Инфоурок Математика КонспектыИсследовательская работа "Формула Пика"

Исследовательская работа "Формула Пика"

Скачать материал

Оглавление

Введение                                                                                                                                       3

Глава 1 Несколько слов о площади                                                                                            5  

§1 Немного истории                                                                                                                     5

§2 Великие математики о вычислении площадей                                                                     6                                                                            

§3 Методы вычисления площадей многоугольников                                                               7                              

Глава 2 Применение методов вычисления площадей                                                               9                                           

§1. Геометрический метод                                                                                                           9

§2. Формула Пика                                                                                                                        11

13

Глава 3 Оценка эффективности применения способов вычисления площадей многоугольников в конкретной ситуации                                                                                        

§1 Структура проведения мастер классов                                                                                 13

§2 Практическое применение способов вычисления площадей многоугольников в девятом классе                                                                                                                                            13

§3 Практическое применение способов вычисления площадей многоугольников в одиннадцатом классе                                                                                                                  14

Заключение                                                                                                                                  15

Литература                                                                                                                                   16

Приложение 1 Набор заданий                                                                                                    17

Приложение 2. Результаты исследования в 9 классе                                                               18

Приложение 3.  Результаты исследования в 11классе                                                             19                                            

Приложение 4. Георг Пик.                                                                                                          20

 

 

 

Введение.

                                                       «Решение задач – практическое искусство, подобное

  плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано;

                                                      научиться ему можно, только подражая хорошим

                              образцам и постоянно практикуясь» 

                                                                                                                    (Д. Пойя).   

В КИМах ЕГЭ и ОГЭ в первой части имеются задачи на вычисление площади фигуры, изображённой на клетчатой бумаге. Смысл этих задач понятен всем, но многие обучающиеся не справляются с этим не таким уж и сложным заданием. Возникают вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на вычисление площади фигур, изображённых клетчатой бумаге. Мы приступили к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. На одном из сайтов нашли формулу Пика.  Эта формула заинтересовала нас, и мы попробовали решать задания, используя данную формулу. Задачи решались очень быстро и легко.

В связи с этим возникла гипотеза о том, что задачи на нахождение площади фигур, изображённых   на клетчатой бумаге, можно решить с помощью формулы Пика более рационально.

Цель работы: обосновать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

     Актуальность выбранной темы очевидна. Проанализировав результаты экзаменов в 9-х и 11-х классах, мы выявили, что много ошибок учащиеся допускают при выполнении заданий на вычисление площадей многоугольников, изображённых на клетчатой бумаге, а вся причина в том, что уровень навыков вычислений площадей у учащихся недостаточен:  они плохо и нерационально считают, кроме того, при вычислениях необходимо помнить формулы площадей. Нужно ли сейчас, когда до экзаменов несколько месяцев, учить такое количество формул? Почему на уроках математики, при изучении темы «Площади», не рассматриваются методы и приёмы вычисления площадей многоугольников, изображённых на клетчатой бумаге? В нашей работе мы попытались ответить на эти вопросы. Для подтверждения выдвинутой гипотезы исследования были составлены задания  и проведены два  мастер класса для выпускников школы. Подробнее этот материал изложен в главе 3. В ходе исследования были использованы знания и умения, полученные на уроках рисования, истории, математики,  информатики.

Цель исследования: оценка эффективности использования формулы Пика при вычислении площадей многоугольников для значительного сокращения времени, потраченного на выполнение заданий.

Достижение поставленной цели требует решения следующих основных задач:

1.      Рассмотреть какие существуют методы вычисления площадей многоугольников, изображённых на клетчатой бумаге;

2.      Изучить геометрический метод и формулу Пика;

3.      Провести мастер-класс в 9 и 11 классах по данной теме, проанализировать и сравнить результативность вычислений до и после ознакомления с формулой Пика;

4.      Составить стендовый доклад «Формула Пика» (в помощь ученику).

Предмет исследования: формула Пика

Объект исследования: умения и навыки вычисления площадей многоугольников учащихся 9 и 11 классов школы № 7

 Методы исследования:

·         Изучение специальной литературы по данному вопросу: энциклопедии, справочники и учебные пособия.

·         Наблюдение и опрос.

·         Проведение мастер класса.

·         Обработка полученных данных (составление обобщающих таблиц, диаграмм,)

·         Работа в компьютерных программах Microsoft Word, Excel, Microsoft PowerPoint

 

 

 

 

 

Глава 1. Несколько слов о площади.

§1 Немного истории.

Измерение площадей считают одним из самых древних разделов геометрии; в частности название “геометрия” (т.е. “землемерие”) связывают именно с измерением площадей. Согласно легенде, эта наука возникла в Древнем Египте, где после каждого разлива Нила приходилось заново производить разметку участков, покрытых плодоносным илом, и вычислять их площади. По-видимому, в древности приходилось рассматривать лишь участки, мало отличающиеся от прямоугольника по форме, а для таких участков погрешность невелика. Лишь в последствие было полностью развито учение о площадях и получены точные формулы для вычисления площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции и других многоугольников. Определение площадей геометрических фигур – одна из древнейших практических задач. Правильный подход к их решению был найден не сразу, но уже древние греки умели правильно находить площади многоугольников.

                 Зачатки геометрических знаний, связанных с измерением площадей, теряются в глубине тысячелетий. Еще 4 - 5 тысяч лет назад вавилоняне умели определять площадь прямоугольника и трапеции в квадратных единицах. Квадрат издавна служит эталоном при измерении площадей благодаря многим своим замечательным свойствам: равные стороны, равные и прямые углы, симметричность и общее совершенство формы. Квадраты легко строить, ими можно заполнить плоскость без пробелов.

               В древнем Китае мерой площади был прямоугольник. Когда каменщики определяли площадь прямоугольной стены дома, они перемножали высоту и ширину стены. Таково принятое в геометрии определение: площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон.  Древние египтяне 4000 лет назад пользовались почти теми же приемами, что и мы, для измерения площади прямоугольника, треугольника и трапеции: основание треугольника делилось пополам, и умножалась на высоту; для трапеции же сумма параллельных сторон делилась пополам и умножалась на высоту и т.п. Для вычисления площади четырехугольника умножались полусуммы противоположных сторон.

 

 

§2 Великие математики о вычислении площадей.

Тема нахождения площадей многоугольников всегда волновала умы многих великих математиков. В своих «Началах» Евклид не употреблял слова «площадь», так как он под самим словом «фигура» понимал часть плоскости, ограниченную той или иной замкнутой линией.  Евклид сравнивал площади разных фигур между собой.  Как и другие ученые древности, Евклид занимался вопросами превращения одних фигур в другие, им равновеликие. Площадь составной фигуры не изменится, если ее части расположить по-другому, но без пересечения. Поэтому, например, можно, исходя из формул площади прямоугольника, находить формулы площадей других фигур.                                                                                                                       Одним из поздних греческих математиков – энциклопедистов, труды которого имели главным образом прикладной характер, был Герон Александрийский, живший в 1 в. н. э. Будучи выдающимся инженером, он был назван также «Герон Механик». Одна из книг Герона была названа им «Геометрика» и является своего рода сборником формул и соответствующих задач. Она содержит примеры на вычисление площадей квадратов, прямоугольников и треугольников.  Имя Герона навсегда связано с известной формулой нахождения площади треугольника, если даны три его стороны a, b, c:

Великому Архимеду принадлежат формулировки многих теорем о площадях и объемах сложных фигур и тел, вполне строго доказанные им методом исчерпывания Гиппократ Хиосский, живший во второй половине V века до н. э исследовал площади плоских фигур, ограниченных как прямыми линиями, так и дугами окружности. Не остался в стороне и всем известный Пифагор. С помощью его знаменитой теоремы доказаны и выведены многие формулы для вычисления некоторых многоугольников.

 

 

 

 

 

 

 

§3 Способы вычисления площадей многоугольников.

AПрименение формул площадей известных фигур.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проведем в треугольнике ABC высоту AH к стороне CB. По рисунку считаем: АН = 5, CB = 5. Вычислим площадь треугольника по формуле S= 0,5ah,  т.е.

Разбиение многоугольника на части.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Площадь многоугольника можно находить, разбивая его на части. Если линии разбиения проведена по линиям сетки, то площадь многоугольника будет равна сумме площадей  треугольников и прямоугольников. Sиск=S1+S2+S3

Достраивание фигуры до прямоугольника.

Для решения всех задач этого типа достаточно выполнить четыре простых шага:

  1. Описать вокруг многоугольника прямоугольник, стороны которого параллельны  линиям сетки. При этом желательно, чтобы на каждой стороне прямоугольника присутствовала хотя бы одна вершина исходной фигуры;
  2. Разбить внутреннее пространство прямоугольника, не занятое исходной фигурой, на квадраты (прямоугольники) и треугольники. Лучше, если все линии разбиения будут параллельны линиям сетки;
  3. Найти площадь каждого элемента разбиения. Сложив эти площади, получим площадь  разбиения;
  4. Из площади прямоугольника вычесть площадь разбиения — это и будет площадью исходной фигуры.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sисх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11Площадь исходной фигуры: Sисх = Sпр − (S1 + S2 + S3), где Sпр — площадь описанного прямоугольника. Осталось вычислить площадь большого прямоугольника и элементов разбиения. Т.е. для работы нам потребуются две формулы: Sтр = 0,5ab — площадь прямоугольного треугольника с катетами a и b и Sпр = ab — площадь произвольного прямоугольника со смежными сторонами a и b.

Подсчет клеток.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

        Подчитаем количество полных клеток внутри данного многоугольника. Дополним неполные клетки друг другом до полных клеток. Сложим полученные количества полных клеток.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По формуле Пика.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                S = Г / 2   + В - 1,

где  Г - количество пересечения контура фигуры с вершинами клеток ( красные точки на рисунке),  В - количество узлов внутри треугольника ( желтые точки на рисунке)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 2 Применение методов вычисления площадей.

§1. Геометрический метод.

Задача 1.                                                                                      Задача 2.

 

 

 

 

          

 

 

 


   Задача 3.                                                                               Задача 4.

 

 

 

 

   

 

 

 

 

Задача 5.                                                                   Задача 6.

Formula-Pika52                                                                                                 

 

 

 

pic.148

 

 

 

                    

 

 

Задача 7.                                                                     Задача 8.

 

 

 


                  

              

 

 

 

      

Задача 9

 

 

 

 

 


                     

              

Задача 10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

44
 Задача 11.                                                            Задача 12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

§2. Формула Пика.

Задача 1.                                                                                      Задача 2.

 

 

 

 

            


   Задача 3.                                                                               Задача 4.

 

 

 


              

 

 

 

              


Задача 5.                                                                   Задача 6.

 

 

 

 


                

pic.148


 

Задача 7.                                                                     Задача 8.

 

 

 

 


 


Задача 9.                                                      Задача 10.

 

 

 

 

 


       

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Задача 11.                                                            Задача 12.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 3 Оценка эффективности применения методов вычисления площадей многоугольников в конкретной ситуации.

§1 Структура проведения мастер классов.

Для оценки эффективности использования формулы Пика были проведены мастер-классы в 9 и 11 классах. Такой выбор был потому что, им в этом году предстоит сдача ЕГЭ и ОГЭ. Составлены задания. Работа проходила в три этапа. На первом этапе учащимся 9 и 11 классов был предложен ряд заданий для вычисления площади многоугольников (приложение 1), а на втором этапе разобрали каждый пример предложенного задания, где ребятам был предложен более рациональный способ вычисления. Таким образом, рассмотрели различные способы вычисления площадей многоугольников, изображённых на клетчатой бумаге и потренировались в их применении.

На третьем этапе был предложен ряд заданий, рассмотренных в главе 2, §2 работы. Задача которая стояла перед ребятами, заключалась в том, чтобы при вычислении площадей применять формулу Пика.

В оставшееся время предложили изобразить многоугольник необычной формы на клетчатой бумаге и вычислить площадь по формуле Пика. Подвели итог работы и каждому ученику была выдан календарик с формулой Пика.

По итогам мастер класса составлены обобщающие таблицы (приложение 2, 3). В результате анализа таблиц сделаны выводы и построены диаграммы. Рассмотрим результаты по классам.

§2 Практическое применение способов вычисления площадей многоугольников в девятом классе

По итогам выполнения задания были получены следующие результаты:

На первом этапе – первый учащийся справился за 16 минут, последний за 19 мин.30 с.    Среднее время выполнения задания составило 18 минут. Среднее количество ошибок 3-4   (см. приложение 2). Скорость выполнения задания зависит от обученности учащихся и степени развития вычислительных навыков.

На третьем этапе первый учащийся справился за 13 минут, а среднее время выполнения задания составило 15,5 минут. Среднее количество ошибок 1-2 (см. приложение 2). Делаем вывод, что после ознакомления с формулой Пика время выполнения заданий сократилось.

§3 Практическое применение способов вычисления площадей многоугольников в одиннадцатом классе.

Мастер класс проводился в группе социально-экономического профиля. До начала проведения занятия и после него мы попросили одиннадцатиклассников ответить на вопросы. В опросе приняли участие 8 человек. Полученные результаты представлены в приложении 3. Проанализируем некоторые данные. Большинство учащихся испытывают трудности при выборе способа (7 человек) и как следствие часто используют достраивание до прямоугольника (5 человек). На вопрос помогает ли знание  формулы Пика  утвердительно ответило 2 человека до занятия и 7 человек после него. Большинство предположило, что знакомство с формулой Пика  надо начинать в среднем звене. В 11 классе уже сформировались определённые навыки решения у каждого ученика. Проанализируем непосредственные результаты занятия.

На первом этапе – первый ученик справился за 15 мин, а последний за 18 мин. Среднее время выполнения задания составило 16 минут. Среднее количество ошибок 1-2. (см. приложение 3)

На третьем этапе в 11 классе первый справился за 13 мин, а среднее время выполнения задания составило 15,5 минуты. Среднее количество ошибок – только один ученик сделал одну ошибку (см. приложение 3).

 

 

 

 

 

 

 

Заключение.

В процессе проделанной работы в соответствии с ее целями и задачами были получены следующие выводы и результаты:

1.      При подготовке к итоговой аттестации знание формулы Пика поможет ускорить процесс решения задач за счет экономии времени и избежать использования различных способов;

2.      Старшеклассники нашей школы знают разные способы решения таких задач;

3.      Многообразие задач на бумаге в клеточку, отсутствие общих правил и методов решения вызывают у школьников затруднения при их рассмотрении;

4.      Нужно знать разные способы решения задач, для того чтобы решив одним, а другим сделать проверку;

5.      Данная работа окажет помощь даже «слабому» ученику. Он сможет выбрать наиболее приемлемый для себя способ решения таких заданий;

6.      Составлена презентация по использованию формулы Пика;

Основной вывод который мы сделали, состоит в том что Формула Пика имеет ряд преимуществ перед другими способами вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге:

Ø  Для вычисления площади многоугольника, нужно знать всего одну формулу:

       S = В + Г/2 – 1.

Ø   Формула Пика очень проста для запоминания.

Ø   Формула Пика очень удобна и проста в применении.

Ø   Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой, даже самой причудливой формы.

 

 

 

 

Список литературы

1.Васильев Н.Б. Вокруг формулы Пика, журнал «Квант» №12,1974 г., с.39-43.

2.Кушниренко А. Целые точки в многоугольниках и многогранниках, журнал «Квант» №4, 1977г., с.13-20.

3.Математический энциклопедический словарь. – Москва «Советская энциклопедия» 1988г.

4. Смирнов В. А. ЕГЭ. Математика. Задача В6. Планиметрия. Р/т. – М.: МЦНМО, 2013.

5.  Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия на клетчатой бумаге. – М.: Чистые пруды, 2009.

6. Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – 2014. Режим доступа: http://mathege.ru/or/ege/ShowProblems.html?posMask=32

7.  Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика, журнал                      «Математика», 2009, № 17, с. 24-25.

8. Математика. 9 класс. Подготовка к ГИА – 2014: учебно-методические пособие/ Под ред.Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2013г.;

 9. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2014 : учебно-методические пособие/ Под ред.Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. – Ростов-на-Дону: Легион, 2012г.;

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1

http://reshuege.ru/get_file?id=163 № 1  На клет­ча­той бу­ма­ге с клет­ка­ми раз­ме­ром 1 см http://reshuege.ru/formula/60/60c13e05d3ec8c10b8564eae7023d9dbp.png1 см изоб­ра­жен тре­уголь­ник (см. ри­су­нок). Най­ди­те его пло­щадь в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах

 

b6-100500-18-93.eps

№ 2 Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см \times1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 

 

pic.227№ 3 Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см \times1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 

pic.110№ 4 Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см \times1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 

 

http://reshuege.ru/get_file?id=3348№ Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см http://reshuege.ru/formula/60/60c13e05d3ec8c10b8564eae7023d9dbp.png1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах

 

 

prot_b6_224.eps№ 6   Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см \times1 см  (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 

b6-100500-210-475.eps № 7  Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см \times1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

 

Пятиугольник на координатной сетке в задаче B5 8     Найдите площадь пятиугольника изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см \times1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах

 

 

 

Приложение 2. Результаты исследования в 9 классе.

Таблица 1

Список учащихся

Результат до изучения формулы Пика

(время выполнения задания)

Результат после изучения формулы Пика

(время выполнения задания)

Преимущество по времени

1.  Кузнецова Валерия

16мин 30 с

13 мин 25 с

2 мин 5с

2. Кузинский Илья

16 мин

14 мин 30 с

1 мин 30 с

3. Пятлина Мария

19 мин

16 мин 45с

2мин 15с

4. Ануфриева Алина

17 мин 25 с

15 мин

2мин 25 с

5. Узбекова Валерия

18 мин 25 с

16 мин 15с

2 мин 10 с

6. Шабиков Александр

17мин 20 с

14 мин 40 с

2 мин 40 с

7. Алиева Алина

19мин 30 с

17 мин

2мин 30 с

8. Мамонтова Любовь

18 мин 15 с

16 мин 40 с

1 мин 35 с

9. Кишкина Марина

18 мин 40с

16 мин

2 мин 40с

Средний результат

18мин

15,5 мин

2 мин 12 с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 3. Результаты исследования в 11 классе ( профильная группа)

Таблица 2

Список учащихся

Результат до изучения формулы Пика

( время выполнения задания)

Результат после изучения формулы Пика

(время выполнения задания)

Преимущество по времени

1. Абдулаев Вусал

15 мин

13 мин 30 с

1 мин 30 с

2. Войсят Юлия

15мин 40с

14 мин 30 с

1 мин 10 с

3. Митянина Анна

16 мин 10 с

15 мин 5с

1 мин 25 с

4. Зорин Даниил

15 мин 30 с

14 мин

1 мин 30 с

5. Кожин Виталий

17 мин 5с

16 мин 30с

35 с

6. Тоскунин Александр

18 мин

6 мин

2 мин

7. Дубовик Анастасия

15 мин 50с

14 мин 30 с

1 мин 20 с

8. Вяткина Ксения

18 мин

16 мин 25с

1 мин 35с

Средний результат

16 мин 24с

13мин 45с

1мин 24с

 

По результатом исследования составили диаграмму (см. рис.1) Из диаграммы видим, что больше всего ученики используют способ достраивания фигуры до прямоугольника(45%). 32% задач из 50% предложенных, решены по формулам площадей известных фигур.

 

 

 

 

Приложение 4. Георг Пик.

Георг Алекса́ндр Пик  (10 августа 1859 — 13 июля 1942) — австрийский математик, родился в еврейской семье. Мать — Йозефа Шляйзингер, отец — Адольф Йозеф Пик.

Учёба.

Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг окончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Шестнадцатого апреля 1880 года под руководством Лео Кёнигсбергера Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов». В 1881 году он получил место ассистента у Эрнста Маха, который занял кафедру физики в Пражском университете. Чтобы получить право чтения лекций, Георгу необходимо было пройти хабилитацию. Для этого он написал работу «Об интеграции гиперэллиптических дифференциалов логарифмами». Это произошло в 1882 году, вскоре после разделения Пражского университета на чешский (Карлов университет) и немецкий (Университет Карла-Фердинанда). Пик остался в Немецком университете. В 1884 году Пик уехал в Лейпцигский университет к Феликсу Клейну. Там он познакомился с другим учеником Клейна, Давидом Гильбертом. Позже, в 1885 году, он вернулся в Прагу, где и прошла оставшаяся часть его научной карьеры.

Преподавательская деятельность.

В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В 1900—1901 годах занимал пост декана философского факультета.

В 1910 году Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна профессором в университет. Пик и физик Антон Лампа были главными инициаторами этого назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии сдружился, в 1911 году возглавил кафедру теоретической физики в Немецком университете в Праге.

Пик и Эйнштейн не только имели общие научные интересы, но и страстно увлекались музыкой. Пик, игравший в квартете, который состоял из университетских профессоров, ввёл Эйнштейна в научное и музыкальное общества Праги.

Работы.

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца — Пика. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.

Последние годы и смерть.

После того как Пик вышел в отставку в 1927 году, он получил звание почётного профессора и вернулся в Вену — город, в котором он родился. Однако в 1938 году после аншлюса Австрии 12 марта он вернулся в Прагу. За десять лет до того в 1928 году Пик был избран членом-корреспондентом Чешской академии наук и искусств, но в 1939-м, когда нацисты заняли Прагу, он был исключён из академии.

13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Исследовательская работа "Формула Пика""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Агроном

Получите профессию

Копирайтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 626 501 материал в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 07.10.2015 620
    • DOCX 843.1 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Ямчук Наталья Григорьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Ямчук Наталья Григорьевна
    Ямчук Наталья Григорьевна
    • На сайте: 9 лет и 5 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 46917
    • Всего материалов: 17

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Фитнес-тренер

Фитнес-тренер

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс профессиональной переподготовки

Педагогическая деятельность по проектированию и реализации образовательного процесса в общеобразовательных организациях (предмет "Математика и информатика")

Учитель математики и информатики

300 ч. — 1200 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 35 человек из 16 регионов

Курс повышения квалификации

Применение компьютерных моделей при обучении математике и информатике в рамках ФГОС ООО

72 ч. — 180 ч.

от 2200 руб. от 1100 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 47 человек из 24 регионов

Курс повышения квалификации

Организация учебно-исследовательской деятельности учащихся как средство развития познавательной активности при обучении математике в условиях реализации ФГОС ООО и ФГОС СОО

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 26 человек из 16 регионов

Мини-курс

Психология сиблингов в семейной структуре

3 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Дизайн-проектирование: практические и методологические аспекты

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Музыкальная журналистика: история, этика и авторское право

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе