Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / "Иррациональные неравенства" (способы решения)

"Иррациональные неравенства" (способы решения)


До 7 декабря продлён приём заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Иррациональные неравенства.

(способы решения)


Определение. Неравенства, содержащие неизвестное под знаком «радикала», называются иррациональными.

( - знак радикала )

Способы решения


1. Графический способ.


2. Алгебраический способ

( использование соответствующих схем )


3. Функциональный способ

(с использованием соответствующих свойств функций).


4. Другие приёмы и методы: замена переменных, метод интервалов, комбинирование способов.



Задача 1. Решите неравенство:

.

Способ 1. Графический.

Построим графики функций:

(1) (2)


hello_html_684e35bd.png

Найдем такие значения x, при которых график функции (1) лежит выше графика функции (2):

Ответ: .

Способ 2. Алгебраический.



1) Если , то неравенство верно на ОДЗ:







2) Если , то возведем обе части неравенства с не отрицательными частями в квадрат, при этом знак неравенства сохраниться.

Получим:










Замечание. В данном случае, условие существования выражения , записывать в систему необязательно, благодаря наличию в ней неравенства .

3) Объединим полученные результаты:





Ответ: .











Краткая запись решения может быть следующей:



или

Объединим полученные результаты:





Ответ: .



Замечание. По аналогичной схеме можно оформлять решение иррациональных неравенств вида:

,

(nнатуральное число)

















Способ 3. Замена переменных.


Пусть , тогда , .


Решим систему неравенств:









Тогда:






Ответ: .



























Способ 4. (метод интервалов).





Рассмотрим функцию и найдем такие значения х, при которых f(x) > 0.

1) D(f): ;

2) Нули функции:

Решим уравнение

















3) (положительное число), значит -3 является решением неравенства.

(так как не является нулём функции, то проверка этого числа на «решение» обязательна)

, hello_html_73b68755.png

Ответ: [ -3; 1) .





Справочная таблица решения некоторых видов иррациональных неравенств

Пусть n – натуральное число,

f(x) и g(x) – функции от переменной х.


I. Неравенство вида :

II. Неравенство вида :



III. Неравенство вида :

IY. Неравенство вида :

Y. Неравенство вида :



YI. Неравенство вида :





Замечание. Для решения нестрогих неравенств можно использовать равносильный переход к совокупности, например:

если n=2k, где k – натуральное число, то








Задача 2. Решите неравенство:

.

Решение

Способ 1. (метод интервалов).



Рассмотрим функцию и найдем такие значения х, при которых f(x) ≤ 0.

1) D(f): ;

2) Нули функции:

Решим уравнение















(так как неравенство нестрогое, то нуль функции является решением неравенства)

3) (положительное число), значит -3 не является решением неравенства.

(так как не является нулём функции, то проверка этого числа на «решение» обязательна)

,

hello_html_6b71fe9c.png

Ответ: [1; +)

Способ 2. (по схеме).











Ответ: [1; +)



































Задача 3. Решите неравенство:

.

Способ 1. (метод интервалов).

Решение.

Рассмотрим функцию и найдем такие значения х, при которых .

1) D(f):

2) Нули функции: решим уравнение







(так как неравенство нестрогое, то нули функции являются решениями неравенства)

3) ,

hello_html_279a862c.png

Ответ: .

















Способ 2. (алгебраический)

1) ОДЗ:

2) Проверим крайнюю точку ОДЗ: решение неравенства (проверка).

3) Если , то .

Учитывая это условие, решим систему:

,



.

4) Объединяем полученные результаты:

.

Ответ: .

Замечание. Обратим внимание на частые рассуждения,

приводящие к потере решений:



т.к. , то , тогда , получаем.

Произошла потеря решения .

Избежать таких ошибок в рассуждениях можно используя равносильный переход к совокупности (см. способ 3).

Один из вариантов оформления предлагается ниже.











Способ 3. (переход к совокупности)



или

или или

нет решений

Ответ: .



































Задача 4. Решите неравенство:

.

Способ 1. (метод интервалов).

Рассмотрим функцию и найдем такие значения х, при которых .

1) D(f):

2) Нули функции:

Решим уравнение











(так как неравенство нестрогое, то нули функции являются решениями неравенства)

3) ;

hello_html_m5feb4223.png



Ответ: .











Способ 2. (алгебраический)

1) ОДЗ:

2) Проверим крайние точки ОДЗ:

а) решение неравенства (проверка);

б) решение неравенства (проверка).

3) Если , то .

Учитывая это условие, решим систему:

,



.

4) Объединяем полученные результаты:

.

Ответ: .

























Задача 5. Решите неравенство

.

Способ 1. (метод интервалов).

Решение.

Рассмотрим функцию .

1) D(f):



2) Нули функции:



(посторонний корень уравнения нулем функции не является)

3) ;

hello_html_5bf60cdc.png

Вывод. - решение неравенства

Ответ: .



















Способ 2*. ( используeм вспомогательный тригонометрический аргумент).

.

1) ОДЗ:

2) Пусть , тогда , значит .

Решим неравенство:





Учитывая условие , получим





Для решения неравенства воспользуемся методом интервалов, на промежутке



Нули функции:









hello_html_m4a430e7f.png





Функция – возрастающяя на промежутке , поэтому





Ответ: .

Задача 6*.

http://alexlarin.net/

вариант 130

задача №15

Решите неравенство

.

Способ 1*. (используем вспомогательный тригонометрический аргумент).

1) ОДЗ:

2) Проверим крайние точки ОДЗ:

а) решение неравенства (проверка);

б) не является решением неравенства (проверка).

3) Рассмотрим остальные значения переменной, входящие в ОДЗ, .

Пусть , тогда , значит .

Решим неравенство:

, где ,















Для решения неравенства воспользуемся методом интервалов, на промежутке



Нули функции:













hello_html_m34c083c4.png



Функция – возрастающяя на интервале , поэтому






4) Объединяем полученные результаты:





Ответ: .

Замечание.

При решении этой задачи можно выполнить и другую замену:

1) ОДЗ:

2) Пусть , тогда , значит .

Решим неравенство:

, где ,













(*)

Для решения неравенства (*) воспользуемся методом интервалов, на промежутке



Нули функции:













нули функции являются решением тригонометрического неравенства (*)

hello_html_21a56e1b.png

Проверим крайние точки:
- не является решением неравенства (*);

- является решением неравенства (*).

Вывод:

Функция – убывающая на отрезке , поэтому




Ответ: .

Задача 7*.


Решите неравенство

.

Решение.

Воспользуемся методом, основанным на использовании векторов.

Заметим некоторое сходство каждого из слагаемых данного неравенства с выражением, по которому можно вычислить длину вектора по его координатам

, где .

Пусть и , тогда

и .

Заметим, что , тогда .

Перепишем данное неравенство в виде: , но по свойствам длин векторов .

Вывод: , а такое равенство возможно только в том случае, если вектора и коллинеарные.

Воспользуемся условием коллинеарности двух ненулевых векторов

и , причем ни одна из координат этих векторов в нуль

не обращается:



(единственное решение)

Проверку результата можно выполнить в качестве самоконтроля.

Ответ:





Замечание. Можно увидеть некоторое сходство каждого из слагаемых данного неравенства с выражением, по которому можно вычислить длину отрезка по координатам его концов (расстояние между двумя точками):

.

Тогда возможно введение координат некоторых точек и рассмотрение вопроса о принадлежности этих точек одной прямой.

Такой подход можно применить в некоторых задачах с параметром,

например, связанных с системами уравнений:


18. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений


имеет ровно одно решение.

Ответ:





Турков А.Ф.

Заслуженный учитель РФ, учитель математики МАОУ лицей № 38,

г. Нижний Новгород

30.10.2016





57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)

Краткое описание документа:

В публикации рассматриваются различные способы решения иррациональных неравенств, как стандартные (графический способ, схемы различных видов неравенств, замена переменных, метод интервалов), так и нестандартные - использование векторов (тосек) и их координат. Материал может быть полезен не только учащимся 9-11 классов.

Автор
Дата добавления 30.10.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров35
Номер материала ДБ-302677
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх