Исследовательская работа "Числа Фибоначчи" (10 класс)

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ

«КРИВЛЯНСКАЯ СРЕДНЯЯ ШКОЛА»

ЖАБИНКОВСКОГО РАЙОНА

ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ И ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Исследовательская работа

Работу выполнила:

учащаяся 10 класса

Садовничик Валерия Алексеевна

Руководитель:

Лавренюк Лариса Николаевна,

учитель информатики и

математики 1 квалификационной

категории д. Кривляны

Кривляны - 2015

Оглавление

Введение

Человек стремится к знаниям, пытается изучить Мир, который его окружает. В процессе наблюдений появляются многочисленные вопросы, на которые, соответственно, требуется найти ответы. Человек ищет эти ответы, а находя их, появляются другие вопросы.

Сегодня, в век высоких технологий, изучение ведётся не только на нашей планете Земля, но и за её пределами – во Вселенной.

Но это не значит, что на Земле всё изучено, а наоборот, остаётся огромное количество непонятных и необъяснимых явлений. Но есть «ответы», которые дают объяснение сразу нескольким таким явлениям.

Оказывается, закономерность явлений природы, строение и многообразие живых организмов на нашей планете, всё, что нас окружает, поражая воображение своей гармонией и упорядоченностью, законы мироздания, движение человеческой мысли и достижения науки – всё это можно объяснить последовательностью Фибоначчи.

Ряд чисел Фибоначчи на первый взгляд не понятен никому. Вот так он выглядит: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55…

Актуальность выбранной темы заключается в том, что числа Фибоначчи и их различные инварианты отражаются во всех творениях мироздания, которые продуманы и подчинены единым законам природы и имеют большой практический и теоретический интерес во многих науках.

Цель данной работы:  изучить проявление чисел Фибоначчи и связанного с ними закона золотого сечения в строении живых и неживых объектов, найти примеры использования чисел Фибоначчи.

Объект исследования: человек, математические абстракции, созданные человеком, изобретения человека, окружающий растительный и животный мир.

Предмет исследования: форма и строение исследуемых предметов и явлений.

Задачи исследования:

1. Изучить ряды Фибоначчи;

2. Рассмотреть примеры золотого сечения;

3. Увидеть математические закономерности в строении человека, растительного мира и неживой природы.

Новизна исследования - открытие чисел Фибоначчи в окружающей нас действительности.

Практическая значимость - использование приобретенных знаний и навыков исследовательской работы при изучении других школьных предметов, осознание вездесущности математических законов.

Методы исследования:

1. Теоретический

2. Наблюдение, эксперимент

Биография Леонардо Пизано Фибоначчи

О жизни Фибоначчи известно немного. Неизвестна даже точная дата его рождения. Предполагается, что Фибоначчи родился в восьмой декаде 12-го столетия (предположительно в 1170 г.).

Фот. 1. Леонардо Фибоначчи

Его отец был купцом и государственным чиновников. Отец Фибоначчи активно торговал в одной из факторий, основанных итальянцами на северном побережье Африки. Благодаря этому обстоятельству ему удалось "устроить" своего сына, будущего математика Фибоначчи, в одно из арабских учебных заведений, где он и смог получить неплохое для того времени математическое образование.

Один из известных историков математики Морис Кантор назвал Фибоначчи "блестящим метеором, промелькнувшим на темном фоне западно-европейского средневековья". Он высказывает предположение, что, возможно, Фибоначчи погиб во время одного из Крестовых походов (предположительно в 1228 г. ), сопровождая императора Фридриха Гогенштауфена.

Фибоначчи написал несколько математических сочинений: "Liber abaci", "Liber quadratorum", "Practica geometriae". Наиболее известным из них является "Liber abaci". Сочинение представляло своеобразную математическую энциклопедию эпохи средневековья. Особенный интерес представляет раздел, в котором Фибоначчи сформулировал и решил ряд математических задач, представляющих интерес с точки зрения общих перспектив развития математики.

Наиболее известной из сформулированных Фибоначчи задач является "задача о размножении кроликов", которая привела к открытию числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., названной впоследствии "рядом Фибоначчи".

При этом отношение соседних чисел стремится к золотому сечению:

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

Учёные, анализируя дальнейшее применение этого числового ряда к природным феноменам и процессам, обнаружили, что эти числа содержатся буквально во всех объектах живой природы, в растениях, в животных и в человеке.

Золотое сечение

Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление) — соотношение двух величин a и b, b > a, когда справедливо . Число, равное отношению b/a, обычно обозначается греческой буквой , реже — греческой буквой . Из исходного равенства нетрудно получить, что число

Обратное число

Отсюда следует, что

.

Для практических целей ограничиваются приблизительным значением = 1,618. В процентном округлённом значении золотое сечение — это деление какой-либо величины в отношении 62 % и 38 %.

Исторически изначально золотым сечением именовалось деление отрезка АВ точкой С на две части (меньший отрезок АС и больший отрезок ВС), чтобы для длин отрезков было верно AC/BC = BC/AВ.

Говоря простыми словами, золотым сечением отрезок рассечён на две неравные части так, что большая часть отрезка составляет такую же долю в целом отрезке, какую меньшая часть отрезка составляет в его большей части. Позже это было распространено на произвольные величины.

Фот. 2. Построение золотого сечения

Число  называется также золотым числом.

В дошедшей до нас античной литературе деление отрезка в крайнем и среднем отношении (ἄκρος καὶ μέσος λόγος) впервые встречается в «Началах» Евклида (ок. 300 лет до н. э.), где оно применяется для построения правильного пятиугольника.

Лука Пачоли, современник и друг Леонардо да Винчи, называл это отношение «божественной пропорцией». Термин «золотое сечение» (нем. goldener schnitt) был введён в обиход Мартином Омом в 1835 году.

Золотое сечение имеет множество замечательных свойств, но, кроме того, ему приписывают и многие вымышленные свойства.

Фот.3. Золотой прямоугольник

Золотой прямоугольник с длинной стороной a и короткой b, помещённый рядом с квадратом со стороной a, даёт подобный золотой прямоугольник с длинной стороной a + b и короткой стороной a. Это иллюстрирует отношение

Золотой прямоугольник обладает многими необычными свойствами. Отрезав от золотого прямоугольника квадрат, сторона которого равна меньшей стороне прямоугольника, мы снова получим золотой прямоугольник меньших размеров.

Фот. 4. – Золотой прямоугольник и спираль.

Этот процесс можно продолжать до бесконечности. Продолжая отрезать квадраты, мы будем получать все меньшие и меньшие золотые прямоугольники. Причем располагаться они будут по логарифмической спирали, имеющей важное значение в математических моделях природных объектов.

Паук плетет паутину спиралеобразно. Спиралью закручивается ураган. Испуганное стадо северных оленей разбегается по спирали. План города Ауро-вилля (Индия)—свидетельство спиралевидной застройки. Молекула ДНК закручена двойной спиралью. Гёте называл спираль «кривой жизни».

Среди придорожных трав растет ничем не примечательное растение —цикорий. Приглядимся к нему внимательно. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.

Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс. Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий — 38, четвертый — 24 и т. д. Длина лепестков тоже подчинена золотой пропорции. В росте, завоевании пространства растение сохраняло определенные пропорции. Импульсы его роста постепенно уменьшались в пропорции золотого сечения.

В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции: длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38.

И в растительном, и в животном мире настойчиво пробивается формообразующая тенденция природы — симметрия относительно направления роста и движения. Здесь золотое сечение в пропорциях частей перпендикулярно к направлению роста. Сон и бодрствование человека в пределах суток, удары сердца и его отдых, кровяное давление в норме — все имеет тенденцию проявляться в золотой пропорции.

Фот. 5. Примеры золотого сечения в природе

Числа Фибоначчи

Усилием математиков золотая пропорция была объяснена, изучена и глубоко проанализирована. Казалось бы, вопрос исчерпан. Оставалось лишь изучать проявление этой закономерности в природе, искать ее практическое применение. Возможно, так бы и произошло, если бы не появилась в истории математики одна незаметная задача о кроликах: «Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?» Далее в задаче поясняется, что природа кроликов такова, что через месяц пара их производит на свет другую пару, а начинают размножаться кролики со второго месяца после своего рождения. В результате решения этой немудреной задачи получился ряд чисел 1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и т. д. Этот ряд чисел был позже назван именем Фибоначчи, так называли Леонардо (Fibonacci —сокращенное filius Bonacci, то есть сын Боначчи).

Английский ученый Р. Симпсон математически строго доказал, что отношение рядом расположенных чисел Фибоначчи в_ пределе стремится к золотой пропорции, равной

.

Числа Фибоначчи обладают многими интересными свойствами. Так, сумма всех чисел ряда от первого до a_n равна следующему через одно число (a_n+2) без единицы. Легко показать и проверить на примерах, что отношение расположенных через одно чисел Фибоначчи в пределе стремится к квадрату золотой пропорции, равному 2,618033... Удивительное свойство! Получается, что . Но ведь это соотношение имеет место в совершенном прямоугольном треугольнике с углом около 51°50'. Это же уравнение связывает отрезки целого, разделенного на две части в соответствии с золотой пропорцией. Невидимая, но прочная связь общих закономерностей соединила в логически единую стройную систему совершенные геометрические фигуры, пирамиды Египта, задачу о размножении кроликов.

Особенность последовательности чисел состоит в том, что

1) каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т.д.,

2) отношение смежных чисел ряда приближается к отношению золотого деления. Так, 21 : 34 = 0,617, а 34 : 55 = 0,618. Это отношение обозначается символом .

3) Сумма чисел Фибоначчи с нечётными номерами равна следующему числу с четным номером a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1=a_2n

4) Сумма чисел Фибоначчи с чётными номерами равна следующему четному числу без единицы a₂+ a₄+a₆+ …+ a_2n=a_2n+1-1

5) Сумма квадратов первых n чисел Фибоначчи равна произведению n-го и следующего за ним члена a₁²+ a₂²+a₃²+…+ a_n²= a_n•a_n+1

Найдем, например, несколько «признаков делимости» чисел Фибоначчи. Под признаком делимости мы понимаем здесь признак, по которому можно определить, делится или нет то или иное число Фибоначчи на некоторое данное число.

Число Фибоначчи четно тогда и только тогда, когда его номер делится на 3.

Число Фибоначчи делится на 3 тогда и только тогда, когда его номер делится на 4.

Число Фибоначчи делится на 4 тогда и только тогда, когда его номер делится на 6.

Число Фибоначчи делится на 5 тогда и только тогда, когда его номер делится на 5.

Число Фибоначчи делится на 7 тогда и только тогда, когда его номер делится на 8.

Число Фибоначчи делится на 16 тогда и только тогда, когда его номер делится на 12.

Числа Фибоначчи и человек

Около двух веков идея применения золотой пропорции в исследовании человеческого тела была предана забвению, и лишь в середине XIX века немецкий ученый Цейзинг вновь обратился к ней. Он находил, что все тело человека в целом и каждый отдельный его член связаны математически строгой системой пропорциональных отношений, среди которых золотое сечение занимает важнейшее место. Измерив тысячи человеческих тел, он установил, что золотая пропорция есть среднестатистическая величина, характерная для всех хорошо развитых тел. Он нашел, что средняя пропорция мужского тела близка к 13/8=1,625, а женского — к 8/5=1,60. Аналогичные значения получены и при анализе антропометрических данных населения СССР (1,623 для мужчин и 1,605 для женщин). Пропорции тела мужчин и женщин отклоняются в разные стороны от золотой пропорции — иррациональной предельной величины, равной 1,618..., в чем выражается, очевидно, геометрическое различие в половой анатомии мужчин и женщин.

Кроме этого есть и еще несколько основных золотых пропорции нашего тела:

Фот.6. Золотое сечение и человек

- расстояние от кончиков пальцев до запястья и от запястья до локтя равно 1:1.618

- расстояние от уровня плеча до макушки головы и размера головы равно 1:1.618

- расстояние от точки пупа до макушки головы и от уровня плеча до макушки головы равно 1:1.618

- расстояние точки пупа до коленей и от коленей до ступней равно 1:1.618

- расстояние от кончика подбородка до кончика верхней губы и от кончика верхней губы до ноздрей равно 1:1.618

- расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618

- расстояние от кончика подбородка до верхней линии бровей и от верхней линии бровей до макушки равно 1:1.618

Достаточно лишь приблизить сейчас вашу ладонь к себе и внимательно

Фот.7. Рука и золотое сечение

посмотреть на указательный палец, и вы сразу же найдете в нем формулу золотого сечения. Каждый палец нашей руки состоит из трех фаланг.

У человека 2 руки, пальцы на каждой руке состоят из 3 фаланг (за исключением большого пальца). На каждой руке имеется по 5 пальцев, то есть всего 10, но за исключением двух двух фаланговых больших пальцев только 8 пальцев создано по принципу золотого сечения.  Тогда как все эти цифры 2, 3, 5 и 8 есть числа последовательности Фибоначчи.

Фот.8.Лицо и золотое сечение

В строении черт лица человека также есть множество примеров, приближающихся по значению к формуле золотого сечения. Однако не бросайтесь тотчас же за линейкой, чтобы обмерять лица всех людей. Потому что точные соответствия золотому сечению, по мнению ученых и людей искусства, художников и скульпторов, существуют только у людей с совершенной красотой. Собственно, точное наличие золотой пропорции в лице человека и есть идеал красоты для человеческого взора.

К примеру, если мы суммируем ширину двух передних верхних зубов и разделим эту сумму на высоту зубов, то, получив при этом число золотого сечения, можно утверждать, что строение этих зубов идеально.

На человеческом лице существуют и иные воплощения правила золотого сечения:

- высота лица / ширина лица,

- центральная точка соединения губ до основания носа / длина носа.

- высота лица / расстояние от кончика подбородка до центральной точки соединения губ

- ширина рта / ширина носа,

- ширина носа / расстояние между ноздрями,

- расстояние между зрачками / расстояние между бровями.

Американский физик Б.Д.Уэст и доктор А.Л. Гольдбергер во время физико-анатомических исследований установили, что в строении легких человека также существует золотое сечение.

Особенность бронхов, составляющих легкие человека, заключена в их асимметричности. Бронхи состоят из двух основных дыхательных путей, один из которых (левый) длиннее, а другой (правый) короче.

Было установлено, что эта асимметричность продолжается и в ответвлениях бронхов, во всех более мелких дыхательных путях. Причем соотношение длины коротких и длинных бронхов также составляет золотое сечение и равно 1:1,618.

Во внутреннем ухе человека имеется орган Cochlea ("Улитка"), который исполняет функцию передачи звуковой вибрации. Эта костевидная структура наполнена жидкостью и также сотворена в форме улитки, содержащую в себе стабильную логарифмическую форму спирали = 73? 43'.

   Давление крови изменяется в процессе работы сердца. Наибольшей величины оно достигает в левом желудочке сердца в момент его сжатия (систолы). В артериях во время систолы желудочков сердца кровяное давление достигает максимальной величины, равной 115-125 мм ртутного столбца у молодого, здорового человека. В момент расслабления сердечной мышцы (диастола) давление уменьшается до 70-80 мм рт.ст. Отношение максимального (систолического) к минимальному (диастолическому) давлению равно в среднем 1,6, то есть близко к золотой пропорции.

Если взять за единицу среднее давление крови в аорте, то систолическое давление крови в аорте составляет 0,382, а диастолическое - 0,618, то есть их отношение соответствует золотой пропорции. Это означает, что работа сердца в отношении временных циклов и изменения давления крови оптимизированы по одному и тому же принципу - закону золотой пропорции. 

Молекула ДНК состоит из двух вертикально переплетенных между собой спиралей. Длина каждой из этих спиралей составляет 34 ангстрема, ширина 21 ангстрема. (1 ангстрем - одна стомиллионная доля сантиметра).

Естественно предположить, что когда-то у человека не было ложки. Чтобы напиться воды из ручья, он складывал ладонь в виде черпачка и пил. Форма кисти руки в таком виде и вся рука до локтя могла послужить человеку прообразом ложки. Интересно то, что пропорции кисти с предплечьем и пропорции ложки совпадают — они составляют соотношение золотого сечения.

Фот.9.Рука, ложка и золотое сечение

Измерение инструментов, которыми человек пользуется почти ежедневно, показало, что в них он продолжает формообразование по закону золотой пропорции, проявленное природой в строении руки и кисти.

Фот.10.Рука и золотое сечение

Совокупность рассмотренных психологами фактов биографий известных людей позволяет изобразить критические возрасты мужчин следующим рядом лет: 1, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, который отвечает ряду чисел Фибоначчи. Практически целесообразно в жизни мужчин выделить семь основных периодов, отвечающих числам Фибоначчи: до года — младенчество, 1—8 лет — детство, 8—13 лет — отрочество, 13—21 год — юность, 21—34 года — молодость, 34—55 — зрелость, 55—89 — старость. Дальше следует редко реализуемый период долгожительства — 89—144 года. Периодичность в жизни женщин подчиняется другому ряду лет, близких к числовому ряду Люка, который является вариацией чисел Фибоначчи: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123.

Возрастные интервалы согласуются с более ранним развитием девочек, половая перестройка у них начинается раньше, чем у мальчиков, и к 18 годам оканчивается формирование организма. Возрастные периоды женщин аналогичны мужским, но более ранние, причем, чем больше возраст, тем больше эта разница.

Изучая по данным опросов факторы, влияющие на ощущение счастья, исследователи задались вопросом о количественном соотношении счастливых и несчастливых людей. Анализ как отечественных, так и зарубежных данных показал, что численность удовлетворённых и неудовлетворённых своими обстоятельствами людей подчиняется пропорциям знаменитого «золотого сечения». По результатам опроса оказалось, что счастливыми считают себя 63% опрошенных. Поразительная цифра, ибо золотое сечение приходится на 62%.

Оптимальные физические параметры внешней среды

 Органы чувств человека дают ему возможность воспринимать все многообразие внешнего мира, чутко реагировать даже на незначительные изменения внешней среды. Существуют некоторые границы ощущения, характеризуемые минимальными и максимальными параметрами внешней среды, которые человек способен воспринимать. Эти границы называются абсолютно нижним и абсолютно верхним порогами ощущений.

В книге русского ученого В.И. Коробко "Золотая пропорция и проблемы гармонии систем" (1998 г.) предпринята интересная попытка показать, что нижние и верхние пороги связаны через золотую пропорцию.

Максимальная громкость звука, которая вызывает болевые ощущения, равна 130 децибелам. Если разделить этот интервал золотой пропорцией 1,618, то получим 80 децибел, которые характерны для громкости человеческого крика. Если теперь 80 децибел разделить золотой пропорцией, то получим 50 децибел, что соответствует громкости человеческой речи. Наконец, если разделить 50 децибел квадратом золотой пропорции 2,618, то получим 20 децибел, что соответствует шепоту человека. Таким образом, все характерные параметры громкости звука взаимосвязаны через золотую пропорцию.

При температуре 18-20° интервал влажности 40-60% считается оптимальным. Границы оптимального диапазона влажности могут быть получены, если абсолютную влажность 100% дважды разделить золотым сечением:

100/2,618 = 38,2% (нижняя граница); 100/1,618 = 61,8% (верхняя граница).

При давлении воздуха 0,5 МПа у человека возникают неприятные ощущения, ухудшается его физическая и психологическая деятельность. При давлении 0,3 - 0,35 МПа разрешается только кратковременная работа, а при давлении 0,2 МПа разрешается работать не более 8 мин. Все эти характерные параметры связаны между собой золотой пропорцией:

0,5/1,618 = 0,31 МПа; 0,5/2,618 = 0,19 МПа.

Граничными параметрами температуры наружного воздуха, в пределах которых возможно нормальное существование (а, главное, стало возможным происхождение) человека является диапазон температур от 0 до +(57-58)°С. Разделим указанный диапазон положительных температур золотым сечением. При этом получим две границы:

Обе границы являются характерными для организма человека температурами: первая соответствует температуре тела человека 36,6°С, вторая является наиболее благоприятной температурой для организма человека. Последнюю границу можно получить из температуры тела человека с помощью золотой пропорции: 36,6/1,618 = 22,62°С.

Хотя все эти расчеты, на первый взгляд, кажутся искусственными, но тем не менее они заставляют нас задуматься над ними, а иногда и практически использовать.

Числа Фибоначчи и искусство

Золотое сечение было использовано, чтобы привнести красоту, баланс и гармонию в некоторые величайшие произведения искусства.

Для анализа метрики стихотворений А. С. Пушкина рассмотрены его произведения периода 1829—1836 годов, периода создания наиболее совершенных стихов. Сюда вошло 109 стихов (без песен западных славян). Число строк в стихотворениях этого периода изменялось от 4 до 116. Однако большие стихотворные формы встречаются редко; число стихотворений с числом строк более 60 составило всего девять штук. Средний размер этих стихотворений составил 88 строк.

Знаменитое стихотворение Лермонтова "Бородино" делится на две части: вступление, обращенное к рассказчику и занимающее лишь одну строфу ("Скажите, дядя, ведь недаром …"), и главную часть, состоящую из 13 семистиший, т.е. из 91 строки.

Разделив ее золотым сечением (91:1,618 = 56,238), убеждаемся, что точка деления находится в начале 57-го стиха, где стоит короткая фраза: "Ну ж был денек!". Именно эта фраза представляет собой кульминационный пункт стихотворения.

Стихотворения В. Брюсова отличаются совершенством своих форм. И неудивительно, что в их размерности также проявляются числа Фибоначчи. Было проанализировано 360 стихотворений поэта из его двухтомника (1987 г.); эти стихи охватывали период от 1882 до 1912 года (до стр. 342). Только в трех стихотворениях число строк составило 70, 85, 90 (что в среднем близко к числу Фибоначчи 89). Остальные стихотворения содержали значительно меньше строк — от 8 до 36 и крайне редко несколько больше.

Конечно, рождение стихотворений с числом строк 13 и 21 маловероятно, ведь законы стихосложения диктуют четное число строк. Поэтому так часто в стихотворениях поэта встречаются стихи с числом строк 12 и 14, 20 и 22, тяготеющие к числам Фибоначчи.

Чтобы оценить сложность и глубину планирования и применения размерных пропорций в картине Рафаэля, рассмотрим рисунок ниже. Этот образ включает в себя четыре прямоугольника, которые накладываются на картину.

Фот.11.Картина Рафаэля и золотое сечение

Использование Рафаэлем золотой пропорции является не только ясным и убедительным, но довольно блестящим в его исполнении. 

Картина «Святое семейство» Микеланджело признана одним из шедевров западноевропейского искусства эпохи Возрождения. Гармонический анализ показал, что композиция картины основана на пентакле. 

Фот.12. Картина «Святое семейство» Микеланджело и пентакль

Исследователи картины «Джоконда» обнаружили, что композиционное построение картины основано на двух золотых треугольниках, повернутых друг к другу своими основаниями. Гармонический анализ картины показывает, что зрачок левого глаза, через который проходит вертикальная ось полотна, находится на пересечении двух биссектрис верхнего золотого треугольника, которые с одной стороны, делят пополам углы при основании золотого треугольника, а с другой стороны, в точках пересечения с бедрами золотого треугольника делят их в пропорции Золотого сечения. Таким образом, Леонардо Да Винчи использовал в своей картине не только принцип симметрии, но и Золотое сечение. 

   

Фот.12. Картина Леонарда Да Винчи «Джоконда»

Числа Фибоначчи и природа

Характерной чертой строения растений и их развития является спиральность. Еще Гёте, который был не только великим поэтом, но и естествоиспытателем, считал спиральность одним из характерных признаков всех организмов, проявлением самой сокровенной сущности жизни. Спирально закручиваются усики растений, по спирали происходит рост тканей в стволах деревьев, по спирали расположены семечки в подсолнечнике, спиральные движения (нутации) наблюдаются при росте корней и побегов.

На первый взгляд может показаться, что число листьев, цветков может изменяться в очень широких пределах и принимать любые значения. Но такой вывод оказывается несостоятельным. Исследования показали, что число одноименных органов в растениях не является произвольным, существуют значения, часто встречающиеся и значения, которые встречаются очень редко.

В живой природе широко распространены формы, основанные на пентагональной симметрии – морские звезды, морские ежи, цветы.

Фот.13 .Лютик

В ромашке число лепестков 55 или 89.

Фот.14 .Ромашка

Пиретрум имеет 34 лепестка.

Фот. 15. Пиретрум

Посмотрим на сосновую шишку. Чешуйки на ее поверхности расположены строго закономерно — по двум спиралям, которые пересекаются приблизительно под прямым углом. Число таких спиралей у сосновых шишек равно 8 и 13 или 13 и 21.

Фот.16 . Шишка

В корзинках подсолнечника семена также расположены по двум спиралям, их число составляет обычно 34/55, 55/89.

Фот .17 . Подсолнух

Присмотримся к ракушкам. Если пересчитать число «ребер жесткости» у первой, взятой наугад ракушки — получилось 21. Возьмем вторую, третью, пятую, десятую ракушку - у всех будет 21 ребро на поверхности. Видно, моллюски были не только хорошими инженерами, они «знали» числа Фибоначчи.

Фот.18 . Ракушка

Здесь вновь мы видим закономерное сочетание чисел Фибоначчи, расположенных рядом: 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34, 34/55, 55/89. Их отношение в пределе стремится к золотой пропорции, выраженной числом 0,61803…

Числа Фибоначчи и животные

Число лучей у морских звезд отвечает ряду чисел Фибоначчи или очень близко к ним и равно 5,8, 13,21,34,55.

Фот.19 . Морская звезда

Современные членистоногие очень разнообразны. У лангуста также пять пар ног, на хвосте пять перьев, брюшко делится на пять сегментов, а каждая нога состоит из пяти частей.

Фот. 20. Лангуст

У некоторых насекомых брюшко состоит из восьми сегментов, имеется три пары конечностей, состоящих из восьми частей, а из ротового отверстия выходят восемь различных усикоподобных органов. У нашего хорошо знакомого комара — три пары ног, брюшко делится на восемь сегментов, на голове пять усиков — антенн. Личинка комара членится на 12 сегментов.

Фот. 21. Комар

У мухи капустной брюшко членится на пять частей, имеется три пары ног, а личинка разделена на восемь сегментов. Каждое из двух крыльев разделено тонкими прожилками на восемь частей.

Гусеницы многих насекомых членятся на 13 сегментов, например, у шкуроеда, мукоеда, козявки мавританской. У большинства жуков-вредителей гусеница членится на 13 сегментов. Очень характерно строение ног у жуков. Каждая нога состоит из трех частей, как и у высших животных, — из плечевой, предплечья и лапы. Тонкие, ажурные лапы жуков членятся на пять частей.

Ажурные, прозрачные, невесомые крылья стрекозы — это шедевр «инженерного» мастерства природы. Какие же пропорции положены в основу конструкции этого крохотного летательного мускулолета? Отношение размаха крыльев к длине тела у многих стрекоз равно 4/3. Тело стрекозы делится на две основные части: массивный корпус и длинный тонкий хвост. В корпусе выделяется три части: голова, грудь, брюшко. Брюшко разбито на пять сегментов, а хвост состоит из восьми частей. Сюда еще необходимо добавить три пары ног с их членением на три части.

Фот. 22. Стрекоза

Нетрудно увидеть в этой последовательности членения целого на части развертывание ряда чисел Фибоначчи. Длина хвоста, корпуса и общая длина стрекозы связаны между собой золотой пропорцией: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.

Неудивительно, что стрекоза выглядит столь совершенной, ведь она создана по законам золотой пропорции.

Вид черепахи на фоне покрытого трещинами такыра — явление удивительное. В центре панциря большое овальное поле с крупными сросшимися роговыми пластинами, а по краям — кайма из более мелких пластинок.

Фот. 23. Черепаха

Возьмите любую черепаху — от близкой нам болотной до гигантской морской, суповой черепахи — и вы убедитесь, что рисунок на панцире у них аналогичный: на овальном поле расположено 13 сросшихся роговых пластин — 5 пластин в центре и 8 — по краям, а на периферийной кайме около 21 пластинки (у чилийской черепахи по периферии панциря точно 21 пластина). На лапах у черепах по 5 пальцев, а позвоночный столб состоит из 34 позвонков. Нетрудно заметить, что все указанные величины отвечают числам Фибоначчи. Следовательно, развитие черепахи, формирование ее тела, членение целого на части осуществлялось по закону ряда чисел Фибоначчи.

Высшим типом животных на планете являются млекопитающие. Число ребер у многих видов животных равно или близко к тринадцати. У совершенно разных млекопитающих — кита, верблюда, оленя, тура — число ребер составляет 13 ± 1. Число позвонков меняется очень сильно, особенно за счет хвостов, которые могут быть различной длины даже у одного и того же вида животного. Но у многих из них число позвонков равно или близко к 34 и 55. Так, 34 позвонка у гигантского оленя, 55 — у кита.

Скелет конечностей домашних животных состоит из трех тождественных костных звеньев: плечевой (тазовой) кости, кости предплечья (голени) и кости лапы (стопы). Стопа, в свою очередь, состоит из трех костных звеньев.

Число зубов у многих домашних животных тяготеет к числам Фибоначчи: у кролика 14 пар, у собаки, свиньи, лошади — 21 ± 1 пара зубов. У диких животных число зубов изменяется более широко: у одного сумчатого хищника оно равно 54, у гиены — 34, у одного из видов дельфинов достигает 233. Общее число костей в скелете домашних животных (с учетом зубов) у одной группы близко к 230, а у другой — к 300. Следует учесть, что в число костей скелета не включены маленькие слуховые косточки и непостоянные косточки. С их учетом общее число костей скелета у многих животных станет близким к 233, а у других — превысит 300. Как видим, членение тела, сопровождавшееся развитием скелета, характеризуется дискретным изменением числа костей в различных органах животных, и эти числа отвечают числам Фибоначчи или очень близки к ним, образуя ряд 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. Отношение размеров у большинства куриных яиц равно 4:3 (у некоторых 3/2), семечек тыквы — 3:2, арбузных семечек — 3/2. Отношение длины сосновых шишек к их диаметру оказалось равным 2:1. Размеры березовых листьев в среднем очень близки к , а желудей — 5:2.

Считается, что если необходимо разбить на две части цветочный газон (трава и цветы), то не следует делать эти полосы равными по ширине, красивее будет, если взять их в отношении 5 : 8 или 8 : 13, т.е. воспользоваться такой пропорцией, которые называется «золотым сечением».

Числа Фибоначчи и фотография

Применительно к фотографическому искусству правило золотого сечения делит кадр двумя горизонтальными и двумя вертикальными линиями на 9 неравных прямоугольников. Чтобы облегчить себе задачу съемки сбалансированных изображений, фотографы немного упростили задачу и стали делить кадр на 9 равных прямоугольников в соответствии с числами Фибоначчи. Так правило золотого сечения трансформировалось в правило третей, которое относится к одному из принципов построения композиции.

Фот. 24. Кадр и золотое сечение

В видоискателях современных цифровых камер точки фокусировки расположены на позициях 2/8 или на воображаемых линиях, делящих кадр по правилу золотого сечения.

Фот.25. Цифровая фотокамера и точки фокусировки

Фот.26. Фотография и точки фокусировки

Фот.27. Фотография и точки фокусировки

Правило третей применимо ко всем сюжетным композициям: снимаете вы пейзаж или портрет, натюрморт или репортаж. Пока ваше чувство гармонии не стало приобретенным и бессознательным, соблюдение нехитрого правила третей позволит вам делать снимки выразительные, гармоничные, сбалансированные.

Фот.28. Фотография и отношение неба и земли 1 к 2.

Наиболее удачным примером для демонстрации является пейзаж. Принцип композиции заключается в том, что небо и суша (либо водная гладь) должны иметь соотношение 1:2. Одну треть кадра следует отвести под небо, а две трети под сушу или наоборот.

Фот.29. Фотография цветка закручивается по спирали

Фибоначчи и космос

Соотношение воды и суши на планете Земля составляет 62% и 38%.

Размеры Земли и Луны находятся в золотой пропорции.

Фот.30. Размеры Земли и Луны

На рисунке показаны относительные размеры Земли и Луны в масштабе.

Нарисуем радиус Земли. Проведем отрезок от центральной точки Земли до центральной точки Луны, длина которого будет равна ). Нарисуем отрезок для соединения двух данных отрезков, чтобы сформировать треугольник. Получаем золотой треугольник.

Сатурн показывает золотую пропорцию в нескольких ее измерениях

Фот.31. Сатурн и его кольца

Диаметр Сатурна очень близко находится в отношении золотой пропорции с диаметром колец, как показано зелеными линиями. Радиус внутренней части колец находится в отношении, очень близком к с внешним диаметром колец, как показано синей линией.

Расстояние планет от Солнца также подчиняется золотой пропорции.

Фот.32. Расстояние планет от Солнца

Золотое сечение в быту

Золотое сечение также используется, чтобы придать стиль и привлекательность в области маркетинга и дизайна повседневных потребительских товаров. Примеров множество, но проиллюстрируем лишь некоторые. 

Фот.33.Эмблема Toyota

Фот.34.Золотое сечение и одежда

Фот.34. Золотое сечение и автомобильный дизайн

Фот.35.Эмблема Apple

Фот.36.Эмблема Google

Практические исследования

Теперь применим полученные знания на практике. Проведем сначала измерения среди учащихся 8 класса.

В эксперименте приняли участие 7 учащихся 8 класса, 5 девочек и 2 мальчика. Измерялся рост и расстояние от пупка до пола. Результаты отражены в таблицы. Одна учащаяся идеального телосложения, для неё отношение роста к расстоянию от пупка до пола равно 1,6185. Ещё одна учащаяся очень близка к золотому сечению, . В результате проведенных измерений 29% участников имеют идеальные параметры. Эти результаты в процентах тоже близки к золотому сечению 68% и 32%.

Дальше мы стали искать золотое сечение в лицах.

Для первой испытуемой мы видим, что 3 отношения из 5 близки к золотому сечению, в процентном соотношении это 60% к 40%. А для второй – 4 из 5, то есть 80% к 20%.

Если внимательно посмотреть на телевизионную картинку, то ее размеры будут 16 к 9 или 16 к 10, что тоже близко к золотому сечению.

Проводя измерения и построения в CorelDRAW X4 и используя кадр новостного канала Россия 24, можно обнаружить следующее:

а) отношение длины к ширине кадра равно 1,7.

б) человек в кадре расположен ровно в точках фокусировки, расположенных на расстоянии 3/8.

Далее обратимся к официальному микроблогу газеты «Известия», другими словами, к твиттер-страничке. Для экрана монитора со сторонами 4:3видим, что «шапка» странички составляет 3/8 от всей высоты странички.

Кадр с рекламой на канале «Россия 24» дает нам ещё одно подтверждение того, что рекламщики все-таки используют золотое сечение для своих целей.

Внимательно посмотрев на фуражки военных, можно обнаружить следующее:

а) фуражка министра обороны РФ имеет отношение указанных частей 21,73 к 15,52, равное 1,4.

б) фуражка пограничника РБ имеет размеры указанных частей 44,42 к 21,33 , что равно 2,1.

в) фуражка времен СССР имеет размеры указанных частей 49,67 к 31,04, что равно 1,6.

Далее посмотрим модную одежду Киры Пластининой. Отношение длины платья к расстоянию от края платья до пола равно 1,17, что далеко от золотого сечения.

Для данной модели подойдет длина платья 113,13 мм.

Если «дорисовать» платье до «идеальной» длины, то получим вот такую картинку.

Все измерения имеют некоторую погрешность, так как проводились по фотографии, что не мешает увидеть тенденцию – всё, что идеально, содержит золотое сечение в той или иной степени.

Заключение

Мир живой природы предстает перед нами совсем иным - подвижным, изменчивым и удивительно разнообразным. Жизнь демонстрирует нам фантастический карнавал разнообразия и неповторимости творческих комбинаций! Мир неживой природы - это прежде всего мир симметрии, придающий его творениям устойчивость и красоту. Мир природы - это прежде всего мир гармонии, в которой действует "закон золотого сечения".

“Золотое сечение” представляется тем моментом истины, без выполнения которого не возможно, вообще, что-либо сущее. Что бы мы ни взяли элементом исследования, “золотое сечение” будет везде; если даже нет видимого его соблюдения, то оно обязательно имеет место на энергетическом, молекулярном или клеточном уровнях.

Воистину природа оказывается однообразной (и потому единой!) в проявлении своих фундаментальных закономерностей. Найденные ею «наиболее удачные» решения распространяются на самые различные объекты, на самые разнообразные формы организации. Непрерывность и дискретность организации исходит из двуединства материи — ее корпускулярной и волновой природы, проникает в химию, где дает законы целочисленной стехиометрии, химические соединения постоянного и переменного состава. В ботанике непрерывность и дискретность находят свое специфическое выражение в филлотаксисе, квантах дискретности, квантах роста, единстве дискретности и непрерывности пространственно-временной организации. И вот уже в числовых соотношениях органов растений появляется «принцип кратных отношений», введенный А. Гурским, — полное повторение основного закона химии.

Конечно, заявление, что все эти явления построены на последовательности Фибоначчи, звучит слишком громко, но тенденция на лицо. Да и к тому же сама она далека от совершенства, как и всё в этом мире.

Есть предположение, что ряд Фибоначчи - это попытка природы адаптироваться к более фундаментальной и совершенной золотосечённой логарифмической последовательности, которая практически такая же, только начинается из ниоткуда и уходит в никуда. Природе же обязательно нужно какое-то целое начало, от которого можно оттолкнуться, она не может создать что-то из ничего. Отношения первых членов последовательности Фибоначчи далеки от Золотого Сечения. Но чем дальше мы продвигаемся по ней, тем больше эти отклонения сглаживаются. Для определения любого ряда достаточно знать три его члена, идущие друг за другом. Но только не для золотой последовательности, ей достаточно двух, она является геометрической и арифметической прогрессией одновременно. Можно подумать, будто она основа для всех остальных последовательностей.

Каждый член золотой логарифмической последовательности является степенью Золотой Пропорции (). Часть ряда выглядит примерно так: ... ; ; ; ; ; ;; ; ; ;  ... Если мы округлим значение Золотой пропорции до трёх знаков, то получим =1,618, тогда ряд выглядит так: ... 0,090 0,146; 0,236; 0,382; 0,618; 1; 1,618; 2,618; 4,236; 6,854; 11,090 ... Каждый следующий член может быть получен не только умножением предыдущего на 1,618, но и сложением двух предыдущих. Таким образом экспоненциальный рост обеспечивается путем простого сложения двух соседних элементов. Это ряд без начала и конца, и именно на него пытается быть похожей последовательность Фибоначчи. Имея вполне определённое начало, она стремится к идеалу, никогда его не достигая. Такова жизнь.

И всё-таки, в связи со всем увиденным и прочитанным, возникают вполне закономерные вопросы:
Откуда взялись эти числа? Кто этот архитектор вселенной, попытавшийся сделать её идеальной? Было ли когда-то всё так, как он хотел? И если да, то почему сбилось? Мутации? Свободный выбор? Что же будет дальше? Спираль скручивается или раскручивается?

Найдя ответ на один вопрос, получишь следующий. Разгадаешь его, получишь два новых. Разберёшься с ними, появится ещё три. Решив и их, обзаведёшься пятью нерешёнными. Потом восьмью, потом тринадцатью, 21, 34, 55...

Список используемых источников

1. Васютинский, Н. Золотая пропорция/ Васютинский Н, Москва, Молодая гвардия, 1990, — 238[2] с. — (Эврика).

2. Воробьев, Н.Н. Числа Фибоначчи, (Серия «Популярные лекции по математике»)/ Воробьев Н.Н., Москва, «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1978, 144 с.

3. Ковалев, Ф. В. Золотое сечение в живописи, Учеб. пособие./ Ковалев Ф. В. — К.: Выща шк. Головное изд-во, 1989.— 143 с, 90 ил., табл.—Библиогр.: 77 назв.

4. Режим доступа: http://www.goldenmuseum.com/0401Fibonacci_rus.html . Дата доступа: 16. 11. 2015.

5. Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki/Золотое_сечение

6.  Режим доступа: http://samlib.ru/s/shkrudnew_f_d/osnovy-30.shtml . Дата доступа: 17. 11. 2015.

7. Режим доступа: http://www.goldennumber.net/plants/ . Дата доступа: 16. 11. 2015.  

8. Режим доступа: http://www.goldennumber.net/population-growth . Дата доступа: 13. 11. 2015.