Инфоурок Математика Другие методич. материалыИррациональные уравнения и неравенства и методика их решения

Иррациональные уравнения и неравенства и методика их решения

Скачать материал

Иррациональные уравнения и неравенства и методика их решения

 


 

Содержание

Введение.......................................................................................................... 3

1. Сущность и содержание иррациональных уравнений и неравенств............ 5

1.1 Генезис формирования иррациональности в науке................................. 5

1.2 Определение иррациональных уравнений и неравенств......................... 9

2. Классификация методов решения иррациональных уравнений  и неравенств         13

2.1 Методика решения иррациональных уравнений................................... 13

2.2 Методы решения иррациональных неравенств..................................... 15

Заключение.................................................................................................... 20

Список литературы........................................................................................ 22

 

 

 


 

Введение

 

Актуальность темы курсовой работы обусловлена тем, что материал, связанный с неравенствами и уравнениями, составляет значительную часть как школьного курса, так и программы высшей математики. Одним из сложных разделов являются иррациональные неравенства и уравнения, так как им уделяют достаточно мало внимания. Трудности при изучении данного вида неравенств и уравнений связаны со следующими их особенностями:

•        В большинстве случаев отсутствие четкого алгоритма решения иррациональных неравенств и уравнений.

•        При решении неравенств и уравнений данного вида приходится делать преобразования, приводящие к неравенствам и уравнениям, не равносильным данным, вследствие чего чаще всего возникают ошибки, которые обычно связаны с потерей или приобретением посторонних корней в процессе решения.

Опыт показывает, что учащиеся в недостаточной степени овладевают умением решать иррациональные неравенства и уравнения, часто допускают ошибки при их решении.

В структуре курса высшей математики проблема изучения иррациональных уравнений и неравенств и методики их решения зачастую сводится к поиску нестандартных подходов.

Исходя из факторов актуальности данного исследования, рационально сформулировать его объект, предмет и цель.

Объект исследования курсовой работы - иррациональные уравнения и неравенства.

Предмет исследования - методика решения иррациональных уравнений и неравенств.

Цель исследования курсовой работы – выявить сущность и содержание иррациональных уравнений и неравенств и описать методику их решения.

Исходя из данной цели, требуется решить следующие задачи:

1. Описать генезис формирования иррациональности в науке.

2. Изложить определение иррациональных уравнений и неравенств.

3. Изучить методику решения иррациональных уравнений.

4. Выявить методы решения иррациональных неравенств.

В соответствии с целью и задачами исследования были использованы следующие методы:

- теоретический анализ и синтез литературы по теме исследования,

- изучение и обобщение отечественной и зарубежной практики,

- сравнение,

- абстрагирование,

- конкретизация и идеализация,

- индукция и дедукция,

- аналогия,

- классификация,

- обработка и обобщение полученных данных.

 

 


 

1. Сущность и содержание иррациональных уравнений и неравенств

1.1 Генезис формирования иррациональности в науке

 

Одной из важных причин появления математических теорий явилось открытие иррациональностей. Термин «рациональное» (число) происходит от латиноамериканского слова ratio – отношение, которое является переводом греческого слова “логос”. В отличие от рациональных чисел, числа, выражающие отношение несоизмеримых величин, были названы еще в древности иррациональными, т.е. нерациональными (по-гречески “алогос”)[1].

Иррациональные числа представляют собой бесконечные непериодические десятичные дроби. Необходимость введения этой концепции обусловлена тем, что для решения новых возникающих задач уже было недостаточно ранее имеющихся понятий действительных или вещественных, целых, натуральных и рациональных чисел. Например, для того, чтобы вычислить, квадратом какой величины является 2, необходимо использовать непериодические бесконечные десятичные дроби. Кроме того, многие простейшие уравнения также не имеют решения без введения концепции иррационального числа.

Впервые так или иначе с этим явлением столкнулись индийские математики в VII веке до нашей эры, когда было обнаружено, что квадратные корни из некоторых величин не могут быть обозначены явно. А первое доказательство существования подобных чисел приписывают пифагорейцу Гиппасу, который сделал это в процессе изучения равнобедренного прямоугольного треугольника. Серьезный вклад в изучение этого множества привнесли еще некоторые ученые, жившие до нашей эры. Введение концепции иррациональных чисел повлекло за собой пересмотр существовавшей математической системы, вот почему они так важны.

Собственно термины “рациональный” и “иррациональный” первоначально относились не к числам, а к соизмеримым и соответственно не соизмеримым величинам, которые пифагорейцы называли выразимыми и невыразимыми, Теодор Киренский же симметричными и асимметричными. В V-VI вв. римские авторы Капелла и Кассиодор переводили эти термины на латынь словами rationalis и irrationalis[2].

Многие ученые стран Среднего Востока в своих трудах употребляли иррациональные числа как полноправные объекты алгебры. Более того, комментируя «Начала» Евклида и исследуя общую теорию отношения Евдокса, Омар Хайям уже в начале XII в. теоретически расширяет понятие числа до положительного действительного числа. В том же направлении много было сделано крупнейшим математиком XIII в. ат-Туси[3].

В современных учебных руководствах основа определения иррационального числа опирается на идеи ал-Каши, Стевина и Декарта об измерении отрезков и о неограниченном приближении к искомому числу с помощью бесконечных десятичных дробей. Однако обоснованием свойств действительных чисел и полная теория их была разработана лишь в XIX в[4].

Значение открытия иррациональности в математике трудно переоценить. В математику, едва ли не впервые, вошла сложная теоретическая абстракция, не имеющая аналога в донаучном общечеловеческом опыте. Вслед за иррациональностью числа были открыты многие другие иррациональности. Так, Теодор из Кирены (V в. до н.э.) установил иррациональность квадратного корня из чисел 3,5,6,…,17, которые не являются полным квадратом, Теэтет (410-369 до н.э.) дал одну из первых классификаций иррациональностей. С появлением иррациональностей в древнегреческой математике возникли серьёзные трудности как в теоретико-числовом, так и в геометрическом плане[5].

В Западной Европе изучение алгебры началось в XIII в. Одним из крупных математиков этого времени был итальянец Леонардо Пизанский (Фибоначчи) (ок.1170 – после 1228). Его “Книга абака” (1202) – трактат, который содержал сведения об арифметике и алгебре до квадратных уравнений включительно. Первым крупным самостоятельным достижением западноевропейских ученых было открытие в XVI в. формулы для решения кубического уравнения. Это было заслугой итальянских алгебраистов С. Дель Ферро, Н.Тарталья и Дж. Кардано. Ученик последнего – Л. Феррари решил и уравнение 4-й степени. Изучение некоторых вопросов, связанных с корнями кубических уравнений, привело итальянского алгебраиста Р. Бомбелли к открытию комплексных чисел. Завоевывали права гражданства отрицательные числа, потом – комплексные, ученые стали свободно применять иррациональные числа[6].

Особенно далеко было продвинуто в XVIII в. решение систем линейных уравнений – для них были получены формулы, позволяющие выразить решения через коэффициенты и свободные члены. Дальнейшее изучение таких систем уравнений привело к созданию теории матриц и определителей. В конце XVIII в. было доказано, что любое алгебраическое уравнение с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. Это утверждение носит название основной теоремы алгебры[7].

В течение двух с половиной столетий внимание алгебраистов было приковано к задаче о выводе формулы для решения общего уравнения 5-й степени. Надо было выразить корни этого уравнения через его коэффициенты с помощью арифметических операций и извлечений корней (решить уравнение в радикалах). Лишь в начале XIX в, итальянец П. Руффини и норвежец Н. Абель независимо друг от друга доказали, что такой формулы не существует. Эти исследования были завершены французским математиком Э. Галуа, методы которого позволяют для каждого данного уравнения определить, решается ли оно в радикалах[8].

В начале XIX в. были решены основные задачи, стоявшие перед алгеброй в первом тысячелетии ее развития. Были разработаны правила буквенного исчисления для рациональных и иррациональных выражений, выяснен вопрос о разрешимости уравнений в радикалах и построена строгая теория комплексных чисел. Поверхностному наблюдателю могло показаться, что теперь математики будут решать новые и новые классы алгебраических уравнений, доказывать новые алгебраические тождества и т.д. Однако развитие алгебры пошло иным путем: из науки о буквенном исчислении и уравнениях она превратилась в общую науку об операциях и их свойствах. Например, иррациональные уравнения и неравенства можно рассмотреть как над полем комплексных чисел, так и над полем действительных чисел[9].

Современная алгебра, как наука, представляет собой обширный раздел математики, состоящий из большого числа дисциплин (теория групп, колец, полей, линейная алгебра и т.д.). Предметом изучения современной алгебры являются операции, обладающие некоторыми, вполне определенными свойствами, и множества, над элементами которых установлены эти операции (кольца, поля, группы). Рассмотрим иррациональные уравнения, неравенства над полем комплексных чисел и над полем действительных чисел[10].

 

1.2 Определение иррациональных уравнений и неравенств

 

Учебный материал, связанный с уравнениями и неравенствами, составляет значительную часть курса математики, а его изучение в современной методике обучения организовано в отдельную содержательно-методическую линию.

Значимость уравнений определяется как теоретико-математической направленностью (здесь уравнения выступают как самостоятельный объект для изучения), так и с точки зрения развития научного мировоззрения учащихся (здесь на первый план выходит применение уравнений к решению различного рода задач самой математики, а также к анализу явлений реального мира).

Логическим продолжением развития данной содержательно-методической линии вслед за уравнениями являются неравенства, а также системы уравнений и неравенств. Отметим, что умение школьников решать уравнения и неравенства является обязательным компонентом при проведении итоговой аттестации учащихся.

Иррациональные уравнения и неравенства – одна из самых сложных тем школьного курса математики. Это обусловлено комплексностью понятия иррациональности.

Уравнение f(x,y,…,z)=0 (1) называется иррациональным, если его левая часть есть алгебраическая иррациональная функция от неизвестных.

Предположим, что f(x, у,... ,z) является явной иррациональной функцией, т.е. может быть задана выражением, содержащим радикалы. Будем рассматривать иррациональное уравнение над полем комплексных чисел. Всякий радикал , содержащийся в левой части, при любой системе комплексных значений аргументов, имеет n различных значений, если R (x, у,..., z)≠ 0. Таким образом, всякой данной (допустимой) системе комплексных значений аргументов соответствует некоторое множество (конечное) значений выражения f(x, у,…,z) (число значений зависит от количества радикалов и от их степеней).

Решением в поле комплексных чисел иррационального уравнения f(x,y,…,z)=0 называется система значений неизвестных, при которой хотя бы одно из значений иррационального выражения f(x,y,…,z) равно нулю.

Если х=а, у=в,..., х=с есть решение иррационального уравнения (1), то при данных значениях неизвестного существует такая система значений радикалов (содержащихся в левой части), что значение левой части равно нулю. Таким образом, в общем случае при х = а, у = в,…, z = с для каждого из радикалов следует взять некоторое вполне определенное значение и нельзя значения радикалов выбирать произвольно.

Решение иррационального уравнения (или системы иррациональных уравнений) в поле комплексных чисел равносильно решению некоторой системы рациональных уравнений[11].

Рассмотрим, например, уравнение с одним неизвестным

, (2)

где f(x,y) – многочлен от аргументов x и y, а Р(х) – многочлен.

Заменим данное уравнение системой

f(x,y)=0,

yn P(x)=0 (3)

Если из системы уравнений (3) исключить неизвестное y, то получится алгебраическое уравнение относительно х:

F(x)=0 (4),

где F(x) – многочлен.

Переход от иррационального уравнения (2) к уравнению (4), являющемуся следствием (2) и не содержащему радикалов, называется исключением радикалов.

Если уравнение содержит лишь квадратные радикалы, то их можно исключить посредством последовательного возведения уравнения в квадрат.

При решении иррациональных уравнений в поле действительных чисел допустимые значения для неизвестных и для радикалов должны удовлетворять дополнительным условиям, вытекающим из условий выполнимости извлечения корня и из смысла символа  в поле действительных чисел, именно:

1°. Для неизвестных допустимыми считаются лишь те системы действительных значений, при которых значения подкоренных выражений радикалов (каждого) четной степени неотрицательны.

2°. Значения радикалов четной степени неотрицательны, т.е.  всегда обозначает арифметический корень.

3°. Значение корня нечетной степени  при произвольном действительном А есть единственное действительное его значение.

Решение иррационального уравнения в поле действительных чисел посредством исключения радикалов может привести к появлению посторонних решений. В самом деле, изложенными методами находятся все решения иррационального уравнения в поле комплексных чисел, из множества этих решений следует выбрать лишь те, которые удовлетворяют дополнительным условиям 1-3°.

 Поэтому при решении иррациональных уравнений в поле действительных чисел посредством исключения радикалов необходима проверка решений путем подстановки в данное уравнение, если в процессе решения не производилось исследование выполнимости условий 1-3. Если в данном уравнении какой-либо радикал заменить другим его значением, то уравнение, получающееся в результате исключения радикала, не изменится. Из всех комплексных значений радикала четной степени (где А>0) два его значения действительны: ±. Поэтому при решении уравнения, содержащего действительные радикалы четной степени, посредством исключения радикалов могут появиться посторонние решения, принадлежащие уравнениям, получающимся из данного изменением знаков перед радикалами четной степени на противоположные[12].

 Возведение обеих частей уравнения в нечетную степень эквивалентности (над полем действительных чисел) уравнения не нарушает и к посторонним решениям привести не может, возведение же обеих частей в четную степень в общем случае нарушает эквивалентность уравнения.

При решении уравнения в поле действительных чисел возможно возвести обе части в степень 2к:

Р(х,у,...,z)=Q2k(x,y,…,z), поставив дополнительное условие P(x, у,...,z)≥0.

Иррациональным неравенством называется неравенство вида где: f(x,y,…z) – иррациональная функция от независимых.

При решении иррациональных неравенств нередко пользуются способом «уединения» радикала с последующим возведением обеих частей неравенства в степень, равную степени радикала[13].

Таким образом, рассмотрев сущность иррациональных уравнений и неравенств с позиции высшей математики, можно утверждать, что выбор способов их решения представляет важную прикладную задачу.

 


 

2. Классификация методов решения иррациональных уравнений  и неравенств

2.1 Методика решения иррациональных уравнений

 

Иррациональными уравнения являются уравнения вида .

При решении иррациональных уравнений необходимо учитывать, что имеет место следующая эквивалентность:

 ó

Для доказательства этой эквивалентности достаточно заметить, что на в точности совпадает с определением арифметического квадратного корня.

Возможен иной путь избавления от радикалов в уравнении : переход к следствию

с последующей подстановкой всех решений уравнения  в исходное уравнение (при переходе к следствию такая проверка необходима, поскольку могли появиться лишние корни: можно сравнить уравнения ). Однако более предпочтительным, как правило, является способ решения при помощи равносильных переходов.

В математике возможны также уравнения с 2 радикалами.

Наиболее распространенными задачами этого типа являются следующие три:

где c —константа, причём c > 0

При решении таких уравнений важно знать, что имеют место следующие эквивалентности.

Необходимо отметить, что переход от √f(x) √g(x) к √f(x)g(x) может расширить область определения задачи, из-за чего могут возникнуть посторонние корни. Поэтому при таком переходе следует восстановить ограничения f(x)≥0, g(x)≥0, имевшие место в исходном уравнении.

Отметим, что любое из двух последних неравенств можно опустить с сохранением равносильности: ведь из того, что f(x) g(x) стоит под корнем, следует, что f(x) g(x)≥0. Так что, например, из неравенств f(x) g(x)≥0 и g(x)≥0 автоматически следует, что f(x)≥0 (за исключением случая f(x)<0, g(x)=0; однако в этом  этом случае равенство 2√f(x) g(x)=c2−f(x)−g(x) не может выполняться).

Таким образом,

Возможен другой путь:

и задача сведена к основному уравнению.

При решении иррациональных уравнений можно также использовать свойство монотонности функций.

Уравнение f(x)=0, где f(x) — строго возрастающая или строго убывающая на некотором множестве функция, не может иметь на этом множестве более одного решения.

Для доказательства теоремы достаточно заметить, что строго возрастающая (строго убывающая) функция в различных точках принимает различные значения.

Отсюда следует, что если удается угадать или быстро подобрать один корень подобного уравнения и показать проверяющему, что вы понимаете, почему других корней нет, то можно писать ответ.

Например, требуется решить уравнение следующего вида:

Решение:

Очевидно, что x=1 — корень уравнения, и, поскольку левая часть строго возрастает (как сумма строго возрастающих функций), то других решений нет.

Можно констатировать, что решение всякой задачи можно начинать с выяснения ответа на вопрос: «Нельзя ли использовать монотонность, чтобы избежать длинных выкладок?». Просматривая школьные (и экзаменационные) задачи, можно убедиться, что многие из них допускают такое решение.

 

2.2 Методы решения иррациональных неравенств

 

Неравенство называется иррациональным с одним неизвестным  x, если одна или обе его части содержат выражения, иррациональные относительно x.

Например, неравенство  .                  (1)

- иррациональное относительно x. Здесь a-параметр.

Областью определения (1) служит решение системы:

При решении иррациональных неравенств нужно учитывать следующие теоремы:

а) При натуральном n неравенство  равносильно системе неравенств

б) При натуральном n неравенство  равносильно двум системам неравенств

 

Добавим следующее.

а)  Решение общих иррациональных неравенств нужно начинать с анализа ОДЗ.

б)  Затем необходимо освободиться от иррациональности,

в)  При этом важно помнить основное правило решения любых неравенств: совершаемое преобразование должно приводить к неравенству, эквивалентному исходному.

В противном случае либо появятся посторонние решения, либо часть решения будет потеряна.

г)       В частности, при возведении обеих частей неравенств в квадрат получается (эквивалентное) неравенство с тем же знаком только в том случае, если обе части неравенства были неотрицательны.

Решение неравенств повышенной сложности, содержащих модули, иррациональные, логарифмические, показательные функции или их комбинацию, стандартными школьными методами часто оказывается весьма сложным и громоздким, что вызывает у школьников определенные трудности.

Одним из эффективных и доступных методов решения таких неравенств и их систем является метод замены множителя (МЗМ), базирующийся на концепции равносильности математических высказываний и реализуемый в виде логических схем (алгоритмов) рационализации и алгебраизации, то есть замены иррациональных и трансендентных неравенств на равносильные им рациональные алгебраические неравенства. Решение последних легко осуществляется методом интервалов для рациональных функций.

Важно отметить, что метод замены множителя реализуется только при приведении исходного неравенства к каноническому виду:

где множители f1(x) и f1(x)(i=1,2,…,n; j=1,2,…,k)  представляют собой рациональные, иррациональные, показательные, логарифмические функции, функции с модулями и другие; знак сравнения v обозначает один из знаков >, ≥, <, ≤, =.

Решение неравенства (1) зависит только от знаков входящих в него сомножителей.

Суть метода замены множителей (МЗМ) состоит в том, чтобы с помощью равносильных преобразований заменить каждый множитель в области его существования на более простой множитель, в конечном счете, рациональный и имеющий те же интервалы знакопостоянства (на множитель равного знака).

Два неравенства f1(x) ˅ g1(x) и  f2(x) ˅ g2(x) называются равносильными на множестве М, если множества их решений совпадают.

Замена одного неравенства другим, равносильным данному на М, называется равносильным преобразованием на М.

Рассмотрим некоторые утверждения о равносильности неравенств.

Основное правило: возводить неравенство в четную степень можно только при тех значениях неизвестной, при которых обе части неравенства неотрицательны.


  

 

Таким образом, можно сделать вывод, что при условии неизменности знака решаемого неравенства множители, принимающие положительные значения, можно просто исключить, а множители, принимающие отрицательные значения - заменить на (-1).

Следует заметить, что основная часть методов замены множителя для различных классов неравенств обусловлена принципом монотонности функций, входящих в неравенства.

Пусть функция у = f(t) определена и строго монотонна на промежутке М.

 

Если функция у = f(t)возрастает на промежутке М, то

 

Если функция y=f(t) убывает на промежутке М, то

Если в уравнении f(x)=C=const  функция у = f(x) непрерывна и строго монотонна на множестве М, то уравнение имеет на М не более одного корня.

Если в уравнении f(x) = g(x) функция у = f(x) непрерывна и строго возрастает, а функция y = g(x) непрерывна и строго убывает на множестве М, то уравнение имеет на М не более одного корня.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Заключение

 

Для достижения цели курсовой работы были решены следующие задачи:

1. Описан генезис формирования иррациональности в науке.

Решение данной задачи позволило сформулировать следующие выводы:

Было установлено, что с современных учебных руководствах основа определения иррационального числа опирается на идеи ал-Каши, Стевина и Декарта об измерении отрезков и о неограниченном приближении к искомому числу с помощью бесконечных десятичных дробей.

Можно сделать вывод о том, что иррациональные уравнения и неравенства являются предметом изучения современной алгебры, как науки, которая представляет собой обширный раздел математики, состоящий из большого числа дисциплин (теория групп, колец, полей, линейная алгебра и т.д.).

2. Изложено определение иррациональных уравнений и неравенств.

Решение данной задачи позволило сформулировать следующие выводы:

Можно утверждать, что иррациональные уравнения и неравенства – одна из самых сложных тем школьного курса математики. Это обусловлено комплексностью понятия иррациональности.

Уравнение f(x,y,…,z)=0 (1) называется иррациональным, если его левая часть есть алгебраическая иррациональная функция от неизвестных.

Иррациональным неравенством называется неравенство вида  где: f(x,y,…z) – иррациональная функция от независимых.

3. Изучена методика решения иррациональных уравнений.

Решение данной задачи позволило сформулировать следующие выводы:

Было выявлено, что при решении иррациональных уравнений учитываются правила эквивалентности, переход к следствию. При решении иррациональных уравнений можно также использовать свойство монотонности функций.

4. Выявлены методы решения иррациональных неравенств.

Решение данной задачи позволило сформулировать следующие выводы:

Был структурирован следующий алгоритм решения иррациональных неравенств:

Решение общих иррациональных неравенств нужно начинать с анализа ОДЗ.

Затем необходимо освободиться от иррациональности,

При этом важно помнить основное правило решения любых неравенств: совершаемое преобразование должно приводить к неравенству, эквивалентному исходному.

В частности, при возведении обеих частей неравенств в квадрат получается (эквивалентное) неравенство с тем же знаком только в том случае, если обе части неравенства были неотрицательны.

Одним из эффективных и доступных методов решения таких неравенств и их систем является метод замены множителя. Решение последних легко осуществляется методом интервалов для рациональных функций.

 


 

Список литературы

 

1.     Рождественский В. В. Иррациональные уравнения и неравенства: Методическая разработка для учащихся заочного отделения МММФ / В. В. Рождественский. — М.: Изд-во центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2007. — 20 с.

2.     Алгебра и начала математического анализа. 10 класс (профильный уровень) / Колягин Ю.М. и др. - 8-е изд., стер. - М.: Дрофа, 2009. - 366 с.

3.     Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений / Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. - М: Просвещение, 2009. - 298 с.

4.     Александрова О.В., Семенов Ю.С. Решение алгебрагических и иррациональных уравнений и неравенств. - М.: Илекса, 2013. - 96 с.

5.     Арлазаров В.В., Татаринцев А.В., Тиханина И.Г., Чекалкин Н.С. Лекции по математике для физико-математических школ. Часть 2. Иррациональные уравнения, системы и неравенства, показательные и логарифмические уравнения и неравенства, тригонометрия, обратные тригонометрические функции. - М.: ЛКИ, 2008. - 264 с.

6.     Балаян Э.Н. Практикум по решению задач. Иррациональные уравнения, неравенства и системы. – М.: Феникс, 2012. – 128 с.

7.     Веселаго И.А. Алгебра для школьников и абитуриентов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2007. - 336 с.

8.     Колесникова С.И. ЕГЭ. Математика. Иррациональные уравнения. - М.: Азбука-2000, 2010. - 72 с.

9.     Кремер Н.Ш. Математика для поступающих в экономические другие вузы. Подготовка к вступительным испытаниям и Единому государственному экзамену: Учебное пособие для вузов / Н.Ш. Кремер, О. Г. Константинова, М. Н. Фридман. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012.

10. Локоть В.В. Задачи с параметрами: Иррациональные уравнения, неравенства, системы, задачи с модулем / В.В. Локоть. – М: Аркти, 2010. – 64 с.

11. Полякова Е.А. Уравнения и неравенства с параметрами. - М.: Илекса, 2010. - 96 с.

12. Попов Г.Н. Очерки по истории математики. - М.: Либроком, 2010. - 168 с.

13. Просветов Г.И. История математики. - М.: Альфа-Пресс, 2011. - 96 с.

14. Стиллвелл Д. Математика и ее история / Д. Стивел. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004 - 530 с.

15. Тарасов В.А. Квадратные уравнения. Иррациональные уравнения. - М.: МИТХТ, 2010. - 12 с.

16. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. Учебно – методическое пособие. 10 – 11 классы. / С.Н.Олейник, М.К. Потапов, П.И.Пасиченко. - М.: Дрофа, 2011. - 211 с.

17. Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика. - М.: Дрофа, 2010. - 656 с.

18. Шахмейстер А.Х. Иррациональные уравнения и неравенства. - М.: Виктория плюс, 2008. - 216 с.

19. Шахмейстер А.Х. Системы уравнений. - М.: Виктория плюс, 2008. - 184 с.

20. Алгебра и начала анализа 10-11 класс: Учеб. для 10–11 кл. общеобразовательных учреждений / Ш.А. Алимов и др. — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2007. – 384 с.

21. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений /А.Н. Колмогоров и др.; Под. ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 2010. - 384 с.

22. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10–11 кл. общеобразовательных учреждений /Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. – М.: Просвещение, 2013. – 224 с.

23. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа: 10-11-е классы: базовый уровень: программа УМК М. И. Башмакова для общеобразовательных учреждений / М. И. Башмаков. - Москва: Дрофа, 2010. – 42 с.



[1] Фосс А. Сущность математики. Физико-математическое наследие: математика (философия математики).  -М.:Либроком, 2009. - c. 24.

[2] Кремер Н.Ш. Математика для поступающих в экономические  и другие вузы. Подготовка к вступительным испытаниям и Единому государственному экзамену: Учебное пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. – С. 58.

[3] Стиллвелл Д. Математика и ее история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004 -  с. 39.

[4] Фосс А. Сущность математики. Физико-математическое наследие: математика (философия математики) - М.:Либроком, 2009 – С. 31.

[5] Стиллвелл Д. Математика и ее история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004 - С. 42.

[6] Кремер Н.Ш. Математика для поступающих в экономические  и другие вузы. Подготовка к вступительным испытаниям и Единому государственному экзамену: Учебное пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012, - С. 64.

[7] Стиллвелл Д. Математика и ее история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004 – С. 47.

[8] Фосс А. Сущность математики. Физико-математическое наследие: математика (философия математики) - М.:Либроком, 2009 – С. 35.

[9] Кремер Н.Ш. Математика для поступающих в экономические  и другие вузы. Подготовка к вступительным испытаниям и Единому государственному экзамену: Учебное пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. –С. 69.

[10] Стиллвелл Д. Математика и ее история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004 – С. 44.

[11] Ткачук В.В. Математика абитуриенту. - М.: МЦНМО, 2004 – С. 65.

[12] Кремер Н.Ш. Математика для поступающих в экономические  и другие вузы. Подготовка к вступительным испытаниям и Единому государственному экзамену: Учебное пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. – С. 73.

[13] Ткачук В.В. Математика абитуриенту. М.: МЦНМО, 2004 – С. 71.

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Иррациональные уравнения и неравенства и методика их решения"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 2 месяца

Специалист по автотранспорту

Получите профессию

Бухгалтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 625 761 материал в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 03.09.2017 4948
    • DOCX 288.8 кбайт
    • 42 скачивания
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Муллина Ирина Григорьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Муллина Ирина Григорьевна
    Муллина Ирина Григорьевна
    • На сайте: 6 лет и 6 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 11016
    • Всего материалов: 11

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Технолог-калькулятор общественного питания

Технолог-калькулятор общественного питания

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 180 человек из 45 регионов

Курс повышения квалификации

Применение математических знаний в повседневной жизни

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 429 человек из 72 регионов

Мини-курс

Особенности патриотического воспитания

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Идеи эпохи Просвещения: педагогическое значение для современности

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Психология личностного развития: от понимания себя к творчеству

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 43 человека из 21 региона