Инфоурок Алгебра Научные работыИсследовательская работа "Фигурные числа" (7 класс)

Исследовательская работа "Фигурные числа" (7 класс)

Скачать материал

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Фигурные числа.docx

Муниципальное казенное  общеобразовательное учреждение

«Высотинская средняя школа»

 

 

 

 

Проектно-исследовательская работа

«Фигурные числа»

 

 

выполнила:  учащаяся  7 класса

 

руководитель:  Шкляева Елена  Алексеевна, учитель математики

 

 

 

 

 

 

 

 

Высотино,  2018  г.

 

Содержание

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………….1-2

I.   ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ………………...…………………………………….…3

1.1. История возникновения фигурных чисел…………………………….…3-5

1.2. Определение, виды и формулы фигурных чисел………………………5-12

1.3.  Применение фигурных чисел в жизни человека…………… ………12-14

II. Практическая  часть………………………………………………………….14

I I I.    ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………….…………………………........15

IV.      СПИСОК   ЛИТЕРАТУРЫ………..…………………………………….16

ПРИЛОЖЕНИЕ……………………………………………………       ……17-26

 

 


 

Введение.

 «Высшая мудрость – это наука о числе»

Платон

Актуальность.

   Любимым предметом для меня в школе является математика. Мне очень нравится читать дополнительную информацию по пройденным темам, я люблю решать задачи «От Мудрой Совы», разгадывать математические кроссворды и ребусы. В 6 классе я готовила сообщение «В мире чисел». Тогда я поняла, как разнообразен мир чисел, о котором до сих пор мы знали только маленькую часть. На уроках математики я впервые встретилась с понятиями простого и составного числа. Тема меня очень заинтересовала, что я провела исследовательскую работу и оформила проект «Простые числа – удивительные числа» (6 класс).

Далее мне стало интересно: «А может, существуют еще какие-либо числа, о которых я пока ничего не знаю, но смогу найти информацию в дополнительных источниках?». Когда я впервые прочитала в Интернете о существовании фигурных чисел, задумалась: «Почему числа фигурные?». Наверное, эти числа как-то связаны с фигурами? Так возникла проблема, решением которой я занялась в данной работе. Использование наглядности в процессе экспериментальной части работы, как нельзя актуально в области применения математики в практической жизни. Для меня значение данной исследовательской работы заключалось  в том, что проводя эксперимент по составлению фигурных чисел, я увидела, как можно их записать в виде формул.

 

       Гипотеза:

      Любое натуральное число можно представить в виде геометрической фигуры  

Объект исследования: фигурные числа.

Предмет исследования: формулы фигурных чисел; использование фигурных чисел и формул в математике и в повседневной жизни.

Цель работы: изучить и исследовать одно из понятий математики – фигурные числа; формулы фигурных чисел; изучить процесс закономерности построения плоских фигурных, пространственных фигурных чисел   и  выявить их  роль в нашей жизни.

Задачи:

1.    Изучить и проанализировать информацию из различных научных и учебных источников по данной проблеме.

2.    Рассмотреть  историю возникновения фигурных чисел.

3.    Изучить классы фигурных чисел; формулы, которыми задаются плоские фигурные числа.

4.    Рассмотреть их применение в жизни человека.

5.    Приобрести опыт выступления перед публикой.

Методы исследования:

поисковый метод: использование научной и учебной литературы, поиск необходимой информации в сети Интернет;

практический метод: выполнение построений фигурных чисел; поиск фигурных чисел вокруг нас, т.е. в повседневной жизни;

социологический опрос учеников и взрослых в школе по этой теме;

анализ полученных в ходе исследования данных и подведение итогов.

Практическая значимость работы заключается в возможности использовать материал данной работы на уроках, факультативных занятиях, что повышает мотивацию учащихся к изучению предмета «Математика».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I.   ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

1.1       История возникновения  фигурных чисел.

«Природа полна аналогий, и в любой отрасли человеческого знания можно найти бесчисленные метафоры для обозначения феноменов, наблюдаемых в какой – либо другой области. Именно так обстоит дело с числами и геометрией, двумя краеугольными камнями греческой науки» [1., С.22]. Первые сведения о фигурных числах появились ещё с древних времён. Давным-давно, помогая себе при счете камешками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из них. Можно просто класть камешки в ряд: один, два, три. Если положить их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, получатся все четные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: тогда получатся числа, которые делятся на три. Всякое число, которое на что-нибудь делится, можно представить таким прямоугольником, и только простые числа не могут быть "прямоугольными". А что, если складывать треугольник? Треугольник получается из трех камешков: два в нижнем ряду, один в верхнем: в ложбинке, образованной двумя нижними камнями. Если добавить камень в нижний ряд, появится еще одна ложбинка; заполнив ее, мы получим ложбинку, образованную двумя камешками второго ряда; положив в нее камень, мы наконец получим треугольник. Итак, нам пришлось добавить три камешка. Следующий треугольник получится, если добавить четыре камешка. Выходит, что на каждом шаге, мы добавляем столько камней, сколько их становится в нижнем ряду. Если теперь считать, что один камень - это тоже треугольник, самый маленький, у нас получится такая последовательность чисел: 1, 1+2=3, 1+2+3=6, 1+2+3+4=10, 1+2+3+4+5=15 и т. д. Числа древними греками, а вместе с ними Пифагором и пифагорейцами, мыслились зримо, в виде камешков, разложенных на песке или на счетной доске - абаке.

Итак, фигурные числа – это  общее название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой. Эти числа можно изобразить на плоскости (или в пространстве) в виде правильного многоугольника (многогранника) с помощью точек или шаров одинакового размера. По этой причине греки не знали нуля, т.к. его невозможно было "увидеть". Но и единица еще не была полноправным числом, а представлялась как некий "числовой атом", из которого образовывались все числа. Пифагорейцы называли единицу "границей между числом и частями", т.е. между целыми числами и дробями, но в то же время видели в ней "семя и вечный корень". Число же определялось как множество, составленное из единиц. Особое положение единицы как "числового атома", роднило ее с точкой, считавшейся "геометрическим атомом". Вот почему Аристотель писал: "Точка есть единица, имеющая положение,  единица есть точка без положения". Таким образом, пифагорейские числа, в современной терминологии, это натуральные числа. Числа камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, сегодня именуемые фигурными.

Древние греки, изучали свойства геометрических фигур и целых чисел и старались объединить этих два понятия. Грекам было известно, что два квадрата геометрически подобны, так же как и два равносторонних треугольника – в общем виде подобны два любых равносторонних многоугольника с одинаковым числом сторон. Основываясь на геометрическом подобии, греки стали рассматривать числовое подобие и в дальнейшем потратили много времени на изучение фигурных чисел. Понятие фигурных чисел восходит к пифагорейцам (VIV в. до н.э.), Пифагор много сделал для развития науки и более подробно рассмотрел теорию треугольных чисел. Так же встречаются упоминания о фигурных числах и у других греческих учёных: Эратосфена (IIIII  в. до н.э.), Никомаха  (III в. до н.э.), Диофанта  (III в. до н.э.).  Гипсикл (II век до н. э.) дал общее определение k-угольного числа  как суммы n членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна (n – 2  ). Диофант написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней. О фигурных числах много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским (II век), установившие ряд зависимостей между фигурными числами разных размерностей. Большой интерес к фигурным числам проявили индийские математики и первые математики средневековой Европы: Фибоначчи, Пачоли, Кардано и другие. Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трех на пять был прямоугольник со сторонами три и пять. Это – развитие счета на камушках. Множество закономерностей, возникающих при действиях с числами, были обнаружены древнегреческими учеными при изучений чертежей. И долгие века лучшим подтверждением справедливости таких соотношений считался способ геометрический: с прямоугольниками, квадратами, пирамидами и кубами.

В V - IV веках до нашей эры ученые, комбинируя натуральные числа, составляли из них затейливые ряды, придавая элементам этих рядов то или иное геометрическое истолкование. С их помощью можно выложить правильные геометрические фигуры: треугольники, квадраты, пирамиды и т.д.

Увлеклись, причем независимо друг от друга, в Новое время нахождением таких чисел Эйлер, Лагранж, Гаусс, Б. Паскаль, П. Ферма и другие.

Таким образом, человечество давно знакомо с фигурными числами. Понятие которых, произошло из практических представлений. И до сих пор представляет интерес для наглядной иллюстрации вывода некоторых математических формул. Именно от фигурных чисел пошло выражение "Возвести число в квадрат или куб".

 

1.2. Определение, виды и формулы фигурных чисел

«Фигу́рные чи́сла — общее название чисел, геометрическое представление которых связано с той или иной геометрической фигурой.

Эти числа можно изобразить на плоскости (или в пространстве) в виде правильного многоугольника (многогранника) с помощью точек или шаров одинакового размера.»[ 2 ]

Со времён пифагорейцев традиционно различают следующие виды фигурных чисел:

Линейные числа — числа, не раскладывающиеся на множители, то есть простые числа, дополненные единицей:

1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, …

  ( Рис. 1 - линейное число 5)

Плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, то есть составные:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, …

Например: 4 = 2 · 2; 6 = 2 · 3 ; …   

 ( Рис.2 - плоское число 6)  

Телесные числа — числа, представимые произведением трёх сомножителей:

8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, …

Например: 8 = 2 ·  2 · 2; 12 = 2 · 2 ·  3; …

( Рис.3 - телесное число 8)

Многоугольные числа:

- Многоугольные числа правильных многоугольников;

- Многоугольные числа неправильных многоугольников;

- Центрированные многоугольные числа;

- Многомерные фигурные числа.[2 ]

 

Остановимся более подробно на исследовании первых двух видов многоугольных чисел. Чтобы убедиться в существовании этих чисел была проведена практическая-экспериментальная работа. (Приложение1)

 

Многоугольные числа правильных многоугольников.

1.                  Треугольные числа  - это число кружков, которые могут быть расставлены в форме равностороннего треугольника. Какой же вид имеют треугольные числа? Заметим, что
1 = 1

3 = 1 + 2
6 = 1 + 2 + 3
10 = 1 + 2 + 3 + 4
15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 
 . . .

Рассмотрим последовательность равносторонних треугольников, составленных из точек (еще лучше, если разложить на столе некоторое число равных по величине монет):

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

n

 

 

 

 

n

 

n

 

n

 

n

 

 

n

 

n

 

 

n

 

n

 

n

 

 

n

 

n

 

n

 

n

 

Эта закономерность сохраняется и дальше. Можно вывести формулу для получения треугольных чисел:

Тn = 1 + 2 + 3 + ... + n.

На вид она довольно проста, но для вычислений не пригодна, поэтому представим ее в другом  виде. Дополним  треугольное число n до прямоугольного числа со сторонами n и (n+1) ( рис 1.), теперь можно увидеть (именно увидеть глазами!) равенство 1+2+3+…+ n =   n(n+1).

Второй способ: Чтобы придать ей более удобную для вычисления форму, заметим, что в правой части равенства равноудалённые от начала и конца слагаемые в сумме дают одно и то же число, а именно  n+1. Напишем нашу формулу два раза, поменяв во втором случае порядок слагаемых на обратный:

 Тn = 1 +      2     +      3     + … + (n – 2) + (n – 1) + n,

 Тn  = n + (n – 1) + (n – 2) +  … +     3     +      2    + 1 .   Сложим  «столбиком»

 2 Тn  = n (n + 1),

 откуда Тn = n (n + 1).

Применённый здесь метод «спаривания» слагаемых блестяще применил в шестилетнем возрасте мальчик Карл, который впоследствии стал великим Карлом Фридрихом Гауссом, прозванным «королём математики» ещё при жизни.

 

2.                  Квадратные числа – это число кружков расставленных в форме квадрата.  Квадратные числа: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,…

Аналогично из точек (или камушков) можно строить квадраты:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

n

n

 

 

 

 

 

 

 

n

n

n

 

 

n

n

n

n

 

 

 

n

n

 

 

n

n

n

 

 

n

n

n

n

n

 

 

n

n

 

 

n

n

n

 

 

n

n

n

n

Сопоставим каждому квадрату число, выражающее количество точек в нем. Получим числовую последовательность: 1, 4, 9, 16, 25,...

Такие числа назвали квадратными, и этим названием мы пользуемся до сих пор. Если использовать обозначение, то будем иметь

Ф4(1) = 1, Ф4(2) = 1+3, Ф4(3)=1+3+5, Ф4(4)=1+3+5+7 и т.д. Здесь тоже можно заметить, что п - ое  квадратное число есть сумма п -первых нечетных чисел, т.е. Ф4(п) = 1+3+5+7+…+(2п-1) = п².

Один из видных древнегреческих математиков – Диофант нашел формулу, связывающую треугольные числа с квадратными. Если обозначить любое треугольное число буквой Т, то 8 •Т +1 будет некоторым квадратным числом К т.е. К = 8 •Т +1. Например, умножая треугольное число 6 на 8 и складывая произведение 48 с 1, получаем 49, являющееся квадратным т.е. К = 8 •Т +1 = 49.

В итоге получена формула:  =  1 + 3 + 5 + … + (2n   - 1) .

 

3.                  Получение пятиугольных чисел.

Пятиугольные числа: 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92…

Если далее строить из точек правильные пятиугольники, то получим последовательность пятиугольных чисел.

Пятиугольные числа можно образовать с помощью следующей таблицы:

1

2

3

4

5

6

7

1

1

2

3

4

5

6

7

1 + 2 • 2 = 5

1

2

3

4

5

6

7

1 + 2 + 3 • 3 = 12

1

2

3

4

5

6

7

1 + 2 + 3 + 4 • 4 = 22

1

2

3

4

5

6

7

1 + 2 + 3 + 4 + 5 • 5 = 35

1

2

3

4

5

6

7

1 + 2 + 3 + 4 + 5 +6 • 6 = 51

1

2

3

4

5

6

7

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +7 • 7 = 70

 

В общем Ф5(п) =1+2+3+4+5+…+(п-1)+п²- пятиугольное число.

 Чтобы сосчитать n-е пятиугольное число, его нужно разбить на три треугольных, после чего останется еще n точек, как показано на рисунке

 ( рис 2). В результате получаем, что n - е пятиугольное число равно . 1+4+7+…+3n-2= n+3  = .

Второй способ: Для вывода формулы требуются знания темы арифметическая прогрессия, которая изучается в 9 классе. Поэтому я воспользуюсь  готовой формулой:   Пn =1+ 4+ 7 + 10 + … + (3n – 2) =

 

Многоугольные числа неправильных многоугольников.

Прямоугольное число — это число, являющееся произведением двух последовательных целых чисел, то есть, n (n + 1).

2 = 1 · 2

6 = 2 · 3

12 = 3 · 4

20 = 4 · 5

Результаты практической – экспериментальной  работы представлены в таблицах.

 

 

 

 

 

 

Таблица 1. Многоугольные числа правильных многоугольников.

 

Вид многоугольного числа

1 число

2 число

3 число

4 число

Формула  n -  числа

1.                  Треугольные числа.

 

1

3

6

10

\frac{n(n+1)}{2}

Pascal's triangle - Math Images

2.                  Квадратные числа.

 

1

4

9

16

n^2

 

   @дневники - Поп-математика для взрослых детей

                                               1         4             9                    16

3.                  Пятиугольные числа.

 

1

5

12

22

\frac{n(3n-1)}{2}

Definition of Pentagonal Number

4.                  Шестиугольные числа.

1

6

15

28

2n^2-n

IMA Games and Puzzles

5.                  k – угольные числа.

1

k

3k – 3

 

6k - 8

\frac{n((k - 2)(n-1)+2)}{2}

 

Таблица 2. Многоугольные числа неправильных многоугольников.

 

Вид многоугольного числа

1 число

2 число

3 число

4 число

Формула  n -  числа

  1. Прямоугольные числа

2

6

12

20

n(n+1),

* *

* * *
* * *

* * * *
* * * *
* * * *

* * * * *
* * * * *
* * * * *
* * * * *

      1×2

        2×3

           3×4

              4×5

 

Таблица 3. Вывод:

Число

Вид многоугольника

Число многоугольников

1

Точка (Любой  k- угольник).

n

2

Прямоугольник.

1

3

Треугольник.

1

4

Квадрат.

1

5

Пятиугольник.

1

6

Шестиугольник и прямоугольник.

2

7

Семиугольник

1

И т.д.

 

 

 

Итак, каждое натуральное число, кроме числа 2 можно представить в виде  правильного многоугольника, число 2 можно представить в виде  прямоугольника. Некоторые числа можно представить в виде нескольких правильных многоугольников.

 Ферма сформулировал в 1670 году так называемую «золотую теорему»:

• Всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел;

Этой теоремой занимались многие выдающиеся математики, полное доказательство сумел дать Коши в 1813 году. [2 ]

Проведённые мною практические эксперименты и данные теоремы полностью подтверждают выдвинутую мною гипотезу.

Очевидно, этим способом можно получить любые фигурные или, как их еще называют, многоугольные числа. О таких числах писал еще ученик Сократа и Платона Филипп Опунтиус. Общее определение многоугольных чисел было дано лишь во 2 веке до н. э. Гипсиклом Александрийским [4, с. 52 - 53].

Фигурные числа обладают многими замечательными свойствами:

1)             всякое четное совершенное число является треугольным;

Таблица фигурных (многоугольных) чисел

Место

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Треугольные числа

1

3

6

10

15

21

28

36

45

55

Квадратные числа

1

4

9

16

25

36

49

64

81

100

Пятиугольные числа

1

5

12

22

35

51

70

92

117

145

Пифагор в свое время не ограничился плоскими фигурами. Из точек он стал складывать пирамиды, кубы и другие тела и изучать пирамидальные, кубические и иные числа. Чтобы представить себе пирамидальные числа, уложим на плоскости шары в виде правильного треугольника. (Шары здесь берутся вместо точек для большей наглядности). Для примера можно взять 15 стеклянных шариков и из них сложить правильный треугольник. На этот слой можно уложить второй из шести шариков, располагая их в углублениях между шариками нижнего слоя, затем третий слой, состоящий из трех шариков, и, наконец, последний, четвертый, содержащий один шарик. Уложенные таким образом шары образуют тетраэдр – треугольную пирамиду, все грани которой правильные треугольники. Тогда число шаров в каждом слое, считая от вершины, равно:1, 3, 6, 10, 15, 21,… и чтобы найти пирамидальное число нужно найти общее число шаров в построенном тетраэдре. Подобную пирамиду можно построить на любом треугольнике, составленном из треугольного числа шаров.

Пирамидальные числа: 1, 4, 10, 20, 35, 56,… Их еще называли тетраэдрическими.

Пирамиды, подобные описанной выше, можно строить не только на треугольном основании, но и на квадрате, пятиугольнике и т. д. Таким образом, получаются пирамидальные числа квадратные, пятиугольные и т.д. Если каждый слой выкладывать в виде квадрата, то число шаров в такой пирамиде будет равно:

 12  + 22 + 32 + 42 + … +п2, где п – число шаров в стороне квадрата основания [7, с. 42 - 47].

Следует заметить, что кубическими числами или кубом числа мы пользуемся и сегодня.

 

1.3.            Применение фигурных чисел в жизни человека.

1.     


Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций, а также легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов - измерению площадей и объемов. Так, представляя число 10 в двух формах:  5·2=2·5, легко "увидеть" переместительный закон умножения: a·b=b ·a.     (Рис 4.- переместительное свойство умножения)

Наглядная иллюстрация переместительного и сочетательного свойств умножения применяется в учебнике Н.Я.Виленкина «Математики 5» . (Приложение 2.)

2.     Если «шарики», образующие фигурные числа, мыслить в виде равных по площади квадратиков, то, укладывая их в прямоугольное число a·b: автоматически получаем формулу для вычисления площади прямоугольника: S = ab.

Формула площади прямоугольника 4 класс - Архив программ

(Рис. 5 – площадь прямоугольника)

 

 

3.      Почему нельзя отмечать 40 лет? . Плохая примета или глупое с…Одной из основных геометрических фигур, известных с глубокой древности, является пифагорейский Тетрактис. Когда неофиты вступали в ряды пифагорейской общины, они присягали именно на Тетрактисе, и потом проводили 3 года в молчании, слушая старших и вдумываясь в мудрость этой сакральной фигуры. Тетрактис представляет из себя треугольную фигуру, где в четырех рядах последовательно расположены 10 точек:                             1 + 2 + 3 + 4 = 10.

 

( Рис.6 – тетрактис)

Сейчас в математике  существует понятие треугольная матрица, напоминающая тетрактис, которая используется для решения систем уравнений.


Широко использовался тетрактис и в исламских орнаментах, где на его основе выстраивались замысловатые узоры.

(Рис. 7 – орнамент)

4.      Фигурные числа также имеют эстетическое значение в жизни человека. Гармоничное сочетание цветов представлено на рисунке в форме треугольного числа 6.

http://www.studd.ru/upload/img/book/estetika-i-dizajn-tovarov/052.jpg

 

 

 

(Рис.8 – гармония цвета)

5.      В повседневной жизни человека также можно встретить разнообразие фигурных чисел. Товар складывают и упаковывают в коробки, тоже в форме фигурных чисел.

Коробки конфет : Райское молоко

 На рынках очень красиво выглядят ряды овощей и фруктов выложенные в форме фигурных чисел.

http://www.inmsk.ru/images/35045/07/350450749.jpg    http://www.in-tambov.ru/www/news/2014/5/y22143310E-02_a.jpg   http://www.niasam.ru/35693_i_gallerybig.jpg

Ряды войск на параде представляют собой фигурные числа, самолёты выстраиваются в форме треугольников.

Фотография Военный парад...Боевые самолеты..., автор Самир АлиевВоенный парад на Красной площади LibyMax - Живи по Максимуму! 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Практическая  часть.

Исследования.

1.      Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. (Приложение  1, 2, 3).

 

2.      Свойства чисел  я  рассмотрела в школьном учебнике «Математика – 5 кл» и проверила  с  помощью разложения камешков (Приложение 4).

 

3.      Я изучила формулы некоторых фигурных чисел и оформила их в «Памятку» (Приложение 5).

 

 

4.      В своей школе я провела опрос среди учащихся и взрослых. Было  опрошено                       12 человек: 7 школьников и 5 педагогов.

 

Вопросы

Да

Нет

1

Известно ли вам такое понятие математики как фигурные числа?

56%

44%

2

Что вы знаете о применении фигурных чисел в окружающей нас обстановке, т.е. в повседневной жизни?

72%

28%

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I I I.    ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

  

В данном исследовании я хотела показать, что обычные и знакомые нам натуральные числа можно рассматривать совсем по-другому. Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались. Так возникли числа, которые сегодня называются фигурными.

Изучая историю развития теории о фигурных числах и анализируя учебный материал, а также выполняя практическую работу по данной  проблеме, я добилась цели, поставленной в начале исследования. 

Я изучила историю происхождения фигурных чисел, исследовала и проанализировала виды чисел и формулы, которыми записываются фигурные числа. Фигурное представление чисел помогло в прошлом «открыть» ряд  математических законов.

Я рассмотрела применение фигурных чисел в жизни человека на конкретных примерах. Числа и другие величины измерения окружают нас везде, независимо от того, в чем их различие. Пифагор говорил об этом: "Все вещи суть числа". Невозможно представить современную жизнь без фигурных чисел, они вокруг нас, мы живем среди них, они нам нужны.

Проводя практическую часть своей работы, я изучила некоторые формулы многоугольных фигурных чисел и научилась выкладывать фигурные числа. Тем самым, подтвердила выдвинутую гипотезу, что любое натуральное число можно представить в виде  многоугольника. Каждый из вас тоже может попробовать выложить фигурные числа в домашних условиях. Для этого вы можете взять теннисные шарики, горох, кнопки, бусинки. А можно просто рисовать на бумаге. Такая работа развивает логику, учит мыслить.

Изучать фигурные числа можно еще и дальше, т.к. существует множество пространственных фигурных чисел, из которых можно выделить целые классы.

        Таким образом, я пришла  к выводу об актуальности данной темы. Я поняла, что фигурные числа – это интересно!

 

 

 

 

 

 

IV.      СПИСОК   ЛИТЕРАТУРЫ.

  1. М. Газале  «Гномон. От фараонов до фракталов» Москва-Ижевск 2002г.
  2. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. https://ru.wikipedia.org/wiki/Фигурные_числа
  3. Энциклопедический словарь юного математика. Сост. Э-68 А. П. Савин. - М.: Педагогика, 1989.
  4. Детская энциклопедия: Я познаю мир. Математика. Сост. А.П. Савин, В. В. Станцо, А. Ю. Котова
  5. Бендукидзе А. Фигурные числа. Физико-математический журнал, Квант,, 1974г., №6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1.

Фотографии практической  работы.

 

 

 

(Фото 1.Треугольные числа)

 

 

 

 

(Фото 2. Квадратные числа)

 

 

 

 

 

 

(Фото 3. Пятиугольные числа)

 

 

 

 

( Фото 4. Шестиугольные числа)

 

 

 

Приложение 2.

 

Фотографии практической  работы.

 

   Линейное число 3.

 

 

    Линейное число 5.

 

 

  Телесное  число  4.

 

 

  Телесное  число  8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 3

 

 

 

 

 

 

         

Приложение  4

Приложение  5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение  6.

«Золотые мысли» о числах

***

«Мы … никогда не стали бы разумными, если бы исключили число из человеческой природы»                                                                                        Платон (428-348 до н.э.),

древнегреческий философ-идеалист

***

«Послушайте, что смертным сделал я…число им изобрел и буквы научил соединять…»

Эсхил

(Прикованный Прометей)

***

«Сильно возлюбив искусство числительное, помыслил я, что без числа никакое рассуждение философское не слагается, всей мудрости матерью его почитая».

А. Ширакец (7 век),

армянский математик

***

«Твой ум без числа ничего не представляет».

Н. Кузанский (1401-1464),

немецкий философ

***

«Счет и внимание – основа порядка в голове».

И.Г. Песталоцци (1746-1827),

швейцарский педагог-демократ

***

«Цифры (числа) не управляют миром, но они показывают, как управляется мир».

И. Гете (1749-1832),

немецкий писатель, мыслитель

***

«Число есть чистейшее количественное определение, какое мы знаем. Но оно полно качественных различий».

Ф. Энгельс,

немецкий философ, экономист

***

«Число, выраженное десятичным знаком, прочтет и немец, и русский, и араб, и янки одинаково».

Д.И. Менделеев (1834-1907),

русский ученый-химик

***

«Единственный естественный предмет математической мысли есть целое число».

Ж.А. Пуанкаре (1854-1912),

французский математик, физик, философ

***

«Мы любим все – и жар холодных чисел, и дар божественных видений…»

А. Блок,

«Скифы»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Исследовательская работа "Фигурные числа" (7 класс)"

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Директор риск-менеджмента

Получите профессию

Технолог-калькулятор общественного питания

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Выбранный для просмотра документ фигурные числа.pptx

Скачать материал "Исследовательская работа "Фигурные числа" (7 класс)"

Получите профессию

Экскурсовод (гид)

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Описание презентации по отдельным слайдам:

  • МКОУ  «Высотинская  СШ»Выполнила: учащаяся  7  класса

Руководитель:...

    1 слайд


    МКОУ «Высотинская СШ»
    Выполнила: учащаяся 7 класса

    Руководитель: учитель математики
    Шкляева Елена Алексеевна

    «ФИГУРНЫЕ ЧИСЛА»
    Проектно-исследовательская
    работа

  • Гипотеза: 
Любое натуральное число можно представить в виде геометрич...

    2 слайд


    Гипотеза:
    Любое натуральное число можно представить в виде геометрической фигуры.
    Объект исследования: фигурные числа.
    Предмет исследования: формулы фигурных чисел; использование фигурных чисел и формул в математике и в повседневной жизни.
    Практическая значимость работы заключается в возможности использовать материал данной работы на уроках, факультативных занятиях

  • Цель работы: изучить и исследовать фигурные числа и  выявить их  роль...

    3 слайд

    Цель работы: изучить и исследовать фигурные числа и выявить их роль в нашей жизни.
    В соответствии с поставленной целью решались следующие задачи:
    - изучить историю происхождения фигурных чисел;
    - рассмотреть виды фигурных чисел;
    - рассмотреть плоские и пространственные фигурные числа.
    Методы исследования:
    поисковый: поиск и анализ научной литературы и пособий по исследуемой проблеме;
    практический: выполнение построений фигурных чисел и поиск фигурных чисел вокруг нас, т. е. в повседневной жизни.

  • Давным – давно, помогая себе при счёте камешками, люди обращали внима...

    4 слайд

    Давным – давно, помогая себе при счёте камешками, люди обращали внимание на правильные фигуры, которые можно выложить из камешков.
    Можно просто класть камни в ряд: один, два, три. Если класть их в два ряда, чтобы получались прямоугольники, мы обнаружим, что получаются все чётные числа. Можно выкладывать камни в три ряда: получатся числа, делящиеся на три. Всякое число, которое на что–нибудь делится, можно представить таким прямоугольником, и только простые числа не могут быть «прямоугольными».
    Немного истории:

  • Фигурные числа были известны ещё в глубокой древности. Предполагают, что впер...

    5 слайд

    Фигурные числа были известны ещё в глубокой древности. Предполагают, что впервые они появились в школе Пифагора. Числа древними греками мыслились зримо, в виде камешков, расположенных на песке или на счётной доске – абаке. По этой причине греки не знали нуля, т. к. его невозможно было «увидеть». Но и единица ещё не была полноправным числом, а представлялась как некий «числовой атом», из которого образовывались все числа.
    Пифагорейцы называли единицу «границей между числом и частями», т. е. между целыми числами и дробями.
    Немного истории:

  • Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре...

    6 слайд

    Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания.
    О них много говорится в пифагорейских учебниках арифметики.
    Изучением фигурных чисел занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл и другие.
    Диофант Александрийский написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней.

  • Счёт на камешках оставил глубокий след в истории математики. Древние греки, к...

    7 слайд

    Счёт на камешках оставил глубокий след в истории математики. Древние греки, когда им приходилось умножать числа, рисовали прямоугольники; результатом умножения трёх на пять был прямоугольник со сторонами три и пять.
    Это – развитие счёта на камешках.

  • В дальнейшем многие математики интересовались этими числами. Про них доказ...

    8 слайд

    В дальнейшем многие математики интересовались этими числами. Про них доказано много важных и трудных теорем. В Новое время фигурными числами занимались Ферма, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. Ферма сформулировал в 1670 году так называемую «золотую теорему»:
    Немного истории:

  • Числа - камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фи...

    9 слайд

    Числа - камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, эти фигуры классифицировались.
    Так возникли числа, которые мы сегодня называем фигурными.

    Определение и виды фигурных чисел.

  • Виды 
фигурных чиселЛинейные 
числаПлоские
числаТелесные
числа.Многоугольные...

    10 слайд



    Виды
    фигурных чисел
    Линейные
    числа
    Плоские
    числа
    Телесные
    числа.
    Многоугольные
    числа
    Треугольные
    числа
    Квадратные
    Числа
    Шестиугольные
    числа
    Пятиугольные
    числа

  • Линейные числа (простые) – числа, которые делятся на единицу и на самих себя,...

    11 слайд

    Линейные числа (простые) – числа, которые делятся на единицу и на самих себя, представимы в виде последовательности точек, выстроенных в линию.
    Плоские числа – числа, представимые в виде произведения двух сомножителей (плоское число 6=2∙3).

    Телесные числа, выражаемые произведением трёх сомножителей (телесное число 8=2∙2∙2).
    Треугольные числа (3, 6, 10).

  • Квадратные числа (4,9,16).Пятиугольные числа (5, 12, 22)Именно от фигурных чи...

    12 слайд

    Квадратные числа (4,9,16).
    Пятиугольные числа (5, 12, 22)
    Именно от фигурных чисел пошло выражение: «Возвести в квадрат или куб».

  • Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камешков горкой так, чт...

    13 слайд

    Пирамидальные числа возникают при складывании круглых камешков горкой так, чтобы они не раскатывались. Получается пирамида. Каждый слой в такой пирамиде - треугольное число. Наверху один камешек, под ним - 3, под теми - 6 и т.д.: 1, 1+3=4, 1+3+6=10, 1+3+6+10=20, …

  • Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметич...

    14 слайд

    Фигурное представление чисел помогало пифагорейцам открывать законы арифметических операций, а также легко переходить к числовой характеристике геометрических объектов - измерению площадей и объемов. Так, представляя число 10 в двух формах: 5*2=2*5, легко "увидеть" переместительный закон умножения: a*b=b*a.

  • 15 слайд

  • 16 слайд

  • ПРАКТИЧЕСКАЯ    РАБОТА

    17 слайд

    ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

  •  
(Фото 1.Треугольные числа) 
(Фото 2. Квадратные числа) 
(Фото 3. Пятиугольн...

    18 слайд

     
    (Фото 1.Треугольные числа)
     
    (Фото 2. Квадратные числа)
     
    (Фото 3. Пятиугольные числа)
     
    ( Фото 4. Шестиугольные числа)
    ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА

  • Фигурные  числа  в  жизни

    19 слайд

    Фигурные числа в жизни

  • Фигурные  числа  в  жизни.

    20 слайд

    Фигурные числа в жизни.

  • Фигурные  числа  в  жизни

    21 слайд

    Фигурные числа в жизни

  • Итак, работая по данной теме, я пришла к следующим выводам:
Фигурные числа,...

    22 слайд


    Итак, работая по данной теме, я пришла к следующим выводам:
    Фигурные числа, действительно, существуют:
    Они выкладываются в виде геометрических фигур;
    Выделяются несколько видов данных чисел;
    Фигурное представление чисел помогло «открыть» ряд математических законов
    Фигурные числа – это интересно!
    ВЫВОДЫ:

  • М. Газале  «Гномон. От фараонов до фракталов» Москва-Ижевск 2002г.
Материал и...

    23 слайд

    М. Газале «Гномон. От фараонов до фракталов» Москва-Ижевск 2002г.
    Материал из Википедии — свободной энциклопедии. https://ru.wikipedia.org/wiki/Фигурные_числа
    Энциклопедический словарь юного математика. Сост. Э-68 А. П. Савин. - М.: Педагогика, 1989.
    Детская энциклопедия: Я познаю мир. Математика. Сост. А.П. Савин, В. В. Станцо, А. Ю. Котова
    Бендукидзе А. Фигурные числа. Физико-математический журнал, Квант,, 1974г., №6.


    Список литературы:

  • Спасибо
 за внимание

    24 слайд

    Спасибо
    за внимание

Получите профессию

Менеджер по туризму

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Краткое описание документа:

В исследовательской работе "Фигурные числа" доказывается, что любое натуральное число можно представить в виде геометрической фигуры. Предметом исследования являются формулы фигурных чисел, а также доказано использование фигурных чисел и формул в математике и в повседневной жизни.

Цель работы: изучить и исследовать одно из понятий математики – фигурные числа; формулы фигурных чисел; изучить процесс закономерности построения плоских фигурных, пространственных фигурных чисел и выявить их роль в нашей жизни.

Задачи:

  • Изучить и проанализировать информацию из различных научных и учебных источников по данной проблеме.
  • Рассмотреть историю возникновения фигурных чисел.
  • Изучить классы фигурных чисел; формулы, которыми задаются плоские фигурные числа.
  • Рассмотреть их применение в жизни человека.
  • Приобрести опыт выступления перед публикой.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 626 961 материал в базе

Материал подходит для УМК

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 10.03.2018 3733
    • ZIP 6.7 мбайт
    • 58 скачиваний
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Шкляева Елена Алексеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Шкляева Елена Алексеевна
    Шкляева Елена Алексеевна
    • На сайте: 8 лет и 11 месяцев
    • Подписчики: 3
    • Всего просмотров: 96777
    • Всего материалов: 32

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Экскурсовод

Экскурсовод (гид)

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Применение компьютерных моделей при обучении математике и информатике в рамках ФГОС ООО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 47 человек из 24 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания с применением дистанционных технологий

Учитель математики

300 ч. — 1200 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 39 человек из 19 регионов

Курс повышения квалификации

Развивающие математические задания для детей и взрослых

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 65 человек из 26 регионов

Мини-курс

Введение в медиакоммуникации

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Современные методики базальной стимуляции и развивающего ухода для детей с тяжелыми множественными нарушениями развития

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Проектное управление

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе