицей. (Системы называются эквивалентными, если множества их решений совпадают.) Эти действия называют прямым ходом.

2. Из полученной треугольной системы переменные находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход):

- умножение или деление коэффициентов свободных членов на одно и то же число

- сложение и вычитание уравнений

- перестановку уравнений системы

- исключение системы уравнений, в которых все коэффициенты при

неизвестных и свободные члены равны нулю.


Метод Крамера:

Формулы Крамера для решения системы n линейных уравнений с n неизвестными, записываются так:

hello_html_m754c0a9a.gifhello_html_3f673a5d.gifили


hello_html_m47dc403c.gifhello_html_2622ddae.gifhello_html_29815e5c.gif


Если hello_html_3e094b18.gif, то система имеет единственное решение

Если hello_html_5a44e359.gif, множество решений

Если hello_html_71f5f105.gif, то нет решений


Матричный способ

Х=В*А-1


Схема решения:

  1. Найти обратную матрицу А-1.

  2. Найти произведение обратной матрицы А-1 на столбец свободных членов , т.е. hello_html_471bbe73.gif .

3. Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

Так как, систему линейных уравнений можно записать в виде матричного уравнения, то эту систему можно решить как матричное уравнение.


Формирование необходимых знаний и умений

Коллективное решение и обсуждение предложенных задач


Пример 1

Составить план изготовления продукции трех видов с трех видов сырья с целью полной реализации запасов этого сырья. Известны технология затрат каждого вида сырья на изготовление единицы продукции определенного вида А = hello_html_4a30fb9f.gif и объемы запасов сырья В = hello_html_3ce70693.gif.

Решение:

Пусть ожидаемый план изготовления предусматривает производство:

  • І вид продукции – „х” условных единиц,

  • ІІ вид продукции – „у” условных единиц,

  • ІІІ вид продукции – „z” условных единиц.

Таким образом, для находжения нужного плана необходимо решить матричное уравнение hello_html_4a30fb9f.gif*hello_html_6aa21f97.gif=hello_html_3ce70693.gif, например по схеме Гаусса, тождественно преобразовывая расширенную матрицу следующим образом:

hello_html_m1814fdf6.gifhello_html_33e16849.gif

Полученная расширенная матрица задает систему линейных уравнений :

  • хhello_html_544113ce.gif + 3у = 4,

5у = 10,

2х – 2у + z = 1.

Последовательное решение системы, начиная с уравнения, которое содержит только одну переменную , т.е.:

  1. 5у = 10 hello_html_m6bb904b4.gif у = 2,

  2. - х + 3у = 4 hello_html_m6bb904b4.gif -х + 3*2 = 4 hello_html_m6bb904b4.gif х = 6 - 4 = 2,

  3. 2х – 2у + z = 1 hello_html_m6bb904b4.gif 2*2 – 2*2 + z = 1 hello_html_m6bb904b4.gif z = 1.

Таким образом, необходимый план предусматривает изготовление:

  • І вид продукции – 2 у.е.,

  • ІІ вид продукции – 2 у.е.,

  • ІІІ вид продукции – 1 у.е.


Проверка:

Запишем систему, которая соответствует составленному матричному уравнению, и проверим ее на тождественность :

4hello_html_aee844d.gifх + 5у + 3z = 21,

3х + 4у + 2z = 16,

5х + 2у + 3z = 17.

hello_html_6a437695.gif

4*2 + 5*2 + 3*1 = 21,

3*2 + 4*2 + 2*1 = 16,

5*2 + 2*2 + 3*1 = 17.


Таким образом, система уравнений превратилась в тождества, то есть решение задания найдено верно.

Ответ: (2;2;1).


Примеры:


1. Составить план изготовления продукции трех видов с трех видов сырья с целью полной реализации запасов этого сырья. Известны технология затрат каждого вида сырья на изготовления единицы продукции определенного вида (матрица А) и объемы запасов сырья (матрица В).

3 2

2 4

4 3 3

12

14

17

2

  1. 2 3

  2. 2 1

3 3 2

15

15

14

2.

7 9

2 3

4 5 8

44

25

31


Закрепление сформированных знаний и учений:

Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий


1. Для изготовления детских игрушек используются отходы матерчатых материалов (М1, М2, М2) различных размеров. Вычислить количество материала, который расходуется при раскрое, если количество необходимых заготовок представлена таблицей:


2. Самостоятельная работа. Предлагаются 8 вариантов


Составить план изготовления продукции трех видов с трех видов сырья с целью полной реализации запасов этого сырья. Известны технология затрат каждого вида сырья на изготовления единицы продукции определенного вида (матрица А) и объемы запасов сырья (матрица В).


Задачи для домашнего решения


Составить план оптимальной загрузки участка на последовательную обработку продукции трёх видов с целью отсутствия простоев трёх станков во время, которое предусмотрено нормативами для их безостановочной работы. Сведения о сроке обработки каждого вида продукции на соответствующем станке заданы в условных единицах времени матрицей А, время безостановочной работы станков – матрицей В.


1) hello_html_m41037a17.gif , hello_html_m26878319.gif 2) hello_html_m1aa735dd.gif , hello_html_m1265c112.gif .




Практическое занятие 6


Практическая работа 5

По теме «Вычисление первого и второго замечательных пределов»


Цель работы: закрепить понятие предела функции , научиться вычислять первый и второй замечательные пределы.



Актуализация знаний

Фронтальный опрос

1. Дать понятие предела функции, свойства пределов.

2. Основные методы вычисления пределов..

3. Вычисление первого и второго замечательных пределов..


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы


Тригонометрические функции, которые стоят под знаком предела, приводятся к первому замечательному пределу:

hello_html_447ce1fc.gif

Дополнительные формулы: hello_html_m3ca57e85.gifhello_html_25db3e5.gif

hello_html_m6dad4c31.gif hello_html_m10008db.gifhello_html_33fc60c.gif


Второй замечательный предел:


hello_html_m68d5aee6.gif hello_html_389b118b.gifhello_html_mabfca44.gif



Формирование необходимых знаний и умений

Коллективное решение и обсуждение предложенных задач


1) hello_html_m242780cb.gif

2) hello_html_m12be158c.gif



hello_html_m6cd30abc.gif


4) hello_html_m4ac39c32.gifhello_html_774abf82.gif


Примеры:


1) hello_html_5f0f9ac1.gif 2) hello_html_2b8e45a0.gif

3) hello_html_mceb933.gif 4) hello_html_3201339f.gif

5) hello_html_m3127fcc9.gif 6) hello_html_ab29129.gif

7) hello_html_68acb1e4.gif 8) hello_html_7b19e5ff.gif



Закрепление сформированных знаний и учений:

Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий

1) hello_html_m7cf5d5cb.gif 2) hello_html_54f7fabb.gif

3) hello_html_m4b4278a4.gif 4) hello_html_5561a551.gif 5) hello_html_m7cf5d5cb.gif

6) hello_html_m22c4c871.gif 7) hello_html_55489736.gif 6) hello_html_m45889bff.gif

7) hello_html_196987a1.gif 8) hello_html_m45b8d974.gif 9) hello_html_m5fea19d6.gif

10) hello_html_3a68884a.gif 11) hello_html_3f17cdfb.gif 12) hello_html_1b91de02.gif


Задачи для домашнего решения


1) hello_html_66424f24.gif 2) hello_html_55b29ab5.gif

3) hello_html_m64cd0d0f.gif 4) hello_html_ff151ea.gif


5) hello_html_m26e07fb8.gif













Практическое занятие 7


Практическая работа 6

по теме «Вычисление производных сложных функций. Дифференцирование сложной функции.»


Цель работы: закрепить понятие производной , научиться вычислять производные первого и второго порядков, используя правила дифференцирования и таблицу производных, вычислять производную сложной функции.


Актуализация знаний

Фронтальный опрос

1. Дать понятие производной функции, производной функции в точке.

2. Сформулировать теоремы про производную суммы, произведения и частного функций. Привести примеры.

3. Записать основные формулы дифференцирования.

4. Правило нахождения производной сложной функции.


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы


Таблица производных основных элементарных функций.

1. (с)/ = 0, с - сonst 9. hello_html_m1106c966.gif

2. (xα)/ = αx α – 1 10. hello_html_m2a4b87fa.gif

3. hello_html_m8c483ce.gif 11. hello_html_57960fda.gif

4. hello_html_393fa364.gif 12. hello_html_m7115e3c7.gif

5. hello_html_18eda802.gif 13. hello_html_m831c786.gif

6. hello_html_280e0f3e.gif 14. hello_html_3dba6bcb.gif

7. hello_html_3da2d4.gif 15. hello_html_m65f20466.gif

8. hello_html_4484e11d.gif 16. hello_html_456902ba.gif

17. hello_html_m6208cd1.gif



Правила дифференцирования.

1. hello_html_74e94f03.gif- вынесение константы за знак производной.

2.hello_html_7f5e511f.gif- производная суммы равна сумме производных.

3. hello_html_m7b870f82.gif- производная произведения.

4. hello_html_395e011e.gif - производная частного.


Пусть функция hello_html_m22ea9db4.gif - сложная функция.

Теорема. Если y есть дифференцируемая функция от u, а u есть дифференцируемая функция от x, то

  1. y есть дифференцируемая функция по x,

  2. производная y по x равна произведению производной y по u на производную u по x, т.е. если

hello_html_m5e63fe0.gif


Определение. Пусть функция = f(x) определена и дифференцируема на интервале (a, b). Если функция ¢ (x) дифференцируема в точке х0  (a, b), то ее производную называют второй производной или производной второго порядка функции f(x) в точке х0 и обозначают ′′ (x0), то есть

hello_html_m2518abf4.gif

Определение. Пусть функция = f(x) имеет на интервале (a, b) производные ¢ (x), ′′ (x), …, f ( 1) (x). Если в точке х0  (a, b) существует производная функции (n−1) (x0), то эту производную называют производной n-ого порядка, то есть

hello_html_23a7406c.gif

где производная нулевого порядка − это функция f(x).


Формирование необходимых знаний и умений

Коллективное решение и обсуждение предложенных задач


1. Найти производные следующих сложных функций.

  1. hello_html_m2782704.gif

Решение.

hello_html_39c6b5b7.gif

  1. hello_html_m5ba53259.gif

Решение:

Находим производную частного.

hello_html_m48e1902e.gif

  1. hello_html_3eb3a7ef.gif

Решение:

hello_html_499c86aa.gif


1. Вычислить производную сложной функции:


1) hello_html_m7b5531d2.gif; 3) hello_html_m1f4c5842.gif;

2) hello_html_4277deee.gif; 4) hello_html_m7b5531d2.gif;

5) hello_html_m1f4c5842.gif; 6.) hello_html_4277deee.gif;

7) hello_html_55db106f.gif; 8) hello_html_4175ab19.gif;

9) hello_html_m9d60cef.gif; 10) hello_html_68363c2b.gif;

11) hello_html_51f72e80.gif; 12) hello_html_m52286ec9.gif;

13) hello_html_m49725e35.gif; 14) hello_html_m65e3c836.gif;

15) hello_html_3bfd24d4.gif; 16) hello_html_927639a.gif;

hello_html_m7f2280bc.gif

2. Найти производную второго порядка

hello_html_m2a3d9491.gif


Закрепление сформированных знаний и учений:

Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий


1. Найти производные следующих сложных функций.

  1. hello_html_m355e66d4.gif2) hello_html_71cfc0e4.gif

3)hello_html_5bd367b6.gif 4) hello_html_m21afb1d1.gif

5) hello_html_31560066.gif 6) hello_html_7079cd6a.gif

7) hello_html_m2b72b8ea.gif 8) hello_html_m1a8fd120.gif

9) hello_html_m11ddb410.gif 10) hello_html_6b4efcdc.gif


2. Вычислите производные при заданных значениях аргумента.

  1. hello_html_m339bddc0.gifпри x = 0

  2. hello_html_m1b692c08.gifпри x = hello_html_m38af3462.gif



Задачи для домашнего решения

Вычислить производную функции:

1) hello_html_m4f398ee1.gif, х0 = π; 2) hello_html_m1688a069.gif; 3) hello_html_m149ce3c3.gif;

4) hello_html_m70119066.gif; 5) hello_html_20795e6.gif; 6) hello_html_763072fb.gif


















Практическое занятие 8


Практическая работа 7

по теме «Решение заданий экономического смысла методом дифференциального исчисления»


Цель работы: Сформировать умения решать задания экономического смысла методом дифференциального исчисления.


Актуализация знаний

Фронтальный опрос

1. Определение точки минимума и точки максимума.

2. Определение критической точки.

3. Необходимое условие, чтобы точка х0 была точкой экстремума.

4. Алгоритм нахождения критических точек функции.

5. Определение стационарных точек.

6. Теорема Ферма (необходимое условие экстремума функции).

7. Достаточные условия существования экстремума функции .

8. Достаточный признак возрастания, убывания функции.

9. Алгоритм нахождения экстремумов функции.

10. Нахождение прибыли, дохода, рентабельности, налога на прибыль.


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы


Необходимый признак экстремума. Если x=a является точкой экстремума функции y=f(x) и производная в этой точке существует,

то она равна нулю f(a)=0.


Достаточный признак экстремума. Если производная f '(x) при переходе x через a меняет знак, то а является точкой экстремума функции f(x)

Алгоритм исследования функции на экстремум:


1. Находят производную f '(x)

2. Находят все критические точки из области определения функции.

3. Устанавливают знаки производной функции при переходе через критические точки и выписывают точки экстремума.

4. Вычисляют значения функции f(x) в каждой экстремальной точке.





Правило нахождения интервалов монотонности f(x).


1. Вычисляют производную f(x) данной функции.

2. Находят точки, в которых f(x) равна нулю или не существует. Эти точки называются критическими для функции f(x).

3. Найденными точками область определения функции f(x) разбивается на интервалы, на каждом из которых производная f(x) сохраняет свой знак. Эти интервалы является интервалами монотонности.

4. Исследуют знак f(x) на каждом из найденных интервалов. Если на рассматриваемом интервале f(x)>0, то на этом интервале f(x) возрастает; если же f(x)<0, то на таком интервале f(x) убывает.


Применение производной в экономике:

Пусть Р – стоимость одного изделия, а “х” – количество изделий, которые изготовлены и проданы за некоторый промежуток времени.


Функция дохода:

Д (х) = Р1 х


Функция прибыли:

П = Д – В

П = Р1 х –В (х)


Рентабельность:

hello_html_16247c5b.gif

Налог на прибыль:

НП=18%∙П


Эластичность функции вычисляется по формуле: hello_html_5cf0fffd.gif

Это показатель возможного возрастания или функции Z, если аргумент “х” увеличивается на 1 %, а аргумент “у” остается неизменным. Выражается в процентах.

Если эластичность < 1, то функцию называют неэластичной. В этом случае изменение цены повлечет за собой меньшее изменение величины спроса.

Если эластичность > 1, то функцию называют эластичной. Иными словами, изменение цены в данном случае приведет к большему количественному изменению величины спроса.

Если эластичность =1, то говорят о единичной эластичности. В этом случае изменение цены приводит к такому же количественному изменению величины спроса.

Равновесная цена – цена, при которой спрос равен предложению.



Формирование необходимых знаний и умений

Коллективное решение и обсуждение предложенных задач


Пример 1

Торгово-производственное предприятия изготавливает для продажи некоторую продукцию. Затраты на производство задаются функцией В(х)=11х2 -8х-3, где х – объем продукции в десятках условных единиц. Покупательная функция имеет вид Р(х)=52 -4х . Необходимо:

1. Составить оптимальный план деятельности производства;

2. установить цену;

3. вычислить величину затрат производства на реализацию этого плана;

4. вычислить величину ожидаемой прибыли;

5. вычислить величину налога на прибыль;

6. вычислить рентабельность производства.

Решение:

Составим формулу прибыли: П=Д-В=Р∙х-В

Д=(52-4х)∙х=52х-4х2

П=52х-4х2-11х2+8х+3=-15х2+60х+3

П'=-30х+60

П'=0 -30х+60=0

х=2-критическая точка

hello_html_m2d298a8f.gif


П'(0)=60

П'(3)=-30

Вычислим величину ожидаемой прибыли:

П(2)=-15∙4+60∙2+3=63 (усл.ед)

Установим цену: Р(2)=52-4∙2=44 (усл.ед)

Вычислим величину затрат производства на реализацию этого плана:

В(2)=11∙4-8∙2-3=25 (усл.ед)

Вычислим величину налога на прибыль: НП=0,2∙63=12,6 (усл.ед)

Вычислим рентабельность производства: hello_html_m7489e99b.gif

Пример 2


Опытным путем установлены функции спроса S и предложения П

(S и П – объемы товаров, р – их цена). Найти:

1) Равновесную цену

2) Эластичность спроса и предложения относительно равновесной цены.

S=hello_html_m4d2860f8.gif, П=hello_html_m53d4ecad.gifР+0,5

Решение:

1) hello_html_m4d2860f8.gif= Р+0,5

Р1= —3,5 – не подходит

Р2=2 (ден. ед) – равновесная цена


2)hello_html_m7e4d8e.gif

hello_html_m1a3848e0.gif

Для Р=2:

hello_html_m6afbcd0c.gif

Спрос и предложение не эластичны относительно цены, значит, изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения.

При увеличении цены Р на 1% спрос уменьшается на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%.


Задачи

1. Торгово-производственное предприятия изготавливает для продажи некоторую продукцию. Затраты на производство задаются функцией В(х), где х – объем продукции в десятках условных единиц. Покупательная функция имеет вид Р(х). Необходимо:

    1. Составить оптимальный план деятельности производства;

    2. вычислить величину затрат производства на реализацию этого плана;

    3. вычислить величину ожидаемой прибыли;

    4. вычислить величину налога на прибыль;

    5. вычислить рентабельность производства.




2. Опытным путем установлены функции спроса S и предложения П

(S и П – объемы товаров, р – их цена). Найти:

1) Равновесную цену

2) Эластичность спроса и предложения относительно равновесной цены.


Закрепление сформированных знаний и учений:

Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий


1. Торгово-производственное предприятия изготавливает для продажи некоторую продукцию. Затраты на производство задаются функцией В(х), где х – объем продукции в десятках условных единиц. Покупательная функция имеет вид Р(х). Необходимо:

1. Составить оптимальный план деятельности производства;

2. установить цену;

3. вычислить величину затрат производства на реализацию этого плана;

4. вычислить величину ожидаемой прибыли;

5. вычислить величину налога на прибыль;

6. вычислить рентабельность производства.


2. Опытным путем установлены функции спроса S и предложения П

(S и П – объемы товаров, р – их цена). Найти:

1) Равновесную цену

2) Эластичность спроса и предложения относительно равновесной цены.


Задачи для домашнего решения


1. Торгово-производственное предприятия изготавливает для продажи некоторую продукцию. Затраты на производство задаются функцией В(х), где х – объем продукции в десятках условных единиц. Покупательная функция имеет вид Р(х). Необходимо:

1. Составить оптимальный план деятельности производства;

2. установить цену;

3. вычислить величину затрат производства на реализацию этого плана;

4. вычислить величину ожидаемой прибыли;

5. вычислить величину налога на прибыль;

6. вычислить рентабельность производства.


2. Опытным путем установлены функции спроса S и предложения П

(S и П – объемы товаров, р – их цена). Найти:

1) Равновесную цену

2) Эластичность спроса и предложения относительно равновесной цены.


Практическое занятие 9


Практическая работа 8

по теме «Вычисление неопределенных интегралов методом замены переменной и по частям»



Цель работы: научиться вычислять неопределенный интеграл методами замены переменной и по частям.


Актуализация знаний

Фронтальный опрос

1. Понятие неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла.

2. Интегрирование методом разложения..


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы



Метод интегрирования по частям: данное подынтегральное выражение представляют в виде произведения двух множителей, которые обозначают u и dv. Множитель u выбирают так, чтоб hello_html_m71ee30dd.gif было проще найти, а за dv выбирают тот дифференциал, для которого можно найти интеграл.

hello_html_m75bf6e7d.gif

Метод замены переменной: заменяют новой переменной такую часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой мы получим часть подынтегрального выражения, которая осталась.

1. Определяют, к какому табличному интегралу сводится данный интеграл (перед этим преобразовав подынтегральное выражение, если нужно).

2. Заменяют переменным такую часть подынтегральной функции, при дифференцировании которой, мы получим оставшуюся часть подынтегрального выражения, не учитывая постоянный множитель.

3. Находим полученный интеграл.

4. Выполняем в ответе обратную замену, то есть переходим к старой переменной.




Формирование необходимых знаний и умений

Коллективное решение и обсуждение предложенных задач

Пример 1

Проинтегрировать по частям:

hello_html_m7386f32e.gif

Пример 2

Вычислить интеграл методом замены переменной:

hello_html_3633a0c5.gif



Пример 3

Вычислить интеграл


1) hello_html_m5f26d804.gif; 2) hello_html_4716c1fe.gif; 3) hello_html_m70135ac6.gif;

4) hello_html_3e66fc5d.gif hello_html_ddd01f9.gif hello_html_1bb9c118.gif


hello_html_3225ca34.gif hello_html_m54579de5.gif hello_html_m626627cd.gif


Закрепление сформированных знаний и умений

Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий. Предлагаются 2 варианта:


7

hello_html_m2faeaaf4.gif

hello_html_m669dd7e8.gif


Задачи для домашнего решения:

Вычислить интеграл:

hello_html_m5791a5c8.gif;

hello_html_m3b24d682.gif;

hello_html_m679431f8.gif;

hello_html_6c401714.gif;

hello_html_m5de76b5a.gif;

hello_html_m5b1be5ed.gifhello_html_m475a9669.gif.

















Практическое занятие 10


Практическая работа 9

по теме «Вычисление определенного интеграла методом замены переменной и интегрированием по частям»



Цель работы: научиться вычислять определенный интеграл методами замены переменной и по частям.


Актуализация знаний

Фронтальный опрос

1. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.

2. Интегрирование методом замены переменной и по частям в определенном интеграле.


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы



Замена переменной в определенном интеграле

Часто для упрощения вычисления интеграла hello_html_156051ba.gifприходится заменять подынтегральное выражение или его часть новой переменной. Подстановка должна упрощать вычисление интеграла. При этом замена переменной в определенном интеграле сводится к интегралу с новыми пределами интегрирования. Эти пределы находят так: подставляется сначала нижний предел а заданного интеграла в переменную, найденное значение и будет новым нижним пределом. Потом для определения нового верхнего предела подставляется верхний предел b заданного интеграла в переменную, найденное значение и будет новым верхним пределом..

Выполнив замену, изменив пределы интегрирования, ми не переходим к старой переменной.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Замена происходит так же, как и в неопределенном интеграле. Используется формула: hello_html_732342cc.gif


Формирование необходимых знаний и умений

Коллективное решение и обсуждение предложенных задач

Пример 1

Вычислить определенный интеграл:
hello_html_12581dfa.png

Главный вопрос здесь вовсе не в определенном интеграле, а в том, как правильно провести замену. Смотрим в таблицу интегралов и прикидываем, на что у нас больше всего похожа подынтегральная функция?

Очевидно, что на длинный логарифм:  hello_html_22c3b0f0.png. Но есть одна неувязочка, в табличном интеграле под корнем hello_html_m17919260.gif а в нашем – «икс» в четвёртой степени. Из рассуждений следует и идея замены – неплохо бы нашу четвертую степень как-нибудь превратить в квадрат. Это реально.

Сначала готовим наш интеграл к замене:

hello_html_m2972882e.png

Из вышеуказанных соображений совершенно естественно напрашивается замена: hello_html_m66eff682.png
Таким образом, в знаменателе будет :
 hello_html_6bbe4644.png.
Выясняем, во что превратится оставшаяся часть
 xdx  подынтегрального выражения, для этого находим дифференциал dt:

hello_html_m6d660639.png 

По сравнению с заменой в неопределенном интеграле у нас добавляется дополнительный этап: находим новые пределы интегрирования.

Это достаточно просто. Смотрим на нашу замену t=x2 и старые пределы интегрирования hello_html_m6a588ad0.png, hello_html_56743725.png.

Сначала подставляем в выражение замены t=x2  нижний предел интегрирования, то есть, ноль: hello_html_3ae5fe0.png/

Потом подставляем в выражение замены t=x2  верхний предел интегрирования, то есть, корень из трёх:
hello_html_537a311b.png

Готово. Продолжаем решение.

hello_html_m29a1069b.png

(1) В соответствии с заменой записываем новый интеграл с новыми пределами интегрирования.

(2) Это простейший табличный интеграл, интегрируем по таблице. Константу hello_html_4a941d82.gif лучше оставить за скобками (можно этого и не делать), чтобы она не мешалась в дальнейших вычислениях. Справа отчеркиваем линию с указанием новых пределов интегрирования hello_html_m5d0f4f64.png – это подготовка для применения формулы Ньютона-Лейбница.(3)

Используем формулу Ньютона-Лейбница

 hello_html_5de64178.gif

Ответ стремимся записать в максимально компактном виде.

Ещё одно отличие от неопределенного интеграла состоит в том, что, после того, как мы провели замену, никаких обратных замен проводить не надо.

Пример 2

Проинтегрировать по частям:

hello_html_m7386f32e.gif

Пример 3

Вычислить )интеграл методом замены переменной:

hello_html_3633a0c5.gif



Примеры:

1) hello_html_7270807.gif; 2) hello_html_m69613d7e.gif; 3) hello_html_m42101ab3.gif;

4) hello_html_1075efc4.gif; 5)hello_html_m5051b4d3.gif

Закрепление сформированных знаний и умений

Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий.


Примеры

1. Вычислить интеграл:


1) hello_html_3e2dc892.gif; 2) hello_html_5e2c4dca.gif; 3) hello_html_72f14a30.gif;

4) hello_html_m74a321bd.gif; 5) hello_html_48ee7ccc.gif; 6) hello_html_2b64970e.gif;

7) hello_html_m49d42f8d.gif; 8) hello_html_7e21562.gif; 9) hello_html_5aa4fa9a.gif;

10) hello_html_5256af8c.gif


Задачи для домашнего решения:

Вычислить интеграл:

1) hello_html_m8c64355.gif; 2) hello_html_2d189671.gif;3) hello_html_30a2664e.gif;4) hello_html_m49444c6.gif

















Практическое занятие 11


Практическая работа 10

по теме «Решение заданий экономического смысла методом интегрального исчисления»


Цель работы: научиться решать задания экономического смысла методом интегрального исчисления.


Актуализация знаний

Фронтальный опрос

1. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.

2. Интегрирование методом замены переменной и по частям в определенном интеграле.

3. Области применения определенного интеграла.


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы


Объем продукции V, который был изготовлен за промежуток времени [0;Т] при изменении продуктивности труда предприятия, который описан функцией у=f(t), находится по формуле:

hello_html_m3cfcdf24.gif

f - продуктивность труда в данный момент

t – время, которое прошло от начала рабочего дня

Теорема о среднем: если функция непрерывная на интервале (а;в), то существует такое число С из этого интервала, что:

hello_html_m23742010.gif,

l – среднее значение функции f(t) на интервале (а;в).



Среднее время hello_html_38df5f49.gif, затраченное на изготовление одного изделия в период изготовления от а до b изделий, вычисляется по формуле:. hello_html_m1a5ab70b.gif

hello_html_m8aea82a.gif, где α – затрата времени на одно изготовление, β – показатель изготовительного процесса.


Формирование необходимых знаний и умений

Коллективное решение и обсуждение предложенных задач

Пример 1

Дневное изменение продуктивности труда характеризуется функцией f(t)=2t 2+23t+29.

Найти объем изготовленной продукции за 8 часов, среднее значение продуктивности труда за это время и момент времени, за которое это значение было достигнуто.


Решение:

Объем изготовленной продукции находится по формуле:


hello_html_m3bbb19ec.gif

V=1309,3 усл.ед.

Найдем среднее значение продуктивности труда по формуле:

hello_html_m2800de6d.gif(усл.ед.∕час)

Найдем момент времени, в которое было достигнуто среднее значение продуктивности труда:

2t 2+23t+29=164

2t2+23t+29-164=0

2t2+23t-135=0

D=b2-4ac=232-4∙2∙(-135)=529+1080=1609

hello_html_4993b5ec.gif

Первое значение не подходит, так как время не может быть отрицательным.

Таким образом, среднее значение продуктивности труда будет достигнуто через 4,25 часа, примерно в середине рабочего дня.

Ответ: 1309,3 усл.ед, 164 усл.ед.∕час, 4,24 ч




Пример 2


Найти среднее время, которое затрачено на изготовление выпуска одного изделия в период выпуска от 10 до20 изделий, если затраты времени на одно изготовление (по технологии) 200 мин, а показатель изготовительного процесса 0,7.

Решение:

hello_html_6d6aa75e.gif

Примеры:

1. Дневное изменение продуктивности труда характеризуется функцией f(t)=at 2+bt+c.

Найти объем изготовленной продукции за m часов, среднее значение продуктивности труда за это время и момент времени, за которое это значение было достигнуто.


2. Найти среднее время, которое затрачено на изготовление выпуска одного изделия в период выпуска от m до n изделий, если затраты времени на одно изготовление (по технологии) α мин, а показатель изготовительного процесса β.


Закрепление сформированных знаний и умений

Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий.


Самостоятельная работа


1. Дневное изменение продуктивности труда характеризуется функцией f(t)=at 2+bt+c.

Найти объем изготовленной продукции за m часов, среднее значение продуктивности труда за это время и момент времени, за которое это значение было достигнуто.


2. Найти среднее время, которое затрачено на изготовление выпуска одного изделия в период выпуска от m до n изделий, если затраты времени на одно изготовление (по технологии) α мин, а показатель изготовительного процесса β.


m

n

α

β

1

50

100

80

0,5

2

70

170

100

1/3

3

50

150

60

0,5

4

10

40

30

0,5

5

10

40

40

0,5

6

150

200

100

0,5

7

150

200

60

0,25

8

70

100

80

0,25

9

70

100

80

0,5

10

50

300

100

0,5

11

100

300

200

0,5

12

70

80

20

0,5

13

100

400

200

0,25

14

100

300

100

1/3

15

10

100

60

0,25



Задачи для домашнего решения:


Найти среднее время, которое затрачено на изготовление выпуска одного изделия в период выпуска от m до n изделий, если затраты времени на одно изготовление (по технологии) α мин, а показатель изготовительного процесса β.


m

n

α

β

1

100

200

60

0,5

2

100

150

100

0,5

3

100

200

60

0,25

4

100

150

100

0,25

5

100

150

60

0,25

















Практическое занятие 13


Практическая работа 11

по теме «Действия над комплексными числами»


Цель работы: сформировать необходимые умения и навыки по выполнению основных действий на множестве комплексных чисел.


Актуализация знаний

- Фронтальный опрос

1. Формы задания комплексных чисел.

2. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

3. Действия над комплексными числами во всех формах задания.

- тестирование на компьютере



Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы


Алгебраическая форма комплексного числа:

і2 = -1 і = hello_html_m51b197bc.gif

Действия над комплексными числами а алгебраической форме:

Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.

Можно использовать формулы сокращенного умножения.

Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.

При делении надо умножить делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю.

Модулем комплексного числа Z = а + bііназывается длина вектора hello_html_7d6162fe.gif, которую можно найти по формуле:

hello_html_7f096d98.gif

Аргументом комплексного числа называется угол hello_html_m4ef7215e.gif, который образует вектор hello_html_7d6162fe.gifс положительным направлением оси абсцисс.

Величину угла можно найти с помощью формул: hello_html_m353ba66.gif.

hello_html_269c713b.gif- тригонометрическая форма комплексного числа

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме


1. Произведение:


hello_html_51b296d1.gif

hello_html_5562a913.gif


2 Частное:

hello_html_730fad72.gif

3. Возведение в степень:

hello_html_68428429.gif


4. Корень n степени (n≥2)

hello_html_m53d4ecad.gif hello_html_m3f2e2d5d.gif

hello_html_38a5d9f7.gif

R = 0, 1, ..., n – 1


hello_html_7458bf74.gifпоказательная форма комплексного числа


Формирование необходимых знаний и умений

Коллективное решение и обсуждение предложенных задач


Пример 1


Найти х и у из равенства:


(2х + 3у) + (х - у) і = 7 + 6і

Решение:


hello_html_5c2cc7e2.gif


Ответ:: х = 5, у = -1.


Пример 2


hello_html_3ee79019.gif

Найти:

hello_html_4b0b3626.gif

Решение:

hello_html_m130ee82a.gif

Пример 3

Решить уравнение:

hello_html_m34df70eb.gif

Ответ:: х1 = 3 – 2і, х2 = 3 + 2і.



Пример 4

Изобразить на плоскости:

hello_html_m70a38a98.gif

hello_html_m46a6be4f.png













Пример 5


Записать в тригонометрической форме комплексное число::

а) Z =-1+і

Решение:

hello_html_e55fa00.gif

Числу Z соответствует точка Z (1;1), которая лежит в 1 четверти

hello_html_14e3737f.gif

Z = hello_html_25fb5505.gif

б) Z = hello_html_3d6b59a8.gif

Решение:

hello_html_172fbadb.gif

Числу Z соответствует точка Z (-2;2hello_html_2d077f92.gif), которая лежит во 2 четверти.

hello_html_20398f6a.gif

Пример 6

Записать число в показательной форме: hello_html_m48859170.gif

Решение:

Сначала запишем Z = -5i в тригонометрической форме:.

а = 0 b = -5

hello_html_m7a76931b.gif

Аргумент находится на мнимой оси:

hello_html_m45e1a9f7.gif

Ответ: hello_html_m1d572560.gif

Пример 6

hello_html_64d993a2.gif

Найти:

hello_html_m31c2a577.gif

Решение:

hello_html_m5b2e4546.gifhello_html_32b2b30a.gif














Примеры

Изобразить заданные комплексные числа Z11+іу1 и Z22+іу2 геометрически и выполнить следующие действия над ними в удобной форме задания:

  • аZ1+вZ2

  • сZ1• Z2

  • Z1n

  • Z2 ⁄ Z1


Закрепление сформированных знаний и учений:

Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий

Самостоятельная работа:


Изобразить заданные комплексные числа Z11+іу1 и Z22+іу2 геометрически и выполнить следующие действия над ними в удобной форме задания:

  • аZ1+вZ2

  • сZ1• Z2

  • Z1n

  • Z2 ⁄ Z1


Задачи для домашнего решения

Изобразить заданные комплексные числа Z11+іу1 и Z22+іу2 геометрически и выполнить следующие действия над ними в удобной форме задания:

  • аZ1+вZ2

  • сZ1• Z2

  • Z1n

  • Z2 ⁄ Z1


Практическое занятие 15


Практическая работа 12

по теме «Выполнение операций над множествами»


Цель работы: сформировать навыки выполнения операций над множествами.


Актуализация знаний

Фронтальный опрос

1. Дать понятие множества, пустого множества.

2. Операции над множествами


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы

Операции над множествами


  1. Объединением множеств А и В называется множество С, которое состоит из всех элементов, которые принадлежат хотя бы одной из двух данных множеств.

Обозначается: “hello_html_m3d26a8f5.gif”. Читается “или”.

Гhello_html_m6c1a71ed.gifрафически изображается:






Например : А=hello_html_55a1cae7.gif, В=hello_html_m122051e3.gifhello_html_4ff0791b.gif


  1. Пересечением множеств А и В называется множество, которое состоит из тех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В.

Обозначается:hello_html_m2e769c67.gif”. Читается “и”.


Графически изображается:


hello_html_57818ecd.gif




  • пhello_html_2ade27c2.gifересечение hello_html_a87e54f.gif (пустое множество)

Например:


hello_html_m6a83888f.gif hello_html_m31a592ef.gifhello_html_m20df6e34.gif



3. Разностью множеств А и В называется множество, которое состоит из тех элементов множеств А, которые не принадлежат множеству В.


Обозначается: А\В


Гhello_html_312aff76.gifрафически:






Например: hello_html_5d920dd0.gifhello_html_m75dcaf42.gifhello_html_1f41ce1c.gif\hello_html_m4bc9c6a8.gif


  1. Симметрическая разность множеств А и В – это объединение их разностей.


Обозначается: hello_html_19f9a3ef.gif\hello_html_7d671a5c.gif\hello_html_m29f3adc1.gif



Гhello_html_m5841c12.gifhello_html_34e99d58.gifhello_html_79519739.gifhello_html_m515db2c1.gifhello_html_m515db2c1.gifhello_html_3e457f67.gif

А

А

рафически:

hello_html_m7e470fc7.gifhello_html_53d5b440.gifhello_html_53d5b440.gifhello_html_m76ab21c3.gif

hello_html_79519739.gif

В







Формирование необходимых знаний и умений

Коллективное решение и обсуждение предложенных задач


Пример1: hello_html_m7e0522b5.gifhello_html_5800ce04.gif


hello_html_619a9be9.gif

Пример 2


Среди перечисленных ниже множеств укажите конечные и бесконечные множества:

а) множество чисел, кратных 13;

б) множество делителей числа 15;

в) множество деревьев в лесу;

г) множество натуральных чисел;

д) множество рек Ростовской области;

е) множество корней уравнения х + 3 = 11;

ж) множество решений неравенства х + 1 < 3.


Пример 3

Задайте множество цифр, с помощью которых записывается число:

а) 3254; б) 8797; в) 11000; г) 555555.


Пример 4

Охарактеризуйте множество А:

а) А = {1, 3, 5, 7, 9};

б) А = {- 2, - 1, 0, 1, 2};

в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99};


Пример 5

Даны множества:

М = {5, 4, 6},

Р = {4, 5, 6},

Т = {5, 6, 7},

S = {4, 6}.

Какое из утверждений неверно?

а) М = Р б) Р ≠ S в) М ≠ Т г) Р = Т


Пример 6

Даны множества:

А = {2; 3; 8},

В = {2; 3; 8; 11},

С = {5; 11}.

Найдите: 1) АUВ; 2) АUС; 3) СUВ.


Пример 7

Даны множества:

А = {a, b, c, d},

B = {c, d, e, f},

C = {c, e, g, k}.

Найдите: (АUВ)UС.

Закрепление сформированных знаний и учений:

Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий


Примеры

1) Перечислите элементы множества планет солнечной системы. (Ответ: Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун).

2) Как называется множество цветов, стоящих в вазе? (Ответ: букет).

3) Приведите примеры множеств, элементами которого являются геометрические фигуры.

4) Задайте множество А описанием:

а) А = {1, 3, 5, 7, 9}; б) А = {- 2, - 1, 0, 1, 2}; в) А = {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}; г) А = {0,1; 0,01; 0,001; 0,0001; }; д) А = {1/2, 2/3, 3/4, 4/5, … }.

5) Запишите на символическом языке следующее утверждение:

а) число 10 – натуральное;

б) число – 7 не является натуральным;

в) число – 100 является целым;

г) число 2,5 – не целое.

6) Даны множества: А = {10}, В = {10, 15}, С = {5, 10, 15}, D = {5, 10, 15, 20}. Поставьте вместо … знак включения (hello_html_m66fa44d0.png или hello_html_m66fa44d0.png) так, чтобы получилось верное утверждение: а) А… D; б) А…В; в) С…А; г) С…В.


Задачи для домашнего решения


1. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.

Найдите: а) А∩В; б) А∩С; в) С∩В.

2. Даны множества: А – множества всех натуральных чисел, кратных 10, В = {1; 2; 3;…, 41}. Найдите А∩В.

3. Даны множества: А = {a, b, c, d}, B = {c, d, e, f}, C = {c, e, g, k}.

Найдите (А∩В)∩С.

4. Даны множества: А = {2; 3; 8}, В = {2; 3; 8; 11}, С = {5; 11}.

Найдите: а) АUВ; б) АUС; в) СUВ.







Практическое занятие 16


Практическая работа 13

по теме «Решение задач на применение формул Бернулли и Лапласа»


Цель работы: сформировать навыки нахождения вероятности по формулам Бернулли и Лапласа.


Актуализация знаний

Фронтальный опрос

1. Понятие факториала.

2. Понятие перестановок, размещений, сочетаний.

3. Классическое определение вероятности.

5. Формулы Бернулли и Лапласа.



Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы


Нахождение вероятностей при повторении испытаний


І. “Мелкосерийное производство”, т.е. n < 20 единиц. Тогда ответ на первый вопрос находится по формуле Бернулли:

hello_html_m68eb6cab.gif

ІІ. “Крупносерийное производство”, т.е. 20 единиц.


Ответы на поставленные вопросы могут быть получены с помощью функции Лапласа. Эти функции находятся соответственно к своему аргументы и с учетом свойств функции по таблицам. Аргумент любой функции Лапласа находится по формуле и зависит для одной и той же серии только от количества появления событий.

hello_html_7b6caecf.gif

Ответ на первый вопрос может быть получен с помощью локальной функции Лапласа:

hello_html_40b1617a.gif



Свойства локальной функции hello_html_m55f11d25.gif

  1. Область определения Дhello_html_m55f11d25.gif - все действительные числа.

  2. Функция четная, т.е. hello_html_m7bee9f97.gif.

  3. hello_html_339b7081.gifhello_html_6f39fa0c.gif


Ответ на второй вопрос может быть получен с помощью интегральной функции Лапласа:

hello_html_18c6b6f7.gif


Свойства интегральной функции (Ф)


  1. Область определения Д (Ф) = hello_html_mc7ad906.gif

  2. Функция нечетная, т.е. Ф (-х) = -Ф (х)

  3. hello_html_4274f61b.gif

Ф (х) = 0,499997.





Таблица значений локальной функции Лапласа

х

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.0

0.3989

3989

3989

3988

3986

3984

3982

3980

3977

3973

0.1

3970

3965

3961

3956

3951

3945

3939

3932

3925

3918

0.2

3910

3902

3894

3885

3876

3867

3857

3847

3836

3825

0.3

3814

3802

3790

3778

3765

3752

3739

3726

3712

3697

0.4

3683

3668

3653

3637

3621

3605

3589

3572

3555

3538

0.5

3521

3503

3485

3467

3448

3429

3410

3391

3372

3352

0.6

3332

3312

3292

3271

3251

3230

3209

3187

3166

3144

0.7

3123

3101

3079

3056

3034

3011

2989

2966

2943

2920

0.8

2897

2874

2850

2827

2803

2780

2756

2732

2709

2685

0.9

2661

2637

2613

2589

2565

2541

2516

2492

2468

2444


1.0

0.2420

2396

2371

2347

2323

2299

2275

2251

2227

2203

1.1

2179

2155

2131

2107

2083

2059

2036

2012

1989

1965

1.2

1942

1919

1895

1872

1849

1826

1804

1781

1758

1736

1.3

1714

1691

1669

1647

1626

1604

1582

1561

1539

1518

1.4

1497

1476

1456

1535

1415

1394

1374

1354

1334

1315

1.5

1295

1276

1257

1238

1219

1200

1182

1163

1145

1127

1.6

1109

1092

1074

1057

1040

1023

1006

0989

0973

0957

1.7

0940

0925

0909

0893

0878

0863

0848

0833

0818

0804

1.8

0790

0775

0761

0748

0734

0721

0707

0694

0681

0669

1.9

0656

0644

0632

0620

0608

0596

0584

0573

0562

0551

х

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2.0

0.0540

0529

0519

0508

0498

0488

0478

0468

0459

0449

2.1

0440

0431

0422

0413

0404

0396

0387

0379

0371

0363

2.2

0355

0347

0339

0332

0325

0317

0310

0303

0297

0290

2.3

0283

0277

0270

0264

0258

0252

0246

0241

0235

0229

2.4

0224

0219

0213

0208

0203

0198

0194

0189

0184

0180

2.5

0175

0171

0167

0163

0158

0154

0151

0147

0143

0139

2.6

0136

0132

0129

0126

0122

0119

0116

0113

0110

0107

2.7

0104

0101

0099

0096

0093

0091

0088

0086

0084

0081

2.8

0079

0077

0075

0073

0071

0069

0067

0065

0063

0061

2.9

0060

0058

0056

0055

0053

0051

0050

0048

0047

0046


3.0

0.0044

0043

0042

0040

0039

0038

0037

0036

0035

0034

3.1

0033

0032

0031

0030

0020

0028

0027

0026

0025

0025

3.2

0024

0023

0022

0022

0021

0020

0020

0019

0018

0018

3.3

0017

0017

0016

0016

0015

0015

0014

0014

0013

0013

3.4

0012

0012

0012

0011

0011

0010

0010

0010

0009

0009

3.5

0009

0008

0008

0008

0008

0007

0007

0007

0007

0006

3.6

0006

0006

0006

0005

0005

0005

0005

0005

0005

0004

3.7

0004

0004

0004

0004

0004

0004

0003

0003

0003

0003

3.8

0003

0003

0003

0003

0003

0002

0002

0002

0002

0002

3.9

0002

0002

0002

0002

0002

0002

0002

0002

0001

0001


Таблица значений интегральной функции Лапласа

х

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.0

0.0000

00399

00798

01197

01595

01994

02392

02790

03188

03586

0.1

03983

04380

04776

05172

05567

05962

06356

06749

07142

07535

0.2

07926

08317

08706

09095

09483

09871

10257

10642

11026

11409

0.3

11791

12172

12552

12930

13307

13683

14058

14431

14803

15173

0.4

15542

15910

16276

16640

17003

17364

17724

18082

18439

18793

0.5

19146

19497

19847

20194

20540

20884

21226

21566

21904

22240

0.6

22575

22907

23237

23565

23891

24215

24537

24857

25175

25490

0.7

25804

26115

26424

26730

27035

27337

27637

27935

28230

28524

0.8

28814

29103

29389

29673

29955

30234

30511

30785

31057

31327

0.9

31594

31859

32121

32381

32639

32894

33147

33398

33646

33891


1.0

0.34134

34375

344614

34850

35083

35314

35543

35369

35993

36214

1.1

36433

36650

36864

37076

37286

37493

37698

37900

38100

38298

1.2

38493

38686

38877

39065

39251

39435

39617

39796

39973

40147

1.3

40320

40490

40658

40824

40988

41149

41309

41466

41621

41774

1.4

41924

42073

42220

42364

42507

42647

42786

42922

43056

43189

1.5

43319

43448

43574

43699

43822

43943

44062

44179

44295

44408

1.6

44520

44630

44738

44845

44950

45053

45154

45254

45352

45449

1.7

45543

45637

45728

45818

45907

45994

46080

46164

46246

46327

1.8

46407

46485

46562

46638

46712

46784

46856

46926

46995

47062

1.9

47128

47193

47257

47320

47381

47441

47500

47558

47615

47670

х

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2.0

0.47725

47778

47831

47882

47932

47982

48030

48077

48124

48169

2.1

48214

48257

48300

48341

48382

48422

48461

48500

48537

48574

2.2

48610

48645

48679

48713

48745

48778

48809

48840

48870

48899

2.3

48928

48956

48983

49010

49036

49061

49086

49111

49134

49158

2.4

49180

49202

49224

49245

49266

49286

49305

49324

49343

49361

2.5

49379

49396

49413

49430

49446

49461

49477

49492

49506

40520

2.6

49534

49547

49560

40573

49585

49598

49609

49621

49632

49643

2.7

49653

49664

49674

49683

49693

49702

49711

49720

49728

49736

2.8

49744

49752

49760

49767

49774

49781

49788

49795

49801

49807

2.9

49813

49819

49825

49831

49836

49841

49846

49851

49856

49861


3.0

0.49865


3.3

0.49952


3.6

0.49984


3.9

0.49995



5.0


0.499999

3.1

49903


3.4

49966


3.7

49989


4.0

499968


3.2

49931


3.5

49977


3.8

49993


4.5

499997




Формирование необходимых знаний и умений

Коллективное решение и обсуждение предложенных задач


Пример 1

Вероятность попадания в цель при одном выстреле составляет р=0,8. Найти вероятность четырёх попаданий при шести выстрелах.

Решение:

п = 6, R = 4, p = 0,8, q = 0,2

hello_html_7f76a7e4.gif

Пример 2

По рекламному проспекту всхожесть семян имеет вероятность того, что из 500 единиц семян:

  1. взойдёт лишь 147

  2. взойдет от 300 до 400 ед. семян

Решение:

п = 500, p = 0,7, q = 0,3

hello_html_mbd7dc9d.gif


hello_html_430357a2.gif


Ф (х400) = Ф (4,88) = 0,499993

Задачи:

1. Вероятность сбоя в работе компьютера в одном сеансе работы равна 0.1. Найти вероятность двух сбоев в шести сеансах работы.

2. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0.4. произведено 5 испытаний. Найти вероятность того, что событие А наступит не более одного раза.

3. Фирма выпускает изделия, из которых 80% высшего качества. Какова вероятность при отборе 100 изделий обнаружить ровно 18 изделий высшего качества?

4. Хлебокомбинат выпускает 90% продукции первого сорта. Какова вероятность того, что из 400 изделий хлебокомбината первосортных окажется не менее 380?



Закрепление сформированных знаний и учений:

Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий


1.Вероятность появления события А в одном испытании равна 0.9. произведено 100 испытаний. Найти вероятность того, что событие А наступит не менее 80 раз.

2. Известно, что в данном селе 80% семей имеют телевизоры. Найти вероятность того, что среди 6 случайно отобранных семей 2 окажутся без телевизора.

3. В квартире 8 электролампочек. Вероятность работы лампочки в течение года равна 0,9. Какова вероятность того, что в течение года придется заменить не менее половины лампочек.?



Задачи для домашнего решения


1. Всхожесть семян новой культуры 85%. На опытном участке посеяли 500 семян. Найти вероятность того, что прорастут от 400 до 450 семян.

2. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0.4. произведено 400 испытаний. Найти вероятность того, что событие А наступит не менее 190 и не более 215 раз.

3. Типография гарантирует вероятность брака переплета книг 0.0001. Книга издана тиражом 25000 экземпляров. Какова вероятность того, что в этом тираже только одна книга имеет брак переплета?










Практическое занятие 17


Практическая работа 14

по теме «Составление и анализ случайных величин»


Цель работы: сформировать умения составления закона распределения случайной величины в двух формах и анализировать данные с помощью числовых характеристик.


Актуализация знаний

Фронтальный опрос

1. Дать понятие моды.

2. Виды случайных величин.

3. Свойства интегральной и локальной функции.

4. Понятие дисперсии , математического ожидания, среднеквадратичного отклонения, интервала рассеивания.


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы


Формы задания случайных величин:


1. Табличная – ряд распределения. Используется и для НСВ и для ДСВ. Наиболее удобна для задания ДСВ.


Критерий правильности ЗРСВ: сумма вероятностей всех значений случайных величин равна 1.

hello_html_4de6d4e.gif



2)

23)

р

р1

р2

...

рn

р

р1

р2


2. Графическая – полигон распределения. Используется только для ДСВ. Представляет собой ломаную, отрезки которой соединяют в системе координат точки (xi ; Pi). Практически, полигон распределения – наглядное отображение ряда распределения. Свойство полигона: он ограничен снизу осью ОХ, а сверху – прямой р=1.

1). Математическое ожидание, среднее значение распределения – это аналог центра тяжести фигуры, отдельные элементы которого имеют различную массу, аналогичную вероятностям значений СВ.

ДСВ: hello_html_m41ddb5fa.gif


НСВ: hello_html_29fb2188.gif


2). Дисперсия – показатель рассеяния наиболее “весомых” значений СВ возле математического ожидания; аналог площади круга наиболее весомой части фигуры с центром в математическом ожидании.

ДСВ: hello_html_aab0eb6.gif


НСВ: hello_html_m1abc63f4.gif


3). Среднее квадратическое отклонение – показатель рассеивания, который является аналогом радиуса “весомого круга”, или ширины интервала около математического ожидания.hello_html_m40aaa3f9.gif

Для планирования используется наиболее вероятный интервал рассеивания значений ВВ.hello_html_2ec3151a.gif

4). Мода m0 – наиболее вероятное значение СВ (актуально для ДСВ).


Формирование необходимых знаний и умений

Коллективное решение и обсуждение предложенных задач


Пример 1

Задан ряд распределения суточного спроса на определенный продукт Х. Найти числовые характеристики этой ДСВ.


Решение:

1) Математическое ожидание находим по формуле: M(X) = hello_html_m16c7e705.gif,

Т.е. М(х) = 10*0,1 + 20*0,15 + 30*0,42 + 40*0,25 + 50*0,08 = 30,6.


2) Дисперсию находим по формуле: Д(X) = hello_html_692ed117.gifxi2pi - М(Х)2 ,

т.е. Д (Х) = 102*0,1 + 202*0,15 + 302*0,42 + 402*0,25 + 502*0,08–(30,6)2 =111,64.

3) Средне квадратичное отклонение находим по формуле: hello_html_40c36057.gif, т.е hello_html_3f78995c.gif = 10,56.

4) Мода: m0 = 30.


Пример 2

Дискретная случайная величина может принимать три значения:

Х1 = 1, Х2 = 3, Х3 = 4. Известны математическое ожидание М(Х) = 2,9 и дисперсия Д(Х) = 1,09. Составить ЗРСВ.

Решение:

ЗРСВ будем составлять в виде ряда распределения, для чего необходимо найти вероятности значений дискретной случайной величины. Для их нахождения составим и решим методом Гаусса систему линейных уравнений, используя для составления следующие органы:

  • сумма вероятностей значений СВ равна „1”;

  • M(X) = hello_html_m16c7e705.gif;

  • Д(X) = hello_html_692ed117.gifxi2pi - М(Х)2 .

Таким образом, получим:


рhello_html_2678aa68.gif1 + р2 + р3 = 1,

р1 + 3р2 + 4р3 = 2,9,

р1 + 9р2 + 16р3 – 8,41 = 1,09;

рhello_html_2678aa68.gif1 + р2 + р3 = 1,

р1 + 3р2 + 4р3 = 2,9,

р1 + 9р2 + 16р3 = 9,5;

рhello_html_2678aa68.gif1 + р2 + р3 = 1,

2 + 3р3 = 1,9,

2 + 15р3 = 8,5;

рhello_html_2678aa68.gif1 + р2 + р3 = 1,

2 + 3р3 = 1,9,

3 = 0,9;


Следовательно, р3 = 0,3, р2 = 0,5*(1,9 – 0,9) = 0,5, р1 = 1 –0,3 – 0,5 = 0,2.

Ряд распределения СВ имеет вид:


Пример 3

Составить и проанализировать ЗРСВ Х = (количество стандартных изделий), если известно, что токарь обработал 5 изделий, а его квалификационный уровень позволяет предсказать 40% вероятность получения бракованного изделия.

Решение:


ЗРСВ будем составлять в биномиальном виде, с помощью формулы Бернулли, учитывая, что n = 5, q = 0,4, р = 1 – 0,4 = 0,6.

  1. х1 = 0, р = hello_html_m74f9610e.gif = hello_html_m2ab12c6c.gif = 0,01024,

  2. х2 = 1, р = hello_html_m5cbf398f.gif = hello_html_m638692d5.gif = 0,0768,

  3. х3 = 2, р = hello_html_5541ef9e.gif = hello_html_m47bf064c.gif = 0,2304,

  4. х4 = 3, р = hello_html_m44d0361c.gif = hello_html_7e610d72.gif = 0,3456,

  5. х5 = 4, р = hello_html_m6eb2a596.gif = hello_html_79090b39.gif = 0,2592,

  6. х6 = 5, р = hello_html_47d45189.gif = hello_html_33f78c67.gif = 0,07776.


Таким образом, ряд распределения имеет вид:


Многоугольник решения имеет вид:

hello_html_m65f7edaf.gif


Задачи:

1. Задан ряд распределения суточного спроса на определенный продукт Х. Найти числовые характеристики этой ДСВ.


а) М (х), б) Д (х), в) G(x)

1)






4)



2. Дискретная случайная величина может принимать три значения: Х1, Х2, Х3. Известны математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Составить ЗРСВ и найти его моду.



Закрепление сформированных знаний и учений:

Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий


1. Дискретная случайная величина может принимать два значения, причем Х1 < Х2. Известна вероятность появления меньшего значения ДСВ - Р1, математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Составить ЗРСВ.



2. Составить ЗРСВ Х = (количество подписанных соглашений на поставку определенной продукции в следующем месяце), если известно, что отдел маркетинга заключил „n” соглашений с известными потребителями, а по сведениям прошлого года месячную подписку получали от потребителей с вероятностью „p” от каждого.


Задачи для домашнего решения


Составить ЗРСВ Х = (количество соответствующих нормативам расчетно – платежных месячных ведомостей на зарплату за 2004 год среди „n”, избранных работниками КРУ для проверки ), если известно, что в течение m месяцев бухгалтерия не учитывала при взыскании налогов наличие среди работников „чернобыльцев различных категорий.


























Практические занятия 18,19


Практические работы 15,16

по теме «Составление и анализ случайных величин. Нахождение числовых характеристик.»


Цель работы: научиться составлять закон распределения случайной величины в двух формах и анализировать данные с помощью числовых характеристик.


Актуализация знаний

Фронтальный опрос

1. Дать понятие моды.

2. Виды случайных величин.

3. Свойства интегральной и локальной функции.

4. Понятие дисперсии , математического ожидания, среднеквадратичного отклонения, интервала рассеивания.


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы


Формы задания случайных величин:


1. Табличная – ряд распределения. Используется и для НСВ и для ДСВ. Наиболее удобна для задания ДСВ.


Критерий правильности ЗРСВ: сумма вероятностей всех значений случайных величин равна 1.

hello_html_4de6d4e.gif



2)

23)

р

р1

р2

...

рn

р

р1

р2


2. Графическая – полигон распределения. Используется только для ДСВ. Представляет собой ломаную, отрезки которой соединяют в системе координат точки (xi ; Pi). Практически, полигон распределения – наглядное отображение ряда распределения. Свойство полигона: он ограничен снизу осью ОХ, а сверху – прямой р=1.

1). Математическое ожидание, среднее значение распределения – это аналог центра тяжести фигуры, отдельные элементы которого имеют различную массу, аналогичную вероятностям значений СВ.

ДСВ: hello_html_m41ddb5fa.gif


НСВ: hello_html_29fb2188.gif


2). Дисперсия – показатель рассеяния наиболее “весомых” значений СВ возле математического ожидания; аналог площади круга наиболее весомой части фигуры с центром в математическом ожидании.

ДСВ: hello_html_aab0eb6.gif


НСВ: hello_html_m1abc63f4.gif


3). Среднее квадратическое отклонение – показатель рассеивания, который является аналогом радиуса “весомого круга”, или ширины интервала около математического ожидания.hello_html_m40aaa3f9.gif

Для планирования используется наиболее вероятный интервал рассеивания значений ВВ.hello_html_2ec3151a.gif

4). Мода m0 – наиболее вероятное значение СВ (актуально для ДСВ).


Формирование необходимых знаний и умений

Коллективное решение и обсуждение предложенных задач


Пример 1

Вероятность появления нестандартной детали после обработки составляет 0,8. Составить закон распределения соответствия обработанных деталей и проанализировать его с помощью числовых характеристик, если задание токарю – 5 деталей.

Решение:

Количество появления нестандартной детали после обработки –дискретная случайная величина. Для составления закону ее распределения удобно использовать ряд распределения , вычисляя вероятности отдельных значений случайной величины с помощью формулы Бернулли: hello_html_5c6b3139.gif

По условию задачи :n=5 , p=0,8 , тогда q=1-0,8=0,2; значения m совпадают со значениями случайной величины.

1). Х=m=0.Тогда hello_html_m4f836883.gif0,00032.

2). Х=m=1.Тогда hello_html_m24ba2ae2.gif0,0064.

3). X=m=2. Тогда hello_html_77f6bacc.gif0,0512.

4). Х=m=3. Тогда hello_html_56237c09.gif0,2048.

5). Х=m=4. Тогда hello_html_1d0e300b.gif0,4096.

6). Х=m=5. Тогда hello_html_m1d3c3fd7.gif0,32768.

Выполним проверку вычислений : hello_html_4fe1b99e.gif1.

0,00032 + 0,0064 + 0,0512 + 0.2048 + 0,4096 + 0,32768=1,

т.е. вероятности значений случайной величины найдены верно. Получили ряд распределения:

Находим числовые характеристики:
  1. Математическое ожидание случайной величины:

М(Х)= hello_html_5a25c82.gif = 4.

  1. Дисперсия : Д(Х)=М(Х2) – М2(Х)= 0,7936.

  2. Среднеквадратичное отклонение :

hello_html_1706e3f6.gifhello_html_m491f7a49.gif0,89.

Таким образом, наиболее весомые по вероятности значения случайной величины будут расположены в интервале : ( М- hello_html_22b9a2dd.gif; М+ hello_html_22b9a2dd.gif ) , т.е.

( 3,11 ; 4,89 ).


Примеры:

1. Вероятность появления нестандартной детали после обработки составляет “р”. Составить закон распределения соответствия обработанных деталей и проанализировать его с помощью числовых характеристик, если задание токарю – “n” деталей.


2. Частично задан ряд распределения суточного спроса на определенный продукт Х. найти интервал доверия та моду ЗРСВ.


3. Составить и проанализировать с помощью числовых характеристик ЗРСВ Х = (количество бракованных деталей среди 6 выбранных для проверки), если известно, что выбор осуществлялся среди 12 деталей, из которых 7 были бракованные.


Закрепление сформированных знаний и учений:

Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий.


1. Составить и проанализировать с помощью числовых характеристик ЗРСВ Х = (количество бракованных деталей среди 5 выбранных для проверки), если известно, что выбор осуществлялся среди 10 деталей, из которых 6 были именно бракованные.

2. Составить (в двух формах) и проанализировать с помощью числовых характеристик ЗРСВ Х = (количество стандартных деталей), если известно, что обработано 5 деталей, а уровень квалификации токаря предусматривает 20 - процентную вероятность появления бракованной детали.


Самостоятельная работа

Вероятность появления нестандартной детали после обработки составляет “р”. Составить закон распределения соответствия обработанных деталей и проанализировать его с помощью числовых характеристик, если задание токарю – “n” деталей.


Задачи для домашнего решения

1. Задан ряд распределения суточного спроса на определенный продукт Х. Найти числовые характеристики этой дискретной случайной величины.

а) М (х), б) Д (х), в) G(x)


2. Вероятность появления нестандартной детали после обработки составляет “0,34”. Составить закон распределения соответствия обработанных деталей и проанализировать его с помощью числовых характеристик, если задание токарю – “4” детали.

Практическое занятие 20


Практическая работа 17

по теме «Решение задач математической статистики»


Цель работы: научиться решать задачи математической статистики.


Актуализация знаний

- Фронтальный опрос

1. Понятие математической статистики.

2. Среднее арифметическое, среднее геометрическое.

3. Полигон частот.

- тестирование на компьютере


Краткие теоретические и учебно-методические материалы по теме практической работы


Мода - значение признака, которая встречается чаще всего в данном ряду распределения. Обозначается hello_html_78404a99.gif.

В случае, когда все значения в группе встречаются одинаково часто, считают, что группа оценок не имеет моды. (например: в группе 1,2; 1,2; 1,7; 1,7; 4,8; 4,8 моды нет).

Если два соседних значения имеют одинаковую частоту и они больше частоты какого-либо другого значения, то мода есть среднее этих двух значений. (Например, мода группы значений 1,2,3,3,3,4,4,4,5 равна 3,5) .

Если два несмежных значения в группе имеют равные частоты и они больше частот любого значения, то существуют две моды. (Например, в группе значений 7, 10, 10, 10, 20, 13, 14, 14, 14, 15, модами будут 10 и 14).

Медиана - средняя величина переменной признака, который находится в середине ряда, расположенного в порядке возрастания или убывания значений признака. Обозначается Me.

Если данные содержат нечетное число различных значений, например 9,11,15,18,20, то медиана является средним значением в случае их упорядоченности, то есть медиана равна 15.

Если данные содержат четное число различных случаев, например 7,11,13,15, то медиана равна среднему между двумя центральными значениями, если они упорядочены, то есть hello_html_m6b815715.gif .


Формирование необходимых знаний и умений

Коллективное решение и обсуждение предложенных задач


Пример 1

На протяжении 20 дней августа температура была такой:

17º, 18º, 19º, 20º, 18º, 18º, 18º, 19º, 19º, 20º, 20º, 19º, 19º, 19º, 20º,

19º, 18º, 17º, 16º, 19º.

Найти среднюю температуру по этим данным.

Решение:

hello_html_7cce9070.gif


Пример 2

Найти среднее квадратичное отклонение значений 5,8,10,12,17,20.

Решение:

hello_html_68d02088.gif

hello_html_m46d772a.gif


Пример 3

Найти центральные тенденции выборки:

1,3; 1,8; 1,2; 3,0; 2,1; 5; 2,4; 1,2; 3,2; 1,2; 4; 2,4.

Решение

Упорядочим выборку в порядке возрастания:

1,2; 1,2; 1,2; 1,3; 1,8; 2,1; 2,4; 2,4; 3,2; 3,8; 4; 5.

Мода m 0= 1,2

Среднее арифметическое::

hello_html_m7bbaddc1.gif

Пример 4


Задана выборка, характеризующая месячную прибыль предпринимателей (в тысячах гривен).


1. Составить вариационный ряд выборки

2. Построить гистограмму.

3. Вычислить средние значения.


1.


6, 10, 12, 11, 11, 14, 6, 8, 12, 10, 14, 8, 9, 11, 7, 7, 12, 10, 13, 16


2.


42, 57, 47, 43, 46, 53, 43, 50, 47, 49, 51, 45, 46, 50, 51, 55, 52, 47, 42, 56


3.


21, 19, 17, 23, 18, 22, 25, 20, 19, 18, 24, 21, 23, 17, 24, 25, 19, 20, 18, 22



Закрепление сформированных знаний и учений:

Закрепление полученных знаний по данной теме проводится во время самостоятельного решения заданий. Предлагаются 2 варианта.


Вариант 1

1. Для выборки, заданной вариационным рядом 2;3;1;0;-1;0;-2;5;6;5 найти моду, медиану, среднее значение, средне квадратичное отклонение. Постройте полигон частот.

2. Найти среднее значение х и среднее квадратичное отклонение. Построить гистограмму частот.

Вариант 2

1. Для выборки, заданной вариационным рядом 10;15;8;7;12;10;8;10;12;10. Найти моду, медиану, среднее значение, средне квадратичное отклонение. Постройте полигон частот.

2. Найти среднее значение х и среднее квадратичное отклонение. Построить гистограмму частот.

Задачи для домашнего решения

1. Для выборки, заданной вариационным рядом -40;-40;0;0;1;1;2;8;9;9. Найти моду, медиану, среднее значение, средне квадратичное отклонение. Постройте полигон частот.

2. . Найти среднее значение х и среднее квадратичное отклонение. Построить гистограмму частот.


Основная литература:


1. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. - М.: Дрофа - 2010.- 400 с.

Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. - 4-е изд., перераб. и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010. - 573 с.

2. Спирина М.С. Дискретная математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М.С. Спирина, П.А. Спирин. - М.: Издательский центр «Академия», 2010. - 368 с.



Электронные учебники:


1. Дадаян А.А. Математика: Учебник. – М.: Форум: ИНФРА-М, 2010. - 552с.;http://znanium.com/bookread.php?book=397662

2. В.А. Буслов, С.Л. Яковлев, Численные методы. Исследование функций. Решение уравнений; http://www.mat.net.ua/mat/Buslov-Yakovlev- Chislennie-metodi.htm

3.  А.А. Самарский, Введение в численные методы; http://www.mat.net.ua/mat/Samarski-Vvedenie-chislennye- metody.htm

4. электронная библиотека по математике; http://www.mat.net.ua/mat/



Интернет – ресурсы:


1 Образовательный математический сайт: www.exponenta.ru;

2. Сайт учебно-методического журнала Математика: http://mat.1september.ru;

3. Математический портал: http://www.allmath.ru;

4. Сайт тесты по математике: http://www.mathtest.ru.




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 27.05.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров226
Номер материала ДБ-101252
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх