Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Использование частично-поискового метода при формировании навыков прикладного использования аппарата производной.

библиотека
материалов

Тема урока Применение производной при исследовании функций..


Тип урока: урок сообщения новых знаний.

Форма урока: урок – практикум.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, интерактивная доска.


Цели и задачи урока:

Учебная цель.

Обобщение, систематизация и углубление знаний о производной. Формирование навыков прикладного использования  аппарата производной. Овладение умениями и навыками нахождения промежутков возрастания и убывания, экстремумов функции.

Развивающая цель.

Развитие умений в применении знаний в конкретной ситуации; самостоятельной деятельности учащихся.

Развитие мыслительных способностей, обеспечивающих анализ ситуации и разработку адекватных способов действия (анализ, синтез, сравнение).

Воспитательная цель.

Воспитывать такие качества личности, как познавательная активность, самостоятельность, упорство в достижении цели. Побуждать учащихся ко взаимоконтролю, самоанализу своей деятельности.

Задачи.

  • организовать деятельность учащихся по применению достаточных условий возрастания и убывания функции к нахождению промежутков монотонности функции;

  • организовать частично-поисковую деятельность учащихся при формулировании необходимого и достаточного признака экстремума функции;

  • научить применять производную для реализации схемы исследования функции.


План

  1. Организационный этап (вступительное слово преподавателя)….3 мин

  2. Устные упражнения. Актуализация ранее изученного……..….. 15 мин

  3. Сообщение темы урока…………………………….……….……….5 мин

  4. Объяснение нового материала……………………………………..20 мин

  5. Первичное закрепление…….……………………………………….15 мин

  6. Самостоятельное решение задач..…………………………………..15 мин

  7. Подведение итогов……………………………………………………5 мин

  8. Этап рефлексии…………………………………………………..….. 2 мин


  1. Организационный момент

Цель деятельности педагога: проверить готовность к занятию, настроить на выполнение учебных задач.

Цель деятельности учащегося: настроиться на учебный процесс, проверить свою готовность к занятию.

Вступительное слово преподавателя: Сегодня мы продолжаем изучать приложение производной и рассмотрим вопрос о её применении к исследованию функций.

Производная применяется при описании различных, в частности экономических процессов. Чтобы изучить любой процесс необходимо пройти следующие этапы:

  1. Этап построения математической модели. Одну изучаемую величину (прибыль, расходы на производство и т.п.) обозначают у; другую величину (цену товара, величину спроса, объём производства и т.п.) считают независимой переменной и обозначают х. Исходя из конкретных условий задачи, выражаю у через х.

  2. Этап исследования модели. Для полученной функции находят максимум (минимум) на промежутке реального изменения х.

  3. Этап интерпретации результата.


  1. Актуализация ранее изученного.

Цель деятельности педагога: актуализировать знания, необходимые для изучения темы, развивать позитивный интерес к предмету.

Цель деятельности учащегося: поверить в свои силы, оказавшись в ситуации успеха при решении известных задач.

Слово преподавателя: Сегодня на уроке мы рассмотрим элемент работы второго этапа изучения процесса, исследование одного из свойств функции – определение промежутков монотонности и экстремумов функции.

Для решения поставленной задачи, нам необходимо вспомнить некоторые вопросы, рассмотренные ранее.

Проводится фронтальный опрос (рисунки на слайдах).

  1. Что называется функцией?

  2. Какая функция называется возрастающей на промежутке?http://mathege.ru/pbms/f1/85/90/39/f1859039747ae587a86e2c4a61704cb6.png

  3. Какая функция называется убывающей на промежутке?

  4. Укажите на рисунке промежутки возрастания (убывания) функции.

  5. В чём заключается геометрический смысл производной?

  6. На рисунке изображены график функции hello_html_1188d3b0.gif и касательная к нему в точке с абсциссой hello_html_16a58215.gif. Найдите значение производной функции hello_html_1188d3b0.gif в точке hello_html_16a58215.gif.

  7. Укажите, из каких отмеченных точек hello_html_m3563f3f2.gif, hello_html_m3fe93076.gif и hello_html_m6d2bf927.gif

hello_html_591dad26.png








  1. Сообщение темы урока.

Цель деятельности педагога: поставить конкретную учебную цель перед учащимися; поместить учащихся в ситуацию успеха, показав, что они сами «открыли» то, с чем должны познакомиться на уроке.

Цель деятельности учащегося: поверить в свои силы, оказавшись в ситуации успеха при решении известных задач.

Слово преподавателя: Попробуем теперь применить имеющиеся у нас знания для определения промежутков возрастания и убывания функции.

  1. Объяснение нового материала.

у

х

hello_html_7e9a055.gif

hello_html_449daad5.gif

hello_html_1188d3b0.gif



На рисунке изображён график функции hello_html_56ea719.gif. В произвольных точках интервала hello_html_m33692f9c.gif проведём касательные к графику этой функции. Обратите внимание на угол, который образуют касательные с положительным направлением оси ОХ. Какой вывод можно сделать о знаке углового коэффициента касательной, а значит и производной?

Примерные ответы учеников: hello_html_m6f7fe1dc.gif

hello_html_m4406d89.gif

х

hello_html_m92906a0.gif

hello_html_449daad5.gif

у

Рассмотрим теперь график убывающей функции.

Какой вывод можно сделать о знаке углового коэффициента касательной, а значит и производной?

Примерные ответы учеников: hello_html_25d28478.gif


Какая связь между знаком производной и поведением функции выявлена на примере этих заданий?

Примерные ответы учеников: Если на промежутке hello_html_m33692f9c.gif производная функции hello_html_m71edece4.gif, то функция возрастает, если hello_html_m3fe93076.gif, то функция убывает.

Можно ли сформулировать вывод «наоборот» – если функция возрастает на промежутке hello_html_m33692f9c.gif, то hello_html_m71edece4.gif для всех точек интервала и, если функция убывает на промежутке hello_html_m33692f9c.gif, то hello_html_m3fe93076.gif для всех точек интервала.

Ответы учеников могут быть различны.

х0

х

у

hello_html_449daad5.gif

Учитель: обратное – неверно. Посмотрите на график функции на рисунке. На всём интервале hello_html_m33692f9c.gif функция возрастает, но в точке х0 производная hello_html_6d224613.gif (касательная в этой точке параллельна оси ОХ), а значит нельзя сказать, что на всём интервале производная положительна. Поэтому признак, который мы сформулировали – достаточный.



Запишем в тетрадь:

Достаточный признак возрастания (убывания) функции:

Если hello_html_m71edece4.gifв каждой точке интервала I, то функция hello_html_74f4b084.gif возрастает на I.

Если hello_html_272fe988.gifв каждой точке интервала I, то функция hello_html_74f4b084.gif убывает на I.


Мы рассмотрели поведение функции на промежутках, где hello_html_m71edece4.gifи hello_html_272fe988.gif. А что же будет в точках, где производная равна нулю или не существует?

Примерные ответы учеников: в этих точках будут экстремумы, т.к. в экстремумах касательная параллельна оси Ох.

Слово преподавателя: Эти точки могут быть точками экстремума, поэтому их называют критическими или подозреваемыми на экстремум. Равенство нулю производной – необходимое условие экстремума.

Запись в тетради:

Необходимое условие экстремума. Если точка х0 является точкой экстремума функции hello_html_74f4b084.gif и в этой точке существует производная, то она равна нулю, hello_html_6d224613.gif.


Учащиеся получают раздаточный материал – незаполненные таблицы с графиками функций. Работая в парах, заполняют пустые клетки.





Знак hello_html_41e8e206.gif на hello_html_35fd2a17.gif

hello_html_41e8e206.gif

в hello_html_16a58215.gif

Знак hello_html_41e8e206.gif на hello_html_m7c9b2419.gif

Вывод

о точкеhello_html_16a58215.gif

1

х0

hello_html_59a050ea.gif

у

х



hello_html_42b15da5.gif

hello_html_m1af0e848.gif

hello_html_m6783ea69.gif

hello_html_16a58215.gif

точка

максимума

2

х0

hello_html_m2f0b9ba9.gif

х

у

hello_html_mcf2695.gif



hello_html_42b15da5.gif

не существует

hello_html_m6783ea69.gif

hello_html_16a58215.gif

точка

максимума

3

х

hello_html_mcf2695.gif

х0

у



hello_html_m6783ea69.gif

hello_html_m1af0e848.gif

hello_html_42b15da5.gif

hello_html_16a58215.gif

точка

минимума

4

х0

hello_html_m11f1d402.gif

х

у

hello_html_mcf2695.gif



hello_html_m6783ea69.gif

не существует

hello_html_42b15da5.gif

hello_html_16a58215.gif

точка

минимума

5

х0

hello_html_m2f67ea0f.gif

х

у

hello_html_mcf2695.gif



hello_html_m6783ea69.gif

hello_html_m1af0e848.gif

hello_html_m6783ea69.gif

нет

экстремума

6

х0

х

у

hello_html_mcf2695.gif



hello_html_42b15da5.gif

не существует

hello_html_42b15da5.gif

нет

экстремума



Слово преподавателя: Проанализируем поведение функции в точке х0. Какое же условие должно выполняться, чтобы точка была точкой экстремума?

Примерные ответы учеников: нужно, чтобы производная меняла свой знак при переходе через х0.

Признак максимума функции: Если функция f непрерывна в точке х0 и производная при переходе через эту точку меняет знак с «+» на «–», то точка х0 является точкой максимума функции.

Признак минимума функции: Если функция f непрерывна в точке х0 и производная при переходе через эту точку меняет знак с «–» на «+», то точка х0 является точкой минимума функции.



Алгоритм нахождения промежутков монотонности и экстремумов.

  1. Найти производную функции hello_html_41e8e206.gif.

2. Найти критические точки функции hello_html_m567bb210.gif (hello_html_m1cbe8ad0.gifили не существует).

3. Отметить критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

4. Сделать выводы о промежутках возрастания и убывания функции.

5. Сделать вывод о точках экстремума.

  1. Первичное закрепление.


Пример 1. Найдите промежутки возрастания и убывания функции hello_html_m4bfb7a3c.gif.

Решение: hello_html_m1e86b1e2.gif

hello_html_m1cbe8ad0.gifhello_html_m6fc4b7f.gif

hello_html_m1c4cde5a.gif

hello_html_m716da3ae.gif

hello_html_3ae7c600.gif

hello_html_56ea719.gif

+

1

2

min

max






hello_html_18697d88.gif

hello_html_3df8860.gif

hello_html_57667a4d.gif

hello_html_m2d3aaa71.gif

Пример 2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции hello_html_759c108.gif.


  1. Самостоятельное решение задач.

Учащиеся работают в парах, решение записывают в тетрадях. Двое работают у доски.

а) hello_html_m1af8a80f.gif;

б) hello_html_3daa5d69.gif;

а) hello_html_mf7e20e1.gif

б) hello_html_7a8ce29e.gif

  1. Подведение итогов.

Цель деятельности педагога: анализ реализации поставленной цели и задач.

Цель деятельности учащегося: провести анализ своего вклада в работу группы по решению поставленных задач; оценить свою работу и работу товарищей.

Слово преподавателя: Ребята, сегодня мы научились строить сечения. Как? Покажут результаты самостоятельной работы. Вы сами сможете оценить себя. Полученные умения помогут в дальнейшем решать различные геометрические задачи.

Проверка самостоятельной работы учащимися (правильные решения на слайдах). Студенты подсчитывают количество ошибок и выставляют себе оценку за работу на уроке согласно представленным критериям:

«5» – нет ошибок;

«4» – одна-две ошибки;

«3» – более двух ошибок.


  1. Рефлексия урока.

Цель деятельности педагога: создание условий для саморазвития, самопознания школьника.

Цель деятельности учащегося: воспроизведение полученных в ходе занятия знаний; осознание собственной деятельности.

Слово преподавателя:

  1. Какими навыками, умениями вы овладели на сегодняшнем уроке?

  2. Что было непонятно?

  3. Решение каких задач показалось вам сложным?

  4. Какие задания вам понравились?

  5. Что удивило вас?




14


Краткое описание документа:

Основная цель урока - обобщение, систематизация и углубление знаний о производной. Задача учителя - помочь учащимся овладеть умениями и навыками нахождения промежутков возрастания и убывания, экстремумов функции.

Как известно, прочные знания учащиеся получают, если "отыскивают" их сами. Поэтому всё объяснение строится с опорой на поиск решения самими учащимися.

Автор
Дата добавления 29.04.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров218
Номер материала 259768
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх