Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Использование программы GeoGebra для самоконтроля и самооценки процесса и результатов деятельности при решении заданий с параметрами
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Использование программы GeoGebra для самоконтроля и самооценки процесса и результатов деятельности при решении заданий с параметрами

библиотека
материалов

Мосолова Н.А.

МАОУ Видновская гимназия г. Видное



Использование программы GeoGebra для самоконтроля и самооценки процесса и результатов деятельности при решении заданий с параметрами.



« Математик, который не является в

известной мере поэтом, никогда не

будет настоящим математиком»

К. Вейерштрасс



« Параметр – это величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи, но при переходе к другому явлению или другой задаче меняющая свое значение» ( Толковый словарь русского языка под редакцией Д. Н. Ушакова)

Задачи с параметрами традиционно считаются наиболее трудными. Это связано, видимо, с тем, что часто они являются исследовательскими, т. е. при их решении надо не просто применить те или иные формулы, а найти те значения параметра, при которых выполнено некоторое условие для корней. При этом не всегда требуется искать сами корни, а бывает, что их и вовсе невозможно найти. Задачи, в которых невозможно найти корни или построить график, - самые трудные.

Нельзя научиться решать любые задачи с параметрами, как нельзя научится решать и любую задачу без параметра. Мы привыкли всюду применять формулы, а в задачах с параметрами не сразу можно понять, какую формулу надо применить. Бывает, что проще обойтись без всяких формул, а может быть, и не существует формул, с помощью которых решается задача, и нужно выбрать какой-то другой способ решения. При решении задач с параметрами надо всегда активно использовать соображения, исходящие из здравого смысла.

Главное, прежде чем решать задачи с параметрами, надо научиться решать классические задачи без параметров.

Единого « рецепта» решения задач с параметрами не существует. Наиболее понятный способ состоит в том, что сначала находятся все решения, а затем отбираются те, которые удовлетворяют дополнительным условиям.

Часто, глядя на задачу, школьники иногда даже не представляют, с чего можно начать и даже прочитав решение, не всегда его понимают.

Рассмотрим одно из решений неравенства с параметром, где при решении нужно использовать графики функций, которые натолкнут учащегося на дальнейшее решение.

1. При каких значениях параметра а неравенство hello_html_7f035698.gif имеет хотя бы одно неположительное решение.

Решение:

Приведём неравенство к виду hello_html_m3ee7568b.gif.

График функции у = х2+2х + 1= (х+1)2 – парабола, полученная из параболы у = х2, параллельным переносом вдоль ос Ох на 1 .

График функции f(x) = hello_html_m134a2e7e.gif, стоящий в правой части неравенства, при каждом значении параметра а получается их графика функции

y = х – 3|x|+4=hello_html_m148948b8.gif параллельным переносом на а единиц вдоль оси Ох.



hello_html_1865428e.gif





Решением исходного неравенства является множество всех таких х, для которых точки на графике функции f(x) расположены не ниже точек графика функции у = (х +1)2.

Имеются два критических положения графика функции f(x), удовлетворяющие условию задачи.

(1) График функции f(x) проходит через точку (0;1) как указано на рисунке. Из уравнения 4(х - а) + 4 = 1 при х=0 получаем а = 0,75.

(II) График функции f(x) проходит через точку во второй четверти как указано на рисунке. В этом случае прямая у = -2(х - а) + 4 является касательной к графику функции у = (х +1)2.

Используем условия касания графиков функций. Из равенства значений производных данных функций hello_html_11852162.gifполучаем уравнение 2х + 2 = - 2, т.е. х = - 2 – абсцисса точки касания графиков. Тогда из условия совпадения ординат получаем ( -2 +1)2 = -2( - 2 – а) + 4 или а = -3,5.

Следовательно, при -3,5 hello_html_5844d928.gifаhello_html_5844d928.gif 0,75 исходное неравенство имеет хотя бы одно неположительное решение.

Ответ: hello_html_2647afd7.gif

2. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство

|x-a2| - hello_html_6ab3cb9a.gif0 выполняется при любом допустимом значении х.

Решение: Найдем ОДЗ: х - hello_html_6eec8aff.gif 0, hello_html_m24747f91.gif.

Введём замену а2=t, t hello_html_m30bfbdb1.gif0, получили неравенство |x-t| hello_html_5e83db11.gif , возведем в квадрат обе части неравенства, получим х2 – 2tx + t2 hello_html_m30bfbdb1.gif x - hello_html_6eec8aff.gif.

Преобразовывая получаем квадратное неравенство относительно х,

x2x(2t+1) + t2+ hello_html_620fe8ae.gif 0 , a>0 ,чтобы квадратное неравенство выполнялось при любом допустимом значении х необходимо, чтобы D hello_html_7c00753d.gif0,

т. е D = (2t+1)2 – 4(t2 + hello_html_6eec8aff.gif ) = 4t2 + 4t + 1 – 4t2 – 2 = 4t -1 hello_html_7c00753d.gif0, t hello_html_17bd06be.gif,

|a| hello_html_7c00753d.gif hello_html_6eec8aff.gif , -hello_html_1853785e.gif.

Решим это неравенство графически: построим графики двух функций

f(x)= |x-a2| и y = hello_html_6ab3cb9a.gif



hello_html_3f19bbed.gif











3. Найдите все значения параметра а, при которых данное уравнение имеет три решения |( 2xa)2 - |x| - 28| + 2 |x| = 16.

Будем решать с использованием графиков. Все эти графики легко построить в системе GeoGebra.

Решения будут, если 16 – 2|x| hello_html_m30bfbdb1.gif 0, |x|hello_html_7c00753d.gif 8, -8hello_html_1f8deee8.gif.

Этот важный факт, он будет использован позже.

Теперь преобразуем наше уравнение.

hello_html_mc4d37ac.gifhello_html_m4578b4b6.gif

Теперь построим графики трёх функций f= hello_html_m236fd095.gif y = 44 - |x| h= 3|x| + 12

hello_html_26efa87e.gif







hello_html_26efa87e.gif











Точки пересечения параболы и ломаных найти несложно

44 - |x| = 3|x| + 12 hello_html_11852162.gif |x| = 8

Находим а.

| ( 2x-a)2 – 36| =0, 2xa = ± 6, a = ± 22, ±10.

Решением будет значение а = ±10.

















Мосолова Н.А.

МАОУ Видновская гимназия г. Видное



Использование программы GeoGebra для самоконтроля и самооценки процесса и результатов деятельности при решении заданий с параметрами.



« Математик, который не является в

известной мере поэтом, никогда не

будет настоящим математиком»

К. Вейерштрасс



« Параметр – это величина, входящая в математическую формулу и сохраняющая постоянное значение в пределах одного явления или для данной частной задачи, но при переходе к другому явлению или другой задаче меняющая свое значение» ( Толковый словарь русского языка под редакцией Д. Н. Ушакова)

Задачи с параметрами традиционно считаются наиболее трудными. Это связано, видимо, с тем, что часто они являются исследовательскими, т. е. при их решении надо не просто применить те или иные формулы, а найти те значения параметра, при которых выполнено некоторое условие для корней. При этом не всегда требуется искать сами корни, а бывает, что их и вовсе невозможно найти. Задачи, в которых невозможно найти корни или построить график, - самые трудные.

Нельзя научиться решать любые задачи с параметрами, как нельзя научится решать и любую задачу без параметра. Мы привыкли всюду применять формулы, а в задачах с параметрами не сразу можно понять, какую формулу надо применить. Бывает, что проще обойтись без всяких формул, а может быть, и не существует формул, с помощью которых решается задача, и нужно выбрать какой-то другой способ решения. При решении задач с параметрами надо всегда активно использовать соображения, исходящие из здравого смысла.

Главное, прежде чем решать задачи с параметрами, надо научится решать классические задачи без параметров.

Единого « рецепта» решения задач с параметрами не существует. Наиболее понятный способ состоит в том, что сначала находятся все решения, а затем отбираются те, которые удовлетворяют дополнительным условиям.

Часто, глядя на задачу, школьники иногда даже не представляют, с чего можно начать и даже прочитав решение, не всегда его понимают.

Рассмотрим одно из решений неравенства с параметром, где при решении нужно использовать графики функций, которые натолкнут учащегося на дальнейшее решение.

1. При каких значениях параметра а неравенство hello_html_7f035698.gif имеет хотя бы одно неположительное решение.

Решение:

Приведём неравенство к виду hello_html_m3ee7568b.gif.

График функции у = х2+2х + 1= (х+1)2 – парабола, полученная из параболы у = х2, параллельным переносом вдоль ос Ох на 1 .

График функции f(x) = hello_html_m134a2e7e.gif, стоящий в правой части неравенства, при каждом значении параметра а получается их графика функции

y = х – 3|x|+4=hello_html_m148948b8.gif параллельным переносом на а единиц вдоль оси Ох.



hello_html_1865428e.gifhello_html_1004906f.png





Решением исходного неравенства является множество всех таких х, для которых точки на графике функции f(x) расположены не ниже точек графика функции у = (х +1)2.

Имеются два критических положения графика функции f(x), удовлетворяющие условию задачи.

(1) График функции f(x) проходит через точку (0;1) как указано на рисунке. Из уравнения 4(х - а) + 4 = 1 при х=0 получаем а = 0,75.

(II) График функции f(x) проходит через точку во второй четверти как указано на рисунке. В этом случае прямая у = -2(х - а) + 4 является касательной к графику функции у = (х +1)2.

Используем условия касания графиков функций. Из равенства значений производных данных функций hello_html_11852162.gifполучаем уравнение 2х + 2 = - 2, т.е. х = - 2 – абсцисса точки касания графиков. Тогда из условия совпадения ординат получаем ( -2 +1)2 = -2( - 2 – а) + 4 или а = -3,5.

Следовательно, при -3,5 hello_html_5844d928.gifаhello_html_5844d928.gif 0,75 исходное неравенство имеет хотя бы одно неположительное решение.

Ответ: hello_html_2647afd7.gif

2. Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство

|x-a2| - hello_html_6ab3cb9a.gif0 выполняется при любом допустимом значении х.

Решение: Найдем ОДЗ: х - hello_html_6eec8aff.gif 0, hello_html_m24747f91.gif.

Введём замену а2=t, t hello_html_m30bfbdb1.gif0, получили неравенство |x-t| hello_html_5e83db11.gif , возведем в квадрат обе части неравенства, получим х2 – 2tx + t2 hello_html_m30bfbdb1.gif x - hello_html_6eec8aff.gif.

Преобразовывая получаем квадратное неравенство относительно х,

x2x(2t+1) + t2+ hello_html_620fe8ae.gif 0 , a>0 ,чтобы квадратное неравенство выполнялось при любом допустимом значении х необходимо, чтобы D hello_html_7c00753d.gif0,

т. е D = (2t+1)2 – 4(t2 + hello_html_6eec8aff.gif ) = 4t2 + 4t + 1 – 4t2 – 2 = 4t -1 hello_html_7c00753d.gif0, t hello_html_17bd06be.gif,

|a| hello_html_7c00753d.gif hello_html_6eec8aff.gif , -hello_html_1853785e.gif.

Решим это неравенство графически: построим графики двух функций

f(x)= |x-a2| и y = hello_html_6ab3cb9a.gif



hello_html_3f19bbed.gif



hello_html_m13af41e3.png







3. Найдите все значения параметра а, при которых данное уравнение имеет три решения |( 2xa)2 - |x| - 28| + 2 |x| = 16.

Будем решать с использованием графиков. Все эти графики легко построить в системе GeoGebra.

Решения будут, если 16 – 2|x| hello_html_m30bfbdb1.gif 0, |x|hello_html_7c00753d.gif 8, -8hello_html_1f8deee8.gif.

Этот важный факт, он будет использован позже.

Теперь преобразуем наше уравнение.

hello_html_mc4d37ac.gifhello_html_m4578b4b6.gif

Теперь построим графики трёх функций f= hello_html_m236fd095.gif y = 44 - |x| h= 3|x| + 12

hello_html_26efa87e.gif





hello_html_m44d3356f.png





Точки пересечения параболы и ломаных найти несложно

44 - |x| = 3|x| + 12 hello_html_11852162.gif |x| = 8

Находим а.

| ( 2x-a)2 – 36| =0, 2xa = ± 6, a = ± 22, ±10.

Решением будет значение а = ±10.



Краткое описание документа:

Задачи с параметрами традиционно считаются наиболее трудными. Это связано, видимо, с тем, что часто они являются исследовательскими, т. е. при их решении надо не просто применить те или иные формулы, а найти те значения параметра, при которых выполнено некоторое условие для корней. При этом не всегда требуется искать сами корни, а бывает, что их и вовсе невозможно найти. Задачи, в которых невозможно найти корни или построить график, - самые трудные. 

Нельзя научиться решать любые задачи с параметрами, как нельзя научится решать и любую задачу без параметра. Мы привыкли всюду применять формулы, а в задачах с параметрами не сразу можно понять, какую формулу надо применить. Бывает, что проще обойтись без всяких формул, а может быть, и не существует формул, с помощью которых решается задача, и нужно выбрать какой-то другой способ решения. При решении задач с параметрами надо всегда активно использовать соображения, исходящие из здравого смысла.

Главное, прежде чем решать задачи с параметрами, надо научиться решать классические задачи без параметров.

Единого « рецепта» решения задач с параметрами не существует. 

Автор
Дата добавления 16.12.2014
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров325
Номер материала 190103
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх