Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательсеая работа "Формула Пика"

Исследовательсеая работа "Формула Пика"

Международный конкурс по математике «Поверь в себя»

для учеников 1-11 классов и дошкольников с ЛЮБЫМ уровнем знаний

Задания конкурса по математике «Поверь в себя» разработаны таким образом, чтобы каждый ученик вне зависимости от уровня подготовки смог проявить себя.

К ОПЛАТЕ ЗА ОДНОГО УЧЕНИКА: ВСЕГО 28 РУБ.

Конкурс проходит полностью дистанционно. Это значит, что ребенок сам решает задания, сидя за своим домашним компьютером (по желанию учителя дети могут решать задания и организованно в компьютерном классе).

Подробнее о конкурсе - https://urokimatematiki.ru/


Идёт приём заявок на самые массовые международные олимпиады проекта "Инфоурок"

Для учителей мы подготовили самые привлекательные условия в русскоязычном интернете:

1. Бесплатные наградные документы с указанием данных образовательной Лицензии и Свидeтельства СМИ;
2. Призовой фонд 1.500.000 рублей для самых активных учителей;
3. До 100 рублей за одного ученика остаётся у учителя (при орг.взносе 150 рублей);
4. Бесплатные путёвки в Турцию (на двоих, всё включено) - розыгрыш среди активных учителей;
5. Бесплатная подписка на месяц на видеоуроки от "Инфоурок" - активным учителям;
6. Благодарность учителю будет выслана на адрес руководителя школы.

Подайте заявку на олимпиаду сейчас - https://infourok.ru/konkurs

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Селенгинское районное управление образования

МБОУ Иройская СОШ

Районная научно исследовательская конференция школьников

«Шаг в будущее»

Секция «Геометрия»










«Одна за всех… формула Пика»









Исполнитель Мэн Ваньтин, ученица 8 класса

Руководитель Чултумова И.Н., учитель математики

первой категории


2016 г

Введение ………………………………………………………………………….2

1. Экспериментальное доказательство, что формула Пика верна для фигур :

1) без узлов внутри и на сторонах……………………………………………….4

2) с узлами на сторонах…………………………………………………………..4

3) с узлами внутри………………………………………………………………...5

4) с узлами внутри и на сторонах ……………………………………………….5

2 Исследование для 4-угольников и для 5-угольников ………………………..6

3 Формула Пика. ………………………………………………………………….7

4. Доказательство теоремы Эйлера………………………………………………8

4 Связь формулы Пика и теоремы Эйлера ……………………………………...9

5. Заключение ……………………………………………………………………10

Список литературы ……………………………………………………………….11

Приложение ………………………………………………………………………12






















Введение

Для исследовательской работы я выбрала тему: «Одна за всех … формула Пика». В этой работе я приведу экспериментальное доказательство формулы Пика, решение задач по формуле Пика и ее связь с теоремой Эйлера. Этот материал представляет информационную ценность для учащихся, учителей и других людей, кому интересна и необходима математика в их жизни. Экспериментально ищем доказательство , что формула Пика верна для фигур :1) без узлов внутри и на сторонах,  2) с узлами на сторонах, 3) с узлами внутри, 4) с узлами внутри и на сторонах. Повторяем исследование для 4-угольников и для 5-угольников. Объединяя результаты, придумываем формулу для n-угольника. Доказываем её аддитивность (сумма «площадей» двух многоугольников равна «площади» их объединения). Затем доказываем её справедливость последовательно для прямоугольника, прямоугольного треугольника, произвольного треугольника, произвольного многоугольника и решаем аналогичную задачу для многогранников в пространстве. В книге «Многоугольники на решётках.» В.В. Вавилов, А.В. Устинов М., МЦНМО, 2006. показана связь формулы Пика с теоремой Эйлера о многогранниках и другими интересными задачами. Доказаны обе формулы в задачнике В.В. Прасолов, И.Ф. Шарыгин, Задачи по стереометрии. М., Наука, 1989.  В своей работе я попытаюсь более подробно изучить вопрос об эйлеровой характеристике многогранника, показать применение данной теоремы на практике. Мы знаем, что в заданиях к ЕГЭ ( задание 15 базовый уровень), (задание 3 профильный уровень) встречаются задачи на вычисление площади фигуры, изображённой на клетчатой бумаге. Чтобы вычислить площадь изображённой фигуры, необходимо сделать дополнительные построения: разбить данную фигуру на несколько треугольников и прямоугольников, провести высоту в треугольнике. Возникли вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на вычисление площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге. На уроке геометрии, при изучении темы «Площади», учитель показала формулу Пика. Эта формула меня заинтересовала, и я приступила к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. Попробовала решать задания, используя данную формулу. Задачи решались очень быстро и легко.

Актуальность данного исследования состоит в том, что усвоение теоремы и формулы может помочь школьникам, а особенно сдающим ЕГЭ, быстро и легко решать задачи на вычисление площади различных фигур на клетчатой бумаге.

Задачи на бумаге в клетку помогают, как можно раньше формировать геометрические представления у школьников на разнообразном материале.

При решении задач на клетчатой бумаге нам не понадобится знание основ планиметрии, а будут нужны именно смекалка, геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.

Также при решении таких задач возникает ощущение математических открытий на уровне, доступном каждому ученику .

Основная цель исследования: экспериментальное доказательство, что формула Пика верна для фигур 1) без узлов внутри и на сторонах,  2) с узлами на сторонах, 3) с узлами внутри, 4) с узлами внутри и на сторонах ,  обосновать рациональность использования формулы Пика и теоремы Эйлера при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге, в расширении знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач.

Для достижения поставленной цели мною были поставлены следующие задачи:

1) Подобрать и изучить необходимую литературу по данной теме. Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию.

2) Проанализировать и систематизировать полученную информацию.

3) Решить задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге геометрическим методом.

4) Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге

5) Узнать, как взаимодействуют формула Пика и теорема Эйлера

6/ Сравнить и проанализировать результаты исследования

Объект исследования: формула Пика и ее связь с теоремой Эйлера

Предмет исследования:  применение формулы Пика и теоремы Эйлера при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Методы исследования: эксперимент, сравнение, обобщение, анализ

1. Экспериментальное доказательство, что формула Пика верна для фигур:

1) без узлов внутри и на сторонах,  2) с узлами на сторонах, 3) с узлами внутри, 4) с узлами внутри и на сторонах .

Доказательство производится в несколько этапов: от самых простых фигур до произвольных многоугольников:

  1. без узлов внутри и на сторонах

hello_html_m31a0a68.png

Доказательство: Рассмотрим единичный квадрат. В самом деле, для него hello_html_m6a7450d1.png= 1,  В = 0, Г= 4 , и формула верна.

S = В + hello_html_m6c649357.gif - 1 .

S=0+ 4/2- 1 =1

  1. с узлами на сторонах

hello_html_31a67ae7.jpg

Доказательство: Рассмотрим произвольный невырожденный прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Для доказательства формулы обозначим через hello_html_m6281ff03.png и hello_html_7fd55493.png длины сторон прямоугольника. Тогда находим: hello_html_5bde0f8a.png, В = ( а – 1)( в – 1 ), Г = 2 ( а + в). Непосредственной подстановкой убеждаемся, что формула Пика верна.

S= 14 * 5 = 70

В =( a-1)(b-1) = (14-1)(5-1) = 52

Г = 2(a+b) = 2 * (14+5) = 2*19 = 38

S = 52 +38\ 2 – 1 = 62+19-1 = 70

Экспериментально:

В= 13*4 = 52

Г= 15*2+4*2 = 38

S= 52 + 38\2 – 1= 70

3) с узлами внутри Доказательство: Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами, параллельными осям координат. Для доказательства заметим, что любой такой треугольник можно получить отсечением некоторого прямоугольника его диагональю. Обозначив через hello_html_5209ee72.png число целочисленных точек, лежащих на диагонали, можно показать, что формула Пика выполняется для такого треугольника, независимо от значения hello_html_5209ee72.png.

В = hello_html_3815b5b6.gif

Г = hello_html_a2bf802.gif+ с - 1

S = hello_html_m1e63e8b3.gif

hello_html_23b5242.jpgSпр = 8*5 =40

В = (a-1)(b-1)

Г= 2(a+b)

B = (8-1)(5-1)= 28

Г = 2( 8+5) = 2*13=26

Sпр = 28+26\2-1=28+13-1=40

Sтр = Sпр\2 = 40\2= 20

4) с узлами внутри и на сторонах Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник. Заметим, что любой такой треугольник может быть превращён в прямоугольник приклеиванием к его сторонам прямоугольных треугольников с катетами, параллельными осям координат (при этом понадобится не более 3 таких треугольников). Отсюда можно получить корректность формулы Пика для любого треугольника.

Sпр = 9*8 = 7

В = (a-1)(b-1)

Г= 2(a+b)

В = (9-1)(8-1) = 56

Г= 2(9+8) = 34

Sпр= 56+34\2-1= 72

Sтр1 = 9+15\2-1=12,5

В=9; Г=15

Sтр2 = 6+15\2-1=12,5

В=6 ; Г= 15

Sтр3 = 6+14\2-1= 12

Sтр 1,2,3 = 12,5 +12,5+ 12 = 37

Sтр = 72- 37 = 35

2 Исследование для 4-угольников и для 5-угольников

Произвольный многоугольник. Для доказательства триангулируем его, т.е. разобьём на треугольники с вершинами в целочисленных точках. Для одного треугольника формулу Пика мы уже доказали. Дальше, можно доказать, что при добавлении к произвольному многоугольнику любого треугольника формула Пика сохраняет свою корректность. Отсюда по индукции следует, что она верна для любого многоугольника

Проверим применимость этой формулы к пространственным фигурам.

Найти площадь полной поверхности  прямоугольного параллелепипеда, считая стороны квадратных клеток равными 1. К сожалению, подсчитать количество узлов решетки, попавших на границу параллелепипеда и внутрь параллелепипеда нельзя. Поэтому вычислить  площадь полной поверхности по формуле Пика невозможно. Это недостаток формулы. Она не имеет прямого аналога в пространстве.  Эта замечательная формула не обобщается на большие размерности, даже на трехмерный случай.

3 Формула Пика.

Пусть дан некоторый решётчатый многоугольник, с ненулевой площадью.

Обозначим его площадь через hello_html_m6a7450d1.png; количество точек с целочисленными координатами, лежащих строго внутри многоугольника — через В; количество точек с целочисленными координатами, лежащих на сторонах многоугольника — через Г.

Тогда справедливо соотношение, называемое формулой Пика:

hello_html_m6a7450d1.png= В +Г/2 – 1

В частности, если известны значения В и Г для некоторого многоугольника, то его площадь можно посчитать за О(1), даже не зная координат его вершин. Это соотношение открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик в 1899 г.

Доказательство теоремы Эйлера

Знаменитая теорема Эйлера впервые была опубликована появилась в 1752 году в журнале Петербургской академии наук в работах Леонарда Эйлера " Элементы учения о телах" и " Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями". Его теорема звучит так: пусть В - число вершин выпуклого многогранника, Р- число его ребер и Г – число его граней. Тогда верно равенство: В + Г = Р + 2 « сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2 »

Данная теорема встречается и в школьном курсе математики, но раскрыта не так полно, как хотелось бы мне. В своей работе я попытаюсь более подробно изучить вопрос об эйлеровой характеристике многогранника, показать применение данной теоремы на практике. Считаю, что данный вопрос актуален для каждого школьника, увлекающегося математикой и интересующегося теорией многогранников.

Правильный многогранник


Число

граней

вершин

рёбер

 Тетраэдр 

4

4

6

  Куб  

6

8

12

  Октаэдр  

8

6

12

  Додекаэдр  

12

20

30

  Икосаэдр

20

12

30

Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12) . В столбце «рёбра» закономерности тоже не видно. Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах «грани» и «вершины» (Г + В). Составим новую таблицу своих подсчётов:

Правильный многогранник


Число

граней и вершин

(Г + В)

рёбер

(Р)

Тетраэдр

4 + 4 = 8

6

Куб

6 + 8 = 14

12

Октаэдр

8 + 6 = 14

12

Додекаэдр

12 + 20 = 32

30

Икосаэдр

20 + 12 = 32

30

Вот теперь закономерности может не заметить только «слепой». Сформулируем её так: «Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2 », т.е. Г + В = Р + 2, или, Г + В – Р = 2

Связь формулы Пика и теоремы Эйлера

В связи с этим возникла гипотеза, что задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге, можно решить с помощью формулы Пика более рационально с применением теоремы Эйлера Здесь речь пойдет об одной комбинаторной формуле Эйлера и формуле Пика для вычисления площадей многоугольников, которые расположены на решетках, а также связям между ними. Формула Пика была доказана более 100 лет назад, а формула Эйлера еще на 150 лет раньше. Формула Пика и теорема Эйлера самые интересные предметы исследования. Так давайте выясним, как же взаимодействуют между собой эти сложные формулы.

Заметим, что формула Пика — это не только утверждение о площади многоугольника, но является результатом и чисто комбинаторного характера о триангуляциях многоугольника (т. е. разбиениях на треугольники).

Мhello_html_m105c160a.png
ы будем рассматривать только правильные триангуляции простых многоугольников, т. е. такие разбиения на треугольники, когда любые два треугольника либо имеют общую сторону, либо имеют только одну общую вершину, либо вообще не имеют общих точек.

N = 2N + Ne – 2

N – число треугольников

2N – число вершин, находящихся внутри многоугольника

2Ne – число вершин, находящихся на границе многоугольника

7 = 2*2 +5- 2

Ясно, что любой простой многоугольник может быть триангулирован бесконечным числом способов. Однако для некоторых треугольников в триангуляции имеется также простая формула: N = 2Ni + Ne − 2, где через В и Г обозначено соответственно число вершин треугольников, находящихся строго внутри многоугольника, и число вершин треугольников, находящихся на границе многоугольника. Доказательство этого факта проводится ровно так же, как и при доказательстве теоремы Пика.

Связи формулы Пика с формулой Эйлера подсказывают, что существует аналог формулы Пика и в более общем случае. Простейшим таким является распространение теоремыhello_html_m73c09921.jpghello_html_348ddacb.jpg Пика на простые многоугольники с

лакунами.

5. Заключение

В  результате изучения различных источников из всех свойств можно выделить следующее: любой простой треугольник имеет площадь . Используя это свойство и следующую  теорему: пусть на границе многоугольника отмечено Г точек ( включая все вершины), внутри – ещё В точек, тогда существует разбиение  с вершинами в отмеченных точках, причём количество треугольников такого разбиения будет равно Г + 2В – 2, австрийский математик Пик Георг Александр вывел формулу S = В + hello_html_m6c649357.gif - 1 .

 Основная цель исследования: Экспериментальное доказательство, что формула Пика верна для фигур

1) без узлов внутри и на сторонах,  2) с узлами на сторонах, 3) с узлами внутри, 4) с узлами внутри и на сторонах

Применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге. Узнать, как взаимодействуют формула Пика и теорема Эйлера

    При выполнении работы были решены  задачи на нахождение площади многоугольников, изображённых на клетчатой бумаге двумя способами: геометрическим и с помощью формулы Пика.

     Проанализировав способы решения задач, можно сделать следующие выводы:

1) Формула Пика даёт быстрое и простое решение задач на нахождение площади фигуры, вершины которой лежат в узлах решётки, то есть нахождения площадей многоугольников.

2) Использование формулы Пика для нахождения площади кругового сектора или кольца нецелесообразно, так как она даёт приближённый результат.

3) Формула Пика не применяется для решения задач в пространстве.

Эта работа вызвала у учеников нашего класса интерес, и мы надеемся, что выводы, полученные в результате наших исследований, помогут выпускникам одиннадцатых классов при сдаче ЕГЭ по математике.




Список литературы

1. Атанасян Л. С., В.Ф. Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.Геометрия .7-9 классы.М. Просвещение ,2010 .

2. Бореевич З. И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. — М.: Наука,

1972.

3. Вавилов В. В. Избранные лекции по геометрии. — Алматы: Дарын, 2000.

4.В.В.Вавилов, А.В.Устинов .Многоугольники на решетках.М.МЦНМО,2006..

5. Васильев Н. Б. Вокруг формулы Пика // Квант.—1974.—12.

C. 39–43.

6. Васильев Н.Б., Егоров А.А. Задачи всесоюзных математических олимпиад.—М.: Наука, 1988.

7. Гальперин Г. А., Толпыг о А.К. Московские математические олимпиады.—М.: Просвещение, 1986.

8. Гильберт Д., Кон - Фоссен С. Наглядная геометрия. — М.: Наука, 1981.

9. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

10 .Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – 2015



Приложение

Посмотрим решение задач по формуле Пика. Посмотрим, как легко и быстро можно найти площадь используя только данную формулу.

Задача 1: Проверить и решить некоторые задачи на клетчатой бумаге с клетками размером 1 см hello_html_479b0fcc.png1 см по формуле Пика

  1. Найдите площадь прямоугольника АВСD (рис.4).

Рhello_html_m3c612c7e.jpgешение. По формуле Пика: S = В + hello_html_m6c649357.gif - 1 .

В = 8, Г = 6

S = 8 + 6/2 – 1 = 10 (см²)

Ответ: 10 см².

Рис.4


  1. Найдите площадь параллелограмма АВСD (рис.5)

Рhello_html_4524cbe0.jpgешение. По формуле Пика: S = В + hello_html_m6c649357.gif - 1 .

В = 6, Г = 6

S = 6 + 6/2 – 1 = 8 (см²)


Ответ: 8 см².


  1. Найдите площадь треугольника АВС (рис.6)

Рhello_html_5c5273e2.jpgешение. По формуле Пика: S = В + hello_html_m6c649357.gif - 1 .

В = 6, Г = 5

S = 6 + 5/2 – 1 = 7,5 (см²)


Ответ: 7,5 см².


  1. Найдите площадь четырёхугольника АВСD (рис. 7)

Решение. По формуле Пика: S = В + hello_html_m6c649357.gif - 1

hello_html_391dfd88.jpgВ = 5, Г = 7

S = 5 + 7/2 – 1 = 7,5 (см²)


Ответ: 7,5 см².



  1. Вhello_html_m5d526491.gif. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см hello_html_479b0fcc.png1 см изображен треугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах.

Рhello_html_maa216d0.pngешение. По формуле Пика: S = В + hello_html_m6c649357.gif - 1 .

В = 12, Г = 6

S = 12 + 6/2 – 1 = 14 (см²)


Ответ: 14

Вhello_html_m5d526491.gif. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см hello_html_479b0fcc.png1 см изображена трапеция . Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.

Рhello_html_4f412975.pngешение. Воспользуемся формулой Пика:

В = 12, Г = 17

S = 12 + 17/2 – 1 = 19,5 (см²)

Ответ: 19,5

Поможет нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием.

  1. Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м (рис. 10)

hello_html_4bfc915.jpg

Решение. Найдём Shello_html_27ec538e.gif площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + hello_html_m6c649357.gif - 1

В = 8, Г = 7. Shello_html_27ec538e.gif = 8 + 7/2 – 1 = 10,5 (см²)

1 см² - 200² м²; S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²)

Ответ: 420 000 м²



  1. Найдите площадь поля (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 × 1(см) в масштабе 1 см – 200 м. (рис. 11)

Рhello_html_34973805.jpgешение. Найдём Shello_html_27ec538e.gif площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + hello_html_m6c649357.gif - 1

В = 7, Г = 4. Shello_html_27ec538e.gif = 7 + 4/2 – 1 = 8 (см²)

1 см² - 200² м²; S = 40000 · 8 = 320 000 (м²)

Ответ: 320 000 м²


Вы сами убедились, рассматривая решение задач, что если использовать формулу Пика, можно быстро, а главное правильно найти площадь геометрических фигур.


8.Найдите площадь треугольника ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.(Рис.1)

Рис.1hello_html_m3910c7c2.pngРис.2hello_html_729508db.pngРис.3hello_html_190185c0.png

Решение 1. Так как диагональ квадрата со стороной 1 равна hello_html_20329080.gif , то сторона AC треугольника ABC равна 5√2 , высота BH, проведенная к этой стороне, равна 3√2/2. Следовательно, площадь данного треугольника равна 7,5.(Рис.2)

Решение 2. Разобьем данный треугольник ABC на два треугольника ABD и BDC. Их общая сторона BD равна 3, а высоты, к ней проведенные, равны соответственно 1 и 4. Площадь треугольника ABD равна 1,5, а площадь треугольника BDC равна 6. Площадь треугольника ABC равна сумме площадей этих треугольников и, следовательно, равна 7,5. (Рис.3). Ответ: 7,5.

9. Найдите площадь четырехугольника ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1.


Рис.1hello_html_m194e9f87.png Рис.2 hello_html_5aca5c3d.png

Решение 1. Разобьем данный четырехугольник на два треугольника ACB и ACD. Сторона AC у них общая и равна 2√2. Высоты BH и DH равны 3√2/2. Следовательно, площади этих треугольников равны 3. Значит, площадь четырехугольника равна 6. (Рис.2)

Решение 2. Площадь данного четырехугольника равна разности площадей треугольников ABD и CBD. В треугольнике ABD сторона BD равна 3√2 , высота AH равна 5√2/2. Следовательно, его площадь равна 7,5. В треугольнике CBD сторона BD равна 3√2, высота CH равна √2/2. Следовательно, его площадь равна 1,5. Таким образом, площадь данного четырехугольника равна 6. Ответ. 6.

10.. Найдите площадь S сектора, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите S/π.

Рис.1hello_html_18e7bb4a.png Рис.2hello_html_339b41a5.png

Решение 1. Напомним, что площадь S кругового сектора вычисляется по формуле hello_html_71a2001b.gif, где R – радиус круга, hello_html_m707e4efd.gif - градусная величина угла сектора. В нашем случае hello_html_m707e4efd.gif= 90о. Радиус R равен √5. Подставляя данные значения в формулу площади сектора, получим S = 5π/4 . Откуда S/π=1,25.

Решение 2. Заметим, что данный сектор является одной четвертой частью круга и, следовательно, его площадь равна одной четвертой площади круга. Площадь круга равна π R2, где R – радиус круга. В нашем случае R =√5 и, следовательно, площадь S сектора равна 5π/4 . Откуда S/π=1,25. Ответ. 1,25.

11. Найдите площадь S кольца, считая стороны квадратных клеток равными 1. В ответе укажите hello_html_m3ad295de.gif .

Рис.1.hello_html_608488f3.png Рис.2. hello_html_m19c660f1.png

Решение. Площадь кольца равна разности площадей внешнего и внутреннего кругов. Радиус R внешнего круга равен 2hello_html_20329080.gif , радиус r внутреннего круга равен 2. Следовательно, площадь S кольца равна 4hello_html_4fd45fec.gif и, следовательно, hello_html_m1464aa32.gif. Ответ:4.









16



Самые низкие цены на курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации!

Предлагаем учителям воспользоваться 50% скидкой при обучении по программам профессиональной переподготовки.

После окончания обучения выдаётся диплом о профессиональной переподготовке установленного образца (признаётся при прохождении аттестации по всей России).

Обучение проходит заочно прямо на сайте проекта "Инфоурок".

Начало обучения ближайших групп: 18 января и 25 января. Оплата возможна в беспроцентную рассрочку (20% в начале обучения и 80% в конце обучения)!

Подайте заявку на интересующий Вас курс сейчас: https://infourok.ru/kursy



Автор
Дата добавления 27.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров42
Номер материала ДБ-392688
Получить свидетельство о публикации

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.

Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.

Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх