ИССЛЕДОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ EXCEL
Аннотация
Пособие содержит примеры использования Excel
для исследования физических явлений и законов, выяснения границ применимости
физических понятий и величин.
Для поиска данных приведенных расчетов
использовались справочники и учебники физики, физическая энциклопедия.
Пособие окажется полезным ученикам старших
классов и студентам, изучающим физику.
Введение
Специфика новой системы образования должна
проявляться в ее способности не только вооружать знаниями обучающегося, но и
формировать потребность в непрерывном самостоятельном овладении ими, развивать
умения и навыки самообразования. Речь идет о таких знаниях, которые, во-первых,
способны формировать широкий, целостный, энциклопедический взгляд на
современный мир и место человека в этом мире; во-вторых, позволяют преодолеть
предметную разобщенность и изолированность.
Исследования психологов позволяют
утверждать, что чем больше своего труда вкладывает ученик в познавание темы,
тем лучше он в ней разбирается, лучше запоминает.
Физика наука экспериментальная : все физическое знание
добыто в конечном итоге из опыта, а не путем чистых размышлений. Для того,
чтобы сформулировать самый простой физический закон, необходимо
абстрагироваться от тех черт предмета или явления, которые несущественны или
кажутся таковыми исследователю, то есть создать физическую модель. Без модели
невозможно ничего объяснить, обобщить, понять сущность чего бы то ни было. Без
модели нет теории, и от науки останется лишь набор бессвязных и никак не
объясняемых фактов. Формирование знаний лишь тогда оказывается
плодотворным, когда осуществляется в неразрывной связи с выработкой
учебно-познавательных умений.
Уметь добывать и
использовать информацию, создавать и работать с простейшими моделями, понимать
пределы их применимости поможет использование компьютера.
кинематика
Использование электронных таблиц позволяет проводить элементарные исследования
движений.
Пример1: На лодке
переправляются через реку: скорость течение реки максимальна по середине реки
и минимальна у берегов. Построить траекторию движения лодки в зависимости от
скорости ее движения, от скорости течения и ширины реки.
Разобьем ширину реки на несколько
участков и будем считать, что скорость изменяется скачком при переходе от
участка к участку. Изменяя число участков, задавая разные значения скорости
лодки и течения, можем видеть и изменение траектории движения.
Вот пример: ширина реки 5 км, скорость
лодки относительно воды 3 км/час, максимальная скорость течения 4
км/час. Ширина реки разбита на 12 участков.
скорость движения лодки км/ч
|
|
3
|
максимальная скорость течения реки
|
км/ч
|
4
|
ширина реки, км
|
|
|
5
|
изменение скорости течения при переходе к другому
участку
|
0,667
|
время прохождения участка реки
|
|
0,152
|
число участков
|
|
|
12
|
№ участка
|
скорость течения
|
текущий снос
|
накопленный снос
|
1
|
0,667
|
0,10
|
0,101
|
|
2
|
1,333
|
0,20
|
0,303
|
|
3
|
2,000
|
0,30
|
0,606
|
|
4
|
2,667
|
0,40
|
1,010
|
|
|
3,333
|
0,51
|
1,515
|
|
6
|
4,000
|
0,61
|
2,121
|
|
7
|
3,333
|
0,51
|
2,626
|
|
8
|
2,667
|
0,40
|
3,030
|
|
9
|
2,000
|
0,30
|
3,333
|
|
10
|
1,333
|
0,20
|
3,535
|
|
11
|
0,667
|
0,10
|
3,636
|
|
12
|
0,000
|
0,00
|
3,636
|
|
Пример 2.
Неравномерное движение. Движение
называется неравномерным, если за какие-либо равные промежутки времени проходит
пути разной длины.
Мгновенной скоростью переменного
движения называется такая скорость, с которой двигалось бы тело, если бы,
начиная с данного мгновения, его движение стало бы равномерным.
Средней скоростью переменного
движения называется скорость такого равномерного движения, при котором тело
проходит такой же путь за то же время.
Среднюю скорость
очень часто определяют как среднее арифметическое. Для более четкого их
разделения полезно провести следующий расчет:
Катеру необходимо проехать из города А
в город В и обратно по озеру и по реке. Сравнить время движения в обеих случаях.
Время движения по реке определится
соотношением по озеру
В Excel
исследуем зависимости при разных значениях скорости
Формулы введены следующим образом: в
ячейку D2↔
=A2/(B2-C2)+A2/(B2+C2),
в ячейку E2↔ =2*A2/B2,
в ячейку F2↔ =D2-E2,
в ячейку G2↔ =F2/60.
Формулы размножены до 8 строки.
расстояние
|
Vкатера
|
Vреки
|
tв реке
|
tв озере
|
Δt
|
Δtминут
|
|
500
|
8
|
2
|
133,33
|
125,00
|
8,33
|
0,14
|
|
|
3000
|
8
|
2
|
800,00
|
750,00
|
50,00
|
0,83
|
|
|
10000
|
8
|
2
|
2666,67
|
2500,00
|
166,67
|
2,78
|
|
|
3000
|
8
|
6
|
1714,29
|
750,00
|
964,29
|
16,07
|
|
|
10000
|
8
|
6
|
5714,29
|
2500,00
|
3214,29
|
53,57
|
|
|
10000
|
8
|
7
|
10666,6
|
2500,00
|
8166,67
|
136,11
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Особенно резко
отличаются значения времени движения по реке и озеру при близких по значению
скоростей катера и течения. В предельном случае, когда значения скоростей будут
одинаковы, катер против течения двигаться не сможет, т.е. время движения станет
бесконечно большим.
Ускоренное
движение
Для определения путей, проходимых телом в
последовательные, равные промежутки времени при ускоренном движении введем в
ячейку первого столбца величину ускорения, в третьем столбце будем определять
путь,
пройденный
телом за t секунд, в следующем –
за t + 1 секунд. В следующем
определим разность пройденных расстояний и, наконец, вычислим отношение
разности пройденных расстояний к пути, пройденному за первую секунду
Ускорение
|
T с
|
St м
|
St+1 м
|
∆S м
|
∆S/S1
|
6
|
0
|
0
|
3
|
3
|
1
|
|
1
|
3
|
12
|
9
|
3
|
|
2
|
12
|
27
|
15
|
5
|
|
3
|
27
|
48
|
21
|
7
|
|
4
|
48
|
75
|
27
|
9
|
|
5
|
75
|
108
|
33
|
11
|
|
6
|
108
|
147
|
39
|
13
|
|
7
|
147
|
192
|
45
|
15
|
|
8
|
192
|
243
|
51
|
17
|
|
9
|
243
|
300
|
57
|
19
|
|
10
|
300
|
363
|
63
|
21
|
|
11
|
363
|
432
|
69
|
23
|
|
12
|
432
|
507
|
75
|
25
|
|
13
|
507
|
588
|
81
|
27
|
|
14
|
588
|
675
|
87
|
29
|
|
15
|
675
|
768
|
93
|
31
|
|
16
|
768
|
867
|
99
|
33
|
|
|
|
|
|
|
Меняя значение ускорения, убеждаемся в
том, что пути, проходимые телом за последовательные равные промежутки
времени, относятся как нечетные числа.
Используем полученные соотношения :
определить пути, пройденные свободно падающим телом за 5-ю, 7-ю, 12-ю секунды.
Значение нечетного числа можно вычислить по формуле 2n-1.
Тогда 5-е =9, 7-е =13, 12-е = 23, и значения получаем умножением полученного
значения на 4,9: за 5-ю – 44,1; за 7-ю – 63,7; за 12-ю – 112,7.
Проверим : в подставим
5, получаем 122,5 за 4 – 78,4, значит за пятую 122,5 – 78,4 = 44,1.
Аналогично можно проверить и другие ответы.
Движение
в жидкости и газе
Сопротивление при
движении в жидкости и газах можно определить по закону Стокса , где ɳ - динамическая вязкость, v –
скорость .
Определим
максимальную скорость падения капли воды в воздухе.
Движение станет
равномерным, когда сила тяжести станет равной силе сопротивления. Сила тяжести
капли воды . Подставляя в формулу Стока, получим . Вычислим постоянные величины (кг/(м2с2),
коэффициент вязкости воздуха ɳ = 1,84ˑ10-5 кг/(мˑс)
Проведем расчеты
для капель разных радиусов.
R
|
ɳ
|
k
|
V
|
0,001
|
1,84E-05
|
2177,8
|
1,18E+02
|
0,01
|
|
|
1,18E+04
|
0,1
|
|
|
1,18E+06
|
Для измерения
коэффициента вязкости жидкости измеряют скорость установившегося (т.е.
равномерного) падения шарика в мензурке с делениями. Чтобы определить, из
какого материала и какого размера шарик начинает двигаться равномерно через
сколько времени, полезно провести расчеты в Excel.
Если частицы
падают в вязкой жидкости под действием собственного веса, то установившаяся
скорость достигается, когда эта сила трения совместно с силой Архимеда точно
уравновешиваются силой гравитации. Результирующая
скорость равна
Частица
движется вниз если , и вверх в случае ), Vs - установившаяся скорость
частицы (м/с), - радиус Стокса частицы (м), g
- ускорение
свободного падения (м/с²), ρp
— плотность частиц
(кг/м³), ρf - плотность жидкости (кг/м³), - динамическая
вязкость жидкости
(Па с).
roT
|
roV
|
R
|
V
|
V2
|
V3
|
1000
|
1,2
|
0,001
|
0,126463
|
1,480889
|
0,209067
|
7800
|
1000
|
0,002
|
0,505852
|
5,923556
|
0,836267
|
2700
|
1260
|
0,003
|
1,138167
|
13,328
|
1,8816
|
|
|
0,004
|
2,023409
|
23,69422
|
3,345067
|
|
|
0,005
|
3,161576
|
37,02222
|
5,226667
|
|
|
0,006
|
4,55267
|
53,312
|
7,5264
|
|
|
0,007
|
6,196689
|
72,56356
|
10,24427
|
|
|
0,008
|
8,093635
|
94,77689
|
13,38027
|
|
|
0,009
|
10,24351
|
119,952
|
16,9344
|
|
|
0,01
|
12,6463
|
148,0889
|
20,90667
|
|
|
0,011
|
15,30203
|
179,1876
|
25,29707
|
|
|
0,012
|
18,21068
|
213,248
|
30,1056
|
|
|
0,013
|
21,37226
|
250,2702
|
35,33227
|
|
|
0,014
|
24,78676
|
290,2542
|
40,97707
|
|
|
0,015
|
28,45419
|
333,2
|
47,04
|
|
|
0,016
|
32,37454
|
379,1076
|
53,52107
|
|
|
0,017
|
36,54782
|
427,9769
|
60,42027
|
|
|
0,018
|
40,97403
|
479,808
|
67,7376
|
|
|
0,019
|
45,65316
|
534,6009
|
75,47307
|
|
|
0,02
|
50,58522
|
592,3556
|
83,62667
|
Сопротивление
воздуха движению автомобиля
При полете тело «заметает» воздух массой , где ρ – плотность воздуха, который
получает вследствие этого энергию E=m V2/
2. Силу сопротивления можно определить по формуле
Fv = cx·S·v2·ρ/2,
где S – площадь
фронтальной проекции автомобиля, м2; v – скорость движения
автомобиля относительно воздуха, м/с; ρ – плотность
воздуха, кг/м3; cх
– коэффициент аэродинамического сопротивления.
Коэффициенты
сопротивления возьмем 0,3 для легкового, 0,6 – автобуса и 0,8 – для грузового
автомобиля. Средние сечения: легковой 2,7 м2 и 7,8 для автобуса и
легкового автомобиля. Расчеты видны в таблице:
V
|
ro
|
Sx
|
S
|
F1
|
F2
|
F3
|
1
|
1,29
|
0,3
|
2,7
|
0,52245
|
2,6316
|
4,0248
|
2
|
|
0,6
|
6,8
|
2,0898
|
10,5264
|
16,0992
|
3
|
|
0,8
|
7,8
|
4,70205
|
23,6844
|
36,2232
|
4
|
|
|
|
8,3592
|
42,1056
|
64,3968
|
|
|
|
|
13,06125
|
65,79
|
100,62
|
6
|
|
|
|
18,8082
|
94,7376
|
144,8928
|
7
|
|
|
|
25,60005
|
128,9484
|
197,2152
|
8
|
|
|
|
33,4368
|
168,4224
|
257,5872
|
9
|
|
|
|
42,31845
|
213,1596
|
326,0088
|
10
|
|
|
|
52,245
|
263,16
|
402,48
|
11
|
|
|
|
63,21645
|
318,4236
|
487,0008
|
12
|
|
|
|
75,2328
|
378,9504
|
579,5712
|
13
|
|
|
|
88,29405
|
444,7404
|
680,1912
|
14
|
|
|
|
102,4002
|
515,7936
|
788,8608
|
15
|
|
|
|
117,5513
|
592,11
|
905,58
|
16
|
|
|
|
133,7472
|
673,6896
|
1030,349
|
17
|
|
|
|
150,9881
|
760,5324
|
1163,167
|
18
|
|
|
|
169,2738
|
852,6384
|
1304,035
|
19
|
|
|
|
188,6045
|
950,0076
|
1452,953
|
20
|
|
|
|
208,98
|
1052,64
|
1609,92
|
21
|
|
|
|
230,4005
|
1160,536
|
1774,937
|
22
|
|
|
|
252,8658
|
1273,694
|
1948,003
|
При скорости
движения 100 км/ч сила сопротивления по сравнению с слой сопротивления при
скорости 40 км/ч увеличивается в 8 раз, при скорости 180 км/ч – в 30
раз.
Мощность двигателя, необходимая для
преодоления аэродинамического сопротивления, пропорциональна, следовательно,
кубу скорости:
Nv
= Fv·v/3600
(кВт),
где v — относительная
скорость движения автомобиля, км/ч., и мощность в киловатт часах
V
|
ro
|
Sx
|
S
|
P1
|
P2
|
P3
|
1
|
1,29
|
0,3
|
2,7
|
0,00029
|
0,00172
|
0,002236
|
2
|
|
0,6
|
8
|
0,002322
|
0,01376
|
0,017888
|
3
|
|
0,8
|
7,8
|
0,007837
|
0,04644
|
0,060372
|
4
|
|
|
|
0,018576
|
0,11008
|
0,143104
|
5
|
|
|
|
0,036281
|
0,215
|
0,2795
|
6
|
|
|
|
0,062694
|
0,37152
|
0,482976
|
7
|
|
|
|
0,099556
|
0,58996
|
0,766948
|
|
|
|
|
0,148608
|
0,88064
|
1,144832
|
9
|
|
|
|
0,211592
|
1,25388
|
1,630044
|
10
|
|
|
|
0,29025
|
1,72
|
2,236
|
11
|
|
|
|
0,386323
|
2,28932
|
2,976116
|
12
|
|
|
|
0,501552
|
2,97216
|
3,863808
|
13
|
|
|
|
0,637679
|
3,77884
|
4,912492
|
14
|
|
|
|
0,796446
|
4,71968
|
6,135584
|
15
|
|
|
|
0,979594
|
5,805
|
7,5465
|
16
|
|
|
|
1,188864
|
7,04512
|
9,158656
|
17
|
|
|
|
1,425998
|
8,45036
|
10,98547
|
18
|
|
|
|
1,692738
|
10,03104
|
13,04035
|
19
|
|
|
|
1,990825
|
11,79748
|
15,33672
|
20
|
|
|
|
2,322
|
13,76
|
17,888
|
При увеличении скорости необходимая
мощность двигателя возрастает в 140 раз при увеличении скорости от 40 км/ч до
180 км/ч .
Траектория
полета тела, брошенного под углом к горизонту
Исследуем для
скорости 74 м/с и углов 30о, 45о и 60о
x
|
V0
|
αград
|
αрад
|
y1
|
y2
|
y3
|
1
|
74
|
30
|
0,523599
|
0,576157
|
0,99821
|
1,728472
|
11
|
|
45
|
0,785398
|
6,20649
|
10,78346
|
18,61947
|
21
|
|
60
|
1,047198
|
11,59821
|
20,21077
|
34,79462
|
31
|
|
|
|
16,7513
|
29,28017
|
50,25391
|
41
|
|
|
|
21,66579
|
37,99164
|
64,99736
|
51
|
|
|
|
26,34165
|
46,34518
|
79,02495
|
|
|
|
|
30,7789
|
54,3408
|
92,33669
|
71
|
|
|
|
34,97753
|
61,97849
|
104,9326
|
81
|
|
|
|
38,93754
|
69,25825
|
116,8126
|
91
|
|
|
|
42,65894
|
76,18009
|
127,9768
|
Исследование
гравитационного взаимодействия
Численные расчеты
гравитационных взаимодействий без вычислительной техники требуют достаточно
много времени и потому редко выполнялись на уроках физики. Использование Excel
позволяет рассмотреть несколько интересных примеров.
Задание
№ 1. Определите ускорение свободного
падения на разных широтах Земного шара.
На поверхности
Земли тела удерживаются силой тяготения ,
где М – масса Земли, R – ее радиус.
Любая точка поверхности земного шара, лежащая на географической широте φ,
движется по кругу радиуса r
= R Cos
φ с центростремительным ускорением ω2R Cos
φ. Это ускорение сообщается
составляющей силы тяготения ОG
(Рис.1). Вторая
составляющая ОС – вес тела. Для всех точек земной поверхности, не принадлежащих
экватору и полюсам, вектор веса тела не направлен к центру Земли.
Разложим силу ОС
на две: направленную вдоль радиуса OD
и по касательной ОВ.
Вращение Земли приводит к
двум фактам. Во-первых, вес (давление тела на Землю) стал меньше силы
тяготения. Так как ОС ≈ OD, то это уменьшение равно DE = mR ω2 Cos2 φ.
Во-вторых, возникает сила,
стремящаяся расплющить Землю, передвинуть вещество к экватору; эта сила ОВ = mR ω2 Cos φ Sin φ , и Земля имеет не форму шара, а форму, близкую к
эллипсоиду вращения. Сила тяжести на широте φ будет mg - m ω2 R Cos2 φ . Ускорение свободного падения
определяем по формуле g = , центростремительное ускорение - a = R ω2 Cos2 φ , и ускорение свободного падения на широте φ определится
- g - а .
Проведем расчеты в Excel:
M- Земли
|
R- Земли
|
ω
|
G
|
g
|
φ
|
φ1
|
a
|
g-a
|
5,97E+24
|
6,38E+06
|
7,27E-05
|
6,67E-11
|
9,79E+00
|
0
|
0
|
0,033741
|
9,751894
|
|
|
|
|
|
10
|
0,174533
|
0,033228
|
9,752407
|
|
|
|
|
|
20
|
0,349066
|
0,031706
|
9,753929
|
|
|
|
|
|
30
|
0,523599
|
0,02922
|
9,756415
|
|
|
|
|
|
40
|
0,698132
|
0,025847
|
9,759788
|
|
|
|
|
|
50
|
0,872665
|
0,021688
|
9,763947
|
|
|
|
|
|
60
|
1,047198
|
0,01687
|
9,768765
|
|
|
|
|
|
70
|
1,22173
|
0,01154
|
9,774095
|
|
|
|
|
|
80
|
1,396263
|
0,005859
|
9,779776
|
|
|
|
|
|
90
|
1,570796
|
2,07E-18
|
9,785635
|
Масса Земли,
радиус, гравитационная постоянная введены в ячейки А2, В2 и D2
; в ячейки столбца F введены значения
углов в градусах. Формулы : в ячейке G2
- =РАДИАНЫ(F2), угловая скорость ω
определена - =2*ПИ()/(24*3600), ускорение свободного падения g
- = D2*A2/B2^2.
Уменьшение ускорения на разных широтах определено в ячейках столбца Н - H2
- = $C$2^2*$B$2*(COS(G2))^2,
в I2
- = $E$2
– H2.
Все формулы размножены до 11 строки. Формат ячеек столбцов F,
G
, Н, I
– общий, ячеек - A, B,
C,D,
E
- экспоненциальный.
Задание
№ 2. Используя полученные данные определите
дальность полета тела, брошенного под углом к горизонту, на разных широтах Земного
шара.
Время полета и дальность
угол
|
скорость
|
широта
|
g-a
|
дальность
|
0,785
|
70,00
|
0
|
9,751894
|
502,4663
|
|
|
10
|
9,752407
|
502,4399
|
|
|
20
|
9,753929
|
502,3615
|
|
|
30
|
9,756415
|
502,2335
|
|
|
40
|
9,759788
|
502,0599
|
|
|
50
|
9,763947
|
501,8461
|
|
|
60
|
9,768765
|
501,5986
|
|
|
70
|
9,774095
|
501,325
|
|
|
80
|
9,779776
|
501,0338
|
|
|
90
|
9,785635
|
500,7338
|
Задан угол 45о
и скорость 70 м/с. В столбец D
скопированы данные предыдущей таблицы, в ячейку Е2 записана формула =$B$2^2*Sin(2*$A$2)/D2
Комментируя
полученные результаты вычислений, обращаем внимание учащихся на необходимость
округления до трех значащих цифр.
Траектории полета
на разных широтах выглядят так:
x
|
a
|
v0
|
g
|
y1
|
y2
|
y3
|
0
|
0,785398
|
73
|
9,752
|
0
|
0
|
0
|
10
|
|
|
9,759
|
9,817001
|
9,81687
|
9,816382
|
20
|
|
|
9,785
|
19,26801
|
19,26748
|
19,26553
|
30
|
|
|
|
28,35301
|
28,35183
|
28,34744
|
40
|
|
|
|
37,07202
|
37,06992
|
37,06211
|
50
|
|
|
|
45,42503
|
45,42175
|
45,40955
|
|
|
|
|
53,41205
|
53,40732
|
53,38975
|
70
|
|
|
|
61,03306
|
61,02663
|
61,00272
|
80
|
|
|
|
68,28808
|
68,27968
|
68,24845
|
90
|
|
|
|
75,17711
|
75,16647
|
75,12695
|
100
|
|
|
|
81,70013
|
81,687
|
81,63821
|
110
|
|
|
|
87,85716
|
87,84126
|
87,78223
|
120
|
|
|
|
93,64819
|
93,62927
|
93,55902
|
130
|
|
|
|
99,07322
|
99,05102
|
98,96857
|
140
|
|
|
|
104,1323
|
104,1065
|
104,0109
|
150
|
|
|
|
108,8253
|
108,7957
|
108,686
|
160
|
|
|
|
113,1523
|
113,1187
|
112,9938
|
170
|
|
|
|
117,1134
|
117,0754
|
116,9344
|
180
|
|
|
|
120,7084
|
120,6659
|
120,5078
|
190
|
|
|
|
123,9375
|
123,8901
|
123,7139
|
200
|
|
|
|
126,8005
|
126,748
|
126,5528
|
210
|
|
|
|
129,2976
|
129,2397
|
129,0245
|
Задание
3. Определите ускорение свободного падения и первую
космическую скорость на разных высотах над поверхностью Земли.
|
G
|
M
|
R
|
R+h
|
gh
|
Vh
|
Vk
|
1
|
6,67E-11
|
5,97E+24
|
6,38E+06
|
6,38E+06
|
9,786
|
7901,414
|
7,901
|
2
|
|
|
|
1,28E+07
|
2,446
|
5587,144
|
5,587
|
3
|
|
|
|
1,91E+07
|
1,087
|
4561,884
|
4,562
|
4
|
|
|
|
2,55E+07
|
0,612
|
3950,707
|
3,951
|
5
|
|
|
|
3,19E+07
|
0,391
|
3533,620
|
3,534
|
6
|
|
|
|
3,83E+07
|
0,272
|
3225,739
|
3,226
|
7
|
|
|
|
4,47E+07
|
0,200
|
2986,454
|
2,986
|
8
|
|
|
|
5,10E+07
|
0,153
|
2793,572
|
2,794
|
9
|
|
|
|
5,74E+07
|
0,121
|
2633,805
|
2,634
|
10
|
|
|
|
6,38E+07
|
0,098
|
2498,647
|
2,499
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Высоты обозначены R+h,
gh
– ускорение на высоте R+h,
первая космическая скорость на высоте R+h
обозначена Vh, Vk
– значение первой космической скорости в км/с.
Ускорение
определяем по формуле , а скорость
Формулы введены
так: в ячейку Е3 - =Е2+6,38Е+06, в F2
- =$B$2*$C$2/E2^2,
в G2 - =КОРЕНЬ($B$2*$C$2/E2),
в H2
- =G2/1000
для выражения скорости в км/с.
Задание
№ 4. Определите скорость движения планет на
орбитах и период их вращения вокруг Солнца..
Сравнивая
выражения центростремительного ускорения и силу всемирного тяготения , из второго закона Ньютона получаем
Планета
|
расстояние до Солнца (м)
|
масса Солнца
|
G
|
V скорость
|
период
|
Период в годах
|
|
Меркурий
|
5,79E+10
|
2,00E+30
|
6,67E-11
|
47999,71
|
7,58E+06
|
0,241
|
3,38E+18
|
Венера
|
1,08E+11
|
|
|
35112,7
|
1,94E+07
|
0,615
|
3,38E+18
|
Земля
|
1,50E+11
|
|
|
29861,53
|
3,15E+07
|
1,000
|
3,38E+18
|
Марс
|
2,28E+11
|
|
|
24193,89
|
5,92E+07
|
1,880
|
3,38E+18
|
Юпитер
|
7,78E+12
|
|
|
4140,039
|
1,18E+10
|
375,252
|
3,38E+18
|
Сатурн
|
1,43E+12
|
|
|
9668,652
|
9,27E+08
|
29,460
|
3,38E+18
|
Уран
|
2,87E+12
|
|
|
6818,874
|
2,64E+09
|
83,984
|
3,38E+18
|
Нептун
|
4,50E+12
|
|
|
5447,093
|
5,19E+09
|
164,756
|
3,38E+18
|
Плутон
|
5,90E+12
|
|
|
4755,015
|
7,80E+09
|
247,674
|
3,38E+18
|
В ячейку Е2
записана формула =КОРЕНЬ($D$2*$C$2/B2),
в ячейке F2- =2*ПИ()*В2/Е2. Чтобы
периоды выразить в годах в ячейке G2
записано - = F2/$F$4
Для убеждения в том, что результаты вычисления соответствуют законам природы,
в столбце Н проверим выполнение закона Кеплера ,
для чего в ячейку H2 введем формулу
=B2^3/F2^2
Формулы размножим до десятой строки.
планета
|
масса
|
R
|
V
|
T
|
T/Tз
|
|
Меркурий
|
3,30E+23
|
5,80E+10
|
47958,315
|
87,95
|
0,2
|
|
Венера
|
4,90E+24
|
1,08E+11
|
35145,201
|
223,47
|
0,6
|
|
Земля
|
2,00E+30
|
1,50E+11
|
29821,692
|
365,78
|
1,0
|
|
Марс
|
6,40E+23
|
2,28E+11
|
24188,587
|
685,47
|
1,9
|
|
Юпитер
|
1,90E+27
|
7,80E+11
|
13077,677
|
4337,41
|
11,9
|
|
Сатурн
|
5,70E+26
|
1,43E+12
|
9658,505
|
10766,94
|
29,4
|
|
Уран
|
8,70E+25
|
2,87E+12
|
6817,686
|
30613,36
|
83,7
|
|
Нептун
|
1,00E+26
|
4,50E+12
|
5444,671
|
60104,50
|
164,3
|
|
Плутон
|
5,00E+24
|
5,90E+12
|
4755,015
|
90233,17
|
246,7
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для закрепления
умений предлагаем задания: используя справочные данные определите плотности
планет, ускорение свободного падения и дальность полета на планетах, постройте
сравнительные диаграммы размеров планет, расстояний их до Солнца.
Исследование
столкновений
Закон сохранения импульса
впервые сформулировал Декарт. Он формулирует его так: «если одно тело
сталкивается с другим, оно не может сообщить ему никакого другого движения,
кроме того, которое потеряет во время этого столкновения, как не может и отнять
у него больше, чем одновременно приобретет само» (Декарт Р. Избранные
произведения.- М. Изд-во полит. Лит.1950.). Ньютон сформулировал второй закон
динамики через количество движения (mv) «Изменение
количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по
направлению той прямой, по которой эта сила действует» . (Ньютон И. Математические начала натуральной философии.
Перевод с латинского и комментарии А.Н.Крылова. (М.: Наука, 1989.) Гюйгенс,
рассматривая соударение тел в движущихся системах отсчета, пришел к принципу
относительности .
Термин «количество
движения» просуществовал вплоть до недавнего времени и лишь недавно был заменен
понятием «импульс тела». Импульсом тела называется произведение его массы на
скорость , а импульсом системы -
геометрическая сумма импульсов отдельных тел, входящих в систему: . Из второго и
третьего законов следует постоянство векторной суммы количества движения тел,
образующих замкнутую систему.
Открытие различных
элементарных частиц и исследование процессов их столкновения и превращения,
разработка теории реактивного движения, заставили ученых взглянуть на этот
закон с иной точки зрения и сделать переоценку его значения в процессе
познания. Сейчас он считается универсальным законом природы, не имеющим
исключений. Не обнаружено ни одного явления ни в микромире, ни в макромире, где
бы этот закон нарушался.
Закон сохранения импульса
широко применяется при расчетах столкновений элементарных частиц, макроскопических
тел, отдачи при выстреле и реактивной силы, создаваемой ракетным двигателем.
Ударом называется явление конечного
изменения скоростей твердых тел за весьма малый промежуток времени τ,
происходящее при их столкновениях. В процессе деформации тел при ударе
возникают мгновенные (ударные) силы, величина которых весьма значительна. Для
системы соударяющихся тел мгновенные силы являются внутренними силами. Их
импульсы за время τ продолжительности удара во много раз больше импульсов всех
внешних сил, приложенных к системе. Поэтому в процессе удара влиянием внешних
сил можно пренебречь.
Удар называется прямым, если скорости
центров инерции соударяющихся тел перед ударом параллельны линии удара. Удар
называется центральным, если при ударе центры инерции соударяющихся тел лежат
на линии удара.
Пример 1. Центральный
абсолютно упругий удар (упругое столкновение). Ударом называется явление
изменения скоростей тел за очень малый промежуток времени их столкновения. Удар
называется абсолютно упругим, если в результате взаимодействия механическая
энергия системы не изменяется. Удар называется центральным , если
скорости тел до удара направлены вдоль линии, соединяющей центры масс тел.
Два шара с массами
m1
и m2
движутся поступательно вдоль горизонтальной прямой со скоростями V1
и V2
.Требуется определить скорости шаров U1
и U2
после абсолютно упругого удара.
Закон сохранения
проекции импульсов на горизонтальную ось запишется
m1V1
+ m2V2
= m1U1
+ m2U2
Закон сохранения
энергии
Решая совместно
эти уравнения, получим
и
Исследуем
полученные уравнения с помощью Excel
|
m1
|
m2
|
V1
|
V2
|
U1
|
U2
|
|
|
|
5
|
40
|
10
|
2
|
-4,22222
|
3,777778
|
|
|
|
10
|
|
|
|
-2,8
|
5,2
|
|
|
|
15
|
|
|
|
-1,63636
|
6,363636
|
|
|
|
20
|
|
|
|
-0,66667
|
7,333333
|
|
|
|
25
|
|
|
|
0,153846
|
8,153846
|
|
|
|
30
|
|
|
|
0,857143
|
8,857143
|
|
|
|
35
|
|
|
|
1,466667
|
9,466667
|
|
|
|
40
|
|
|
|
2
|
10
|
|
|
|
45
|
|
|
|
2,470588
|
10,47059
|
|
|
|
50
|
|
|
|
2,888889
|
10,88889
|
|
|
|
55
|
|
|
|
3,263158
|
11,26316
|
|
|
|
60
|
|
|
|
3,6
|
11,6
|
|
|
|
65
|
|
|
|
3,904762
|
11,90476
|
|
|
|
70
|
|
|
|
4,181818
|
12,18182
|
|
|
|
75
|
|
|
|
4,434783
|
12,43478
|
|
|
|
80
|
|
|
|
4,666667
|
12,66667
|
|
|
В ячейке b3
введена формула =b2+5, в c2
– m2,
d2
– V1,
e2
– V2,
f2
– формула =((b2-$c$2)*$d$2+2*$c$2*$e$2)/(b2+$c$2),
в ячейки g2
- =(($c$2-b2)*$e$2+2*b2*$d$2)/(b2+$c$2).
Формулы размножены до 20 строки.
Видно, что если
шары имеют одинаковые массы, то в результате упругого удара обмениваются
скоростями.
Если второй шар до
удара покоился (V2
= 0), то
и
|
m1
|
m2
|
V1
|
V2
|
U1
|
U2
|
|
5
|
40
|
10
|
0
|
-7,77778
|
2,222222
|
|
10
|
|
|
|
-6
|
4
|
|
15
|
|
|
|
-4,54545
|
5,454545
|
|
20
|
|
|
|
-3,33333
|
6,666667
|
|
25
|
|
|
|
-2,30769
|
7,692308
|
|
30
|
|
|
|
-1,42857
|
8,571429
|
|
35
|
|
|
|
-0,66667
|
9,333333
|
|
40
|
|
|
|
0
|
10
|
|
45
|
|
|
|
0,588235
|
10,58824
|
|
|
|
|
|
1,111111
|
11,11111
|
|
55
|
|
|
|
1,578947
|
11,57895
|
|
60
|
|
|
|
2
|
12
|
|
65
|
|
|
|
2,380952
|
12,38095
|
|
70
|
|
|
|
2,727273
|
12,72727
|
|
75
|
|
|
|
3,043478
|
13,04348
|
|
80
|
|
|
|
3,333333
|
13,33333
|
|
85
|
|
|
|
3,6
|
13,6
|
|
90
|
|
|
|
3,846154
|
13,84615
|
|
95
|
|
|
|
4,074074
|
14,07407
|
|
100
|
|
|
|
4,285714
|
14,28571
|
|
|
|
|
|
|
|
При m1>
m2
первый шар после удара движется вправо, но с меньшей
скоростью, при m1
< m2
первый шар движется влево, при равных массах шары обмениваются скоростью.
Пример 2. Центральный
абсолютно неупругий удар (неупругое столкновение) двух шаров. При абсолютно
неупругом ударе между телами действуют не потенциальные силы, и после удара
тела движутся как одно целое с общей скоростью.
Пусть скорости
поступательного горизонтального движения шаров с массами m1
и m2
до удара были соответственно равны V1
и V2
, а после удара их общая скорость равна U.
Воспользовавшись
законом сохранения импульсов с учетом направления векторов скорости и оси Х ,
запишем уравнение
m1V1
+ m2V2
= (m1
+ m2)
U.
Откуда
Кинетическая
энергия шаров до удара , после
удара . Уменьшение механической
энергии системы сопровождается возрастанием внутренней энергии – выделяется
тепло Q
= Eo
– Ek
. Выражение называют ударный импульс.
Определим и отношение выделенной энергии к начальной
Проведем
исследование в Excel
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
G
|
H
|
I
|
J
|
K
|
1
|
m1
|
m2
|
V1
|
V2
|
U
|
S
|
E0
|
Ek
|
Q
|
k
|
2
|
2
|
20
|
10
|
-12
|
-10
|
40
|
1540
|
1100
|
440
|
0,285714
|
3
|
4
|
|
|
|
-8,33333
|
73,33333
|
1640
|
833,3333
|
806,6667
|
0,49187
|
4
6
|
6
|
|
|
|
-6,92308
|
101,5385
|
1740
|
623,0769
|
1116,923
|
0,64191
|
7
|
8
|
|
|
|
-5,71429
|
125,7143
|
1840
|
457,1429
|
1382,857
|
0,751553
|
Проведем
исследование в Excel
A
|
B
|
C
|
D
|
E
|
F
|
G
|
H
|
I
|
J
|
K
|
1
|
m1
|
m2
|
V1
|
V2
|
U
|
S
|
E0
|
Ek
|
Q
|
k
|
2
|
2
|
20
|
10
|
-12
|
-10
|
40
|
1540
|
1100
|
440
|
0,285714
|
3
|
4
|
|
|
|
-8,33333
|
73,33333
|
1640
|
833,3333
|
806,6667
|
0,49187
|
4
6
|
6
|
|
|
|
-6,92308
|
101,5385
|
1740
|
623,0769
|
1116,923
|
0,64191
|
7
|
8
|
|
|
|
-5,71429
|
125,7143
|
1840
|
457,1429
|
1382,857
|
0,751553
|
8
|
10
|
|
|
|
-4,66667
|
146,6667
|
1940
|
326,6667
|
1613,333
|
0,831615
|
9
|
12
|
|
|
|
-3,75
|
165
|
2040
|
225
|
1815
|
0,889706
|
10
|
14
|
|
|
|
-2,94118
|
181,1765
|
2140
|
147,0588
|
1992,941
|
0,931281
|
11
|
16
|
|
|
|
-2,22222
|
195,5556
|
2240
|
88,88889
|
2151,111
|
0,960317
|
12
|
18
|
|
|
|
-1,57895
|
208,4211
|
2340
|
47,36842
|
2292,632
|
0,979757
|
13
|
20
|
|
|
|
-1
|
220
|
2440
|
20
|
2420
|
0,991803
|
14
|
22
|
|
|
|
-0,47619
|
230,4762
|
2540
|
4,761905
|
2535,238
|
0,998125
|
15
|
24
|
|
|
|
0
|
240
|
2640
|
0
|
2640
|
1
|
16
|
26
|
|
|
|
0,434783
|
248,6957
|
2740
|
4,347826
|
2735,652
|
0,998413
|
17
|
28
|
|
|
|
0,833333
|
256,6667
|
2840
|
16,66667
|
2823,333
|
0,994131
|
18
|
30
|
|
|
|
1,2
|
264
|
2940
|
36
|
2904
|
0,987755
|
19
|
32
|
|
|
|
1,538462
|
270,7692
|
3040
|
61,53846
|
2978,462
|
0,979757
|
20
|
34
|
|
|
|
1,851852
|
277,037
|
3140
|
92,59259
|
3047,407
|
0,970512
|
21
|
36
|
|
|
|
2,142857
|
282,8571
|
3240
|
128,5714
|
3111,429
|
0,960317
|
22
|
38
|
|
|
|
2,413793
|
288,2759
|
3340
|
168,9655
|
3171,034
|
0,949412
|
23
|
40
|
|
|
|
2,666667
|
293,3333
|
3440
|
213,3333
|
3226,667
|
0,937984
|
24
|
42
|
|
|
|
2,903226
|
298,0645
|
3540
|
261,2903
|
3278,71
|
0,926189
|
25
|
44
|
|
|
|
3,125
|
302,5
|
3640
|
312,5
|
3327,5
|
0,914148
|
Для определения скорости движения шаров
после удара в ячейки столбца F
введена формула: =(B2*$D$2+$C$2*$E$2)/(B2+$C$2).
Начальная кинетическая энергия Е0
определяется в столбце
H:
=(B2*$D$2^2+$C$2*$E$2^2)/2
Энергия после удара в столбце I
: =((B2+$C$2)*F2^2)/2
Внутренняя энергия в столбце J:
=H2-I2,
коэффициент в K: = (H2-I2)H2
Меняя значения масс шариков и их
скорости, наблюдаем изменения всех параметров.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.