Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Презентации / Интересные факты о треугольниках. Мини-учебник для учащихся и преподавателей.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Интересные факты о треугольниках. Мини-учебник для учащихся и преподавателей.

библиотека
материалов
Мини-учебник Треугольники Учитель математики Меньшикова С.В.
Треугольник - первая геометрическая фигура, встречающаяся в древних орнамента...
Содержание - Проверь себя - Тесты - Терминологический словарь выход Интересны...
В герметической идеографии треугольник с устремленной к верху вершиной, симво...
Ацтеки использовали изображение треугольника с вершиной наверху, соединенного...
Светящаяся Дельта - это равнобедренный треугольник (с углом 108° на вершине и...
Прямоугольным называется тот треугольник, у которого один из углов прямой. Ст...
Тогда Перепишем последнее равенство в таком виде: Из этой пропорции следует,...
Доказательство. Так как ВР=АР, то отрезок РМ в треугольнике АВР служит медиан...
Следовательно, треугольник АМР подобен треугольнику СМА и угол МАР равен углу...
В равнобедренном треугольнике АРC высота PD является и медианой, т.е. AD=DC....
Сложив, получим  , а так как Sa+Sb+Sc=S, то  . Следствие.  В равностороннем т...
Доказательство: т.к. OL, OM, ON – перпендикуляры,  то AO2-AL2=BO2-BL2 или  Сл...
Доказательство:  Если соединить точки А и Р, то получим двойники: одна - при...
Вычисление площади педального треугольника. Тогда SА1В1С1= SС1МВ1 + SA1MB1= S...
Площадь педального треугольника центра тяжести. т.е. n=0. Тогда SА1В1С1= 4S3...
Площадь педального треугольника центра вписанной окружности. По свойству бисс...
Площадь педального треугольника точки пересечения высот. По свойству высот в...
Решение: Ответ: 7,5 (см) Задача 1 Вычислить стороны педального треугольника,...
Дано:  АВС – равносторонний, la=1,5 см, lb=2,8 см, lc=1,7 см. Найти:  Решение...
Дано: треугольник АВС; OL, OM и ON - перпендикуляры  , АВ=9, АС=12 Найти: ВС...
Решение. (см2) Ответ: 1,57 (см2) Задача 4 Найти площадь педального треугольни...
Решение. Ответ: Задача 5 Определите угол Брокара, если треугольник имеет след...
Решение. В прямоугольном треугольнике DCB , поэтому, воспользовавшись формуло...
Три точки, образующие треугольник, называются Вершинами треугольника Точками...
Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника Три угла плоскость Угол...
Треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных...
Точкой Брокара называется точка, которая при соединении с вершинами треугольн...
Если точка Брокара является точкой пересечения медиан, то треугольник правиль...
Если расстояние от педальной точки до вершины треугольника АВС равны х, у, z,...
Начало
38 1

Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Мини-учебник Треугольники Учитель математики Меньшикова С.В.
Описание слайда:

Мини-учебник Треугольники Учитель математики Меньшикова С.В.

№ слайда 2 Треугольник - первая геометрическая фигура, встречающаяся в древних орнамента
Описание слайда:

Треугольник - первая геометрическая фигура, встречающаяся в древних орнаментах. Интересные факты В Египте он символизировал триаду духовной воли, любви, интуиции и высшего разума человека, то есть его личность или душу.

№ слайда 3 Содержание - Проверь себя - Тесты - Терминологический словарь выход Интересны
Описание слайда:

Содержание - Проверь себя - Тесты - Терминологический словарь выход Интересные факты Виды треугольников Педальный треугольник Практическая часть

№ слайда 4 В герметической идеографии треугольник с устремленной к верху вершиной, симво
Описание слайда:

В герметической идеографии треугольник с устремленной к верху вершиной, символизирует огонь и отвечает идее вознесения, духовности, красному цвету. Треугольник с горизонтальной чертой считается пассивным и означает воздух, умеренный огонь, соответствующий синему цвету. Перевернутый треугольник означает чашу, готовую принять воду; мудрость, порождающую главную идею; зеленый цвет. Треугольник воздуха с горизонтальной чертой символизирует Землю, неподвижную стоячую воду и соответствует черному цвету.

№ слайда 5 Ацтеки использовали изображение треугольника с вершиной наверху, соединенного
Описание слайда:

Ацтеки использовали изображение треугольника с вершиной наверху, соединенного с перевернутым треугольником, в качестве символа временного цикла. Треугольник в сочетании с крестом образует алхимический знак Серы. Равносторонний треугольник, символизирующий, по древнееврейской традиции, совершенство, у христиан означает Троицу - Отца, Сына и Святого Духа.

№ слайда 6 Светящаяся Дельта - это равнобедренный треугольник (с углом 108° на вершине и
Описание слайда:

Светящаяся Дельта - это равнобедренный треугольник (с углом 108° на вершине и двумя углами по 36° у основания), в середине которого расположены Божественный Глаз (видимое Солнце, дающее Свет и Жизнь, Логос, Творческое начало) или священная Тетраграмма I E V Е, имя Бога, которое иудейский первосвященник произносил лишь один-единственный раз в году. Его три стороны являют собой выражение формулы: правильно думать, правильно говорить, правильно делать, или лозунг: Свобода, Равенство, Братство. Начало

№ слайда 7
Описание слайда:

№ слайда 8 Прямоугольным называется тот треугольник, у которого один из углов прямой. Ст
Описание слайда:

Прямоугольным называется тот треугольник, у которого один из углов прямой. Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две стороны, образующие прямой угол, называются катетами. Начало

№ слайда 9 Тогда Перепишем последнее равенство в таком виде: Из этой пропорции следует,
Описание слайда:

Тогда Перепишем последнее равенство в таком виде: Из этой пропорции следует, что треугольники DBC и DCP подобны. Значит, . Получаем: и AB=BC. Доказательство. Так как подобен , то AD:BD=PD:AD, и AD=DC. Теорема 1. Если точка Брокара Р есть точка пересечения медиан, то треугольник АВС правильный. BD=DC∙√3 и BD2 = DC2. 3.

№ слайда 10 Доказательство. Так как ВР=АР, то отрезок РМ в треугольнике АВР служит медиан
Описание слайда:

Доказательство. Так как ВР=АР, то отрезок РМ в треугольнике АВР служит медианой, так и высотой. Теорема 2. Если точка Брокара Р является пересечением медианы СМ с биссектрисой АЕ, то треугольник правильный. Но тогда отрезок СМ в треугольнике АВС также служит высотой и медианой, а значит и биссектрисой, следовательно, точка Р – пересечение биссектрис, и треугольник АВС правильный.

№ слайда 11 Следовательно, треугольник АМР подобен треугольнику СМА и угол МАР равен углу
Описание слайда:

Следовательно, треугольник АМР подобен треугольнику СМА и угол МАР равен углу МСА, а значит и AB=BC, Р – точка пересечения медиан, т.е. треугольник АВС правильный. Доказательство. Из подобия треугольников МВР и МСВ следует, что МВ:МС=МР:МВ или МВ2=МС.МР, но по условию МВ=МА, тогда МА2=МС.МР и МА:МС=МР:МА. Теорема 3. Если точка Брокара Р является точкой пересечения медианы СМ с высотой ВD, то треугольник АВС правильный.

№ слайда 12 В равнобедренном треугольнике АРC высота PD является и медианой, т.е. AD=DC.
Описание слайда:

В равнобедренном треугольнике АРC высота PD является и медианой, т.е. AD=DC. Следовательно, высота BD в треугольнике АВС является и медианой. Точка Брокара Р в треугольнике АВС является пересечением биссектрисы СМ с медианой BD, отсюда, по предыдущей теореме, треугольник АВС правильный. Доказательство. Так как Р – точка Брокара, то и (СМ является биссектрисой в треугольнике АВС). Отсюда следует, что в треугольнике АРС стороны АР и РС равны. Теорема 4. Если точка Брокара Р является точкой пересечения биссектрисы СМ с высотой BD, то треугольник АВС правильный. Начало

№ слайда 13 Сложив, получим  , а так как Sa+Sb+Sc=S, то  . Следствие.  В равностороннем т
Описание слайда:

Сложив, получим  , а так как Sa+Sb+Sc=S, то  . Следствие.  В равностороннем треугольнике сумма расстояний от произвольной точки, взятой внутри треугольника, до его сторон есть величина постоянная, равная высоте треугольника. Имеем: . 2) Если из точки L внутри треугольника опущены перпендикуляры соответственно на стороны а, b, с треугольника, то . la, lb, lc, Дано: треугольник АВС, а, b, с – стороны треугольника АВС, – педальная точка, la, lb, lc – перпендикуляры от L, ha, hb, hc – высоты треугольника АВС. Доказать: Треугольник  АВС разобьется на три треугольника. Назовем площади этих треугольников Sa, Sb, Sc. 

№ слайда 14 Доказательство: т.к. OL, OM, ON – перпендикуляры,  то AO2-AL2=BO2-BL2 или  Сл
Описание слайда:

Доказательство: т.к. OL, OM, ON – перпендикуляры,  то AO2-AL2=BO2-BL2 или  Сложив эти три равенства, получим: AL2-BL2+BM2-MC2+CN2-NA2=0 или AL2+BM2+CN2=BL2+MC2+NA2. 3) Перпендикуляры, опущенные их точки, лежащей в плоскости треугольника, на его стороны, определяют на сторонах шесть отрезков так, что сумма квадратов трех отрезков, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов других трех отрезков. Дано: треугольник АВС, OL, OM, ON - перпендикуляры. Доказать: AL2+BM2+CN2=LB2+MC2=AN2

№ слайда 15 Доказательство:  Если соединить точки А и Р, то получим двойники: одна - при
Описание слайда:

Доказательство:  Если соединить точки А и Р, то получим двойники: одна - при вершине В1, а другая при вершине С1, далее при вершинах С2 и В2 и , наконец, обе – при вершине А3. Следовательно, треугольник  АВС  и треугольник   имеют равные углы при вершинах А и А3. Аналогично, они имеют равные углы В и В3. таким образом, теорема доказана. Дано:   АВС, Р – педальная точка. Доказать:    подобен  4) Третий педальный треугольник подобен исходному.

№ слайда 16 Вычисление площади педального треугольника. Тогда SА1В1С1= SС1МВ1 + SA1MB1= S
Описание слайда:

Вычисление площади педального треугольника. Тогда SА1В1С1= SС1МВ1 + SA1MB1= SA1MC. Так как данный треугольник и треугольник С1МВ1 отличается тем свойством, что ^A + ^ M = π, то SС1МВ1/ S= С1М* МВ1 / c* b; SС1МВ1 = S*С1М* МВ1 / c* b. Так как С1М= 2S*сn-1/(an + bn +cn), МВ1= 2S*bn-1/(an + bn +cn), A1M= 2S*an-1/(an + bn +cn), то SА1В1С1= 4S3 * сn-1* bn-1/(an + bn +cn)2* c* b= 4S3 * сn-2* bn-2/(an + bn +cn)2 . Определив аналогично площади треугольников A1M В1 и A1M С1 и сложив полученные значения, найдём площадь педального треугольника: SА1В1С1= 4S3 *(bn-2cn-2 + cn-2an-2 + an-2bn-2)/ (an + bn +cn)2 . Задача решена. Пусть М- точка пересечения прямых n, т.е. прямых, делящих стороны треугольника пропорционально n-м степеням прилежащих сторон, и А1С1В1– медальный треугольник точки М .

№ слайда 17 Площадь педального треугольника центра тяжести. т.е. n=0. Тогда SА1В1С1= 4S3
Описание слайда:

Площадь педального треугольника центра тяжести. т.е. n=0. Тогда SА1В1С1= 4S3 *(b-2c-2 + c-2a-2 + a-2b-2)/ 9. SА1В1С1= 4/9S3 * (a2 + b2 + c2)/ a2* b2* c2. Задача решена. По определению медиан: АК=КС, следовательно: АК/ КС=с0/а0,…

№ слайда 18 Площадь педального треугольника центра вписанной окружности. По свойству бисс
Описание слайда:

Площадь педального треугольника центра вписанной окружности. По свойству биссектрисы в треугольнике: АК/ КС=с/а,… т.е. n = 1. Тогда SА1В1С1= 4S3 *(1/bc + 1/ca + 1/ab)/ (a + b +c)2 =4S3 *(a + b + c)/2р*a* b* c= = 2 S3 *р/ р2*a* b* c=2 S3/ р*a* b* c= 4S2*r/2a* b* c= S*r/2R. Задача решена.

№ слайда 19 Площадь педального треугольника точки пересечения высот. По свойству высот в
Описание слайда:

Площадь педального треугольника точки пересечения высот. По свойству высот в треугольнике: АВ1/В1С = с2/а2,… Таким образом, n=2. Тогда SА1В1С1=4S3 *3/ (a2 + b2 + c2)2= 12 S3/ (a2 + b2 + c2)2. Задача решена. Начало

№ слайда 20 Решение: Ответ: 7,5 (см) Задача 1 Вычислить стороны педального треугольника,
Описание слайда:

Решение: Ответ: 7,5 (см) Задача 1 Вычислить стороны педального треугольника, если расстояния от педальной точки до вершин треугольника х=4см, у=5см, z=6см, R=12 см, а стороны самого треугольника равны 8 см, 12 см, 15 см. Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

№ слайда 21 Дано:  АВС – равносторонний, la=1,5 см, lb=2,8 см, lc=1,7 см. Найти:  Решение
Описание слайда:

Дано:  АВС – равносторонний, la=1,5 см, lb=2,8 см, lc=1,7 см. Найти:  Решение:  Т.к. треугольник равносторонний, то la+lb+lc=h, т.е. h=1,5+2,8+1,7=6  (см).  Пусть ВD=х, АВ=36+х2=4х2 , 36=3х2 ,  х2=12,    (см2)  Ответ. 12 (см2) . Задача 2 Расстояния от точки треугольника, взятой внутри равностороннего треугольника АВС, до сторон АВ, ВС, АС равны соответственно 1,7 см, 2,8 см, 1,5 см. Найти площадь этого треугольника. Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

№ слайда 22 Дано: треугольник АВС; OL, OM и ON - перпендикуляры  , АВ=9, АС=12 Найти: ВС
Описание слайда:

Дано: треугольник АВС; OL, OM и ON - перпендикуляры  , АВ=9, АС=12 Найти: ВС Решение:  Т.к.  , а АВ=9, то AL=3, LB=9, аналогично, AN=3, NC=12. По теореме о сумме отрезков AL2+BM2+CN2=BL2+MC2+AN2 , 9+64+144=81+МС2+9,  МС2=127,  МС= ,  ВС=8+ (см) Ответ: 8+ (см) Задача 3 Перпендикуляры, опущенные из точки О, взятой внутри треугольника АВС, определяют на сторонах треугольника точки L, M, N так, что , причем . Известно, что АВ=9, АС=12. Найдите сторону ВС. Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

№ слайда 23 Решение. (см2) Ответ: 1,57 (см2) Задача 4 Найти площадь педального треугольни
Описание слайда:

Решение. (см2) Ответ: 1,57 (см2) Задача 4 Найти площадь педального треугольника точки Брокара, если стороны треугольника равны 4, 7 и 5 см. Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

№ слайда 24 Решение. Ответ: Задача 5 Определите угол Брокара, если треугольник имеет след
Описание слайда:

Решение. Ответ: Задача 5 Определите угол Брокара, если треугольник имеет следующие стороны 3, 2 и 5.

№ слайда 25 Решение. В прямоугольном треугольнике DCB , поэтому, воспользовавшись формуло
Описание слайда:

Решение. В прямоугольном треугольнике DCB , поэтому, воспользовавшись формулой и подставив в нее это равенство, получаем: . Выполним преобразования: где 2sinAsinC=cos(C-A)-cos(C+A). Подставив в формулу это значение, получаем: Подставив значения косинуса угла В, получим: Учитывая, что , находим: В первом случае: Во втором случае: Задача 6 В треугольнике АВС и точка Брокара Р лежит на высоте CD. Найдите отношение : Начало

№ слайда 26 Три точки, образующие треугольник, называются Вершинами треугольника Точками
Описание слайда:

Три точки, образующие треугольник, называются Вершинами треугольника Точками Брокара Сторонами треугольника Главными точками

№ слайда 27 Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника Три угла плоскость Угол
Описание слайда:

Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника Три угла плоскость Угол отрезок

№ слайда 28 Треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных
Описание слайда:

Треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из точки, находящейся внутри треугольника, называется педальным равносторонним равнобедренным разносторонним

№ слайда 29 Точкой Брокара называется точка, которая при соединении с вершинами треугольн
Описание слайда:

Точкой Брокара называется точка, которая при соединении с вершинами треугольника образует равные чередующиеся углы Точка пересечения медиан треугольника центр окружности главная точка

№ слайда 30 Если точка Брокара является точкой пересечения медиан, то треугольник правиль
Описание слайда:

Если точка Брокара является точкой пересечения медиан, то треугольник правильный равнобедренный Не существуют прямоугольный

№ слайда 31 Если расстояние от педальной точки до вершины треугольника АВС равны х, у, z,
Описание слайда:

Если расстояние от педальной точки до вершины треугольника АВС равны х, у, z, то длины сторон педального треугольника равны  Между собой 1 R

№ слайда 32 Начало
Описание слайда:

Начало

№ слайда 33
Описание слайда:

№ слайда 34
Описание слайда:

№ слайда 35
Описание слайда:

№ слайда 36
Описание слайда:

№ слайда 37
Описание слайда:

№ слайда 38
Описание слайда:


Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 08.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров343
Номер материала ДБ-333139
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх