• 

  1 слайд

  Системы линейных уравнений
  с двумя переменными
  интерактивное пособие
  для учащихся 7-11 классов
  

• 

  2 слайд

  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  Инструкция
  Интерактивное пособие «Системы линейных уравнений с двумя переменными» предназначено для учителей, детей и их родителей.
  В левой части представлены разделы пособия. На любом этапе работы содержание открывается по щелчку мыши на соответствующий раздел.
  Перейти на другой слайд можно по щелчку на «управляющую кнопку»:
  перейти на следующий слайд
  вернуться к предыдущему слайду
  Для выхода из пособия нажми клавишу «Esc».
  

• 

  3 слайд

  Основные понятия
  Линейное уравнение c двумя переменными – это уравнение вида ax+by+c=0, где а,b,с – некоторые числа (a≠0,b≠0),
  x,y – переменные.
  Система уравнений - это два или несколько уравнений, для которых необходимо найти все их общие решения. Обычно для записи системы уравнений, их записывают в столбик и рисуют одну общую фигурную скобку. Если в системе все присутствующие уравнения линейные, то говорят, что задана система линейных уравнений.
  4𝑥+3𝑦=6 2𝑥+𝑦=4
  Решением системы двух уравнений с двумя переменными называют пару чисел (x,y) такую, что при подстановке этих чисел в уравнения системы, каждое из уравнений системы обращается в верное равенство. Существует несколько способов решения.
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  4 слайд

  Графический метод
  Графиком линейного уравнения ax+by+c=0 является прямая. Для того, чтобы решить систему линейных уравнений графическим методом необходимо построить прямые для каждого уравнения и найти точку пересечения. Она и является решением.
  
  К сожалению, графический метод не самый надежный. Во первых, прямые могут не уместиться на чертеже. Во вторых, прямые могут уместиться на чертеже, но пересечься в точке, координаты которой по чертежу не очень легко определить.
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  5 слайд

  Графический метод
  Пример 1.
  Решить систему уравнений 𝑦=𝑥, 𝑦=4−3𝑥.
  Решение: Построим графики уравнений системы. Графиком уравнения y=x является прямая. Найдем две пары значения x,y, удовлетворяющих этому уравнению.
  
  
  
  Аналогично для y=4-3x.
  
  
  
  Построим в одной системе координат графики функций.
  
  
  
  
  
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  6 слайд

  Графический метод
  А(1,1) искомая точка.
  Ответ: А(1,1).
  
  
  
  
  
  y=x
  
  
  
  
  
  y=4-3x
  
  
  
  
  
  А(1;1)
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  7 слайд

  Графический метод
  Пример 2.
  Решить систему уравнений 𝑥+2𝑦−5=0, 2𝑥+4𝑦+3=0.
  Решение: Построим графики уравнений системы. Графиком уравнения 𝑥+2𝑦−5=0 является прямая. Найдем две пары значения x,y, удовлетворяющих этому уравнению.
  
  
  
  Аналогично для 2𝑥+4𝑦+3=0.
  
  
  
  Построим в одной системе координат графики функций.
  
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  8 слайд

  Графический метод
  Прямые параллельны. Решений нет.
  Ответ: решений нет.
  
  
  
  
  
  𝑥+2𝑦−5=0
  
  
  
  2𝑥+4𝑦+3=0
  
  
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  9 слайд

  Графический метод
  Графический метод решения системы линейных уравнений имеет большое значение.
  
  Выводы:
  графиками обоих уравнений системы являются прямые;
  эти прямые могут пересекаться, причем только в одной точке, - это значит, что система имеет единственное решение;
  эти прямые могут быть параллельны, это значит, что система не имеет решений;
  эти прямые могут совпасть, это значит, что система имеет бесконечно много решений.
  
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  10 слайд

  Метод подстановки
  Алгоритм решения системы двух уравнений с двумя переменными методом подстановки:
  
  выразить y через x из первого уравнения;
  подставить полученное на первом шаге выражение вместо y во второе уравнение системы;
  решить полученное на втором шаге уравнение относительно x;
  подставить найденное на третьем шаге значение x в выражение y через x, полученное на первом шаге;
  записать ответ в виде пары значений (x;y).
  
  
  
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  11 слайд

  Метод подстановки
  Пример 1. Решить систему уравнений 3𝑥−𝑦−5=0, 2𝑥+𝑦−7=0.
  
  Решение:
  
  Из первого уравнения получаем y=3x-5.
  Подставим найденное выражение вместо y во второе уравнение: 2x+(3x-5)-7=0.
  Решим полученное уравнение:
  2x+3x-5-7=0
  5x-12=0
  5x=12
  x=12/5
  
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  12 слайд

  Метод подстановки
  Подставим найденное значение х в формулу y=3x-5
  
  𝑦=3∙ 12 5 −5= 36 5 −5= 36−25 5 = 11 5
  
  5) Пара х= 12 5 , y= 11 5 единственное решение заданной системы.
  
  Ответ: ( 12 5 , 11 5 ).
  
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  13 слайд

  Метод подстановки
  Пример 2. Решить систему уравнений 5𝑥−3𝑦+8=0, 𝑥+12𝑦=11.
  
  Решение:
  
  Выразим х через у из второго уравнения х=11-12у.
  Подставим найденное выражение вместо х в первое уравнение: 5(11-12у)-3у+8=0.
  Решим полученное уравнение:
  55-60у-3у+8=0
  -63у=-63у
  у=1
  
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  14 слайд

  Метод подстановки
  Подставим найденное значение у в формулу х=11-12у
  х=11−12∙1=−1
  
  5) Пара х=-1, y=1 единственное решение заданной системы.
  
  Ответ: (-1,1).
  
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  15 слайд

  Метод алгебраического сложения
  Пример 1. Решить систему уравнений 3𝑥−𝑦−5=0, 2𝑥+𝑦−7=0.
  
  Решение:
  
  1) Сложим оба уравнения.
  (3𝑥−𝑦−5)+(2𝑥+𝑦−7)=0+0
  5𝑥−12=0
  𝑥= 12 5
  
  2) Подставим х в любое уравнение системы
  𝑦=3∙ 12 5 −5= 36 5 −5= 36−25 5 = 11 5
  Ответ: ( 12 5 , 11 5 ).
  
  
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  16 слайд

  Метод алгебраического сложения
  Пример 2. Решить систему уравнений 2𝑥+3𝑦=1, 5𝑥+3𝑦=7 .
  
  Решение:
  
  1) Вычтем второе уравнение из первого.
  (2𝑥+3𝑦)-(5𝑥+3𝑦)=1-7
  2𝑥+3𝑦−5𝑥−3𝑦=−6
  −3𝑥=−6
  𝑥=2
  Подставим х в любое уравнение системы
  2∙2+3у=1
  3у=-3
  у=-1
  Ответ: (2;-1).
  
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  17 слайд

  Метод алгебраического сложения
  Пример 3. Решить систему уравнений 3𝑥−4𝑦=5, 2𝑥+3𝑦=7 .
  
  Решение:
  
  Умножим все члены первого уравнения системы на 3, а все члены второго на 4.
  9𝑥−12𝑦=15, 8𝑥+12𝑦=28 .
  Сложим два уравнения. Получим 17х=43. х= 43 17
  Подставим х в любое уравнение системы
  2∙ 43 17 +3у=7
  
  3у= 33 17
  
  у= 11 17
  
  Ответ: ( 43 17 ; 11 17 ).
  
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  18 слайд

  Тренажер
  Задача 1. Является ли (60; 30) решением системы
  а) 4𝑥−7𝑦=30 4𝑥−5𝑦=90 б) 3𝑥+5𝑦=330 6𝑥−8𝑦=110 ?
  
  
  Решение
  Ответ
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  19 слайд

  
  
  
  Тренажер
  Задача 1. Является ли (60; 30) решением системы
  а) 4𝑥−7𝑦=30 4𝑥−5𝑦=90 б) 3𝑥+5𝑦=330 6𝑥−8𝑦=110 ?
  
  
  
  Решение:
  а) 4∙60−7∙30=30 4∙60−5∙30=90
  
  Данная пара чисел является решением системы.
  Решение
  Ответ
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  20 слайд

  
  
  
  Тренажер
  Задача 1. Является ли (60; 30) решением системы
  а) 4𝑥−7𝑦=30 4𝑥−5𝑦=90 б) 3𝑥+5𝑦=330 6𝑥−8𝑦=110 ?
  
  
  
  Решение:
  б) 3∙60+5∙30=330 6∙60−8∙30=120
  
  Данная пара чисел не является решением системы.
  Решение
  Ответ
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  21 слайд

  
  
  
  Тренажер
  Задача 1. Является ли (60; 30) решением системы
  а) 4𝑥−7𝑦=30 4𝑥−5𝑦=90 б) 3𝑥+5𝑦=330 6𝑥−8𝑦=110 ?
  
  
  
  Ответ: а) да б) нет.
  
  Решение
  Ответ
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  22 слайд

  Тренажер
  Задача 2. Решите графически систему уравнений 𝑦=5𝑥, 3𝑥+𝑦=0 .
  
  
  Решение
  Ответ
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  23 слайд

  
  
  
  Тренажер
  Задача 2. Решите графически систему уравнений 𝑦=5𝑥, 3𝑥+𝑦=0 .
  
  
  
  Решение: Построим графики уравнений системы. Графиком уравнения 𝑦=5𝑥 является прямая.
  
  
  
  Аналогично для 3𝑥+𝑦=0 .
  
  
  
  
  
  Решение
  Ответ
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  24 слайд

  
  
  
  Тренажер
  Задача 2. Решите графически систему уравнений 𝑦=5𝑥, 3𝑥+𝑦=0 .
  
  
  
  Построим в одной системе координат графики функций.
  
  А(0;0) точка пересечения прямых.
  
  
  Решение
  Ответ
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  25 слайд

  Тренажер
  Задача 2. Решите графически систему уравнений 𝑦=5𝑥, 3𝑥+𝑦=0 .
  
  
  
  Ответ: А(0;0).
  
  Решение
  Ответ
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  26 слайд

  
  
  
  Тренажер
  Задача 3. Решите систему уравнений методом подстановки х=у+2, 3𝑥−2𝑦=9 .
  
  
  
  
  Решение
  Ответ
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  27 слайд

  
  
  
  Тренажер
  Задача 3. Решите систему уравнений методом подстановки х=у+2, 3𝑥−2𝑦=9 .
  
  
  
  Решение:
  Подставим выражение вместо х во второе уравнение:
  3(у+2)-2у=9.
  2) Решим полученное уравнение:
  3у+6-2у=9
  у=3
  Подставим у в любое уравнение системы
  х=3+2=5
  (5;3)
  
  Решение
  Ответ
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  28 слайд

  
  
  
  Тренажер
  Задача 3. Решите систему уравнений методом подстановки х=у+2, 3𝑥−2𝑦=9 .
  
  
  
  Ответ: (5;3)
  
  Решение
  Ответ
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  29 слайд

  
  
  
  Тренажер
  Задача 4. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения 2х+11у=15, 10х−11у=9 .
  
  
  
  
  Решение
  Ответ
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  30 слайд

  
  
  
  Тренажер
  Задача 4. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения 2х+11у=15, 10х−11у=9 .
  
  
  
  Решение:
  1) Сложим оба уравнения.
  12x=24
  x=2
  2) Подставим х в любое уравнение системы
  20-11y=9
  -11y=-11
  y=1
  
  Ответ: (2,1).
  
  Решение
  Ответ
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  31 слайд

  
  
  
  Тренажер
  Задача 4. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения 2х+11у=15, 10х−11у=9 .
  
  
  
  Ответ: (2;1)
  
  Решение
  Ответ
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  32 слайд

  
  
  
  Тренажер
  Задача 5. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения 40х+3у=−10, 20х−7у=−5.
  
  
  
  
  Решение
  Ответ
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  33 слайд

  
  
  
  Тренажер
  Задача 5. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения 40х+3у=−10, 20х−7у=−5.
  
  
  
  Решение:
  Умножим все члены второго уравнения системы на -2. 40𝑥+3𝑦=−10, −40𝑥+14𝑦=10 .
  Сложим два уравнения. Получим 17y=0. y=0
  Подставим х в любое уравнение системы
  40x=-10
  x= - 1 4
  Ответ (- 1 4 ; 0)
  
  Решение
  Ответ
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  34 слайд

  
  
  
  Тренажер
  Задача 5. Решите систему уравнений методом алгебраического сложения 40х+3у=−10, 20х−7у=−5.
  
  
  
  Ответ: (- 1 4 ; 0)
  
  
  Решение
  Ответ
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  35 слайд

  Самостоятельная работа
  
  
  
  Задание 1
  Задание 3
  Задание 2
  Задание 4
  Задание 5
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  36 слайд

  Самостоятельная работа
  
  
  
  Задание 1
  Задание 3
  Задание 2
  Задание 4
  Задание 5
  Задача 1. Решите систему уравнений 2х+у=1, 2х+у=3.
  
  
  
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  37 слайд

  Самостоятельная работа
  
  
  
  Задание 1
  Задание 3
  Задание 2
  Задание 4
  Задание 5
  Задача 2. Решите систему уравнений 𝑦=−4𝑥, х−у=10.
  
  
  
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  38 слайд

  Самостоятельная работа
  
  
  
  Задание 1
  Задание 3
  Задание 2
  Задание 4
  Задание 5
  Задача 3. Решите систему уравнений 3х−5у=25, 4х−3у=37.
  
  
  
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  39 слайд

  Самостоятельная работа
  
  
  
  Задание 1
  Задание 3
  Задание 2
  Задание 4
  Задание 5
  Задача 4. При каких а и b решением системы 𝑎𝑥+𝑏𝑦=36 𝑎𝑥−𝑏𝑦=8
  является пара чисел (2;-1) ?
  
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  40 слайд

  Самостоятельная работа
  
  
  
  Задание 1
  Задание 3
  Задание 2
  Задание 4
  Задание 5
  Задача 5. Решите систему уравнений 1 2 х− 1 3 у=1, 6х−5у=3.
  
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

• 

  41 слайд

  Источники
  
  
  
  Учебник «Алгебра 7» А. Г. Мордкович, М.: Мнемозина,2009.
  Задачник «Алгебра 7» А. Г. Мордкович, Л.А. Александрова М.: Мнемозина, 2009.
  Самостоятельные работы. Алгебра 7 класс. Под редакцией Мордковича А.Г. М.:Мнемозина,2009.
  
  Основные понятия
  Метод подстановки
  Метод алгебраического сложения
  Графический метод
  Тренажер
  Самостоятельная работа
  Источники
  

Краткое описание материала