Инфоурок / Математика / Конспекты / Интегрированный урок "Применение производной при решении физических задач" (11-й класс)

Интегрированный урок "Применение производной при решении физических задач" (11-й класс)

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов

Интегрированный урок "Применение производной при решении физических задач" (11-й класс)

Учитель математики Куц Федор Иванович

Учитель физики Овчар Сергей Александрович.

Цели:

  • Повторить, обобщить и систематизировать знания о производной.

  • Закрепить навыки нахождения производных.

  • Проверить уровень сформированности навыка нахождения производных, способствовать выработке навыков в применении производной к решению физических задач.

  • Развивать логическое мышление, память, внимание и самостоятельность.

Оборудование: Мультимедийный экран, карточки с задачами по физике.

Ход урока

Организационный момент

Учитель математики: Здравствуйте. У нас сегодня необычный урок. Он будет объединять математику с физикой.

Тема нашего урока “Применение производной при решении физических задач”

Учитель физикиПеред тем, как перейти к решению задач, давайте повторим теоретические вопросы кинематики и динамики.

Актуализация знаний

(Фронтально, ответить на вопросы и записать формулы на доске):

  1. Что такое мгновенная скорость?

  2. Что такое ускорение?

  3. Записать уравнение зависимости координаты от времени для равномерного движения x(t) = x 0+hello_html_m2fa2cb1c.gift

  4. Записать уравнение зависимости проекции вектора перемещения от времени для равномерного движения sx(t) = hello_html_m2fa2cb1c.gifxt

  5. Записать уравнение зависимости координаты от времени для равнопеременного движения x(t) = x0+hello_html_m2fa2cb1c.gif0xt + axt2/2

  6. Записать уравнение зависимости проекции скорости от времени для равнопеременного движения hello_html_m2fa2cb1c.gifx (t)= hello_html_m2fa2cb1c.gif0x + axt

  7. Записать формулы проекции перемещения для равнопеременного движения s x(t) = hello_html_m2fa2cb1c.gif0xt+axt2/2

  8. Записать формулу кинетической энергии E = hello_html_m58c3b69e.gif .

  9. Записать формулу работы F = ma.

Учитель физики: Повторив вопросы, давайте решим задачу по теме «кинематика».

Учитель физики обращает внимание на экран, где спроектирована задача:

№1. Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = -2 + 4t + 3t2. Найдите ее скорость и ускорение в момент времени t = 2с. (х – координата точки в метрах, t – время в секундах).

Решим задачу физическим способом: x(t) = x0 + hello_html_m2fa2cb1c.gif0xt+axt2/2

1) x0 = - 2м;hello_html_m2fa2cb1c.gif0x= 4 м/с; ax= 3∙2 = 6(м/с)2.

2) hello_html_m2fa2cb1c.gifx(t)= v0x+ axt; hello_html_m2fa2cb1c.gifx(t) = 4+ 6t; hello_html_m2fa2cb1c.gifx(2) = 4+ 6∙2 = 16(м/с).

Ответ:hello_html_m2fa2cb1c.gifx=16м/с; ax= 6 м/с2.

Учитель математики: А теперь я хочу забрать инициативу и предложить ребятам вопрос, который мы изучали на уроках математики.

Пусть тело движется по закону S(t) = f(t). Рассмотрим пройденный телом путь за время от t0 до t0+ hello_html_m44dfdda9.gift, где hello_html_m44dfdda9.gift- приращение аргумента. В момент времени t0 телом пройден путь S(t0), в момент t0 + hello_html_m44dfdda9.gift – путь S(t0+ hello_html_m44dfdda9.gift). Поэтому за время hello_html_m44dfdda9.gift тело прошло путь S(t0+ hello_html_m44dfdda9.gift) - S(t0), т.е. мы получили приращение функции. Средняя скорость движения за этот промежуток времени hello_html_m2fa2cb1c.gif = hello_html_m11f9a7d5.gif = hello_html_m2c8980ba.gif. Чем меньше промежуток времени t, тем точнее мы можем узнать с какой скоростью движется тело в момент t. Устремив t hello_html_6ab8aa1c.gif 0, получим мгновенную скорость – числовое значение скорости в момент t этого движения:

hello_html_m2fa2cb1c.gif = hello_html_ec5d18c.gif= Sʹ(t). Скорость – производная от пути по времени.

Еще раз вспомним определение ускорения: a(t) =hello_html_m8012dc1.gif .

Применив выше изложенный материал, можно сделать вывод: при t hello_html_6ab8aa1c.gif 0 a(t) = hello_html_m2fa2cb1c.gifʹ (t) Ускорение – есть производная от скорости по времени.

Итак, в чем состоит физический смысл производной? Ведь не даром у нас урок физики и математики (сформулировать: физический смысл производной заключается в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость, а производная от скорости есть ускорение.)

– Так с помощью чего можно найти мгновенную скорость?

Теперь вернемся к решенной на доске задаче. Мы ее решили, используя только знания физики, а т.к. мы вспомнили, в чем же заключается физический смысл производной, давайте решим эту же задачу, используя производную:

x(t) = - 2 + 4t + 3t2.

hello_html_m2fa2cb1c.gif (t) = xʹ(t) = 4 + 6t.

hello_html_m2fa2cb1c.gif (2) = 4 + 6∙2 = 16 (м/с).

a(t) = hello_html_m2fa2cb1c.gifʹ (t) = 6 м/с2.

Ответ: hello_html_m2fa2cb1c.gif=16м/с; a = 6 м/с2.

Вопрос: Какое решение вам больше нравится? Почему?

Вывод учащихся.

№ 2 .На доске в условии задачи № 1 заменить t2 на t3: x(t) = -2 + 4t + 3t3 и задать вопрос:

А смогли бы вы решить эту задачу физическим способом, используя тот теоретический материал, который мы повторили в начале урока? Почему нет?

x(t) = -2 + 4t + 3t3.

hello_html_m2fa2cb1c.gif (t) = xʹ(t) = 4 + 9t2.

hello_html_m2fa2cb1c.gif(2) = 4+ 6∙22 = 4 + 24 = 28(м/с).

a(t) = hello_html_m2fa2cb1c.gifʹ (t) =18t.

a(2) = 9 ∙2 = 18( м/с2).

Ответ. hello_html_m2fa2cb1c.gif(2) = 28м/с; a(2) = 18м/с2.

Учитель физики: Рассмотрим различные виды физических величин, которые удобнее находить через производную. ( Таблица проецируется на экран)

hello_html_1781acd3.gif

hello_html_m71c3f9fb.gif

hello_html_m19d5c246.gif

t - время

hello_html_m28c93684.gif

hello_html_m33b8e1be.gif

hello_html_m20297d3c.gif

hello_html_m71c3f9fb.gif

hello_html_3fd97316.gif

hello_html_30091ba8.gif

hello_html_16dfb4eb.gif

hello_html_m2e3de1a8.gif

hello_html_m7ff1f965.gif

hello_html_m5037f2ea.gif

hello_html_480c7bdc.gif

hello_html_2a3b5996.gif

S- перемешение

hello_html_m136cd9eb.gif

hello_html_45bd309b.gif

hello_html_2399fd42.gif

hello_html_2a3b5996.gif

hello_html_m7c27dc10.gif

hello_html_2c55447e.gif

hello_html_m4700eb70.gif

hello_html_3ff07a2e.gif

hello_html_542c79ff.gif

hello_html_m4cbbc40b.gif

hello_html_5790cc1b.gif

hello_html_17363cba.gif

hello_html_m198c2233.gif

hello_html_m5fe422cd.gif

hello_html_m59ccaa25.gif

hello_html_m147286b1.gif

hello_html_4316e393.gif

hello_html_m49a6ed2b.gif

hello_html_4cb6eee5.gif

hello_html_378046d1.gif

hello_html_m162e68b5.gif

hello_html_2154d9ab.gif

hello_html_4316e393.gif

hello_html_73c6fc6f.gif



№ 3. Два тела совершают прямолинейное движение по законам:

S1 (t) = 3tImage2660- 2t+10, S2 (t) = tImage2662+ 5t + 1, где t – время в секундах, а S1 (t), S2 (t) – пути в метрах, пройденные, соответственно, первым и вторым телами. Через сколько секунд, считая от t=0, скорость движения первого тела будет в два раза больше скорости движения второго тела?

На доске задачу 3 решает средний ученик,

Решение. hello_html_m2fa2cb1c.gif1 (t) = S1ʹ(t) = 6t – 2; hello_html_m2fa2cb1c.gif2 (t) = S2ʹ(t) = 2t + 5.

Составим уравнение, отвечающее вопросу задачи: hello_html_m2fa2cb1c.gif1 (t) = 2hello_html_m2fa2cb1c.gif2 (t), т. е. 6t – 2 = 2(2t + 5).

6t – 2 = 4t + 10; 2t = 12; t = 6(с).

Ответ. t = 6(с).

№ 4.Маховик вращается вокруг оси по закону hello_html_m58576334.gif(t) = t4- 5t. Найдите его угловую скорость hello_html_3e055c13.gif в момент времени 2с ( hello_html_m58576334.gif - угол вращения в радианах, hello_html_3e055c13.gif - угловая скорость в рад/с).

Решение.hello_html_m10dafe1d.gif

hello_html_fbcb228.gif) = (t4- 5t)ʹ = 4t3- 5.

hello_html_7fc9920e.gif) = 4∙23- 5= 32 – 5 = 27 (рад/с).

Ответ.hello_html_7fc9920e.gif) = 27 (рад/с).

№ 5.Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону x(t) = 2- 3t + 2t2. Найдите скорость тела и его кинетическую энергию через 3с после начала движения. Какая сила действует на тело в этот момент времени? (t измеряется в секундах, х – в метрах).

Решение.

Учитель математики: hello_html_m2fa2cb1c.gif (t) = xʹ(t)

hello_html_m2fa2cb1c.gif (t) = (2- 3t + 2t2) ʹ= - 3 + 4t.

hello_html_m2fa2cb1c.gif (3)= - 3 + 4∙3 = 9(м/с).

Учитель физики: E = hello_html_m58c3b69e.gif

E = hello_html_m132234a0.gif = 81Дж.

F = ma.

Учитель математики: a(t) = hello_html_m2fa2cb1c.gifʹ (t).

a(t) = (- 3 + 4t)ʹ = 4 (м/с2).

Учитель физики F = 2кг ∙ 4 м/с2 = 8 Н.

Ответ. E = 81Дж, F = 8 Н.

№ 6. Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента hello_html_m53f07ce3.gif, задается формулой q = 3t2 + t + 2. Найдите силу тока в момент времени t = 3c.

Решение. I(t) = qʹ(t) ; I(t) =(3t2 + t + 2)ʹ = 6t +1; I(3) = 6∙3 +1 =19(A)

Ответ: 19А.


№7. В тонком неоднородном стержне длиной 25см его масса (в г) распределена по закону m = 2l2 + 3l , где l – длина стержня, отсчитываемая от его начала. Найти линейную плотность в точке:

  1. отстоящей от начала стержня на 3см;

  2. в конце стержня.

Решение.hello_html_7a78bdb9.gif = mʹ( l); hello_html_7a78bdb9.gif= (2l2 + 3l)ʹ = 4l +3; hello_html_m37df4e16.gif= 4∙3+3= 15(г/см).

hello_html_m4b60d902.gif= 4∙25+3= 103(г/см)

Ответ: 15г/см; 103г/см.

№ 8.Электрическая цепь состоит из источника тока и реостата. ЭДС источника hello_html_m20f4a217.gif = 6 В, его внутреннее сопротивление r = 2 Ом. Сопротивление реостата можно изменять в пределах от 1 Ом до 5 Ом. Чему равна максимальная мощность тока, выделяемая на реостате?

Решение.

Учитель физики:

Максимальная мощность достигается в том случае, когда сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника тока, т.е. при R= r. В нашем случае с данным реостатом это возможно.

Закон Ома для полной цепи: I = hello_html_2be8d89f.gif .

Мощность тока, выделяемая на реостате: P = IU= I2R = hello_html_m70f79389.gif.

При R= r имеем: P = hello_html_m70f79389.gif.= hello_html_m2f4f5683.gif. = hello_html_7162f7eb.gif

P=hello_html_m57b899cf.gif = 4,5 (Вт).

Учитель математики:

Исследуем выражение для мощности на экстремум по сопротивлению:

Pʹ(R) =hello_html_m111e7c8c.gif= hello_html_m45161ada.gif = hello_html_m56ee2160.gif =hello_html_798e7081.gif = hello_html_m377d251a.gif.

Решив уравнение Pʹ(R) = 0,т.е. hello_html_m377d251a.gif = 0, имеем R= r = 2.

При 1 ≤ R ≤ 2, Pʹ(R) hello_html_m7c48e444.gif 0, при 2 ≤ R ≤ 2, Pʹ(R)hello_html_m7c48e444.gif 0,следовательно, при R = 2 Ом мощность P достигает наибольшего значения. P (2) = hello_html_m55183689.gif = 4,5 (Вт).

Ответ. 4,5 (Вт).

№ 9. Частица совершает гармонические колебания по закону x(t) = 24 cos hello_html_23372ed0.gift см. Определите проекцию скорости частицы и ее ускорения на ось Ох в момент времени t = 4с.

Решение.hello_html_m2fa2cb1c.gif (t) = xʹ(t) = (24 cos hello_html_23372ed0.gift)ʹ = -24∙ hello_html_23372ed0.gifsin hello_html_23372ed0.gift = -2hello_html_6b2fd1c.gifsin hello_html_23372ed0.gift;

hello_html_m2fa2cb1c.gif(4) = -2hello_html_6b2fd1c.gif sin (hello_html_23372ed0.gif∙ 4) = -2hello_html_6b2fd1c.gifhello_html_1fc87bde.gif = - hello_html_m5f40fe77.gif.

a(t) = hello_html_m2fa2cb1c.gifʹ (t) =(-2hello_html_6b2fd1c.gif sin hello_html_23372ed0.gif t)ʹ = -2hello_html_6b2fd1c.gif hello_html_23372ed0.gifcos hello_html_23372ed0.gif t = - hello_html_m5c2a122a.gif cos hello_html_23372ed0.gif t;

a(4) = - hello_html_m5c2a122a.gif cos ( hello_html_23372ed0.gif∙ 4) = - hello_html_m5c2a122a.gifhello_html_6eec8aff.gif = - hello_html_660a02f2.gif

Ответ. hello_html_m2fa2cb1c.gif (4) = - hello_html_m5f40fe77.gif, a(4) = - hello_html_660a02f2.gif

Учитель математики:

Теперь переходим к решению небольшой самостоятельной работы. В ней вы должны показать свое умение решать задачи, которые мы сегодня рассмотрели.

Самостоятельная работа в двух вариантах

Задания 1 варианта:

1.Точка движется прямолинейно по закону x(t)=2t3 + t - 3. В какой момент времени ускорение будет равно 24 м/с2. (х – координата точки в метрах, t- время в секундах)

2.Колебательное движение точки описывается уравнением x = 0,05 cos 20hello_html_6b2fd1c.gift .Найти проекцию скорости и проекцию ускорения спустя hello_html_2482bf50.gifс.

Задания 2 варианта

Материальная точка движется по прямой так, что ее координата в момент времени t равна x(t) = t4- 2t. Найдите ускорение точки в момент времени t =3 с.

Колебание маятника совершается по закону x = 0,2sin10hello_html_6b2fd1c.gift . Определите проекцию скорости маятника и ускорение через hello_html_2e394464.gifс.

Итог урока

– Мы сегодня повторили применений производной в кинематике, но возможности применения производной намного шире, в чем мы сегодня и убедились: ее можно применять при изучении многих вопросов по динамике, так же при изучении электромагнитных явлений, в оптических явлениях, при решении задач по ядерной физике. Те вопросы, которые мы сегодня рассмотрели, помогут вам при решении задач по математике и физике на экзаменах

Учитель математики: А я хочу закончить наш урок высказыванием русского ученого Михаила Васильевича Ломоносова, в котором как нам кажется, мы сегодня убедились

«Слеп физик без математики»


Общая информация

Номер материала: ДВ-340235

Похожие материалы