Исследовательская работа "Формула Пика – помощник в решении задач ЕГЭ" автор Мурзагалиева Алина

Республика Калмыкия

Юстинский район

МБОУ «Цаганаманская гимназия»

____________________________________________________________

Научно-практическая конференция «От исследования – к научному поиску»

Секция «Естественно-научная»

Формула Пика – помощник в решении задач ЕГЭ

Работу выполнила: Мурзагалиева Алина Игоревна,

                                 ученица 9 класса

                                  МБОУ «Цаганаманская гимназия»

Руководитель: Улюмджиева Н.Б.,

                          учитель математики

                          и информатики

                          МБОУ «Цаганаманская гимназия»

п. Цаган Аман, 2013

Краткая аннотация

В  заданиях к ЕГЭ в первой части встречаются задачи на вычисление площади фигуры. Но в отличие от задач учебника геометрии, фигуры изображены на клетчатой бумаге. Чтобы вычислить площадь изображённой фигуры, необходимо  сделать дополнительные построения: разбить данную фигуру на несколько треугольников и прямоугольников, провести высоту в треугольнике, параллелограмме. Возник вопрос, а существуют ли более рациональные  методы и приёмы решения задач на вычисление площади фигур, изображённых клетчатой бумаге. Я  приступила к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной  теме. На сайте «Математические этюды» (http://www.etudes.ru/ru/etudes/pick/) нашла формулу Пика. Эта формула меня заинтересовала, и я попробовала решать  задания, используя данную формулу.

Изучив материал по данной теме, я выдвинула  гипотезу о том, что  задачи на нахождение площади фигур, изображённых   на клетчатой бумаге, можно решить с помощью формулы Пика более рационально и площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по известным формулам планиметрии, которые изучаются в школьной программе.

Объект исследования: формула Пика.

Предмет исследования: применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Цель работы: обосновать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Методы исследования: сравнение, обобщение.

Задачи:

1) Изучить литературу по данной теме.

2) Решить  задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге геометрическим  методом.

3) Решить  задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге, используя формулу Пика.

4) Сравнить и проанализировать  результаты исследования.

Содержание

Введение ………………………………………………………………………………….		4
1.	Историческая справка ……………………………………………………………..	5
2.	Формула Пика ………………………………………………………………………	6
3.	Нахождение площади многоугольника …………………………………………..	8
Заключение ………………………………………………………………………………..		13
Список литературы ……………………………………………………………………….		14

            Введение

В 8 классе на уроках геометрии мы изучали тему «Площадь», и учитель постоянно делал акцент на то, что учась в 8 классе, мы можем решать некоторые задания ЕГЭ по математике. И действительно, в заданиях к ЕГЭ в первой части встречаются задачи на вычисление площади фигуры. Но в отличие от задач учебника геометрии, фигуры изображены на клетчатой бумаге. Чтобы вычислить площадь изображённой фигуры, необходимо  сделать дополнительные построения: разбить данную фигуру на несколько треугольников и прямоугольников, провести высоту в треугольнике, параллелограмме. Возник вопрос, а существуют ли более рациональные  методы и приёмы решения задач на вычисление площади фигур, изображённых клетчатой бумаге. Я  приступила к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной  теме. На сайте «Математические этюды» (http://www.etudes.ru/ru/etudes/pick/) нашла формулу Пика. Эта формула меня заинтересовала, и я попробовала решать  задания, используя данную формулу.

Изучив материал по данной теме, я выдвинула  гипотезу о том, что  задачи на нахождение площади фигур, изображённых   на клетчатой бумаге, можно решить с помощью формулы Пика более рационально и площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по известным формулам планиметрии, которые изучаются в школьной программе.

Объект исследования: формула Пика.

Предмет исследования: применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Цель работы: обосновать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Методы исследования: сравнение, обобщение.

Задачи:

1) Изучить литературу по данной теме.

2) Решить  задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге геометрическим  методом.

3) Решить  задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге, используя формулу Пика.

4) Сравнить и проанализировать  результаты исследования.

1.      Историческая справка

Георг Александр Пик - австрийский математик, родился в еврейской семье 10 августа 1859 году в Вене. Георг был одарённым ребёнком, его обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг окончил школу и поступил в Венский университет.

В 20 лет получил право преподавать физику и математику в Немецком университете в Праге. В  1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В 1900—1901 годах занимал пост декана философского факультета.

В 1910 году Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна профессором в университет. Пик и физик Антон Лампа[de] были главными инициаторами этого назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии сдружился, в 1911 году возглавил кафедру теоретической физики в Немецком университете в Праге. Пик и Эйнштейн не только имели общие научные интересы, но и страстно увлекались музыкой. Пик, игравший в квартете, который состоял из университетских профессоров, ввёл Эйнштейна в научное и музыкальное общества Праги.

Круг математических интересов Пика был чрезвычайно широк. В частности, им написаны работы в области функционального анализа и дифференциальной геометрии, эллиптических и абелевых функций, теории дифференциальных уравнений и комплексного анализа, всего более 50 тем. С его именем связаны матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, лемма Шварца — Пика.

Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники. После того как Пик вышел в отставку в 1927 году, он получил звание почётного профессора и вернулся в Вену — город, в котором он родился. Однако в 1938 году после аншлюса Австрии 12 марта он вернулся в Прагу. За десять лет до того в 1928 году Пик был избран членом-корреспондентом Чешской академии наук и искусств, но в 1939-м, когда нацисты заняли Прагу, он был исключён из академии. 13 июля 1942 года Пик был депортирован в созданный нацистами в северной Чехии лагерь Терезиенштадт, где умер две недели спустя в возрасте 82 лет.

2.      Формула Пика

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна  В + Г/2 − 1, где

В - количество целочисленных точек внутри многоугольника, а

Г— количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Пример. 

В = 10, Г = 7,

В + Г/2 −1 = 10 + 7:2 −1 = 12,5

Доказательство теоремы Пика:  Сначала заметим, что формула Пика верна для единичного квадрата. Действительно, в этом случае мы имеем В=0, Г=4 и S=0+4/2-1=1.

Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Пусть длины его сторон равны a и b. Имеем в этом случае В=(а-1)(в-1), Г=2а+2в, и по формуле Пика

Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат. Такой треугольник получается из прямоугольника со сторонами a и b, рассмотренного в предыдущем случае, разрезанием его по диагонали. Пусть на диагонали лежат c целочисленных точек. Тогда для этого случая

и получаем, что

Теперь рассмотрим произвольный треугольник. Его можно получить, отрезав от прямоугольника несколько прямоугольных треугольников и, возможно, прямоугольник (см. рисунки). Поскольку и для прямоугольника, и для прямоугольного треугольника формула Пика верна, мы получаем, что она будет справедлива и для произвольного треугольника.

            Остается сделать последний шаг: перейти от треугольников к многоугольникам. Любой многоугольник можно разбить на треугольники (например, диагоналями). Поэтому нужно просто доказать, что при добавлении любого треугольника к произвольному многоугольнику формула Пика остается верной.

            Пусть многоугольник М и треугольник Т имеют общую сторону. Предположим, что для М формула Пика справедлива, докажем, что она будет верна и для многоугольника , полученного из М добавлением Т. Так как М и Т имеют общую сторону, то все целочисленные точки, лежащие на этой стороне, кроме двух вершин, становятся внутренними точками нового многоугольника. Вершины же будут граничными точками. Обозначим число общих точек через с и получим

 - число внутренних целочисленных точек нового многоугольника

 - число граничных точек нового многоугольника.

Из этих равенств получаем

, 
Так как мы предположили, что теорема верна для М и Т для по отдельности, то

Тем самым, формула Пика доказана.

3.      Нахождение площади многоугольника

B 3 № 27555. На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см  1 см изображена фигура (см. рисунок). Найдите ее площадь в квадратных сантиметрах.
По формулам геометрии		По формуле Пика
	S=24 – 18 =6		В=5, Г=4 S= 5 + 4/2 – 1 =6

B 3 № 244999. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
По формулам геометрии		По формуле Пика
	S=6 – 5 =1		В=0, Г=4 S= 0 + 4/2 – 1 =1

B 3 № 245002. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
По формулам геометрии		По формуле Пика
	S=20 + 6 =23		В=18, Г=12 S= 18 + 12/2 – 1 =23

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
По формулам геометрии		По формуле Пика
	S=81 – (28+9) = 44		В=39, Г=12 S= 39 + 12/2 – 1 =44

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
По формулам геометрии		По формуле Пика
	S=20 – (3+1+1) = 15		В=9, Г=14 S= 9 + 14/2 – 1 =15

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
По формулам геометрии		По формуле Пика
	S=35– (6+2+3+2,5+7+1,5)  = 13		В=10, Г=8 S= 10 + 8/2 – 1 =13

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
По формулам геометрии		По формуле Пика
	S=36– (3+2,5+4,5+2,5+5+1,5)  = 17		В=14, Г=8 S= 14 + 8/2 – 1 =17

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
По формулам геометрии		По формуле Пика
	S=(4 + 12) – (1 + 2) =13		В=10, Г=14 S= 10 + 14/2 – 1 =16 В=1, Г=6 S= 1 + 6/2 – 1 =3 16 – 3 = 13

Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см  1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
По формулам геометрии		По формуле Пика
	S=28+5+12+12+18+20+ + 18+16+9= 138		В=116, Г=46 S= 116 + 46/2 – 1 = 138

Вывод: Сравнив результаты в таблицах, я пришла к выводу, что площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формулам геометрии. Кроме того, формула Пика даёт быстрое и простое решение задач на нахождение площади фигуры, вершины которой лежат в узлах решётки.  Итак,  моя гипотеза оказалась верной.

            Заключение

Цель, которую я поставила перед собой, мной реализована. Исследовательская работа вызвала интерес и увлекла меня.

Предметом моего исследования являлось  применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

            При выполнении работы было рассмотрено доказательство  формулы Пика,  решены  задачи на нахождение площади многоугольников, изображённых на клетчатой бумаге двумя способами: геометрическим и с помощью формулы Пика. Решенные задачи имеют различный уровень трудности.

            Анализ решений показал, что формула Пика облегчает и ускоряет нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге, что позволит уделить больше времени на другие задания ЕГЭ по математике.

            Но и она имеет свои недостатки:

1.      Чертеж должен быть четким (необходимо для точного подсчета узлов).

2.      Формула применяется лишь для многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге.

3.      Формула не имеет аналог в пространстве.

Список литературы

1.      Васильев Н.Б. Вокруг формулы Пика, журнал «Квант» №12,1974 г., с.39-43.

2.      Кушниренко А. Целые точки в многоугольниках и многогранниках, журнал «Квант» №4, 1977г., с.13-20.

3.      Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика, журнал    « Математика», 2009, № 17, с. 24-25.

Интернет -  ресурсы

1.      http://www.etudes.ru/ru/etudes/pick/

2.      http://e-maxx.ru/algo/pick_grid_theorem

3.      http://hijos.ru/2011/09/14/formula-pika/

4.      http://shpargalkaege.ru/EGEB6.shtml

5.      http://reshuege.ru/test?theme=122

6.      http://mathege.ru/or/ege/Main