504509
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 5.520 руб.;
- курсы повышения квалификации от 1.200 руб.
Престижные документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 70%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО сейчас!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности № 5201 выдана ООО "Инфоурок")

ИнфоурокМатематикаПрезентацииИнтересные факты о треугольниках. Мини-учебник для учащихся и преподавателей.

Интересные факты о треугольниках. Мини-учебник для учащихся и преподавателей.

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Мини-учебник Треугольники Учитель математики Меньшикова С.В.
Треугольник - первая геометрическая фигура, встречающаяся в древних орнамента...
Содержание - Проверь себя - Тесты - Терминологический словарь выход Интересны...
В герметической идеографии треугольник с устремленной к верху вершиной, симво...
Ацтеки использовали изображение треугольника с вершиной наверху, соединенного...
Светящаяся Дельта - это равнобедренный треугольник (с углом 108° на вершине и...
Прямоугольным называется тот треугольник, у которого один из углов прямой. Ст...
Тогда Перепишем последнее равенство в таком виде: Из этой пропорции следует,...
Доказательство. Так как ВР=АР, то отрезок РМ в треугольнике АВР служит медиан...
Следовательно, треугольник АМР подобен треугольнику СМА и угол МАР равен углу...
В равнобедренном треугольнике АРC высота PD является и медианой, т.е. AD=DC....
Сложив, получим  , а так как Sa+Sb+Sc=S, то  . Следствие.  В равностороннем т...
Доказательство: т.к. OL, OM, ON – перпендикуляры,  то AO2-AL2=BO2-BL2 или  Сл...
Доказательство:  Если соединить точки А и Р, то получим двойники: одна - при...
Вычисление площади педального треугольника. Тогда SА1В1С1= SС1МВ1 + SA1MB1= S...
Площадь педального треугольника центра тяжести. т.е. n=0. Тогда SА1В1С1= 4S3...
Площадь педального треугольника центра вписанной окружности. По свойству бисс...
Площадь педального треугольника точки пересечения высот. По свойству высот в...
Решение: Ответ: 7,5 (см) Задача 1 Вычислить стороны педального треугольника,...
Дано:  АВС – равносторонний, la=1,5 см, lb=2,8 см, lc=1,7 см. Найти:  Решение...
Дано: треугольник АВС; OL, OM и ON - перпендикуляры  , АВ=9, АС=12 Найти: ВС...
Решение. (см2) Ответ: 1,57 (см2) Задача 4 Найти площадь педального треугольни...
Решение. Ответ: Задача 5 Определите угол Брокара, если треугольник имеет след...
Решение. В прямоугольном треугольнике DCB , поэтому, воспользовавшись формуло...
Три точки, образующие треугольник, называются Вершинами треугольника Точками...
Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника Три угла плоскость Угол...
Треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных...
Точкой Брокара называется точка, которая при соединении с вершинами треугольн...
Если точка Брокара является точкой пересечения медиан, то треугольник правиль...
Если расстояние от педальной точки до вершины треугольника АВС равны х, у, z,...
Начало

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд Мини-учебник Треугольники Учитель математики Меньшикова С.В.
Описание слайда:

Мини-учебник Треугольники Учитель математики Меньшикова С.В.

2 слайд Треугольник - первая геометрическая фигура, встречающаяся в древних орнамента
Описание слайда:

Треугольник - первая геометрическая фигура, встречающаяся в древних орнаментах. Интересные факты В Египте он символизировал триаду духовной воли, любви, интуиции и высшего разума человека, то есть его личность или душу.

3 слайд Содержание - Проверь себя - Тесты - Терминологический словарь выход Интересны
Описание слайда:

Содержание - Проверь себя - Тесты - Терминологический словарь выход Интересные факты Виды треугольников Педальный треугольник Практическая часть

4 слайд В герметической идеографии треугольник с устремленной к верху вершиной, симво
Описание слайда:

В герметической идеографии треугольник с устремленной к верху вершиной, символизирует огонь и отвечает идее вознесения, духовности, красному цвету. Треугольник с горизонтальной чертой считается пассивным и означает воздух, умеренный огонь, соответствующий синему цвету. Перевернутый треугольник означает чашу, готовую принять воду; мудрость, порождающую главную идею; зеленый цвет. Треугольник воздуха с горизонтальной чертой символизирует Землю, неподвижную стоячую воду и соответствует черному цвету.

5 слайд Ацтеки использовали изображение треугольника с вершиной наверху, соединенного
Описание слайда:

Ацтеки использовали изображение треугольника с вершиной наверху, соединенного с перевернутым треугольником, в качестве символа временного цикла. Треугольник в сочетании с крестом образует алхимический знак Серы. Равносторонний треугольник, символизирующий, по древнееврейской традиции, совершенство, у христиан означает Троицу - Отца, Сына и Святого Духа.

6 слайд Светящаяся Дельта - это равнобедренный треугольник (с углом 108° на вершине и
Описание слайда:

Светящаяся Дельта - это равнобедренный треугольник (с углом 108° на вершине и двумя углами по 36° у основания), в середине которого расположены Божественный Глаз (видимое Солнце, дающее Свет и Жизнь, Логос, Творческое начало) или священная Тетраграмма I E V Е, имя Бога, которое иудейский первосвященник произносил лишь один-единственный раз в году. Его три стороны являют собой выражение формулы: правильно думать, правильно говорить, правильно делать, или лозунг: Свобода, Равенство, Братство. Начало

7 слайд
Описание слайда:

8 слайд Прямоугольным называется тот треугольник, у которого один из углов прямой. Ст
Описание слайда:

Прямоугольным называется тот треугольник, у которого один из углов прямой. Сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две стороны, образующие прямой угол, называются катетами. Начало

9 слайд Тогда Перепишем последнее равенство в таком виде: Из этой пропорции следует,
Описание слайда:

Тогда Перепишем последнее равенство в таком виде: Из этой пропорции следует, что треугольники DBC и DCP подобны. Значит, . Получаем: и AB=BC. Доказательство. Так как подобен , то AD:BD=PD:AD, и AD=DC. Теорема 1. Если точка Брокара Р есть точка пересечения медиан, то треугольник АВС правильный. BD=DC∙√3 и BD2 = DC2. 3.

10 слайд Доказательство. Так как ВР=АР, то отрезок РМ в треугольнике АВР служит медиан
Описание слайда:

Доказательство. Так как ВР=АР, то отрезок РМ в треугольнике АВР служит медианой, так и высотой. Теорема 2. Если точка Брокара Р является пересечением медианы СМ с биссектрисой АЕ, то треугольник правильный. Но тогда отрезок СМ в треугольнике АВС также служит высотой и медианой, а значит и биссектрисой, следовательно, точка Р – пересечение биссектрис, и треугольник АВС правильный.

11 слайд Следовательно, треугольник АМР подобен треугольнику СМА и угол МАР равен углу
Описание слайда:

Следовательно, треугольник АМР подобен треугольнику СМА и угол МАР равен углу МСА, а значит и AB=BC, Р – точка пересечения медиан, т.е. треугольник АВС правильный. Доказательство. Из подобия треугольников МВР и МСВ следует, что МВ:МС=МР:МВ или МВ2=МС.МР, но по условию МВ=МА, тогда МА2=МС.МР и МА:МС=МР:МА. Теорема 3. Если точка Брокара Р является точкой пересечения медианы СМ с высотой ВD, то треугольник АВС правильный.

12 слайд В равнобедренном треугольнике АРC высота PD является и медианой, т.е. AD=DC.
Описание слайда:

В равнобедренном треугольнике АРC высота PD является и медианой, т.е. AD=DC. Следовательно, высота BD в треугольнике АВС является и медианой. Точка Брокара Р в треугольнике АВС является пересечением биссектрисы СМ с медианой BD, отсюда, по предыдущей теореме, треугольник АВС правильный. Доказательство. Так как Р – точка Брокара, то и (СМ является биссектрисой в треугольнике АВС). Отсюда следует, что в треугольнике АРС стороны АР и РС равны. Теорема 4. Если точка Брокара Р является точкой пересечения биссектрисы СМ с высотой BD, то треугольник АВС правильный. Начало

13 слайд Сложив, получим  , а так как Sa+Sb+Sc=S, то  . Следствие.  В равностороннем т
Описание слайда:

Сложив, получим  , а так как Sa+Sb+Sc=S, то  . Следствие.  В равностороннем треугольнике сумма расстояний от произвольной точки, взятой внутри треугольника, до его сторон есть величина постоянная, равная высоте треугольника. Имеем: . 2) Если из точки L внутри треугольника опущены перпендикуляры соответственно на стороны а, b, с треугольника, то . la, lb, lc, Дано: треугольник АВС, а, b, с – стороны треугольника АВС, – педальная точка, la, lb, lc – перпендикуляры от L, ha, hb, hc – высоты треугольника АВС. Доказать: Треугольник  АВС разобьется на три треугольника. Назовем площади этих треугольников Sa, Sb, Sc. 

14 слайд Доказательство: т.к. OL, OM, ON – перпендикуляры,  то AO2-AL2=BO2-BL2 или  Сл
Описание слайда:

Доказательство: т.к. OL, OM, ON – перпендикуляры,  то AO2-AL2=BO2-BL2 или  Сложив эти три равенства, получим: AL2-BL2+BM2-MC2+CN2-NA2=0 или AL2+BM2+CN2=BL2+MC2+NA2. 3) Перпендикуляры, опущенные их точки, лежащей в плоскости треугольника, на его стороны, определяют на сторонах шесть отрезков так, что сумма квадратов трех отрезков, не имеющих общих концов, равна сумме квадратов других трех отрезков. Дано: треугольник АВС, OL, OM, ON - перпендикуляры. Доказать: AL2+BM2+CN2=LB2+MC2=AN2

15 слайд Доказательство:  Если соединить точки А и Р, то получим двойники: одна - при
Описание слайда:

Доказательство:  Если соединить точки А и Р, то получим двойники: одна - при вершине В1, а другая при вершине С1, далее при вершинах С2 и В2 и , наконец, обе – при вершине А3. Следовательно, треугольник  АВС  и треугольник   имеют равные углы при вершинах А и А3. Аналогично, они имеют равные углы В и В3. таким образом, теорема доказана. Дано:   АВС, Р – педальная точка. Доказать:    подобен  4) Третий педальный треугольник подобен исходному.

16 слайд Вычисление площади педального треугольника. Тогда SА1В1С1= SС1МВ1 + SA1MB1= S
Описание слайда:

Вычисление площади педального треугольника. Тогда SА1В1С1= SС1МВ1 + SA1MB1= SA1MC. Так как данный треугольник и треугольник С1МВ1 отличается тем свойством, что ^A + ^ M = π, то SС1МВ1/ S= С1М* МВ1 / c* b; SС1МВ1 = S*С1М* МВ1 / c* b. Так как С1М= 2S*сn-1/(an + bn +cn), МВ1= 2S*bn-1/(an + bn +cn), A1M= 2S*an-1/(an + bn +cn), то SА1В1С1= 4S3 * сn-1* bn-1/(an + bn +cn)2* c* b= 4S3 * сn-2* bn-2/(an + bn +cn)2 . Определив аналогично площади треугольников A1M В1 и A1M С1 и сложив полученные значения, найдём площадь педального треугольника: SА1В1С1= 4S3 *(bn-2cn-2 + cn-2an-2 + an-2bn-2)/ (an + bn +cn)2 . Задача решена. Пусть М- точка пересечения прямых n, т.е. прямых, делящих стороны треугольника пропорционально n-м степеням прилежащих сторон, и А1С1В1– медальный треугольник точки М .

17 слайд Площадь педального треугольника центра тяжести. т.е. n=0. Тогда SА1В1С1= 4S3
Описание слайда:

Площадь педального треугольника центра тяжести. т.е. n=0. Тогда SА1В1С1= 4S3 *(b-2c-2 + c-2a-2 + a-2b-2)/ 9. SА1В1С1= 4/9S3 * (a2 + b2 + c2)/ a2* b2* c2. Задача решена. По определению медиан: АК=КС, следовательно: АК/ КС=с0/а0,…

18 слайд Площадь педального треугольника центра вписанной окружности. По свойству бисс
Описание слайда:

Площадь педального треугольника центра вписанной окружности. По свойству биссектрисы в треугольнике: АК/ КС=с/а,… т.е. n = 1. Тогда SА1В1С1= 4S3 *(1/bc + 1/ca + 1/ab)/ (a + b +c)2 =4S3 *(a + b + c)/2р*a* b* c= = 2 S3 *р/ р2*a* b* c=2 S3/ р*a* b* c= 4S2*r/2a* b* c= S*r/2R. Задача решена.

19 слайд Площадь педального треугольника точки пересечения высот. По свойству высот в
Описание слайда:

Площадь педального треугольника точки пересечения высот. По свойству высот в треугольнике: АВ1/В1С = с2/а2,… Таким образом, n=2. Тогда SА1В1С1=4S3 *3/ (a2 + b2 + c2)2= 12 S3/ (a2 + b2 + c2)2. Задача решена. Начало

20 слайд Решение: Ответ: 7,5 (см) Задача 1 Вычислить стороны педального треугольника,
Описание слайда:

Решение: Ответ: 7,5 (см) Задача 1 Вычислить стороны педального треугольника, если расстояния от педальной точки до вершин треугольника х=4см, у=5см, z=6см, R=12 см, а стороны самого треугольника равны 8 см, 12 см, 15 см. Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

21 слайд Дано:  АВС – равносторонний, la=1,5 см, lb=2,8 см, lc=1,7 см. Найти:  Решение
Описание слайда:

Дано:  АВС – равносторонний, la=1,5 см, lb=2,8 см, lc=1,7 см. Найти:  Решение:  Т.к. треугольник равносторонний, то la+lb+lc=h, т.е. h=1,5+2,8+1,7=6  (см).  Пусть ВD=х, АВ=36+х2=4х2 , 36=3х2 ,  х2=12,    (см2)  Ответ. 12 (см2) . Задача 2 Расстояния от точки треугольника, взятой внутри равностороннего треугольника АВС, до сторон АВ, ВС, АС равны соответственно 1,7 см, 2,8 см, 1,5 см. Найти площадь этого треугольника. Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

22 слайд Дано: треугольник АВС; OL, OM и ON - перпендикуляры  , АВ=9, АС=12 Найти: ВС
Описание слайда:

Дано: треугольник АВС; OL, OM и ON - перпендикуляры  , АВ=9, АС=12 Найти: ВС Решение:  Т.к.  , а АВ=9, то AL=3, LB=9, аналогично, AN=3, NC=12. По теореме о сумме отрезков AL2+BM2+CN2=BL2+MC2+AN2 , 9+64+144=81+МС2+9,  МС2=127,  МС= ,  ВС=8+ (см) Ответ: 8+ (см) Задача 3 Перпендикуляры, опущенные из точки О, взятой внутри треугольника АВС, определяют на сторонах треугольника точки L, M, N так, что , причем . Известно, что АВ=9, АС=12. Найдите сторону ВС. Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

23 слайд Решение. (см2) Ответ: 1,57 (см2) Задача 4 Найти площадь педального треугольни
Описание слайда:

Решение. (см2) Ответ: 1,57 (см2) Задача 4 Найти площадь педального треугольника точки Брокара, если стороны треугольника равны 4, 7 и 5 см. Шаблон для создания презентаций к урокам математики. Савченко Е.М.

24 слайд Решение. Ответ: Задача 5 Определите угол Брокара, если треугольник имеет след
Описание слайда:

Решение. Ответ: Задача 5 Определите угол Брокара, если треугольник имеет следующие стороны 3, 2 и 5.

25 слайд Решение. В прямоугольном треугольнике DCB , поэтому, воспользовавшись формуло
Описание слайда:

Решение. В прямоугольном треугольнике DCB , поэтому, воспользовавшись формулой и подставив в нее это равенство, получаем: . Выполним преобразования: где 2sinAsinC=cos(C-A)-cos(C+A). Подставив в формулу это значение, получаем: Подставив значения косинуса угла В, получим: Учитывая, что , находим: В первом случае: Во втором случае: Задача 6 В треугольнике АВС и точка Брокара Р лежит на высоте CD. Найдите отношение : Начало

26 слайд Три точки, образующие треугольник, называются Вершинами треугольника Точками
Описание слайда:

Три точки, образующие треугольник, называются Вершинами треугольника Точками Брокара Сторонами треугольника Главными точками

27 слайд Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника Три угла плоскость Угол
Описание слайда:

Стороны треугольника образуют в вершинах треугольника Три угла плоскость Угол отрезок

28 слайд Треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных
Описание слайда:

Треугольник, вершинами которого являются основания перпендикуляров, опущенных из точки, находящейся внутри треугольника, называется педальным равносторонним равнобедренным разносторонним

29 слайд Точкой Брокара называется точка, которая при соединении с вершинами треугольн
Описание слайда:

Точкой Брокара называется точка, которая при соединении с вершинами треугольника образует равные чередующиеся углы Точка пересечения медиан треугольника центр окружности главная точка

30 слайд Если точка Брокара является точкой пересечения медиан, то треугольник правиль
Описание слайда:

Если точка Брокара является точкой пересечения медиан, то треугольник правильный равнобедренный Не существуют прямоугольный

31 слайд Если расстояние от педальной точки до вершины треугольника АВС равны х, у, z,
Описание слайда:

Если расстояние от педальной точки до вершины треугольника АВС равны х, у, z, то длины сторон педального треугольника равны  Между собой 1 R

32 слайд Начало
Описание слайда:

Начало

33 слайд
Описание слайда:

34 слайд
Описание слайда:

35 слайд
Описание слайда:

36 слайд
Описание слайда:

37 слайд
Описание слайда:

38 слайд
Описание слайда:

Общая информация

Номер материала: ДБ-333139

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.