Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Использование табличного процессора MS EXCEL при изучении избранных вопросов математики

Использование табличного процессора MS EXCEL при изучении избранных вопросов математики


  • Математика

Документы в архиве:

39.5 КБ Бином.xls
49.5 КБ Гармоник.xls
136 КБ Гиперб_параб.xls
30 КБ ЗАКЛЮЧЕНИЕ.doc
435.5 КБ ЗАМКРИВ1.xls
55 КБ Задачи_комб.xls
27.5 КБ Касательная.xls
281 КБ Крамер.xls
26.5 КБ ОГЛАВЛЕНИЕ.doc
29.5 КБ Реш_треуг1.xls
1.85 МБ Сопровождение.doc
105.5 КБ Титул.doc
42 КБ квур.xls
30 КБ метод_реком.doc
57 КБ поясн_записка.doc

Название документа ЗАКЛЮЧЕНИЕ.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

ЗАКЛЮЧЕНИЕ


Данные приложения нельзя считать поурочными планами, в которых расписано всё, - от цели урока до его закрепления. Скорее это краткое описание того фактического материала, которое может быть переработано учителем по своему усмотрению. Как подать материал, какие применить приёмы, на что обратить большее внимание, какую часть материала объяснить учителю, а какую отдать ученикам для самостоятельной работы, - все эти вопросы необходимо рассмотреть учителю уже в ходе самой работы. Причиной тому является неисследованность методики преподавания подобного курса со всеми его дидактическими, методическими и чисто психологическими аспектами.

Исходя из своего опыта, могу лишь обратить внимание на некоторые моменты общего характера, которые так или иначе проявились при ведении этого курса в 2002 – 2003 учебном году в 10 классе.

  1. Совсем необязательно начинать каждую тему с математической «увертюры». Такие темы, как «Решение систем линейных уравнений методом Крамера», «Треугольник Паскаля», «Циклоида» могут быть рассмотрены с другого конца. И лишь потом можно будет подвести под эту тему математический «soft».

  2. Программа с точной разбивкой по часам (стр.5) условна. Так как некоторые темы не связаны между собой математическим содержанием, то придерживаться точной последовательности, указанной в программе, необязательно. Можно, например, «разбавить» блок тем, связанных со школьной математикой, такими темами, как «Замечательные кривые».

  3. При изучении этого курса учащиеся пользуются теми навыками работы в электронных таблицах, которые они получили в пользовательском курсе. Но в ходе работы приходилось возвращаться (и не раз) к синтаксису языка электронных таблиц. Элементы пользовательского курса будут присутствовать постоянно, так как тематика курса разнообразна, а следовательно и подходы к решению этих задач влекут за собой применение самых разнообразных средств, предоставляемых электронными таблицами Microsoft Excel.

  4. Совсем не проработан вопрос о контроле знаний. По каким критериям оценивать работу учащихся? Мною была придумана система «МИД», по которой за каждую выполненную работу выставлялись три оценки: за Математику, Информатику и Дизайн. Хотя учащимся и выдавалась уже оформленная карточка-задание, они вправе были привнести в свою работу что-то своё (интервалы, вводимые параметры, размещение на листе, цветовое решение). И такой подход, как мне кажется, принёс интересные (неожиданные) результаты. Выявились в группе три полюса: «математики», «информатики» и «дизайнеры». Но это явление требует специального исследования.

  5. При изучении блока тем «Замечательные кривые» можно подойти дифференцированно: одним учащимся дать для работы карточку-задание, например, «Эпициклоида», другим — «Гипоциклоида». Потом сравнить полученные результаты. Или посадить за один компьютер для совместной работы «информатика» и «дизайнера». Насколько плодотворен будет этот тандем? Для решения наиболее сложных задач необходимо организовывать такие комбинации, как «математик» - «информатик».

  6. Каждому учащемуся необходимо иметь свою личную дискету, где накапливался бы тот материал, который был ими изучен. На заключительном занятии лучшие работы, можно продемонстрировать с помощью программы создания презентаций Power Point. Это придаст всей работе за год логическую завершённость.












В перспективе мною планируется включить в этот курс (рассчитанный на 68 часов) некоторые вопросы теории вероятности и построение поверхностей средствами электронных таблиц Microsoft Excel.
















ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА


  1. Выгодский М. Я., Справочник по высшей математике для ВУЗов и ВТУЗов, изд. «Большая медведица», Москва, 2001 г.

  2. Лаурелл С. (пер. с англ.), «Компьютерные фантазии», изд. «Питер», Санкт-Петербург, 1998 г.

  3. Кирк Н., Кирк Ю., «Оцифрованная мечта», изд. «Джангар», Москва, 2000 г.

  4. Лютикас В. С., Факультативный курс по математике. Теория вероятности, изд. «Просвещение», Москва, 1990 г.



63


Название документа ОГЛАВЛЕНИЕ.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

ОГЛАВЛЕНИЕ

страницы


Пояснительная записка ……………………………………………………… 1

Введение …………………………………………………………………….… 3

Программа элективного курса ……………………………………..……….. 5

Приложения ……………………………………………………………..…….. 6

  • Решение треугольников ……………………………………….……… 8

  • Графическое решение квадратных уравнений ……………………. 10

  • Гармонические колебания …………………………………………… 14

  • Построение касательной к графику функции …………………….. 16

  • Матрица. Действия над матрицами. Метод Крамера ……….…… 18

  • Основные формулы комбинаторики. Решение задач ……………. 22

  • Треугольник Паскаля ………………………………………………… 24

  • Нормальное распределение ………………………………………….. 26

  • Бином Ньютона ……………………………………………………….. 28

  • Параметрическая форма задания функции. Замечательные кривые .. 31

  • Строфоида …………………………………………………… 32

  • Циссоида Диокла …………………………………………… 34

  • Лемниската Бернулли ………………………………………. 36

  • Улитка Паскаля (кардиоида) ………………………………. 38

  • Верзьера Аньези ……………………………………………. 40

  • Декартов лист ………………………………………………. 42

  • Фигуры Лиссажу …………………………………………… 44

  • Эвольвента (развёртка круга) ……………………………… 46

  • Трактриса ……………………………………………………. 48

  • Цепная линия ……………………………………………….. 50

  • Логарифмическая спираль …………………………………. 52

  • Циклоида …………………………………………………….. 54

  • Эпициклоида и гипоциклоида …………………………….. 56

Заключение …………………………………………………………………… 61

Используемая литература …………………………………………………… 63




Название документа Сопровождение.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

СТРОФОИДА

(от греческого «строфе» — поворот)


Впервые была рассмотрена Робервалем (Г. Персонье) в 1645 году под именем птероиды (греч. «птерон» — крыло).


Природа образования: проекция винтовой линии (на цилиндре) на плоскость. В случае расположения винтовой линии на конусе получаем косую строфоиду.


Проявления:

  1. движение естественных спутников планет-гигантов;

  2. график зависимости между численностью поголовья диких лошадей и их рождаемостью;

  3. зависимость массы тела птицы от площади крыльев (если характеристики птицы соответствуют точкам внутри петли, то птица не может летать).


Классическое уравнение: y2(x-a)-2x2ycos d + x2(a+x)=0

или hello_html_1d6a574d.gif.

Уравнение в полярной системе координат: hello_html_m2f1d8705.gif.

Параметрическая форма задания функции:


hello_html_284d362f.gif


где u=tg hello_html_m4ef7215e.gif.


Формулы


в ячейке А9 =-ПИ()/2+$E$6

в ячейке А10 =A9+$E$6

в ячейке С9 =$G$6*(B9^2-1)/(B9^2+1)

в ячейке D9 =$G$6*B9*(B9^2-1)/(B9^2+1)


В ячейке E6 задаётся шаг построения по формуле =ПИ()/20. Делитель 20 подобран экспериментально.





Циссоида диокла

(по гречески «киссоида» — от «киссос» —плющ).

Диокл — греческий учёный, живший во II веке до нашей эры.


Природа образования: в этой задаче требуется по данному ребру куба построить ребро другого куба, вдвое большего по объёму. Диокл ввёл эту линию для графического решения задачи об удвоении куба.


Проявления:

  1. зависимость между грузоподъёмностью автомобиля и размерами его кузова;

  2. зависимость между массой транспортного средства и длиной его тормозного пути.


Кhello_html_1cc0f517.gifлассическое уравнение: hello_html_1bafa03b.gif.

Уравнение в полярной системе координат:


hello_html_m60d69164.gif


Параметрическая форма задания функции:


Формулы

Уравнение в полярной системе координат:


hello_html_71aa231f.gif

Параметрическая форма задания функции:



Формулы


ВЕРЗЬЕРА АНЬЕЗИ

локон» Аньези).

Versiera — ведьма (итал.).

Линия названа в честь итальянского ученого Марии-Гаэтаны Аньези (1718-1799), которая рассматривала эту линию в руководстве по высшей математике, пользовавшемся в своё время широким распространением.


Эта линия впервые встречается у Ферма, который в 30-х годах XVII века нашёл площадь, ограниченную дугой этой линии, двумя ординатами и осью асбцисс.


Проявления:

  1. осевое сечение гор вулканического происхождения;

  2. зависимость между напряжённостью магнитного поля и расстоянием до точки полюса.

hello_html_m5f8cecf7.gif

Классическое уравнение:



Формулы


В ячейке B6: =$B$3^3/($B$3^2+A6^2)


Верзьеру Аньези часто называют псевдоциклоидой, имея ввиду тот факт, что точка, описывающая эту линию, принадлежит катящейся окружности, у которой при движении меняется радиус.


















УЛИТКА ПАСКАЛЯ (КАРДИОИДА)


Термин «улитка Паскаля» предложен Робервалем, современником и другом Этьена Паскаля, - отца известного французского учёного Блеза Паскаля.

Термин «кардиоида», т. е. «сердцеобразная», введён Кастиллоном в 1741 году.

Классическое уравнение: (x2 + y2 - ax)2 = l2(x2 + y2)

hello_html_176ad5aa.gif

Уравнение в полярной системе координат: hello_html_m53d4ecad.gif

hello_html_7d378211.gif

Параметрическая форма задания функции:



Формулы


Когда l : a = 1, внутренняя петля стягивается к полюсу и превращается в точку возврата


а - диаметр основного образующего круга.


Площадь кардиоиды равна шестикратной площади основного круга.


Длина всей кардиоиды составляет 8а, т. е. равна восьмикратному диаметру основного круга.















ЛЕМНИСКАТА БЕРНУЛЛИ


В 1694 году выдающийся швейцарский учёный Яков Бернулли в работе, посвящённой теории приливов и отливов, использовал в качестве вспомогательного средства линию, которую он задавал уравнением:

hello_html_70e391.gif

Он отмечает сходство этой линии с цифрой 8 и с узлообразной повязкой, которую он «лемниском». Отсюда название лемниската.


Природа образования.

Лемниската есть геометрическое место точек, для которых произведение расстояний до концов данного отрезка F1F2=2c равно с2.


Классическое уравнение: (x2 + y2)2 = 2c2(x2y2).

hello_html_7f2f2a69.gif

Уравнение в полярной системе:


hello_html_m4ae57911.gif

Параметрическая форма задания функции:



Формулы


U

X

Y

=-ПИ()/4

=КОРЕНЬ(TAN(ПИ()/4+A7))

=-$H$3*КОРЕНЬ(2)*(B7+B7^3)/(1+B7^4)

=$H$3*КОРЕНЬ(2)*(B7-B7^3)/(1+B7^4)

=A7+$D$3

=КОРЕНЬ(TAN(ПИ()/4+A8))

=-$H$3*КОРЕНЬ(2)*(B8+B8^3)/(1+B8^4)

=$H$3*КОРЕНЬ(2)*(B8-B8^3)/(1+B8^4)


Параметр u связан с hello_html_m4ef7215e.gifсоотношением hello_html_m7c9ca859.gif.

Шаг h подобран экспериментально.


При вводе различных значений a и с получим целое семейство «лемнисков», которые определяют зависимость между скоростью приливов и отливов и уровнем поверхности воды.

В 1718 году итальянский учёный Джулио Карло Фаньяно установил, что лемниската определяет скорость движения материальной точки при вращении её внутри эллипса (круга). При повороте плоскости вращения до горизонтальной плоскости лемниската вырождается в отрезок.





ФИГУРЫ ЛИССАЖУ


Природа образования.

Если точка совершает сразу два гармонических колебания в двух взаимно-перпендикулярных направлениях, то получим фигуру, которая названа в честь французского математика Ж. Лиссажу (1822-1880).

Эти фигуры можно увидеть на экране катодного осциллографа.

Проявления:

  1. при расчёте принципиальных радиосхем используют характеристики, которые получают из графиков фигур Лиссажу;

  2. напряжённость электромагнитного поля, заключённого в замкнутом пространстве, определяется по параметрическим формулам фигур Лиссажу.


Уравнение в полярной системе координат можно предложить вывесим самим учащимся.

hello_html_m6363f2bd.gif

Параметрическая форма задания функции:


Формулы

R2 = 2ks, где k — радиус окружности.

hello_html_509b946b.gif

Полярное уравнение эвольвенты:


hello_html_7701e0e9.gif

Параметрические уравнения:



Формулы

Параметрические уравнения:



Формулы

Формулы







ЭПИЦИКЛОИДА И ГИПОЦИКЛОИДА


Природа образования.

Как эпициклоида, так и гипоциклоида есть линия, которую описывает точка, закреплённая в плоскости круга радиуса r (производящий круг), когда этот круг катится без скольжения по неподвижной окружности радиуса R (направляющий).

Если касание этих кругов происходит с внешней стороны, мы будем иметь эпициклоиду. Если же касание происходит с внутренней стороны, получаем гипоциклоиду.

hello_html_m61b9e236.gifhello_html_198b7601.gif




Параметрическая форма задания функции:

hello_html_m5124a9f.gifhello_html_m687a6f46.gif




Для эпициклоиды. Для гипоциклоиды.

Уравнения получаются одно из другого заменой r на -r и d на -d.

В данных формулах d — есть расстояние от центра производящего круга до производящей точки.

В случаях, когда d > r, получаются удлинённые эпициклоиды и гипоциклоиды., которые называются перициклоидами.


Формулы(эпициклоида)

Сам алгоритм Евклида реализован в ячейках L10:L308 по формуле : =ЕСЛИ(K10=L10;"";ЕСЛИ(L10>K10;L10-K10;L10)).

ТРАКТРИСА


Природа образования.

Французский врач Клод Перро в 1693 году предложил ряду математиков такую задачу; один конец нерастяжимой нити прикреплён к материальной точке, лежащей на горизонтальной плоскости; другой конец движется по прямой, лежащей в этой же плоскости. Какую линию опишет материальная точка, увлекаемая натянутой нитью?


hello_html_m2a03530b.gifhello_html_m4722de11.gif


hello_html_m2e0f108a.gifhello_html_m45aa5ab7.gif

Проявления:

  1. основные законы баллистики подчиняются формулам, задающим трактрису;

  2. плотность распределения антител вокруг бактерий в живом организме определяется формулами трактрисы.



Задача была решена Лейбницем, который составил дифференциальное уравнение искомой прямой. Независимо от Лейбница и одновременно с ним задача была решена Гюйгенсом.

hello_html_3843dd26.gif

Натуральное уравнение :


hello_html_75e86fe0.gif

Параметрическая форма уравнений:



Формулы


ЦЕПНАЯ ЛИНИЯ


Природа образования.

Цепной линией называется линия, по которой провешивается однородная нерастяжимая нить, закреплённая в двух её концах.

В первоначальной постановке вопроса имелась ввиду линия провеса цепи, откуда и название «цепная линия». Заменяя цепь нитью, мы отвлекаемся от размера звеньев, трения.

Долго считалось, что при длине нити чуть больше расстояния между точками, дуга провеса является параболой. Но в 1669 году Юнгиус установил, что это не так.

Проявления.

  1. Профиль паруса, раздуваемого ветром, должен иметь форму цепной линии. Именно при этом условии скорость движения парусника будет наибольшей.

  2. В архитектуре; при строительстве арок используется цепная линия, так как собственный вес арки не действует на прогиб арки.

hello_html_66a99649.gif

Классическое уравнение:



Формулы

hello_html_m1f03b9b8.gifC

D

A B

hello_html_7e7304a2.gif






РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ


Данная тема рассматривается по программе в 9 классе на уроках геометрии и имеет обобщающий характер. Учащиеся должны знать все способы нахождения неизвестных элементов треугольника по данным задачи.

В карточке-задании учащимся предлагается к уже имеющимся формулам написать свои формулы. Для этого необходимо напомнить тот математический материал, который им будет необходим для написания формул. А некоторые формулы дать уже в готовом виде.


hello_html_183d0377.gifНапример, учащиеся не знают формулы прямой, проходящей через две данные точки:



Используя эту формулу, учащиеся должны найти уравнение прямой y=kx+b. Эта же формула будет необходима и при нахождении уравнений медиан треугольника.

Формулы


ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ


Данная тема рассматривается на уроках алгебры в 9 классе.

Учащимся необходимо напомнить, что значит квадратичная функция, какой у неё график, и что подразумевается под графическим решением.

Сначала строим график конкретной квадратичной функции с помощью мастера диаграмм. Когда учащиеся убедятся, что абсциссы точек пересечения параболы с осью OX и являются корнями соответствующего квадратного уравнения, тогда предлагаем сделать эту карточку-задание более «универсальной».

В таблице указаны формулы, которые можно применить для создания этого задания.


5

K14

=ЦЕЛОЕ(K11)

6

K15

=ОКРУГЛВВЕРХ(K12;0)

7

A18

=K14-1

8

A19

=ЕСЛИ(A18>$K$15;"";A18+1)

9

B18

=ЕСЛИ(A18="";"";$F$5*A18^2+$H$5*A18+$J$5)


Формулы в ячейках K11, K12, K13 и K14 определяют ближайшее целое число слева от X1 и справа от X2.

Формулы в ячейках А18 и А19 предназначены для автоматического вывода диапазона значений переменной Х.

В ячейке В18 происходит непосредственное вычисление значений квадратичной функции.

В блоке A7:J7 записывается внешний вид квадратного уравнения.

Во многих формулах используется условие «если», поэтому с учащимися необходимо повторить синтаксис этой структуры.

=если (условие;действие1;действие2)


где действие 1 выполняется, если условие верно, а действие 2, если условие неверно.




РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ


Невозможно охватить спектр всех видов тригонометрических уравнений, поэтому предлагается некий шаблон, с помощью которого можно решить тригонометрические уравнения какого-то одного вида.

A1x2+ B1x + C1

A Sin ( W1x + F1) + B cos ( W2x + F2) =

hello_html_7ec5c459.gif

A2x2+ B2x + C2


При вводе конкретных данных вместо A, B, W1, W2, F1, F2, A1, B1, C1, A2, B2, C2 можно получить довольно большой класс уравнений, начиная от простейших вида 2 sin 3x = 1 и заканчивая уравнениями, у которых в правой части стоят дробно-рациональные выражения.





Но и в первом и во втором случаях применяются одни и те же формулы.

Так как функция периодическая, то необходимо задать интервал, в котором будут определяться корни, иначе их может быть бесконечное множество.

В школьной программе нет таких формул, по которым можно было бы найти корни подобных уравнений, следовательно, задав определённую точность вычислений, можно надеяться лишь на производительность компьютера и правильность написания соответствующих формул.

При построении графиков используется тип диаграмм «точечная». Отдельно строится график левой и правой частей. В самой таблице происходит их сравнение по выбранной степени точности. Корни «высеиваются» в отдельной таблице.


ПРИЛОЖЕНИЕ № 20


ПОСТРОЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ

ФУНКЦИИ Y=AX2+BX+C


Классическое определение производной, как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, учащимся непонятен. Даже далеко неакадемическое определение, которое гласит, что это есть скорость изменения функции относительно аргумента, — тоже требует существенного уровня абстрактного мышления и богатого воображения. По этой причине, по-видимому, авторы школьных учебников прибегают к таким приёмам, как определение значения производной через её графические проявления. В каждом учебнике мы найдём примерно такое выражение, что значение производной функции y = f(x) в точке х0 равно тангенсу угла наклона между касательной, проведённой к графику этой функции в точке х0 и положительным направлением оси OX.

Уравнение касательной выглядит так: y = y0 + f’(x0)(xx0), где y0 = f(x0).

Так как касательная является прямой, т. е. определяется как график линейной функции y = kx + b, то мы можем средствами электронных таблиц в одной и той же системе координат построить сразу два графика: самой функции и касательной к ней. Достаточно найти k и b.

k = f’(x0), b = y0 – f’(x0)x0.

Используя мастер диаграмм и тип «точечная», строим оба графика в одной системе координат.


ФОРМУЛЫ


Y

Yкас.

=D6-3

=$D$5*A13^2+$F$5*A13+$H$5

=$C$10*A13+$E$10

=A13+1

=$D$5*A14^2+$F$5*A14+$H$5

=$C$10*A14+$E$10


Учащимся можно предложить найти тангенс угла между касательной и положительным направлением оси OX через отношение катетов какого-либо треугольника, который виден на чертеже.

Можно в одной и той же системе построить сразу несколько касательных к графику, чтобы увидеть динамику изменения угла наклона.


Примечание.

Квадратичную функцию при необходимости можно заменить на любую другую функцию.


ПРИЛОЖЕНИЕ № 19


ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ


Гармонические колебания по определению задаются формулой:

hello_html_4c8dc75b.gif


где А — амплитуда,

hello_html_7be7193e.gif — частота,

hello_html_m4ef7215e.gif начальная фаза.

Учащимся предлагается выполнить построение графика последовательно:

  1. у = sin x;

  2. y = A sin x;

  3. y = A sin wx;

  4. y = A sin ( wx + fi ).

Это довольно долгая рутинная работа, которая забирает львиную долю времени всего урока. С помощью электронных таблиц Microsoft Excel это делается быстрее, нагляднее и точнее. Более того, — график гармонического колебания становится интерактивным, т. е. появляется возможность оперативного изменения вводимых данных, которые сразу меняют график.

ФОРМУЛЫ


=ЕСЛИ(A8="";"";SIN(A8))

=ЕСЛИ(A8="";"";SIN($F$3*A8))

=ЕСЛИ(A8="";"";SIN($F$3*A8+$I$3))

=ЕСЛИ(A8="";"";$D$3*SIN($F$3*A8+$I$3))

=ЕСЛИ(ИЛИ(A8=$F$5+1;A8="");"";A8+0,1)

=ЕСЛИ(A9="";"";SIN(A9))

=ЕСЛИ(A9="";"";SIN($F$3*A9))

=ЕСЛИ(A9="";"";SIN($F$3*A9+$I$3))

=ЕСЛИ(A9="";"";$D$3*SIN($F$3*A9+$I$3))


Желательно при построении графиков определить интервал, в котором эти графики будут строиться.

Учащимся можно предложить построить график функции «наводки» одного гармонического колебания на другое. Например:

y = 10 sin ( 7x – 1 ) sin ( 5x + 1 ).

hello_html_4dfbbbea.gif Этот пример может продемонстрировать, — как на радиоволны могут повлиять другие радиоволны (электромагнитные помехи). Или сравнить, —как выглядят кардиограммы здорового и больного человека (механические колебания).







ПРИЛОЖЕНИЕ № 13

ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ


Назван в честь знаменитого французского философа, математика и физика Блеза Паскаля (1623-1662).

Природа образования.

Треугольник Паскаля представляет собой формально стилизованные «под треугольник» (в смысле размещения на листе бумаги) ряды чисел, которые обладают многими интересными свойствам:

  1. каждый «внутренний» элемент является числом, полученным сложением двух соседних элементов, стоящих на один ряд выше;

  2. по «сторонам» треугольника (крайние элементы каждого ряда) стоят единицы;

  3. сумма всех элементов n - го ряда всегда равна 2n;

  4. элемент, стоящий в n – м ряду на m – м месте равен числу сочетаний из n элементов по m;

  5. каждый элемент треугольника является биномиальным коэффициентом в разложении бинома Ньютона.


Начать объяснение материала можно с хорошо известных ученикам формул сокращённого умножения:

(a + b)0 = 1;

(a + b)1 = a + b;

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2;

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4;

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5;

………………………………………………….. и т. д.

Учащиеся должны увидеть ту закономерность, по которой появляются коэффициенты при каждом разложении двучлена.

Исходя из свойств 1. и 4. можно вывести формулу, которая называется равенством Паскаля:

hello_html_4892ac2f.gif


Сhello_html_m4331a8.gif помощью мастера диаграмм построим точечный график какого-либо ряда треугольника Паскаля.

Пусть n = 7. Полученный график имеет прямое отношение к теории вероятности, в частности к такому фундаментальному понятию, как нормальное распределение. Впервые такой график был построен французским математиком А. Муавром (1667 – 1754).




НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

В 1718 году французский математик А. Муавр в своей книге «Учение о случаях» опубликовал материал, которое впоследствии назвали учением о нормальном распределении. Была открыта закономерность, которая очень часто наблюдается в случайных явлениях. Ему же принадлежит слава введения понятия независимости событий, открытия теоремы умножения вероятностей.

Муавр измерил рост у 1375 случайно выбранных женщин. Результат изображён на диаграмме

Данная функция определяет закон нормального распределения. Этот закон имеет важное практическое применение. Оказывается, что так распределяется скорость газовых молекул, вес новорождённых и много других случайных событий физической и биологической природы.

Но наибольшее применение этот закон имеет в комбинаторике и теории вероятности. Именно по этому закону распределяются коэффициенты в треугольнике Паскаля и биноме Ньютона. Именно этот закон определяет другой закон — закон больших чисел.

Нормальное распределение имеет прямое отношение к таким физическим явлениям, как цепная реакция, электромагнитные колебания, сопротивление материалов.






ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ.


Всякую переменную величину t, определяющую положение точки на некоторой линии, называют параметром. В механике в качестве параметра рассматривается чаще всего время.

Координаты точки, лежащей на линии, являются функциями параметра:

x = f ( t ), y = g( t ).

Такие уравнения называются параметрическими уравнениями линии. Если необходимо найти уравнение, связывающее координаты x, y, надо исключить t из этих уравнений.

Рассмотрим пример.

hello_html_m6b7991d5.gif Положение точки М на окружности радиуса R определяется величиной угла φ, так что φ есть параметр. Расположив оси координат так, чтобы начало координат оказалось в центре окружности, получим параметрические уравнения:

X = R cos φ,

Y = R sin φ

Чтобы исключить φ, возведём левые и правые части в квадрат и сложим:

x2 + y2 = R2.

Параметрическая форма задания функции применима в тех случаях, когда классическая форма определения не позволяет полностью (или вообще) исследовать её или выявить её свойства.

Например: движение материальной точки, брошенной под углом к горизонту:

x = v0t, y = gt2

Эти уравнения выражают, что по горизонтальному направлению точка движется равномерно со скоростью v0, а по вертикальному — равномерно-ускоренно (g – ускорение земного тяготения).

hello_html_29965052.gif Исключая t, найдём уравнение



показывающее, что движение происходит по параболе.





Наиболее эффектно параметрическая форма задания функции проявляет себя при построении графиков таких функций, изучение которых выходит за рамки школьного курса математики. Существует довольно большой класс замечательных функций, графики которых можно построить только используя параметрическую форму задания. Так как эти кривые впервые были построены учёными, жившими задолго до настоящего времени, то исторические ссылки при изучении этих кривых просто необходимы, как дань уважения их таланту и трудолюбию.

Название документа Титул.doc

Поделитесь материалом с коллегами:


МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 1

Г. ГУБАХА ПЕРМСКОЙ ОБЛАСТИ







«Углублённое изучение электронных таблиц Microsoft Excel при РАССМОТРЕнии тем

математического содержания»



ИЗ ОПЫТА РАБОТЫ

УЧИТЕЛЯ I КВАЛИФИКАЦИОННОЙ КАТЕГОРИИ

ЗАСЛУЖЕННОГО УЧИТЕЛЯ ШКОЛЫ РФ

НИКИФОРОВА ЮРИЯ ВАСИЛЬЕВИЧА





hello_html_m6c2b49e5.jpg





















г. ГУБАХА, 2003 год.


Название документа метод_реком.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ


Данные приложения нельзя считать поурочными планами, в которых расписано всё, - от цели урока до его закрепления. Скорее всего, - это краткое описание того фактического материала, которое может быть переработано учителем по своему усмотрению. Как подать материал, какие применить приёмы, на что обратить большее внимание, какую часть материала объяснить учителю, а какую дать ученикам для самостоятельной работы, - все эти вопросы необходимо рассмотреть учителю уже в ходе самой работы. Причиной тому является неисследованность методики преподавания подобного курса со всеми его дидактическими, методическими и чисто психологическими аспектами.

Исходя из своего опыта, могу лишь обратить внимание на некоторые моменты общего характера, которые так или иначе проявились при ведении этого курса в 2002 – 2003 учебном году в 10 классе.

  1. Совсем необязательно начинать каждую тему с математической «увертюры». Такие темы, как «Решение систем линейных уравнений методом Крамера», «Треугольник Паскаля», «Циклоида» могут быть рассмотрены с другого конца. И лишь потом можно будет подвести под эту тему математический «soft».

  2. Программа с точной разбивкой по часам (стр.5) условна. Так как некоторые темы не связаны между собой математическим содержанием, то придерживаться точной последовательности, указанной в программе, необязательно. Можно, например, «разбавить» блок тем, связанных со школьной математикой, такими темами, как «Замечательные кривые».

  3. При изучении этого курса учащиеся пользуются теми навыками работы в электронных таблицах, которые они получили в пользовательском курсе. Но в ходе работы приходилось возвращаться (и не раз) к синтаксису языка электронных таблиц. Элементы пользовательского курса будут присутствовать постоянно, так как тематика курса разнообразна, а следовательно и подходы к решению этих задач влекут за собой применение самых разнообразных средств, предоставляемых электронными таблицами Microsoft Excel.

  4. По каким критериям оценивать работу учащихся? Мною была придумана система «МИД», по которой за каждую выполненную работу выставлялись три оценки: за Математику, Информатику и Дизайн. Хотя учащимся и выдавалась уже оформленная карточка-задание, они вправе были привнести в свою работу что-то своё (интервалы, вводимые параметры, размещение на листе, цветовое решение). И такой подход, как мне кажется, принёс интересные (неожиданные) результаты. Выявились в группе три полюса: «математики», «информатики» и «дизайнеры». Но это явление требует специального исследования.

  5. При изучении блока тем «Замечательные кривые» можно подойти дифференцированно: одним учащимся дать для работы карточку-задание, например, «Эпициклоида», другим — «Гипоциклоида». Потом сравнить полученные результаты. Или посадить за один компьютер для совместной работы «информатика» и «дизайнера». Насколько плодотворен будет этот тандем? Для решения наиболее сложных задач необходимо организовывать такие комбинации, как «математик» - «информатик».

  6. Каждому учащемуся необходимо иметь свою личную дискету, где накапливался бы тот материал, который был ими изучен. На заключительном занятии лучшие работы, можно продемонстрировать с помощью программы создания презентаций Power Point. Это придаст всей работе за год логическую завершённость.












В перспективе мною планируется включить в этот курс (рассчитанный на 68 часов) некоторые вопросы теории вероятности и построение поверхностей средствами электронных таблиц Microsoft Excel.
















ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА


  1. Выгодский М. Я., Справочник по высшей математике для ВУЗов и ВТУЗов, изд. «Большая медведица», Москва, 2001 г.

  2. Лаурелл С. (пер. с англ.), «Компьютерные фантазии», изд. «Питер», Санкт-Петербург, 1998 г.

  3. Кирк Н., Кирк Ю., «Оцифрованная мечта», изд. «Джангар», Москва, 2000 г.

  4. Лютикас В. С., Факультативный курс по математике. Теория вероятности, изд. «Просвещение», Москва, 1990 г.



63


Название документа поясн_записка.doc

Поделитесь материалом с коллегами:

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА


Целью данной работы является представление опыта преподавания элективного курса в рамках перехода школы на профильное обучение.

Специфика курса ( и по форме, и по содержанию) заключается в том, что преподавание осуществляется с активным применением персональных компьютеров. Название курса «Углублённое изучение электронных таблиц Microsoft Excel при рассмотрении тем математического содержания» отражает не только специфику, но и новизну подхода к изучению некоторых тем математики.

Курс был апробирован в 2002-2003 учебном году в 10 классе МОУ СОШ № 1 г. Губаха. Занятия проводились с группой в 12 человек, по 1 уроку в неделю и были включены в вариативную часть учебного плана.

Данный курс может быть предназначен для учащихся старших классов, которые изучили приёмы работы с электронными таблицами Microsoft Excel в рамках пользовательского курса и свободно владеют основными приёмами работы на персональном компьютере.

В данной работе представлены:

  1. программа курса;

  2. выводы, в которых отражены преимущества использования электронных таблиц;

  3. примерные образцы электронных отчётов учащихся по отдельным темам;

  4. комментарии содержательного характера к каждой теме для учителя;

  5. примерные образцы оформления каждой темы в виде рабочих листов электронных таблиц;

  6. методические рекомендации для учителя.













Введение

Профилизация школы имеет своей целью более полную и основательную подготовку учащихся по определённой дисциплине или нескольким дисциплинам. МОУ МОШ №1 г. Губаха в качестве профильного обучения выбрали математику и информатику (решение педагогического Совета от 26 июня 2003 года). По сути дела выбранный педагогическим Советом профиль только формально зафиксировал то, что уже десять лет практикуется в школе. Ведётся обучение основам информатики в начальной школе («Роботландия», Алгоритмика, «Информашка»), а также факультативные курсы по комбинаторике и основам теории вероятности с применением компьютера ( 9-11 классы ).

Компьютер в этом смысле является именно тем мощным средством, с помощью которого можно осуществить переход на новый, более эффективный путь изменения и формы, и содержания обучения. Профилизация имеет своей целью внедрение в образовательный процесс новых технологий и, в конечном счёте, — повышение уровня подготовленности учащихся к возрастающим требованиям, которые предъявляет общество к школе.

Применение компьютера в образовательном процессе позволяет не просто сделать обучение более динамичным и результативным, но и сам процесс обучения сделать более творческим, а, значит, на порядок изменить отношение ученика к тому или иному предмету. Причиной тому являются такие факторы, как интерактивность, наглядность, возможность настройки самого процесса обучения каждым учеником «под себя». В этом смысле основную роль в обучении отдаётся не диалогу учителя с учениками, а новому тандему – «ученик — компьютер». Хотя именно учителю принадлежит роль своеобразного тренера, который научит ученика пользоваться компьютером, как мощным средством обучения, катализатором его творческих способностей. Компьютер беспристрастен, поэтому оценка знаний ученика самим компьютером исключает субъективность, тем самым выводит проблемы отношений ученика с учителем за рамки процесса обучения. Учитель становится консультантом, осуществляющим лишь общее управление на уроке, «службой спасения» при возникновении тех, или иных трудностей. Это не исключает такие факторы, как гуманизацию образования, создание атмосферы успеха на уроке, дифференцированный подход или применение всего спектра самостоятельных работ. Традиционные приёмы, которыми пользуется учитель, не отойдут на задний план, а лишь приобретут новый импульс. Именно компьютер может придать процессу обучения этот импульс.

Специфика применения компьютера на уроке до конца ещё не изучена, но то, что это имеет огромный потенциал, — бесспорно. Тот, небольшой опыт, который накоплен мною за последнее время, убеждает, что именно на этом направлении можно достичь ощутимых результатов.

Программа, приводимая ниже, даёт общее представление о том спектре многообразия, которое может быть рассмотрено в процессе изучения избранных вопросов математики с помощью компьютера. Программа предназначена для учащихся 10-х или 11-х классов, так как к этому времени в основном пройден пользовательский курс, куда входит изучение электронных таблиц Microsoft Excel и учащиеся знакомы с основами работы на персональном компьютере.

Все темы в программе апробированы в 10 классе в 2002-03 учебном году на факультативном курсе по информатике.

Последовательность тем может быть изменена. Каждое занятие (урок) начинается с постановки задачи. Обычно занятие начиналось с математической «увертюры». Учащимся напоминался тот материал, который был ими уже изучен на уроках математики. После этого формулировалась задача: как этот материал можно интерпретировать средствами электронных таблиц Microsoft Excel? Так как Excel обладает возможностью построения графиков, то темы подбирались таким образом, чтобы при рассмотрении каждой из них как можно полнее реализовались графические возможности электронных таблиц.

После того, когда учащиеся рассмотрят материал школьного курса математики, можно переходить к таким темам, которые выходят за рамки этого курса. Это и элементы линейной алгебры (матричное исчисление), и комбинаторика, и элементы теории вероятности (нормальное распределение), и параметрическая форма задания функции. Этот список можно продолжить, но это не является целью, так как невозможно в рамках элективного курса, рассчитанного на 34 часа, охватить всю математику.

Цель этого курса заключается в том, чтобы привить учащимся навыки, позволяющие относиться к компьютеру, как к мощному средству обучения, умению интерпретировать математические задачи средствами электронных таблиц, моделировать эти задачи. Так как компьютер из объекта изучения превращается в средство обучения, то информационные технологии приобретают роль сервисной поддержки.

При этом нельзя считать, что мы получили в результате очередной симбиоз двух наук. Сочетание информатики и математики даёт результат, который виден сразу. Приведу только несколько примеров.

  1. Алгебра и начала анализа; 10 класс, тема «Гармонические колебания», по программе – 2 часа. Используя компьютер, учащиеся рассматривают эту тему за 1 час. Легко, интерактивно, творчески.

  2. Очень абстрактное понятие комбинаторики – генеральная совокупность. Компьютер как будто создан для того, чтобы промоделировать все эти частоты. Быстро, понятно и красиво.

  3. Теория вероятности; «закон больших чисел», неравенство Чебышева. Учащиеся вас удивят своей фантазией, многообразием примеров, которые будут сопровождаться самыми различными дизайнерскими находками.

  4. Алгебра; 9 класс, графическое решение квадратных уравнений, 2 часа. С помощью электронных таблиц Microsoft Excel ученики выполнят в двадцать раз больший объём работы за 1 час. И всё это с помощью «программы», которую они сами же и создали.

Таких примеров можно привести довольно много. Я намеренно выбрал именно эти примеры, чтобы показать многообразие тем, которые могут быть рассмотрены на занятиях данного элективного курса.

И хотя в названии этого курса акцент делается на применение электронных таблиц (информационные технологии), математика здесь является той благодатной почвой, где наиболее ярко виден плодотворный характер этого союза. Изучая инструментарий электронных таблиц, мы знакомимся с новыми математическими понятиями, или, — рассматриваем уже изученные когда-то математические объекты с другой точки зрения. Математика здесь является не каким-либо побочным эффектом, а полноправным хозяином всего курса.

Что даёт этот курс?


  1. Реализован целый букет межпредметных связей. И это не просто механическое проникновение одной науки в другую, а их гармоничное сочетание, что учит целостности окружающего мира, подчинении его каким-то общим законам.

  2. Курс не только углубляет знания, но и расширяет их. Это позволяет ученикам увидеть, как сухая логика рассуждений может быть применена в областях, далёких от математики и компьютеров.

  3. Развиваются ассоциативные связи. Это необходимый (но ещё недостаточный) признак развития богатого воображения, которое является своеобразной смазкой в обучении.

  4. Учащиеся начинают понимать, что от творческой деятельности человек получает гораздо большее удовлетворение, чем от какой-либо другой.

  5. Формируется чувство эстетичности форм, линий и цвета, которое формирует эстетику души.

  6. Имеем чисто прагматический результат: некоторые темы традиционной школьной математики можно быстрее освоить именно с помощью данных разработок.

  7. Повышается интерес не просто к информатике или математике, а именно к работе исследовательского характера.


Но самым главным достижением считаю умение ученика использовать компьютер, как мощное средство обучения, как катализатор его творческих способностей.


«Углублённое изучение электронных таблиц Microsoft Excel при рассмотрении тем математического содержания»

Программа элективного курса для 10/11 класса (34 час).


Данный курс включает в себя следующие темы:


  1. Решение треугольников.………………….……………………..3ч.

  2. Графическое решение квадратных уравнений ………………1ч.

  3. Решение тригонометрических уравнений.……………………..2ч.

  4. Гармонические колебания.………………..…………….………2ч.

  5. Построение касательной к графику функции……………….….1ч.

  6. Матрица. Определитель матрицы. Операции над матрицами...1ч.

  7. Решение систем линейных уравнений методом Крамера….….2ч.

  8. Основные понятия и формулы комбинаторики…………….….2ч.

  9. Решение задач по комбинаторике…………….……………..…..1ч.

10. Треугольник Паскаля и его свойства…………………..………1ч.

11. Нормальное распределение ……………………………………2ч.

12. Бином Ньютона………………………………………………….2ч.

13. Параметрическая формы задания функции……………….…..1ч.

14. Построение графиков некоторых замечательных кривых…..12ч.

  • строфоида;

  • циссоида Диокла;

  • лемниската Бернулли;

  • улитка Паскаля (кардиоида);

  • верзьера Аньези;

  • лист Декарта;

  • фигура Лиссажу;

  • эвольвента;

  • трактриса;

  • цепная линия;

  • логарифмическая спираль;

  • циклоида;

  • эпициклоида;

  • гипоциклоида

15. Заключительное занятие ………………………………………….1ч.

И Т О ГО:……………………………………………………………34ч.



Данная программа предназначена для ведения элективного курса в 10 или 11 классе и включает в себя вопросы традиционной школьной математики, а также вопросы, выходящие за рамки школьного курса.


Приложения


Приведённые ниже приложения можно назвать карточками-заданиями. На некоторых из них уже есть формулы, с помощью которых это задание выполняется. На других представлен лишь образец оформления задания, учащиеся самостоятельно должны записать эти формулы, используя синтаксис электронных таблиц. Можно комбинировать уровень самостоятельности выполнения того, или иного задания, представив ученикам лишь часть готовых формул. Всё зависит от уровня подготовленности учеников и степени сложности задания. К тому же я обычно требовал от учеников, чтобы всё это было красиво оформлено (что, конечно, не обязательно).

Данные карточки-задания выдавались ученикам перед началом занятия. Каждое занятие начиналось с рассмотрения (постановки) математической задачи. И лишь после этого начиналась работа за компьютером. Почасовое деление в программе условно и может быть изменено по усмотрению учителя.

Часть карточек-заданий созданы мною два года назад, а часть написаны учениками, поэтому разнятся в стилях оформления.

Все карточки-задания имеют комментарий для удобства учителя, а некоторые обходятся без них, так как фактический материал в них не вызовет особых затруднений.

Если школьный кабинет информатики оснащён медиапроектором, то можно вообще отказаться от подобных карточек-заданий, а демонстрировать всё это на проекционном экране.

Каждое занятие должно начинаться с рассказа о прикладном характере задачи, исторической справкой. Это придаёт занятию цельность, своеобразие, актуальность. И хотя темы не связаны между собой какой-либо логикой или последовательностью, я старался охватить самые разнообразные по своей природе темы, чтобы сформировать у учащихся понимание универсальности компьютера при изучении самых различных математических объектов. Это, по моему мнению, поможет ученику применять компьютер при изучении других наук.

После постановки задачи учащиеся записывают в тетрадь основные математические формулы и делают схематический чертёж (если он необходим). Получив карточку-задание, ученик начинает работать за компьютером. Все работы записываются учеником на свою дискету. Таким образом, к концу курса на его дискете накапливается материал, который может быть использован им в дальнейшей учёбе. Это своеобразный электронный отчёт, который может быть оценен учителем в какой-либо форме.

ИСПОЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА


  1. Выгодский М. Я., Справочник по высшей математике для ВУЗов и ВТУЗов, изд. «Большая медведица», Москва, 2001 г.

  2. Лаурелл С. (пер. с англ.), «Компьютерные фантазии», изд. «Питер», Санкт-Петербург, 1998 г.

  3. Кирк Н., Кирк Ю., «Оцифрованная мечта», изд. «Джангар», Москва, 2000 г.

  4. Лютикас В. С., Факультативный курс по математике. Теория вероятности, изд. «Просвещение», Москва, 1990 г.


7



Автор
Дата добавления 21.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров52
Номер материала ДБ-377096
Получить свидетельство о публикации


Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх