Использование прикладных задач для формирования понятия функции в курсе алгебры 7 - 9 классов

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ В КУРСЕ АЛГЕБРЫ 7-9 КЛАССОВ

В математике все явления и зависимости описываются с помощью функций. Функция – одно из основных математических и общенаучных понятий, выражающее зависимость между переменными величинами. Но это понятие сложное для изучения и понимания. А где нужна функция? Где она присутствует в нашей жизни?

Функции являются спутниками многих процессов и явлений жизни, науки, техники, природы. Многие величины взаимосвязаны друг с другом, а функции как раз и выражают на математическом языке зависимости между ними.

В курсе алгебры 7 – 9 классов изучаются следующие функции:

1)  линейная  ;

2)  квадратичная ;

3)   обратная пропорциональность  ;

4)   степенная ;

5)  модуль   .

В учебниках алгебры функции вводятся на задачах, например, линейная функция может вводиться с помощью следующих задач:

1)                На шоссе расположены пункты А и В, удаленные друг от друга на 20 км. Мотоциклист выехал из пункта В в направлении, противоположном А, со скоростью 50 км/ч. Если обозначить буквой s расстояние (в километрах) мотоциклиста до пункта А, то зависимость этого расстояния от времени движения можно выразить формулой  .

2)                Ученик купил тетради за 3 копейки за штуку и ручку за 35 копеек. Стоимость покупки зависит от числа тетрадей. Если обозначить число тетрадей буквой x, а стоимость покупки буквой y, то эту зависимость можно выразить формулой .

Таких примеров различных линейных зависимостей из жизни можно привести очень много: зависимость расхода бензина  автомобиля от пройденного пути; зависимость стоимости покупки  от количества товара; зависимость  объема работы  от времени работы (при постоянной  производительности труда); зависимость платы за электроэнергию  от количества потребленной электроэнергии; зависимость массы семян  от посевной площади  (при постоянной норме высева); зависимость расходов на питание  от количества членов семьи; зависимость массы порошка  от объема воды для стирки; зависимость количества прочитанных страниц от времени чтения (при постоянной скорости чтения). Это зависимости из нашей повседневной жизни.

Можно рассмотреть зависимости различных величин из медицины, биологии, физики, экономики.

Задачи с практическим содержанием (прикладные) – это задачи, поставленные вне математики и решаемые математическими средствами.

С помощью прикладных задач по теме «Функции»  можно не только увидеть функции в разных процессах и явлениях, но и осознать связь математики со многими науками.

Рассмотрим медицинскую задачу: сколько килокалорий в день нужно потреблять человеку весом 75 кг, чтобы не прибавлять в весе? В медицинской науке установлено, что для содержания каждого килограмма своего веса  человеку необходимо 22 ккал. Получается линейная зависимость нормы ежедневно потребляемых килокалорий от веса человека. Эта задача решается математическим способом: , где  – норма ежедневно потребляемых килокалорий,  – вес человека (в килограммах).  Если вес человека 75 кг, то  ккал. Этот пример демонстрирует связь медицины и математики.

Трудности в усвоении и понимании сущности понятия функции могут быть связаны с малым количеством прикладных задач в школьных учебниках по этой теме. Поэтому требуются дополнительные задачи.  Я составила сборник прикладных задач по функциям, изучаемым в 7 – 9 классах. Задачи, представленные в сборнике, помогают формировать у учащихся понятие функции, понятия зависимой и независимой переменной, умение работать с графиком функции и отвечать на вопросы по графику. Также прикладные задачи знакомят учащихся с большим многообразием зависимостей между различными величинами, расширяют кругозор учащихся. Я думаю, что такие задачи  могут побуждать учащихся к самостоятельному поиску зависимостей вокруг нас.

Сборник прикладных задач по теме «Функции»

Линейная функция

1)       Температуру можно измерять по шкале Фаренгейта и по шкале Цельсия, причем зависимость между ними определяется формулами: , . Постройте графики этих функций. Найдите:  при ;   при .

2)       Нормальный вес человека m (кг) при данном росте r (см) вычисляется по формуле . Постройте график этой функции. Найдите нормальный вес при росте 150 см, 160 см, 173 см.

3)    Сжатие x пружины пропорционально приложенной силе F (т.е. ). Для сжатия пружины на 3 см нужна сила 10 Н. Какая сила потребуется для сжатия пружины на 5 мм? Постройте график зависимости длины пружины от приложенной силы, если длина пружины в состоянии покоя равна 50 см.

4)       При бороновании 1 га пахоты трактор расходует 1,3 кг горючего. Составьте формулу для вычисления зависимости расхода горючего М (кг) от площади поля S (га). Постройте график зависимости М от S.

5)       Норма высева пшеницы 170 кг/га. Найдите зависимость расхода семян m от засеянной площади S. Постройте график полученной зависимости. Сколько семян потребуется для посева на площади 10 га, 25 га, 0,5 га?

6)       Затраты на перевозку одного и того же груза двумя разными видами транспорта определяются формулами , где x – расстояние в км,  – стоимость перевозки в руб. Постройте графики этих функций. При каких значениях х выгоднее пользоваться первым видом транспорта? Начиная с какого расстояния экономичнее (выгоднее) становится второй вид транспорта?

7)       Основной месячный заработок рабочего 16000 руб. За производство сверхплановой продукции стоимостью 1000 руб ему дополнительно выплачивается 190 руб. Составьте уравнение зависимости общего месячного заработка от стоимости произведенной им сверхплановой продукции.

8)       Трактор стоит 1,8 млн. руб., а годовая амортизация (износ) составляет 0,28 млн. руб. Выразите стоимость трактора в зависимости от времени его эксплуатации.

9)       Зависимость между длиной окружности и ее диаметром определяется формулой . Определите длину окружности с диаметром 3 см, 21 см, 34 см. Каков диаметр окружности, если ее длина равна 14 см, 56 см,  см?

10)  Плотность гранита составляет 2600 кг/ м³. Выразить массу m как функцию от его объема V. 1)Найдите значение функции при V=1,5 (м³), V=10 (м³). 2) Каков должен быть объем гранита, чтобы его масса была 5,2 ц, 7,8 т?

11)   На складе было 400 т угля. Ежедневно на склад привозили еще по 50 т. Выразить формулой зависимость количества угля р (в тоннах) от времени t (в днях).

12)  Турист проехал от города 10 км  на автобусе, а затем продолжал движение в том же направлении пешком со скоростью 5 км/ч. На каком расстоянии y турист был от города через х часов ходьбы?

13)   Велосипедист движется со скоростью 10 км/ч. Записать формулу его пути s за время движения t. Построить график движения на первых пяти километрах пути.

14)  Плотность железа равна 7,8 г/ см³. Записать формулу массы m железа объема v. Построить график этой зависимости.

15) При начале нагревания вода в кипятильнике имела температуру 6 . При нагревании температура воды повышалась каждую минуту на 2 . Найти формулу, выражающую изменение температуры Т воды в зависимости от времени t ее нагревания. Будет ли функция Т(t) линейной? Чему равны Т(20), Т(31)? Через сколько минут после начала нагревания вода закипит?

16)  Книга стоит 2 тыс. р. Выразить формулой зависимость между купленным числом n экземпляров этой книги и уплаченной суммой y, выраженной в тысячах рублей. Чему равно y(6), y(11)?

17)  Каждую секунду в бассейн поступает 0,5  воды. Сколько кубометров воды станет в бассейне через х с, если сейчас в нем 120  воды? Задайте формулой зависимость объема воды в бассейне от времени его наполнения.

18)  Бригада по плану должна изготовить 150 деталей за смену. Однако она перевыполнила план на х %. Составьте формулу, выражающую зависимость у (число изготовленных бригадой деталей) от х. Найдите по формуле: а) значение у, если х = 10; 30; б) значение х, если у=150; 180.

19)  Масса одного гвоздя равна 5 г, а масса пустого ящика равна 400 г. Какова масса m (в граммах) ящика, в котором лежит х гвоздей? Составьте формулу, выражающую зависимость m от х.

20)            Скорость распространения звука в воздухе в зависимости от температуры может быть найдена приближенно по формуле

v=331+0,6t, где v – скорость (в м/с), t – температура ( в градусах Цельсия ). Найдите, с какой скоростью распространяется звук в зимний день с температурой – 35 и в летний день с температурой +30.

Функция обратная пропорциональность

1)    В цилиндре под поршнем при постоянной температуре находится газ. Объем V (литров) газа при давлении p (атмосфер) вычисляется по формуле  .  а) Найдите объем, занимаемый газом при 4 атм; 5 атм; 10 атм. б) Вычислите, при каком давлении газ имеет объем 3л; 5л; 15л.  в) Постройте график зависимости объема газа от его давления.

2)   Сила тока в реостате I (в амперах) вычисляется по формуле , где U – напряжение (в вольтах), R – сопротивление (в омах).  а) Постройте график зависимости I (R) при U=6. б) По графику приближенно найдите: силу тока при сопротивлении 6 Ом, 12 Ом, 20 Ом, сопротивление реостата при силе тока 10А, 5А.

3)    Для засева поля имеется 600 кг овса. Какова зависимость посевной площади от нормы высева овса? Запишите уравнение зависимости. Какую площадь поля можно засеять при норме высева 100 кг/га, 120 кг/га, 200 кг/га?

4)    Рабочему требуется изготовить 320 деталей. Какова зависимость времени работы рабочего от производительности труда в час? Запишите уравнение зависимости. Сколько времени будет работать рабочий при производительности 40 дет/ч, 60 дет/ч, 80 дет/ч? Какова производительность труда рабочего, если он выполняет всю работу за 5 ч, за 8 ч, за 2,5 ч?

5)    Двигаясь равномерно,  автомобиль прошел путь в 120 км. Записать формулу зависимости времени движения t  от его скорости V. Найти t(60); t(45); t(50).

6)  Двигаясь со скоростью V , поезд проходит расстояние между городами А и В, равное 600 км, за t ч. Запишите формулу, выражающую зависимость: а) V от t; б) t от V.

7)     Прямоугольный параллелепипед со сторонами основания а см и b см и высотой 20 см имеет объем, равный 120 . Выразите формулой зависимость b от а. Почему эта зависимость является обратной пропорциональностью? Какова область определения этой функции? Постройте график.

8)  Расстояние между городами А и В равно 600 км. Первый поезд вышел из А в В и шел со скоростью 60 . Второй поезд вышел из В в А на 3 ч позже, чем первый из А, и шел со скоростью V . Поезда встретились через t часов после выхода первого поезда. Выразите V через t. Найдите скорость V при t=7; t=6.

Квадратичная функция

1)    Маятник, имеющий длину  (м), качается с периодом Т (с) по закону  , где   – ускорение свободного падения. Выведите формулу, выражающую зависимость  от Т. Вычислите длину нити для маятника, который имеет период качания 1, 2, 3, 4, 5 с. Начертите график этой зависимости.

2)       Постройте на одном чертеже графики зависимости мощности Р электрического тока от силы тока для следующих значений сопротивления R на участке цепи: 1, 2, 5, 10 Ом. (Мощность электрического тока равна ).

3)    Тело, брошенное вертикально вверх со скоростью , движется по закону . Если взять , то . Постройте график этой функции для . По графику определите, какой максимальной высоты достигнет тело. Когда оно будет на высоте 15 м? Может ли достичь высоты 30 м?

4)    Объем V (л) усеченного конуса с высотой  дм и диаметром одного основания  дм выражается функцией , где d – диаметр второго основания (дм). Постройте график этой функции для  . Определите по графику приближенные значения d, при которых объем принимает целые значения от 1 до 8 л.

5)    Высота воды в сосуде с отверстием в дне убывает по закону , где t – время (мин), Н – высота (см). Постройте график этой функции. Определите по графику, когда уровень воды опустился до 10, 5, 2, 0 см.

6)       Мальчик, стоя на склоне горки в 16 м от ее основания, ударил по футбольному мячу. Мяч катился вверх 3 с и укатился на 9 м. Через какое время он скатится с горки? (Равноускоренное движение описывается законом ).

7)    Сопротивление поезда при движении изменяется по закону . При какой скорости сопротивление будет минимальным?

8)       Для некоторой реки экспериментально установили следующую зависимость скорости течения реки  (м/с) от глубины  (м):

 . Найдите максимальную глубину реки (т.е. глубину, где ) и глубину с максимально сильным течением.

9)    Участок прямоугольной формы, примыкающий к стене дома, требуется огородить с трех сторон забором длиной 12 м. Какими должны быть размеры участка, чтобы площадь его была наибольшей?

10)  Площадь круга S () вычисляется по формуле S= π, где r- радиус круга (см). Постройте график функции S= π и найдите по графику: а) площадь круга, если его радиус равен 1,3; 0,8; 2,1 см;
б) радиус круга,  площадь которого равна 1,8; 2,5; 6,5 .

11)  В треугольнике сумма основания и высоты, опущенной на это основание, равна 14 см. Может ли такой треугольник иметь площадь, равную 25 ?

12)  Площадь поверхности куба y () зависит от ребра куба х (см). Задайте формулой функцию у=f(х). Постройте ее график и найдите по графику: а) поверхность куба, если его ребро равно 0,9; 1,5; 1,8 см;
б) длину ребра, если поверхность куба равна 7; 10; 14 .

Степенная функция

1)   Площадь круга может быть вычислена по формуле  S=π,  где r – радиус круга, или по формуле  S= , где d- диаметр круга. Задайте формулой зависимость: а) r от S; б) d от S.

2)   Площадь поверхности шара радиуса R вычисляется по формуле  S=4π. Задайте формулой зависимость R от S.

3)    Выразите формулой зависимость массы m деревянного куба (г) от длины х его ребра (см), если известно, что куб, ребро которого 10 см, имеет массу 700 г. Постройте график этой зависимости. Пользуясь графиком,  найдите: а) массу куба, ребро которого равно 2 см; 5 см;
б) ребро куба, масса которого равна 30 г; 100 г.

4)    В практике машиностроения деталь изготовляется с некоторым допуском, оговоренным стандартами. Например, при сверлении отверстия диаметра d (мм) допустимое отклонение δ (мк) от величины номинального размера вычисляется по формуле
. Составьте таблицу допусков δ в микронах (мк) для диаметров от 10 до 100 мм с шагом 10 мм. (1 мк=0,001 мм).

5)  Запишите формулой зависимость объема V куба от длины ребра . Постройте график функции. Найдите V куба, если его ребро равно 1 см, 1,5 см. Найдите длину ребра куба, объем которого равен 8 .

Краткое описание документа:

Задачи с практическим содержанием (прикладные) – это задачи, поставленные вне математики и решаемые математическими средствами. С помощью прикладных задач по теме «Функции» можно не только увидеть функции в разных процессах и явлениях, но и осознать связь математики со многими науками.

Трудности в усвоении и понимании сущности понятия функции могут быть связаны с малым количеством прикладных задач в школьных учебниках по этой теме. Поэтому требуются дополнительные задачи. Я составила сборник прикладных задач по функциям, изучаемым в 7 – 9 классах.