Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Информатика / Конспекты / Иследовательская работа для 11 класса "Приближенные решения уравнения посредством прикладной программы Microsoft Excel "

Иследовательская работа для 11 класса "Приближенные решения уравнения посредством прикладной программы Microsoft Excel "


  • Информатика

Поделитесь материалом с коллегами:











Исследовательская работа по теме

«Приближенное решение уравнений при помощи приложения Microsoft Office Excel»







Работу выполнили:

11 класс (профильный уровень)

Учитель : Евтина Е.Н.




г. Ухта

2015 г.

Содержание


  1. Вступление

2. Историческая справка (Приложение 1 мультимедиа – презентация Слайд № 1-15 )

2.1. Практическое значение решения уравнений. Слайд № 1-2.

2.2. Что такое уравнение? Слайд № 3-4

2.3. Исторические сведения об открытии способов решения уравнений. Слайд № 5-14

3. Изучение нового материала

3.1. Графический метод

3.2. Подбор параметров в Excel.

3.4. Метод простой итерации

3.5 Метод половинного деления

4. Закрепление материала. Лабораторная работа.

4.1. Выдача заданий и форм отчета группам.

4.2 Работа над лабораторной работой, заполнение отчетов.

4.3. Доклад группы по отчету. Вывод по лабораторной работе.

5. Итоги занятия.















Тема исследования: Приближенное решение уравнений при помощи приложения Microsoft Office Excel.

Цель: познакомиться с еще одним применением математических моделей: решением уравнений приближенными методами и путем эксперимента на практике выявить самый рациональный и достоверный способ решения уравнений.

Задачи:

  • закрепить основные навыки работы с электронными таблицами Microsoft Excel

  • найти и изучить все способы приближенного решения уравнений;

  • выявить путем эксперимента наиболее эффективные и нерациональные методы решения уравнений в использовании на практике;

Гипотеза: Решение уравнений подразумевает нахождение его корней. Можно ли найти наиболее точное решение уравнений приближенными способами решения?

В исследовательской работе использовались следующие методы работы:

  • поисковый метод с использованием специализированной учебной литературы, а также осуществление поиска нужной информации посредством сети Интернет

  • практический метод выполнения вычислений с применением приближенных методов решения уравнений;

  • анализ полученных в ходе исследования данных, подведение итогов.

  1. Актуальность данной темы заключается в том, что использование приближенных методов решения уравнений усиливает интерес учащихся к информатике и содействует развитию математических способностей.

  2. Объектом исследования являются различные приближенные методы решения уравнений,

  3. Предметом исследования выступает процесс решения уравнений.



За привычным нахождением корней уравнений мы и не задумывались а сколько еще существует методов решения уравнения, пусть и приближенных. Случайно услышанные слова «графический способ», «способ половинного деления», «метод итерации» заинтриговали. Захотелось узнать эти и другие приближенные методы решения уравнений, сравнить их с нашим сегодняшним привычным решением уравнений.

2. Историческая справка. Мультимедиа-презентация (Приложение1)


2.1. Практическое значение решения уравнений. Слайд № 1-2.

Математика одна из самых практичных и точных наук. Она родилась из задач, которые перед людьми ставила жизнь: как поделить наследство, как лучше распахать землю, как рассчитать налог и т.д. Оказывается, многие практические задачи приводят к решению уравнений.

Слайд № 2. Задачи земледельцев: нахождение площадей геометрических фигур приводит к решению квадратного уравнения. Нахождения объема - приводит к решению уравнений третьей степени. Другая задача о точности стрельбы пушки - это классическое решение используется до сих пор в баллистике и приводит к решению уравнений третьей степени . Проблемы выращивания искусственных кристаллов – уравнения четвертой и пятой степени. Расчет длины и угла наклона крыльев самолёта и других летательных аппаратов – квадратные и кубические уравнения и т.д.


2.2. Что такое уравнение? Слайд № 3-4

Уравнение – равенство двух буквенных выражений.

пример:

6х – 245 = 4 – 10х;


Известны разнообразные виды уравнений. В древности люди пользовались такими же обычными методами решения? А кто придумал современные методы решения и всегда ли они применимы? Например, для такого примера (Слайд 4), да если учесть, что n – любое натуральное число? (Наверное, нет). Вот решение таких уравнений интересовали ученых с давних времен.


2.3. Исторические сведения об открытии способов решения уравнений. Слайд № 5-14

Слайд 5. «В Древнем Вавилоне грамотные люди (ими чаще всего были жрецы и чиновники) умели решать довольно сложные уравнения, в том числе и уравнения второй степени.» Всё решение записывалось словами, не было никакой математической символики: ни переменных, ни знаков действий, ни знака равенства. Задачи, сводящиеся к решению квадратного уравнения «…вавилоняне часто рассматривали как задачи на определение длины и ширины прямоугольника по известной его площади и либо сумме длины и ширины, либо «избытку длины над шириной» . Иначе говоря, х1 – длина, х2 – ширина, р – площадь, р – сумма длины и ширины». Не правда ли, почти теорема Виета? «Евклид (III в. до н.э.) решал квадратные уравнения, применяя геометрический способ».


Слайд 6. Знаменитый Аль Хорезми упростил решение уравнений: он предлагает решение нескольких типов квадратных уравнений.


Слайд 7. Кроме того, он мог решать простейшие уравнения третьей степени: х3 = 27.


Слайд 8. «Замечательный таджикский поэт и ученый Омар Хаям (ок. 1048- ок. 1123), «конечно, без буквенной символики и отрицательных чисел – описал все возможные виды уравнений третьей степени и рассмотрел способ их решения… Первое слагаемое можно понимать как куб с ребром х. Произведение рх2 – это прямоугольный параллелепипед с высотой р и квадратным основание, причем сторона основания х. Слагаемое qx = . Это … ещё один прямоугольный параллелепипед с основанием х2 и высотой q/x.» . Уже в то время ученые задумывались об общих способах решения задач. Ведь очень трудно придумывать каждый раз новое решение. «В школьных учебниках по математике, как и в других книгах, большинство способов решений рассматриваются в общем виде, а не на конкретных примерах. Но сами математические открытия делаются не в общем виде. Очень часто – почти всегда – математик ищет частные примеры, подтверждающие или опровергающие его мысль. Если пример приведет к опровержению мысли – поиск ведётся в новом направлении. Если пример подтвердит её – ищут общее доказательство». К сожалению, придумать геометрическое решение для задач четвертой, а тем более пятой степени уже сложно, а в те времена было невозможно.


Слайд 9. «Со времён Омара Хайяма ученые искали формулу решения уравнений третьей степени почти четыреста лет… Были периоды, когда начинало казаться, что сил человеческого ума для решения этой задачи недостаточно. .. Томас Торквемада (1420 – 1498) - … считал, что решение таких уравнений волей бога изъято из возможностей человеческого разума. И когда один из его друзей, математик по имени Паоло Вальмес, неосторожно сказал …, что он умеет решать уравнения даже четвертой степени, Торквемада бросил его в тюрьму, а затем отправил на костер за «Борьбу с божественной волей».


Слайд 10. Времена были суровые, но даже тогда тот, кто владел информацией, тот владел миром! И человек, который единственный в своей стране или в целом мире умел быстро и правильно решать кубические уравнения, был очень влиятельной особой приближенной к властителям мира. Первым таким ученым был итальянский математик Сципион Даль Ферро (1465 – 15260. Даль «Ферро не опубликовал своё открытие, но некоторые ученики знали об этом, и вскоре один из них, Антонио Фиор, решил этим воспользоваться. В те годы были распространены публичные диспуты по разного рода научным или считавшимися научными вопросам. Победители таких диспутов получали неплохое вознаграждение, их часто приглашали на высокие должности, от исхода научного поединка нередко зависела судьба ученого… »


Слайд 11. Честь же ученого, уже в преклонных летах, решился защитить обыкновенный школьный учитель математики, который даже не был учеником Сципиона Ферро, а всего лишь поклонником таланта ученого. Этот Никколо (1499-1557), «прозванный Тарталья, т.е. заика, был очень талантливым человеком и сумел заново открыть прием Сципиона… По условию соперники обменялись тридцатью задачами, на решение которых отводилось 50 дней. Но так как Фиор знал по существу лишь одну задачу и был уверен, что какой-то учитель решить её не сможет, то все тридцать его задач оказались однотипными». Тарталья решил эти задачи за два часа. «Фиор не смог решить ни одной из задач… Победа прославила Н. Тарталья на всю Италию…


Ещё один ученый, Д. Кардано, был выдающимся врачом, философом, математиком и механиком (все, кто имеет отношение к автомашинам, знают о так называемой карданной передаче)…» В его книге об алгебре он предложил алгебраическую формулу для решения кубического уравнения, которая теперь называется формулой Кардано, ею пользуются до сих пор.


Слайд 12. Франсуа Виет (1540-1603) – французский математик мечтал вывести подобную формулу (пусть и достаточно громоздкую) для уравнений пятой степени. Кстати, а почему мы пропускаем уравнения четвертой степени? (Они сводятся к биквадратным уравнениям). Верно, также как уравнения шестой степени к уравнениям третьей степени, а уравнения восьмой степени – к уравнениям четвертой степени и т.д. Франсуа Виет, решая уравнения пятой степени, придумал нечто другое: «Виет первым догадался обозначать буквами не только неизвестные, но и коэффициенты при них. Подумайте, сами, какой огромный шаг вперёд означало это, казалось бы, очень скромное новшество… Недаром Виета часто называют «отцом алгебры». [17] Именно он открыл теорему Виета и способ подбора корней как делителей свободного члена.


Слайд 13. Поиски общей формулы для решения уравнений четвертой, пятой степени продолжались достаточно долго. Пока задача не приняла вид вопроса: существует ли вообще решения уравнений произвольных степеней в радикалах? «Требование «найти формулу» вполне понятно. А требование доказать, что такой формулу не существует звучит менее привлекательно, и оказалось, что получение отрицательного ответа требует создания совершенно нового направления в алгебре». Занимались таким доказательством несколько ученых: Паоло Руффини (1765 – 1822) – итальянский ученый (доказательство неполное), Жозеф Луи Лагранж (1736-1813) – французский математик и механик (был близок к решению).


Слайд 14. Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) – норвежский математик и Эварист Галуа (1811 – 1832) – французский математик. Несмотря на молодость, они смогли найти безупречное доказательство неразрешимости в радикалах уравнений пятой степени.


Слайд 15. Таким образом, не существует формул, приводящих к точному нахождению корней уравнений высших степеней (четвертой, пятой и т.д.). На слайде представлены некоторые методы решения уравнений. Удивительно, но те уравнения, которые встречаются в учебнике и могут быть решены простыми методами: разложение на множители или введение нового неизвестного (в случае биквадратных уравнений) – это лишь одна десятитысячная всех уравнений, которые приходится решать человечеству. Остальные решения находятся методами приближенного вычисления. Эти методы удобны для применения ЭВМ.

4. Изучение нового материала.

4.1. Графический метод - Слайд 16-17.

Для удобства вычислений уравнению присваивают имя функции: уравнение х4+5х-3=0 это функция у(х)= х4+5х-3. Если значение функции равно нулю при некотором значении х, то х – искомый корень уравнения .Естественно, что приближенные методы используются в трудных случаях, когда сложно найти корень, поэтому у(х)=0,0001 – некоторая величина, близкая к нулю. Это значение – точность вычислений. Этот метод очень прост. По известному уравнению вычисляются несколько значений функции (значение переменной х изменяется с определенным шагом: на рисунке это 0,1) и строиться примерный график функции. Естественно, чем меньше шаг, тем точнее график. Самое доступное средство – электронная таблица Excel. По графику можно найти корень уравнения – это точка пересечения графика функции с осью абсцисс. Это корень, найденный с точностью не более 0,1. Слайд 17. Часто этой точности не достаточно. Тогда этот метод лишь указывает нам промежуток, на котором можно найти корень, используя другие приближенные методы.

4.2. Подбор параметров в Excel. Слайд 18.

Первый метод автоматического нахождения корней: метод подбора параметров в электронной таблице Excel. Можно воспользоваться уже введенной формулой для построения графика, а затем выбрать в меню Сервис – Подбор параметра. В появившемся диалоговом окне в поле Установить в ячейке ввести адрес В4; в поле Значение 0; в поле Изменяя значение ячейки ввести адрес А4, в которой будет производиться подбор значения аргумента. Нажать ОК. На панели Результат подбора параметра будет выведена информация о величине значения функции 0,000554912, а в ячейки аргумента А4 появится подобранное значение 0,999. [2, 3].



4.3. Метод простой итерации – Слайд 20.

Третий метод – метод простой итерации. Суть метода похожа на графический метод: выбирается отрезок, содержащий корень уравнения. Для этого достаточно наугад взять два значения аргумента, например, 5 и -5, и вычислить значения функции. Если значения функции имеют разные знаки, то на данном промежутке существует искомый корень. Если нет, подбирают другие значения. Затем выбирают шаг вычислений (также как при построении графика функции). Последовательно вычисляя значения функции, сравниваем модуль значения с точностью вычисления. Процесс останавливается, если точность вычисления достигнута. Но этот метод не всегда приводит к нужному ответу. Как Вы думаете почему? (Можно пропустить корень).


4.5 Метод половинного деления Слайд 21.

Последний, изучаемый нами метод – метод половинного деления. Выбирается отрезок, содержащий корень уравнения. И делится пополам (отсюда и название метода). Вычисляем значение функции в середине отрезка и сравниваем с заданной точностью, если точность не достигнута, выбираем из двух отрезков тот, который содержит корень. Напомните, как это сделать? (На концах отрезка, содержащих корень, значения функции разных знаков). После выбора отрезка, другой отрезок больше не рассматриваем. Выбранный отрезок делим пополам, вычисляем значение функции в середине, сравниваем с точностью, если нужно, снова выбираем новый отрезок и т.д. В этом случае можно достигнуть любой точности вычислений. Но поиск решения может и затянуться.


5. Закрепление материала. Лабораторная работа.

5.1. Выдача заданий и форм отчета группам.


Задача нашего урока: самим попробовать вычислить корни трех уравнений различными методами. Для этого воспользуемся электронной таблицей Excel. Но, поскольку, мы ограничены рамками урока, будет удобнее разделиться на две группы и сравнить результаты экспериментов по окончанию работы.


Учащиеся делятся на две группы, получают по три экземпляра бумажных заданий с инструкциями по выполнению <Приложение2>, файл электронного отчета храниться на рабочем столе каждого компьютера под названием «Отчет по лабораторной работе Приближенные вычисления для первой группы», «Отчет по лабораторной работе «Приближенные вычисления « для второй группы». <Приложение3, Приложение 5>.


Каждая группа получает инструкцию, в которой указан порядок выполнения работы и порядок заполнения электронного отчета по результатам эксперимента. В конце урока результаты эксперимента должен презентовать ответственный представитель группы.


5.2. Работа над лабораторной работой, заполнение электронных отчетов.


Во время лабораторной работы можно включить тихую музыку. Группа обсуждает план действий. Выбирает ответственного за представление результатов эксперимента ученика, наиболее компетентного члена группы. Если группы большие, по 10 человек, то можно подсказать, чтобы учащиеся распределили задания: первый компьютер – первое уравнение, второй компьютер – второе уравнение и т.д. За один компьютер садятся два-три человека, один ученик набирает выражение, второй - диктует и контролирует, третий - фиксирует время работы. Функция учителя сводится к контролю времени и участия всех членов группы в работе. Все вопросы по выполнению задания, должны быть адресованы к ответственному представителю группы. После окончания работы в мини-группах ответственные проверяют результаты, готовятся к выступлению.


5.3. Доклад группы по отчету. Вывод по лабораторной работе.


Прошу ответственных представителей переслать электронные отчеты на главный омпьютер. (Учитель открывает сразу два отчета на странице: слева отчет первой группы, справа – второй группы). Презентация результатов начинается с первой группы.


Представитель первой группы. (Пример решения <Приложение 4>). Решая первое уравнение всеми тремя методами мы нашли корень х=1. Но решая последним методом затратили наименьшее количество времени. Все методы привели к нужному результату, точность тоже была одинакова. В этой задаче можно было обойтись и без этих методов.


Представитель второй группы. Мы решали методом половинного деления, но у нас те же результаты. И задача решается устно.


Хорошо, тогда вторая группа презентуйте решение второй задачи.


Представитель второй группы. Эту задачу, наверное, в ручную сложно решить. Ответы во всех методах разные. Самый быстрый и точный – подбор параметров, самый не результативный – графический. Но метод половинного деления самый длинный и сложный. Хотя у нас было всего четыре шага. (Пример решения второго уравнения первой и второй группой <Приложение 5>).


Учитель. Вывод первой группы.


Представитель первой группы. По графическому и методу подбора параметра результаты те же. Метод простой итерации занял меньше времени, чем у второй группы, но у нас 22 вычисления, но ответ у них значительно точнее.


Аналогично, обсуждаются третья задача. Основной контролируемый учителем критерий ответа: соответствие выводов полученным результатам и оценки эффективности всех трех методов.


Обобщающий вывод: эффективность применения трех методов по трём задачам.


Выяснилось, что в зависимости от задачи, эффективным может оказаться любой из приближенных методов. Но метод простой итерации может не дать ответа (пропустить его). Поэтому, неудивительно, что Вы решали медленнее, чем компьютер. Но эти задачи хорошо программируются.


6. Итоги занятия. (3 мин)

6.1. Выставление оценок. Учитель выставляет оценку представителю группы за выступление, за умение обобщить выводы, сравнить результаты своей группы с результатами другой группы, участникам группы за правильность выполнения заданий (верное применение метода, оформление отчета, соответствие результатов сделанным выводам, степень участия в работе группы).


7. Домашнее задание. (2 мин)

Составить блок-схему для решения уравнений методом простой итерации (для 2 группы), методом половинного деления (для 1 группы)












Автор
Дата добавления 13.10.2015
Раздел Информатика
Подраздел Конспекты
Просмотров461
Номер материала ДВ-056666
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх