Интересные факты о треугольниках. Мини-учебник для учащихся и преподавателей.

• 1 слайд

  Мини-учебник
  Треугольники
  
  Учитель математики Меньшикова С.В.
  

• 2 слайд

  Содержание
  - Проверь себя
  - Тесты
  - Терминологический словарь
  Интересные факты
  Виды треугольников
  Педальный треугольник
  Практическая часть
  выход
  

• 3 слайд

  Треугольник - первая геометрическая фигура, встречающаяся в древних орнаментах.
  Интересные факты
  В Египте он символизировал триаду духовной воли, любви, интуиции и высшего разума человека, то есть его личность или душу.
  

• 4 слайд

  В герметической идеографии треугольник с устремленной к верху вершиной, символизирует огонь и отвечает идее вознесения, духовности, красному цвету.
  Треугольник с горизонтальной чертой считается пассивным и означает воздух, умеренный огонь, соответствующий синему цвету.
  Перевернутый треугольник означает чашу, готовую принять воду; мудрость, порождающую главную идею; зеленый цвет.
  Треугольник воздуха с горизонтальной чертой символизирует Землю, неподвижную стоячую воду и соответствует черному цвету.
  

• 5 слайд

  Ацтеки использовали изображение треугольника с вершиной наверху, соединенного с перевернутым треугольником, в качестве символа временного цикла.
  Треугольник в сочетании с крестом образует алхимический знак Серы.
  Равносторонний треугольник, символизирующий, по древнееврейской традиции, совершенство, у христиан означает Троицу - Отца, Сына и Святого Духа.
  

• 6 слайд

  Светящаяся Дельта - это равнобедренный треугольник (с углом 108° на вершине и двумя углами по 36° у основания), в середине которого расположены Божественный Глаз (видимое Солнце, дающее Свет и Жизнь, Логос, Творческое начало) или священная Тетраграмма I E V Е, имя Бога, которое иудейский первосвященник произносил лишь один-единственный раз в году. Его три стороны являют собой выражение формулы: правильно думать, правильно говорить, правильно делать, или лозунг: Свобода, Равенство, Братство.
  Начало
  

• 7 слайд

  Если у треугольника три неравные стороны, то это разносторонний треугольник.(а)
  Две равные стороны - равнобедренный треугольник.
  если три равные стороны, то равносторонний треугольник.(б)
  В равнобедренном треугольнике углы, лежащие против равных сторон, равны; в равностороннем треугольнике все углы равны.(в)
  Виды треугольников
  а)
  б)
  в)
  

• 8 слайд

  Прямоугольным называется тот треугольник, у которого один из углов прямой. Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две стороны, образующие прямой угол, называются катетами.
  
  Начало
  

• 9 слайд

  Если при построении педального треугольника углы получаются равными, то они называются углами Брокара, а педальная точка - точкой Брокара.
  Чтобы построить точку Брокара, надо провести окружность через две вершины треугольника АВС, затем прямую, параллельную противоположной стороне выбранной вершины. Соединим третью вершину с точкой пересечения параллельной прямой и окружности. Эта прямая пересечет окружность внутри треугольника. Точка пересечения будет является точкой Брокара.
  Угол Брокара определяется по формуле
  
  ,
  а площадь педального треугольника точки Брокара равна
  Пусть Р – любая точка внутри данного треугольника АВС, и пусть перпендикуляры, опущенные из точки Р на стороны ВС, СА, АВ треугольника, будут РА1, РВ1 и РС1. треугольник А1В1С1, вершинами которого являются основания этих перпендикуляров, называется педальным треугольником треугольника АВС для «педальной точки» Р.
  Педальный треугольник
  

• 10 слайд

  Тогда
  Перепишем последнее равенство в таком виде:
  
  Из этой пропорции следует, что треугольники DBC и DCP подобны. Значит, . Получаем: и AB=BC.
  Доказательство.
  Так как подобен , то AD:BD=PD:AD,
  и AD=DC.
  Теорема 1. Если точка Брокара Р есть точка пересечения медиан, то треугольник АВС правильный.
  BD=DC∙√3 и BD2 = DC2. 3.
  

• 11 слайд

  Доказательство.
  Так как ВР=АР, то отрезок РМ в треугольнике АВР служит медианой, так и высотой.
  Теорема 2. Если точка Брокара Р является пересечением медианы СМ с биссектрисой АЕ, то треугольник правильный.
  Но тогда отрезок СМ в треугольнике АВС также служит высотой и медианой, а значит и биссектрисой, следовательно, точка Р – пересечение биссектрис, и треугольник АВС правильный.
  

• 12 слайд

  Следовательно, треугольник АМР подобен треугольнику СМА и угол МАР равен углу МСА, а значит и AB=BC, Р – точка пересечения медиан, т.е. треугольник АВС правильный.
  Доказательство.
  Из подобия треугольников МВР и МСВ следует, что МВ:МС=МР:МВ или МВ2=МС.МР, но по условию МВ=МА, тогда МА2=МС.МР и МА:МС=МР:МА.
  Теорема 3. Если точка Брокара Р является точкой пересечения медианы СМ с высотой ВD, то треугольник АВС правильный.
  

• 13 слайд

  В равнобедренном треугольнике АРC высота PD является и медианой, т.е. AD=DC. Следовательно, высота BD в треугольнике АВС является и медианой. Точка Брокара Р в треугольнике АВС является пересечением биссектрисы СМ с медианой BD, отсюда, по предыдущей теореме, треугольник АВС правильный.
  Доказательство.
  Так как Р – точка Брокара, то и (СМ является биссектрисой в треугольнике АВС). Отсюда следует, что
  в треугольнике АРС стороны АР и РС равны.
  Теорема 4. Если точка Брокара Р является точкой пересечения биссектрисы СМ с высотой BD, то треугольник АВС правильный.
  Начало
  

• 14 слайд

  1) Основания перпендикуляров, опущенных из точки на стороны треугольника, лежат на одной прямой, тогда и только тогда, когда эта точка лежит на описанной окружности.
  Практическая часть
  Прямая, содержащая эти основания, известна как прямая Симсона данной точки относительно данного треугольника. Прямая Симсона приписывалась ему, поскольку она казалась типичной для его геометрических идей. Однако историки тщетно пытались найти ее в его работах. В действительности она была открыта в 1797 году Вильямом Уоллесом.
  

• 15 слайд

  Сложив, получим  , а так как Sa+Sb+Sc=S, то
   .
  
  Следствие.  В равностороннем треугольнике сумма расстояний от произвольной точки, взятой внутри треугольника, до его сторон есть величина постоянная, равная высоте треугольника.
  
  Имеем: .
  2) Если из точки L внутри треугольника опущены перпендикуляры соответственно на стороны а, b, с треугольника, то .
  la, lb, lc,
  Дано: треугольник АВС, а, b, с – стороны треугольника АВС, – педальная точка, la, lb, lc – перпендикуляры от L, ha, hb, hc – высоты треугольника АВС.
  
  Доказать:
  Треугольник  АВС разобьется на три треугольника. Назовем площади этих треугольников Sa, Sb, Sc. 
  
  

• 16 слайд

  Доказательство: т.к. OL, OM, ON – перпендикуляры, 
  
  то AO2-AL2=BO2-BL2 или 
  
  Сложив эти три равенства, получим: AL2-BL2+BM2-MC2+CN2-NA2=0 или AL2+BM2+CN2=BL2+MC2+NA2.
  3) Перпендикуляры, опущенные их точки, лежащей в плоскости треугольника, на его стороны, определяют на сторонах шесть отрезков так, что сумма квадратов трех отрезков, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов других трех отрезков.
  Дано: треугольник АВС, OL, OM, ON - перпендикуляры.
  Доказать: AL2+BM2+CN2=LB2+MC2=AN2
  

• 17 слайд

  Доказательство:
   Если соединить точки А и Р, то получим двойники: одна - при вершине В1, а другая при вершине С1, далее при вершинах С2 и В2 и , наконец, обе – при вершине А3. Следовательно, треугольник  АВС  и треугольник   имеют равные углы при вершинах А и А3. Аналогично, они имеют равные углы В и В3. таким образом, теорема доказана.
  Дано:   АВС, Р – педальная точка.
  
  Доказать:    подобен 
  
  
  4) Третий педальный треугольник подобен исходному.
  

• 18 слайд

  Вычисление площади педального треугольника.
  Тогда SА1В1С1= SС1МВ1 + SA1MB1= SA1MC.
  Так как данный треугольник и треугольник С1МВ1 отличается тем свойством, что ^A + ^ M = π, то SС1МВ1/ S= С1М* МВ1 / c* b;
  SС1МВ1 = S*С1М* МВ1 / c* b.
  Так как С1М= 2S*сn-1/(an + bn +cn), МВ1= 2S*bn-1/(an + bn +cn), A1M= 2S*an-1/(an + bn +cn),
  то SА1В1С1= 4S3 * сn-1* bn-1/(an + bn +cn)2* c* b= 4S3 * сn-2* bn-2/(an + bn +cn)2 .
  Определив аналогично площади треугольников A1M В1 и A1M С1 и сложив полученные значения, найдём площадь педального треугольника:
  SА1В1С1= 4S3 *(bn-2cn-2 + cn-2an-2 + an-2bn-2)/ (an + bn +cn)2 .
  Задача решена.
  Пусть М- точка пересечения прямых n, т.е. прямых, делящих стороны треугольника пропорционально n-м степеням прилежащих сторон, и А1С1В1– медальный треугольник точки М .
  

• 19 слайд

  Площадь педального треугольника центра тяжести.
  т.е. n=0. Тогда
  SА1В1С1= 4S3 *(b-2c-2 + c-2a-2 + a-2b-2)/ 9.
  SА1В1С1= 4/9S3 * (a2 + b2 + c2)/ a2* b2* c2.
  Задача решена.
  По определению медиан: АК=КС, следовательно:
  АК/ КС=с0/а0,…
  

• 20 слайд

  Площадь педального треугольника центра вписанной окружности.
  По свойству биссектрисы в треугольнике:
  АК/ КС=с/а,…
  т.е. n = 1. Тогда
  SА1В1С1= 4S3 *(1/bc + 1/ca + 1/ab)/ (a + b +c)2 =4S3 *(a + b + c)/2р*a* b* c=
  = 2 S3 *р/ р2*a* b* c=2 S3/ р*a* b* c= 4S2*r/2a* b* c= S*r/2R.
  Задача решена.
  

• 21 слайд

  Площадь педального треугольника точки пересечения высот.
  По свойству высот в треугольнике:
  АВ1/В1С = с2/а2,…
  Таким образом, n=2. Тогда
  SА1В1С1=4S3 *3/ (a2 + b2 + c2)2= 12 S3/ (a2 + b2 + c2)2.
  Задача решена.
  Начало
  

• 22 слайд

  Проверь себя
  

• 23 слайд

  Решение:
  
  
  
  
  Ответ: 7,5 (см)
  Задача 1
  Вычислить стороны педального треугольника, если расстояния от педальной точки до вершин треугольника х=4см, у=5см, z=6см, R=12 см, а стороны самого треугольника равны 8 см, 12 см, 15 см.
  

• 24 слайд

  Дано: 
  АВС – равносторонний, la=1,5 см, lb=2,8 см, lc=1,7 см.
  Найти: 
  Решение: 
  Т.к. треугольник равносторонний, то la+lb+lc=h, т.е. h=1,5+2,8+1,7=6
   (см).
   Пусть ВD=х, АВ=36+х2=4х2 ,
  36=3х2 , 
  х2=12, 
  
  
    (см2) 
  Ответ. 12 (см2) .
  
  Задача 2
  Расстояния от точки треугольника, взятой внутри равностороннего треугольника АВС, до сторон АВ, ВС, АС равны соответственно 1,7 см, 2,8 см, 1,5 см. Найти площадь этого треугольника.
  

• 25 слайд

  Дано: треугольник АВС; OL, OM и ON - перпендикуляры  , АВ=9, АС=12
  Найти: ВС
  Решение: 
  Т.к. 
  , а АВ=9, то AL=3, LB=9,
  аналогично, AN=3, NC=12.
  По теореме о сумме отрезков AL2+BM2+CN2=BL2+MC2+AN2 , 9+64+144=81+МС2+9,
   МС2=127, 
  МС= , 
  ВС=8+ (см)
  Ответ: 8+ (см)
  
  Задача 3
  Перпендикуляры, опущенные из точки О, взятой внутри треугольника АВС, определяют на сторонах треугольника точки L, M, N так, что , причем . Известно, что АВ=9, АС=12. Найдите сторону ВС.
  

• 26 слайд

  Решение.
  
  (см2)
  
  
  
  Ответ: 1,57 (см2)
  Задача 4
  Найти площадь педального треугольника точки Брокара, если стороны треугольника равны 4, 7 и 5 см.
  

• 27 слайд

  Решение.
  
  
  
  
  
  Ответ:
  Задача 5
  Определите угол Брокара, если треугольник имеет следующие стороны 3, 2 и 5.
  

• 28 слайд

  Решение.
  В прямоугольном треугольнике DCB , поэтому, воспользовавшись формулой
  
  и подставив в нее это равенство, получаем:
  .
  Выполним преобразования:
  
  
  
  
  где 2sinAsinC=cos(C-A)-cos(C+A).
  Подставив в формулу это значение, получаем:
  
  
  
  
  
  
  
  Подставив значения косинуса угла В, получим:
  
  
  
  Учитывая, что , находим:
  
  
  В первом случае:
  
  Во втором случае:
  Задача 6
  В треугольнике АВС
  и точка Брокара Р лежит на высоте CD.
  Найдите отношение :
  Начало
  

• 29 слайд

• 30 слайд

  Три точки, образующие треугольник, называются
  Вершинами треугольника
  Точками Брокара
  Сторонами треугольника
  Главными точками
  

• 31 слайд

  Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника
  Три угла
  плоскость
  Угол
  отрезок
  

• 32 слайд

  Треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из точки, находящейся внутри треугольника, называется
  педальным
  равносторонним
  равнобедренным
  разносторонним
  

• 33 слайд

  Точкой Брокара называется
  точка, которая при соединении
  с вершинами треугольника образует
  равные чередующиеся углы
  Точка пересечения
  медиан треугольника
  центр окружности
  главная точка
  

• 34 слайд

  Если точка Брокара является точкой пересечения медиан, то треугольник
  правильный
  равнобедренный
  Не существуют
  прямоугольный
  

• 35 слайд

  Если расстояние от педальной точки до вершины треугольника АВС равны х, у, z, то длины сторон педального треугольника равны 
  Между собой
  1
  R
  

• 36 слайд

  Начало
  

• 37 слайд

  Терминологический словарь
  Педальный треугольник - треугольник, вершинами которого является основания перпендикуляров, опущенных из точки, находящейся внутри треугольника. А сама эта точка называется педальной точкой.
  Если педальную точку взять на описанной окружности, то основания перпендикуляров, опущенных от данной точки к сторонам треугольника лежат на одной прямой, которая называется прямой Симсона.
  Точкой Брокара называется такая педальная точка, которая при соединении с вершинами треугольника образует равные чередующиеся углы. А такие углы называются углами Брокара.
  
  Начало
  

• 38 слайд