Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Использование производной для решения уравнений и неравенств

Использование производной для решения уравнений и неравенств



  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Использование производной для решения

уравнений и неравенств

Бирагова Л.Л.МБОУ лицей г.Владикавказ

При решении уравнения или неравенства часто бывает полезно доказать возрастание (убывание) на некотором промежутке функций, в него входящих. При этом часто пользуются производными.

Пример 1.

Решим уравнение

hello_html_43ad78a1.gif. (1)

Решение.

Рассмотрим функцию hello_html_50df928e.gif. Область существования этой функции есть промежуток hello_html_7628836f.gif. Функция f(x) имеет внутри промежутка Х положительную производную hello_html_m3a6e7a32.gif.

Следовательно, функция f(x) возрастает на промежутке Х, и так как она непрерывна на этом промежутке, то каждое свое значение она принимает ровно в одной точке. А это означает, что уравнение (1) имеет не более одного корня. Легко видеть, что число hello_html_6644cc5.gif удовлетворяет уравнению (1). Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень hello_html_m7d400f82.gif.

Ответ: -1.


Пример 2.

Решим неравенство

hello_html_m3b8e851a.gif(2)

Решение.

Рассмотрим функцию f(x)= hello_html_m6c9117ae.gif. Поскольку эта функция на интервале X=hello_html_4c5ef228.gif имеет производную hello_html_1bc87a88.gif, которая положительна на этом интервале, то функция f(x) возрастает на интервале Х. Так как функция f непрерывна на интервале Х, то каждое свое значение она принимает ровно в одной точке. Следовательно, уравнение f(x)=0 может иметь не более одного корня. Легко видеть, что число hello_html_6790bba6.gif является корнем уравнения f(x)=0. Поскольку функция f(x) непрерывна и возрастает на интервале Х, то f(x)<0 при x<0 и f(x)>0 при x>0. Поэтому решениями неравенства (2) являются все х из промежутка hello_html_m3843c67e.gif.

Ответ: hello_html_m3843c67e.gif.


Пример 3.

Выяснить, сколько действительных корней имеет уравнение:

hello_html_7626f5f1.gif. (1)


Решение.

Рассмотрим функцию hello_html_3817a05c.gif. Она на интервале hello_html_422540f3.gif имеет производную hello_html_b91b5d0.gif.

Производная обращается в нуль точках: hello_html_7e0e6738.gif и hello_html_1f8e3c74.gif. Так как hello_html_273d3495.gif для любого х из интервалов hello_html_30a3d99a.gif и hello_html_6cafe4ad.gif, то на каждом из промежутковhello_html_4c6080ad.gif и hello_html_5b2dd2e5.gif функция hello_html_m7ab13190.gif возрастает. Так как hello_html_73e266fe.gif для любого х из промежутка hello_html_67661c96.gif, то на промежутке hello_html_m957edeb.gifhello_html_m53d4ecad.gifфункция hello_html_m7ab13190.gif убывает.

Так как hello_html_m2958f2e5.gif, hello_html_m2dc729cd.gif, hello_html_729be9ed.gif, hello_html_m55421920.gif и функция hello_html_m7ab13190.gif непрерывна на каждом из интервалов hello_html_3423ed41.gif, hello_html_706be73f.gif и hello_html_m585bb0a8.gif, то на каждом из них есть единственная точка, в которой эта функция обращается в нуль. Следовательно, функция имеет три нуля, т.е. уравнение (1) имеет три действительных корня.

Ответ: три действительных корня.



Пример 4.

Решить уравнение:

hello_html_afd8ad5.gif(1)

Решение.


Обе части уравнения (1) определены на отрезке hello_html_1a19acc5.gif. Рассмотрим функцию

hello_html_m2676c667.gif.

Эта функция на интервале hello_html_5a9138d8.gif имеет производную

hello_html_79b2a18e.gif,

которая обращается в ноль в единственной точке hello_html_m3c01eb8a.gif.Так как функция hello_html_m7ab13190.gif непрерывна на отрезке hello_html_1a19acc5.gif, то она достигает на этом отрезке наибольшего и наименьшего значений. Они находятся среди чисел hello_html_4f9410b2.gif, hello_html_464f4d5b.gif, hello_html_25dc439b.gif.

Так как hello_html_7e680520.gif, то наибольшее значение 2 на отрезке hello_html_1a19acc5.gif функция достигает в единственной точке hello_html_m3c01eb8a.gif. Следовательно, уравнение (1) имеет единственный корень hello_html_m3c01eb8a.gif.

Ответ: 3.









Автор
Дата добавления 15.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров370
Номер материала ДВ-261210
Получить свидетельство о публикации

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх