Интегрированный
урок (математика + физика) по теме "Производная. Применения
производной", 10-й класс
Учитель
физики: Майер Нина Александровна
Цель интегрированного урока – дать
учащимся всесторонние (углубленные и расширенные) знания о предмете изучения,
его целостную картину. Основные его свойства – синтетичность и
универсальность. Он позволяет посвятить учащегося в конечные цели изучения не
только данной темы, раздела, но и всего материала, быстрее включить его в
познавательный процесс.
По своей структуре он является повторительно-обобщающим.
Оборудование урока:
- проектор;
- персональный компьютер.
«Здравствуйте! Рады видеть всех,
присутствующих на этом интегрированном уроке, который позволит объединить
знания по математике и физике.»
Эпиграфом к уроку выбраны слова ученого-химика Евгения Вагнера: “Вся глубина мысли, которая заложена в формулировку математических
понятий, впоследствии раскрывается тем умением, с которым эти понятия
используются”.
Цель наших совместных действий определим следующим образом: в ходе урока мы должны убедиться в значимости знаний, получаемых на
уроках математики, и их прикладном характере и эффективности использования при
решении физических задач. Только осознанное применение знаний, овладение
математическим аппаратом, умение логически мыслить позволит достичь успехов в покорении
вершин других наук.
Ход урока
1.
Кроссворд
Какой математической операции посвящен урок
мы узнаем, если правильно ответим на вопросы кроссворда.
Вопросы кроссворда:
- Французский математик 17 века Пьер
Ферма определял эту линию так:
“Прямая, наиболее тесно примыкающая к кривой в малой окрестности
заданной точки ”.
- Раздел механики, изучающий
механическое движение тел в пространстве с течением времени.
- Приращение какой переменной обычно
обозначают х?
- Если существует предел в точке а и
этот предел равен значению функции в точке а, то в этой точке функцию
называют... (Подсказка: график такой функции можно нарисовать одним
росчерком карандаша без отрыва от бумаги.)
- Что является мерой изменения
механической энергии?
- Эта величина определяется как
производная скорости по времени.
- Если функцию f(x) можно представить в
виде y=f(x)=g(h(x)), где y=g(t), t=h(x) - некие функции, то функцию
называют.. .
Кроссворд заполнен, и мы по горизонтали читаем слово “Лагранж”.
2.
Историческая справка
С именем Лагранжа связана такая операция математического анализа, как
нахождение производной. Обратимся к истории появления в математике термина “
производная”. Небольшая историческая справка-сообщение об ученых Лагранже,
Ньютона, Декарте, Ферма, Лейбнице.
В 19 лет он стал профессором в Артиллерийской школе Турина. Именно
Лагранж в 1791 г. ввёл термин “производная”, ему же мы обязаны и современным
обозначением производной (с помощью штриха). Термин “вторая производная” и
обозначение (два штриха) также ввёл Лагранж.
Задача определения скорости прямолинейного неравномерного движения была
впервые решена Ньютоном. Функцию он назвал флюэнтой, т.е. текущей
величиной, производную же - флюксией. Ньютон пришел к понятию производной,
исходя из вопросов механики. Предполагают, что Ньютон открыл свой метод флюксий
ещё в середине 60-х годов XVII в.
Первый общий способ построения касательной к алгебраической кривой был
изложен в “Геометрии” Декарта. Более общим и важным для развития дифференциального
исчисления был метод построения касательных Ферма.
Основываясь на результатах Ферма и некоторых других выводах, Лейбниц
значительно полнее своих предшественников решил задачу о построении касательной
к кривой в некоторой точке.
Итак, теперь мы можем сформулировать тему
урока: “Производная. Геометрический и физический смысл производной”.
ФМИ
3.
Устный опрос.
Ответим на следующие вопросы:
- Что
такое производная функции?
- В чем
ее геометрический смысл?
- В чем
ее физический смысл?
Математический диктант
Чтобы эффективно использовать производную
при решении конкретных задач, необходимо, как таблицу умножения, знать таблицу
производных элементарных функций.
Убедимся в том, что вы эту таблицу знаете в
совершенстве.
Математический диктант написан, бланк
ответов, лист с диктантом сдан. Пожалуйста, поднимите руки, кто из вас написал
диктант без единой ошибки? Сделал не более трех ошибок?
4.
Связь с другими науками.
Однако, формальное знание таблицы
производных - это только инструмент, с помощью которого можно решать задачи,
как по математике, физике, так и по экономике, биологии и другим наукам.
Показ слайдов
(биологии, химии, географии)
Сила тока I – это производная от заряда q(t)
Если q (t) = t+
I (t) = q'(t) = (t + )' = 1 –
I (t) = 0 при 1 –= 0
= 0
Условию задачи не удовлетворяет t = – 2 (c)
Значит, сила тока I = 0, при t = 2(c).
Производная – это скорость роста функции.
- Мощность
– это производная работы по времени P = A'(t).
- Сила
тока – производная от заряда по времени I = q'(t).
- Сила
– есть производная работы по перемещению F = A'(x).
- Теплоемкость
– это производная количества теплоты по температуре C = Q' (t).
- Давление
– производная силы по площади P = F'(S)
- Длина
окружности – это производная площади круга по радиусу lокр=S'кр(R).
- Темп
роста производительности труда – это производная производительности труда
по времени.
- Успехи
в учебе? Производная роста знаний.
6. Работа
по графику.
Переходим к следующему этапу урока, который покажет, как вы владеете
этим эффективным и универсальным инструментом - производной.
Вам предлагаются четыре графика функций. Пожалуйста, ответьте на
следующие вопросы:
По первому графику определите знак углового коэффициента
касательной, проведенной к графику функции в точках с абсциссами “а”, “в”, “с”.
На следующих графиках укажите точки, в которых производная
равна нулю, и точки, в которых производная не существует.
Ответы к заданиям:
1) Знак углового коэффициента в точке с абсциссой “а” - плюс,
с абсциссой “в” - минус, с абсциссой “с” - плюс.
2) На втором графике производная равна нулю в точках 0 и 3,5 , не существует
в точке -1.
3) На третьем графике производная равна нулю в точке -4 и не существует
в точках -2, 6, 2.
4) На четвертом графике производная равна нулю в точках -4 и -1,5 и не
существует в точке 4.
7. Решение задач по “Кинематике”
Эффективность использования производной
подтверждается также обращением к задачам по физике из раздела “Кинематика”.
- Координата
тела меняется по закону X = 5 - 3t + 2t2 (м).
- Определите
скорость и ускорение данного тела в момент времени 2 сек
- Пусть
X = 2 + 4t2 - sin2πt. Найти: а)мгновенную скорость,
б)ускорение, если t = 0,5c
Первую задачу решим, используя формулы,
связывающие между собой кинематические характеристики равнопеременного
движения.
Vox= - 3 м/с; хо=5 м;
ах = 4м/с2 —> Vx = Vox+ axt
=-3 + 8 = 5 (м/с)
Эта задача решается довольно просто. Но как
быть, если координата движущегося тела с течением времени изменяется по закону:
Х=2+ 4- sin2πt а необходимо
ответить на вопрос: “Какова скорость и ускорение этого тела в момент времени 2
секунды?” Формулы кинематики нам здесь не помогут. К чему, по вашему мнению, мы
должны обратиться? - Конечно, к производной, к ее физическому смыслу. Это
позволит нам практически без особых усилий ответить на поставленные вопросы.
V(t) = X =8t -
2πcos 2t = 16 -2π cos 4π 16 - 6,28•1 (м/с)
(t) = V'(t) = 8 + 4π2 sin 2πt = 8 (м/с2)
8. Защита презентаций
Каждая группа защищает свою презентацию по
решению задач по теме: «Производная и ее применение»
9. Самостоятельная работа
Вам предлагается самостоятельная работа, при верном решении которой мы
получим ключ к дальнейшим действиям. В бланк ответов (один на три варианта) вы
заносите буквы, соответствующие полученным решениям; первая команда - с цифры “1”
по “4”, а вторая - с “5” по “8” , а третья - с “9” по “12”. Не забудьте на
бланке указать номер команды и соответствующий вариант.
Тест. Вариант 1
1. Точка движется по закону S(t)=2t3+3t.
Чему равна скорость точки в момент времени
t= 1c ?
А) 5 Е) 12 И) 9
К) 13
2. Чему равен тангенс угла наклона
касательной к графику функции g(x)=4x2 - х в точке х0=1
Д) 8 С) 7 В) 3
3. Найти силу, действующую на материальную точку массой З кг,
движущуюся прямолинейно по закону S(t)=3t3 - 4,5t2 при
t=2c?
И) 27 Б) 30 С)
81 Т) 54
4. Найти производную функции
О) Д )
Тест. Вариант 2
5. Заряд, протекающий через электролит,
меняется по линейному закону q=2t + 0,02t3 (Кл)
Какова сила тока в цепи в момент времени
t=5c?
Р) 2,0 О) 1,5 Е)
3,5 П) 4,0
6. Составьте уравнение касательной к
графику функции у=х2 - Зх + 5 в точке =-1
Д) у=-5х + 4 Э)
у=5х-4 Х) у=-5х
7. Точка движется прямолинейно по закону
x(t)= +3t2-5.Найти
момент времени t, когда ускорение точки равно 0.
А) 2 М) 4 К) 8
0) 6
8. В какой точке графика функции y = кx
касательная наклонена к оси абсцисс под углом 30°?
В) нет ответа
Тест. Вариант 3
9. Заряд, проходящий через поперечное
сечение проводника, меняется с течением времени по закону q(t)=0,4t + 3t2
+ 1
Найти мгновенное значение силы тока в
момент времени t=2c
Ф)19 А)12,4
В)13 И)21,04
10. Найти производную функции
11. Две материальные точки движутся по
законам: Xl(t)=2,5t2-6t+l; X2(t) =0,5t2
+ 2t - 3
В какой момент времени их скорости равны?
Р)10 Б) 4
И) 2 Ю) 7
12. Составьте уравнение касательной к
графику функции у=2 - х2 в точке х0=3
А) у =2х +5 Е) у =-6х +11 В)
у = -Зх - 6 Г) нет ответа
10. Исследование функции
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
10
|
11
|
12
|
И
|
С
|
С
|
Л
|
Е
|
Д
|
О
|
В
|
А
|
Н
|
И
|
Е
|
Итак, если вы абсолютно правильно решили все задания, то мы читаем
слово “исследование”, а оно, как никакое другое соответствует теме нашего
сегодняшнего урока. Как применить производную к исследованию функции, мы увидим
на следующем примере:
Исследовать на монотонность функцию у =2х3 +3х2
-1 и построить график этой функции.
f(x) = 6x2 + 6x = 6x(x + 1)
Умение исследовать поведение функции очень важно и при решении
физических задач, особенно тех, которые традиционными способами решаются сложно
и громоздко.
11. Итог урока
Завершая урок, мы надеемся, что все поняли и приняли истину: математика
- это, действительно, царица наук, которая может выступать и в роли служанки,
помогающей нам в покорении вершин других наук. Прав был Вагнер, когда говорил,
что “Вся глубина мысли, которая заложена в формулировку математических понятий,
впоследствии раскрывается тем умением, с которым эти понятия используются”.
И, наконец, после “всяких умных вещей” немного юмора. На экране
представлены графики зависимости уровня ваших знаний от времени, в интервале от
начала урока до его завершения. Пожалуйста, выберите тот график, который, на
ваш взгляд, наиболее близок вам, принимая во внимание их разный характер. Имеют
ли они отношение к теме нашего урока? Можно ли по этим графикам судить о
скорости приращения наших знаний в ходе урока? Если - да, то как? Какой же
график выбран вами? Если вы выбрали график 1 – это означает, что мы достигли
цели и решили задачи, поставленные в начале урока.
Урок завершен. До свидания.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.