Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Интегрированный урок по теме Интеграл в геометрии, физике, электротехнике

Интегрированный урок по теме Интеграл в геометрии, физике, электротехнике

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Министерство образования и науки Самарской области

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Самарской области «Технологический колледж им. Н.Д.Кузнецова»



















Интегрированный урок по теме:

Интеграл в геометрии, физике, электротехнике





Преподаватель Сазонова О.Б.



















Самара, 2015

Тема урока: Интеграл в геометрии, физике, электротехнике.

Интегрированный урок-практикум

Цели:

- обобщить и систематизировать знания по теме «Интеграл», применять их к решению задач геометрии, физики, электротехники;

- формирование основ интегративного мышления;

- воспитание интереса к предмету; формирование мотивации обучения профессии; воспитание инициативности, самостоятельности, ответственности.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний с элементами профессионального профилирования по специальности «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта».

90 минут.

Оборудование:

- компьютер;

- проектор;

- таблица первообразных;

- форматки с формулами;

- игра «Математическое лото».

План урока

1. Повторение темы:

определение первообразной;

техника интегрирования (игра «Математическое лото»);

определение интеграла. Формула Ньютона-Лейбница;

геометрический смысл интеграла.

2. Применение интеграла:

в геометрии;

в физике;

в электротехнике

3. Подведение итога урока.

4. Оценки с комментариями.

5. Задание на дом.

Ход урока

Учитель математики: Мы заканчиваем изучение темы «Интеграл». Сегодня заключительный урок по теме.

Наша цель: повторить основные понятия и рассмотреть некоторые применения интеграла при решении задач геометрии, физики, электротехники. Это даст нам возможность оценить профессиональную направленность изученной темы, увидеть взаимосвязь математики, физики, электротехники. С этой целью на урок приглашены учителя физики и электротехники. Они расскажут вам о специфических применениях и интеграла.

Эвристическая беседа по теме:

1. Вопрос: Что такое первообразная?

Ответ: Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка

F(x) =f(x).

2. Разминка по технике интегрирования в виде игры «Математическое лото». Играют 2 человека, их оценки зависят от количества правильных ответов. Ответы комментируются.

3. Вопрос: Что такое интеграл?

Ответ: Интеграл от функции f (x) есть приращение её первообразной. Это определение можно записать в виде формулы Ньютона-Лейбница: hello_html_m68ae1ee6.gif hello_html_m719b9d80.gif

Вычислить: hello_html_m6bc0ee7b.gif +1 = 1hello_html_5b2be360.gif.

4. Вопрос: В чём состоит геометрический смысл интеграла?

Ответ: Интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, которая ограничена графиком подынтегральной функции, отрезком [a;b] оси 0Х, прямыми х = а и х = b, где а – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования (приложение 1).

Учитель математики:

Интеграл имеет самые разнообразные практические применения. Русский математик П.Л. Чебышев сказал: «Сближение теории с практикой даёт самые благотворительные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает, сами науки развиваются под её влиянием, она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах давно известных».

Так с помощью интеграла можно вычислить такие физические величины, как работа, она равна интегралу от силы, затраченной при перемещении тела; масса однородного стержня равна интегралу от линейной плотности этого стержня; величина заряда равна интегралу от силы тока; количество теплоты равно интегралу от теплоёмкости (приложение 2).

Выведем с помощью интеграла несколько геометрических формул. Одна из древнейших задач математики – нахождение длины окружности и площади круга.

Пример 1. Вывести формулу длины окружности (приложение 3). Здесь:

R - радиус окружности,

dС - элемент окружности,

- центральный угол, соответствующий dС.

Вопрос: От чего зависит длина дуги?

Ответ: От радиуса окружности и от величины соответствующего центрального угла.

Вопрос: Как зависит?

Ответ: Прямо пропорционально.

Вопрос: Какой из параметров (R или ) будет являться переменным для данной окружности?

Ответ: Переменным будет являться центральный угол , так как радиус есть величина постоянная для данной окружности.

Вопрос: В каких единицах измеряется параметр ?

Ответ: В радианах.

Запишем элемент данной окружности с помощью символов dC=Rhello_html_5a420fe8.gifd.

Проинтегрируем это равенство в пределах от 0 до 2

С= hello_html_m6daa358f.gif (приложение 5).

На решении этой задачи можно проследить схему применения интеграла, которая сводится к следующему:

  1. Записать часть изменения искомой величины с помощью дифференциала.

  2. Проинтегрировать полученное равенство.

  3. Найти первообразную для подынтегральной функции и вычислить интеграл, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница.

Пример 2. Вывести формулу площади круга (приложение 4). Здесь:

R - радиус круга,

- центральный угол,

dC - элемент окружности,

dS - элемент искомой площади круга.

Вопрос: от каких величин зависит площадь круга?

Ответ: площадь круга зависит от R и .

Рассмотрим элемент площади круга ds, он имеет форму близкую к форме треугольника, у которого высота равна радиусу, а основание равно dC.

  1. dS = hello_html_6f1a07f3.gif

  2. S = hello_html_78be18ff.gif

Итак, S= hello_html_m4c7a2a15.gif(приложение 7).

Пример 3. Вывести формулу призмы.

Здесь: S - площадь основания, H - высота, h- элемент высоты.

Схема рассуждения:

Вопрос: от чего зависит объём призмы?

Ответ: объём призмы зависит от S и h.

Вопрос: какой параметр (S или h) будем считать постоянным, а какой переменным для данной призмы?

Ответ: S – величина постоянная для данной призмы, h- переменная.

Запишем уравнение в дифференциалах: dV = Sdh.

Проинтегрируем по h от 0 до H: V = hello_html_m67c17dbb.gif

Заметьте, насколько вывод этой формулы с помощью интеграла короче и «изящней» традиционного метода, который рассматривается в курсе геометрии. Рассуждая аналогично можно вывести формулы для вычисления объемов тел вращения (шара, цилиндра, конуса, произвольного тела вращения и т.д.). С помощью интеграла решаются задачи других наук, в частности физики, электротехники.

Учитель физики:

Основной составной частью любых радиотехнических устройств являются конденсаторы.

  1. Вопрос: устройство, принцип действия, назначение, основные характеристики конденсатов. (Ответ учащихся у доски).

  2. Решить задачи:

Задача 1. Вычислить работу, совершаемую при зарядке конденсатора.

Решение: A = qEd Ed = U A = qU q – const dA=CUhello_html_5a420fe8.gifdU

A = hello_html_1543cc69.gif = Chello_html_4f5f3661.gif = C hello_html_2ea86a90.gif = hello_html_m1bca4e0a.gif

Ответ: A = hello_html_m1bca4e0a.gif

Задача 2. Дано: C, U. Найти: W. Решение: W = qU, q-const, dW = qdU, C = hello_html_m2973d45e.gif, q=CU, dW=CudU, W=hello_html_1543cc69.gif = Chello_html_m33c8f411.gif = hello_html_m1bca4e0a.gif.

Вывод: Таким образом, с помощью интегрирования, можно вывести формулы: A = hello_html_m1bca4e0a.gif (приложение 6); W = hello_html_m1bca4e0a.gif; W = hello_html_66d619ba.gif.

Учитель электротехники:

Такой математический аппарат как дифференцирование и интегрирование находит широкое применение для решения задач электротехнического профиля. И прежде, чем мы решим задачи на применение интеграла, вспомним некоторые понятия темы «Цепи постоянного тока», которую мы изучали на первом курсе, а также изучаете на уроках физики.

Из курса физики вы знаете, что электрическим током называется упорядоченное, направленное движение заряженных частиц. Если мы говорим о проводниках, то электрический ток возникает при упорядочении перемещения свободных электронов.

При изучении темы «Цепи постоянного тока» мы говорим о том, что основная электрическая характеристика проводника при заданном напряжении. Сопротивление проводника представляет собой как бы меру противодействия проводника, установления в нем электрического тока.

С помощью закона Ома можно определить сопротивление проводника.

Вопрос: сформулируйте закон Ома для участка цепи.

Ответ: сила тока для участка однородной цепи прямо пропорциональна сопротивлению того же участка: I = hello_html_m6d81fbd7.gif; R = hello_html_m3c0803ca.gif.

Для этого нужно измерить напряжение силы тока. Проводники каких материалов обладают наименьшим электрическим сопротивлением?

Это серебро, медь, алюминий.

Сопротивление зависит от материала проводника и его геометрических размеров и формы.

Вопрос: Как выглядит зависимость сопротивления цилиндрического проводника от материала, геометрических размеров?

Ответ: R = hello_html_m780d8a70.gif hello_html_784543d1.gif [ом], где R - сопротивление,

hello_html_968a3c2.gif- удельное сопротивление проводника, зависящее от рода вещества и состояния,

S - постоянная площадь поперечного сечения для данного проводника,

l - длина проводника.

Задача: Вывести формулу сопротивления конического проводника.

Рассмотрим чертеж. Проводник имеет форму конуса, основание проводника S0, L - длина проводника (или высота конуса).

Вопрос: от чего зависит сопротивление данного проводника при постоянном сечении?

Ответ: сопротивление зависит от длины проводника, то есть длина – меняющаяся величина. Изменяется элемент длины dl, а длине l соответствует площадь S. Обозначим изменяющийся элемент длины dl и запишем уравнение в дифференциалах: dR = hello_html_m780d8a70.gif hello_html_m6c882832.gif (1)

Вопрос: что можно сказать об этих конусах?

Ответ: эти конусы подобны.

Вопрос: из геометрии известна зависимость между площадями подобных конусов и их высотами. Что это за зависимость?

Ответ: площади оснований подобных конусов относятся как квадраты их высот, то есть можно записать: hello_html_m69432832.gif = hello_html_457c3178.gif; S = hello_html_m654dd03a.gif.

Подставим эту величину в дифференциальное уравнение (1), получим:

dR = hello_html_m60d72c34.gif , (2)

Проинтегрируем его.

Вопрос: по какой величине производим интегрирование?

Ответ: по величине l, т.к. длина является аргументом в данной задаче.

Вопрос: каковы пределы интегрирования, в каких пределах меняется высота конуса или длина проводника является от 0 до L.

R = hello_html_79e5dbf9.gif = hello_html_m547bfb8e.gif hello_html_5a420fe8.gif hello_html_m56e54ffa.gif = hello_html_m5b5d902e.gif hello_html_m2c2a26e3.gif hello_html_5a420fe8.gif dl = hello_html_m7c6fd1e0.gif 0L = hello_html_m4d6bf292.gif hello_html_5a420fe8.gif hello_html_3560141c.gif hello_html_6d5d08e9.gif0L = hello_html_5d61203e.gif + hello_html_adc5ade.gif = hello_html_m50d24f3e.gif +

При стремлении знаменателя к 0, дробь стремиться к бесконечности.

Подведение итога урока:

Итак, мы рассмотрели лишь малую часть применения интеграла в геометрии, физике, электротехнике, но и она дает представление о том, какую роль играет дифференциальное и интегральное исчисление в науке и технике; дает возможность оценить профессиональную направленность темы; показывает взаимосвязь между изучаемыми предметами.

Выставление оценок с комментариями.

Здание на дом: Вывести формулу объема цилиндра.





























Приложение 1





Площадь криволинейной трапеции

hello_html_m40dd2ec8.gif

y

hello_html_1a6b26ad.gifhello_html_fc79c25.gifhello_html_21ba97a9.gifhello_html_m74060e14.gif



S(x)




a 0 b x





hello_html_1126932d.gif





Приложение 2

hello_html_m1930ac42.gif

hello_html_2636d1b8.gif

hello_html_m4f2b358e.gifhello_html_m5ec56f6c.gif

Приложение 3

hello_html_m5411ffd.gifhello_html_65547cc.gifhello_html_3953344b.gif















d C

Приложение 4

hello_html_61fb5b87.gifhello_html_65547cc.gifhello_html_3953344b.gif















d C



Приложение 5







hello_html_md8b1f39.gif





Приложение 6

hello_html_56ac26a9.gif

Приложение 7

hello_html_287098f3.gif







Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 03.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров88
Номер материала ДБ-232856
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх