Исследовательская работа "Формула роста. Можно ли прогнозировать рост детей по росту их родителей"

ВВЕДЕНИЕ

  Будет ли ваш ребенок играть в сборной по баскетболу, ходить по подиуму или, наоборот, всю жизнь будет одеваться в “Детском мире”? Такие вопросы нередко интересуют будущих или уже состоявшихся родителей. В связи с этими мы предлагаем вам простой эксперимент: посмотрите на себя в зеркало.

        Испокон веков  люди пытались заглянуть в будущее, приподнять завесу неизвестного. И с помощью некоторых наук это стало возможным. Мы в свою очередь тоже  попытаемся  внести свой вклад в этот загадочный процесс. Они строят для себя определенные идеалы, мечтают, какими родятся их будущие дети. С помощью такой науки как математическая статистика стало возможным предсказание , а точнее -  расчет роста будущих детей в  паре. Мы в свою очередь тоже  попытаемся  внести свой вклад в этот  процесс предсказания.

Целью нашего исследования является определение тесной связи между ростом родителей, ростом детей и  вывод уравнения регрессии зависимости роста детей от роста их родителей.

Для достижения поставленной цели были поставлены следующие задачи:1)Проанализировать математическую литературу по разделу«Теория корреляции»;

2) Осуществить статистический сбор данных  среди жителей п. Сергеевский;

3)    Провести необходимые расчеты для определения тесноты связи между ростом родителей и ростом детей;

4)      Составить уравнения регрессии для дочерей и сыновей.

        Перед началом работы была выдвинута следующая гипотеза: рост детей зависит от среднего арифметического роста его родителей. Научная новизна

работы проявляется в том, что,рассмотрев материал по данной теме, мы нашли формулы, по которым можно рассчитать, каким будет рост вашего ребенка. Однако эти формулы не имеют теоретического обоснования. Они несут в себе большую погрешность. Мы решили теоретически вывести формулу зависимости роста детей от роста их родителей на основании большого количества испытуемых и обработать данные. А также нам предстоит  рассмотреть доверительную надежность прогноза.

Объектом исследования являются данные роста детей  и их родителей в п. Сергеевский.

Предмет исследования: зависимость коэффициента корреляции.  Рассмотрение темы корреляции для параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратичной регрессии.

В ходе исследования были использованы следующие методы работы:

1). Эмпирический опрос (рост супругов, рост  взрослого ребёнка);

2). Аналитический метод (анализ и обобщение данных средств

массовой информации);

3). Математический метод (работа с математическими формулами);

4).Логический метод (формулировка выводов и заключений на

основе полученной информации).

Ожидаемый результат предполагает опровержение или подтверждение выдвинутой гипотезы о прямой зависимости  роста детей  от среднего арифметического роста его родителей. Также мы попытаемся дать  самую удобную и более точную формулу вычисления.

Теоретическое значение проведённого  исследования состоит в том, что в ней предпринято  рассмотрение темы корреляции для параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратичной регрессии для вычисления роста будущего ребёнка. И это может быть использовано в ходе дальнейшего изучения этой проблемы применительно к математическим вычислениям.

Практический смысл заключается в выборе вариантов математических вычислений для достижения ожидаемого результата, а именно, предположения роста будущего человека. Применительно уроков алгебры эта тема может и не встретиться, но составление уравнений регрессии...

ГЛАВА I      ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.1.        Несколько формул для определения роста ребенка

Наверное, большинство родителей на свете, держа на руках свое чадо, размышляют, каким будет их малыш. И если предугадать характер и переплетения судьбы заранее невозможно, то попытаться рассчитать будущий рост малыша вполне реально.

Каким же будет конечный рост ребенка? И от какого из родителей он зависит? Существует огромное количество формул, способных ответить на этот вопрос. Рассмотрим 5 из них. Они основаны на предположении, что конечный рост ребенка на 75-90 % зависит от наследственности и, прежде всего, от роста родителей.

1. Первая формула, как говорится, «народная», потому что имя ее создателя кануло в лету. Но она достаточно популярна.

Предполагаемый рост ребенка (ПР)

(ПР мальчика)= (рост отца + рост матери) * 0,54 – 4,5;

Формула: ПР девочки = (рост отца + рост матери) * 0,51 – 7,5

2. Авторство второй формулы приписывается доктору Дж. Хокеру из клиники«Майо».
ПР мальчика(см) = (рост отца + рост матери):2+6,4;
ПР девочки (см) = (рост отца + рост матери): 2 – 6,4.[7].

3. Третья формула принадлежит исследователю из Чехословакии (еще в бытностьСССР)В.Каркусу.
ПР мальчика(см) = (рост отца + рост матери умноженный на1,08): 2;
ПР девочки (см) = (рост отца умноженный на 0,923 + рост матери): 2.[7].

4. Следующая формула принадлежит авторству создателей статьи «Низкорослость в детском возрасте», профессору Владимиру Смирнову и врачу-эндокринологу Глебу Горбунову. Она немного схожа с формулой Хокера, но предполагает точность расчетов плюс - минус 8 см.
ПР мальчика(см) = (рост отца + рост матери + 12,5):2 ±8;
ПР девочки (см) = (рост отца + рост матери – 12,5):2 ±8.  [4]

Эта формула, не столько вычисляет предполагаемый конечный рост ребенка, сколько предполагает максимальный и минимальный рост малыша при текущем росте его родителей.

5. Можно также привести формулу, полученную на основе результатов опроса московскими студентами 30 семей. Ее источник - статья «Насколько вырастет ваш ребенок», опубликованная в шестом номере журнале «Наука и жизнь» за 1998 год. Автор статьи, Б. Горобец, обещает, что точность расчетов составляет плюс-минус 4-5 см.

ПР мальчика = (рост отца + рост матери)*0,57 – 14,5;
ПР девочки = (рост отца + рост матери)*0,505 - 5.   [4]

Любая из приведенных формул предполагает «идеальный» рост малыша, которого он может достичь при благоприятном стечении обстоятельств.

А что же получается на практике?Мы проанализировали данные о росте членов своих семей с целью выявить, какая же  из формул более работоспособна. В результате анализа получили отклонения  в росте  в пределах 5-10 см, и это довольно большая погрешность.

1.2. Немного из теории корреляции

Очень часто встречаются ситуации, когда две различные измеряемые величины связаны друг с другом довольно тесно, хотя и не предельно жестко. Например, количество удобрений, вносимых в почву и урожайность той или иной сельскохозяйственной культуры, число часов, затрачиваемых учащимися на выполнение домашнего задания  и средняя оценка, температуру воздуха в классе и доля простуженных учащихся и т. д. В математической статистике такие величины называют случайными в том смысле, что при их измерении получают статистический набор значений, несколько отличающийся друг от друга. Можно ли количественно оценить тесноту статистической связи между двумя последовательностями значений, полученных при измерении случайных величин? Если это удастся сделать в виде формулы, то, зная одну из величин – x, ту, которую измерить проще (например,интенсивность землетрясения) , можно будет  находить другую величину у – ту, которую измерить труднее (например, глубину залегания очага) , а иногда измерение вовсе невозможно.

В теории вероятностей, элементы которой изучаются уже в школе, поставленные вопросы решаются в разделе, именуемом теорией корреляции. Там выводятся формулы, позволяющие, во-первых, вычислить коэффициент корреляции  r, изменяющийся от 0 ( связи не обнаружено) до 1 (связь 100%-ная), и, во-вторых, записать линейное уравнение для связи между х и у ( его называют уравнением регрессии).

Коэффициент корреляции — это показатель взаимного вероятностного влияния двух случайных величин. Коэффициент корреляции r может принимать значения от -1 до +1. Если абсолютное значение находится ближе к 1, то это свидетельство сильной связи между величинами, а если ближе к 0 — то это говорит о слабой связи или ее отсутствии.[5]
Вычислить коэффициент корреляции можно по следующей формуле:

( 1.1 ),  где

оценки математического ожидания случайных величин x и усоответственно;

      оценки дисперсий случайных величин (среднее квадратичное отклонение) x иу соответственно.

Строго говоря, надо делить на (n– 1), но при больших  n  это почти не играет роли; причины же такой поправки потребовали бы довольно длинных разъяснений  того, что такое «степень свободы» в статистике и иллюстрации этого понятия (об этом см.,  например, в учебнике и задачнике В.Е.Гмурмана [1, 2];наглядно этот непростой момент объяснен в научно-популярной книге П.Спрента [3]). Примененный выше способ вычисления теоретически равносилен способу вычисления напрямую по определению среднего квадратичного отклонения, однако этот способ требует значительно меньшего числа операций, включая округления промежуточных величин. Поэтому на практике чаще применяют именно приведенные выше формулы.

Получив  r, можно записать  уравнение регрессии, которое  позволяет найти y, если известенx, [1, 2]:

y = a + b•x   (1.4), гдеb, а –коэффициенты линейной регрессии:

b =

rx,y

Sy Sx

(1.5).

a =  - b•    (1.6).

Диаграмма рассеяния — это графическое изображение соответствующих пар (x_k , y_k ) в виде точек плоскости, в прямоугольных координатах с осями X и Y. Корреляционное поле является одним из графических представлений связанной (парной) выборки. В той же системе координат строится и график линии регрессии. Для этого результаты каждого наблюдения отмечаются точкой в системе прямоугольных координат х и у. Чем больше разброс точек на поле корреляции, тем меньше теснота связи между изучаемыми явлениями.[6]

ГЛАВА II   ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

2.1.Составление уравнение регрессии для определения роста ребенка

Наличие связи между ростом родителей и ростом их детей представляется заранее очевидным, предопределенным генетически. Из бытовых наблюдений ясно, что у высоких родителей более высокие дети, чем у невысоких, и нужно найти лишь численные показатели такой связи. Проверив на практике пять формул, описанных нами в п.1.1, мы пришли к выводу, что они неточны, так как приводят к большой погрешности в пределах 5-10 см, а это очень много. Нами былисобраны данные по 44 парам «муж-жена»  и их детям в возрасте 19-30 лет. Интересно мнение кандидата медицинских наук А.С. Синявского в этом вопросе , где он говорит, что: «Рост увеличивается до 17-19 лет у девушек и до 19-22 лет у юношей».[8]

Расположив в два столбца полученные пары значений, вычислимдалее их квадраты и произведения, которые потребуются для вычислениякоэффициента корреляции. Поделив суммы во втором и третьем столбцахна 29 (количество семей, имеющих сыновей), получим среднее арифметическое значения роста сыновей и роста их отцов соответственно. Забегая вперед, скажем, что полученные результаты явились для постановщиков этой задачи неожиданным.

Сложим, используя формулы (1.2),последовательно все элементы x_ix₁+x₂+…+x₂₉ = 180+180+...+172=5014(приложение1),
 разделим полученную сумму на число элементов
. Аналогичным образом вычислим исреднее значение произведений из последнего столбца.

Следующий этап – вычисление  оценки дисперсий случайных величин x и у. Используя формулы (1,3), сложим последовательно все элементы 4-гостолбца  32400 + 32400 + ... + 29584= 867840 , разделим полученную сумму на 29:.

Вычтем из последнего числа квадрат величины , получим значение для S_x² = 29925.51724 -172.89655² = 29925.51724 -29893.21760 = 32.29964
Аналогично вычислим значение S_y²:

30976+29241+...+29584=896834,;

S_y² = 30925.31034 -175.72414² = 30925.31034 -30878.97265 = 46.33769.

Вычислим произведение величин S_x² и S_y².
S_x²S_y² = 32.29964•46.33769 = 1496.690962.
Извлечем и последнего числа квадратный корень, получим значение S_xS_y.
S_xS_y = 38.68709.

Все готово для вычисления коэффициента корреляции по формуле (1.1)

Полученное значение rпопадает в интервал связи малой силы (сильной обычно считают связь, начиная с  r = 0,7). Тем не менее, полученная сила связи существует.

При помощи полученного r можем записать  уравнение  регрессии  (1.4) для нахождения роста сына через рост отца. Подставив все экспериментальные значения в формулу (1.5) , а затем в (1.6), получим окончательно для нашей задачи:

Sy2 Sx2

= =  1.43462.

Извлечем из последнего числа квадратный корень - получим:    

b =  0.30766 •  1.19776 =  0.36850,
a = 175.72414 -  0.36850 • 172.89655 = 112.01134

Уравнение линейной регрессии имеет вид:     у = 112.01134 + 0.36850х.
Проведем аналогичные расчеты для составления уравнения регрессии зависимости роста сыновей от роста их родителей. Здесь приведем исходные данные и их обработки.

Рост сыновей и их матерей (приложение 2):  .

Уравнение линейной регрессии имеет вид:     у = 160.70481 + 0.09218 х .

Рост сыновей и их родителей (приложение 3): . Уравнение линейной регрессии имеет вид:     у = 97.63620 + 0.46505 х .

Построим диаграмму рассеивания :

Рассматривая корреляционное поле зависимости роста сына от роста отца можно сказать, что разброс точек не так уж велик  в отличие от корреляционных полей зависимостей роста сына от матери и сына от роста обоих родителей. Исходя из полученных данных можно сделать вывод, что зависимость между ростом матери  и ростом сына почти не существует,  а рост сына в свою очередь зависит от роста его отца.

Аналогично можно высчитать коэффициент корреляции между ростом дочерей и ростом их родителей (количество семей, имеющих дочерей 36).

Рост дочерей и их матерей (приложение 4):  ,  уравнение линейной регрессии имеет вид:     у = 79.25411 + 0.52915 х.

Рост дочерей и их отцов(приложение 5):  , уравнение линейной регрессии имеет вид:     у = 86.23081 + 0.45113 х.

   Рост дочерей и их родителей (приложение 6): , уравнение линейной регрессии имеет вид:     у = 16.72084 + 0.88423 х. 

Построим диаграмму рассеивания и рассмотрим  корреляционное поле:

Меньший разброс точек этого корреляционного поля указывает на то, что  рост дочери более тесно связан с ростом обоих родителей, чем ростом отца или ростом матери. Следовательно, рост дочери в большей мере зависит от ростаотца, чем от роста матери, но наибольшая зависимость от суммы роста родителей.

Так как коэффициент корреляции составил больше нуля, значитстатическая связь между ростом родителей и детейсуществует и она довольно значительна. Мы выяснили, что рост детей впаре в большинстве зависит от роста родителей, причем рост сына зависит от роста отца,  а рост дочери от суммы роста родителей. По этим даннымвывели эмпирические формулы, которыми могли бы воспользоватьсямужчины и женщины, собирающиеся вступить в брак  и спрогнозироватьбудущий рост своих детей. Так как самая большая связь выявлена между ростом  сына и отца и ростом дочери  и ростом обоих родителей, то мы предлагаем использовать следующие формулы :

1)     для роста сына:     у = 112.01134 + 0.36850х

2)    для роста дочери у=16.72084+0.88423х.

Полученные нами в результате исследования формулы были апробированы: был измерен рост детей и их родителей  д. Имасы и д. Иванчино. Вследствие чего оценка точности при прогнозировании роста составила  , что намного меньше, чем в формулах, описанных в п.1.1.  Заинтересованные  данной работой могут получить свои выборки этих (или каких-то) других параметров человека и сопоставить с нашими результатами. Последние могут быть слегка поправлены, но как мы полагаем, не слишком существенно.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате проделанной работы мы познакомились с несколькими формулами для определения роста ребенка, при использовании которых пришли к выводу, что они не совсем точно могут спрогнозировать рост ребенка. Рассмотрели несколько вопросов из теории корреляции, что позволило нам составить уравнения регрессии для определения роста ребенка,  зная рост родителей.  Данные формулы наиболее точно спрогнозируют рост вашего малыша.

В ходе работы над темой  мы выяснили, что рост ребенка зависит от роста родителей, причем рост сына зависит от роста отца,  а рост дочери от суммы роста обоих родителей.

Работая над этой темой исследования,  меня заинтересовал ещё один  вопрос: взаимосвязан ли рост супругов. Возможно, ответ на данный вопрос я получу, проведя  новое исследование.

Что делать с теми расчетами, которые вы выявили для  ребенка? Если результат вас не устраивает, не стоит расстраиваться. В любом случае, увеличить будущий рост ребенка можно до тех пор, пока не закрыты зоны роста. Используя для этого специальные упражнения, стимулирующие обмен веществ и усиливающие рост костной ткани. Это плаванье, висы, ряд упражнений из йоги. Кроме того, полноценное питание, позитивный психологический настрой и любовь способны улучшитьобщее физическое состояние ребенка, а это не так уж и мало.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика:

учебное пособие для вузов / В. Е. Гмурман. – 9 – изд., стер. – М.: Высшая

школа, 2003. – 479 с.

2. Гмурман, В. Е. Руководство к решению задач по теории

вероятностей и математической статистике: учебное пособие для вузов / В.

Е. Гмурман. - 9 – изд., стер. – М.: Высшая школа, 2004. – 404 с.

3. Баранова, М. А. Математика в школе / М. А. Баранова, Б. С.

Горбец // Взаимосвязан ли рост супругов? Как спрогнозировать рост детей

по росту их родителей? – 2009. - №9. – С. 23 – 26.

Интернет- ресурсы:

4. http://www.justlady.ru/articles-137371-vychislyaem-konechnyy-rost-rebenka-5-populyarnyh-formul

5. http://studopedia.net/1_27638_osnovi-korrelyatsionnogo-metoda.html

6. http://scisne.net/a1136

7.http://ladydiary.ru/detki/vychislyaem-konechnyy-rost-rebenka-5-populyarnyh-formul.html

8. http://www.poznaika.com/index.php?catid=9:fizkult&id=47:2011-10-19-07-21-25&option=com_content&view=article

Приложение 1

Обработка данных роста сыновей и их отцов

№	Рост отца (х)	Рост сына (у)	х2	у2	ху
1	180	176	32400	30976	31680
2	180	171	32400	29241	30780
3	170	185	28900	34225	31450
4	167	172	27889	29584	28724
5	165	176	27225	30976	29040
6	165	180	27225	32400	29700
7	170	172	28900	29584	29240
8	160	176	25600	30976	28160
9	175	169	30625	28561	29575
10	175	170	30625	28900	29750
11	169	174	28561	30276	29406
12	175	192	30625	36864	33600
13	174	183	30276	33489	31842
14	174	175	30276	30625	30450
15	174	175	30276	30625	30450
16	169	160	28561	25600	27040
17	176	175	30976	30625	30800
18	183	178	33489	31684	32574
19	175	178	30625	31684	31150
20	168	172	28224	29584	28896
21	168	168	28224	28224	28224
22	172	175	29584	30625	30100
23	181	195	32761	38025	35295
24	170	172	28900	29584	29240
25	170	170	28900	28900	28900
26	185	180	34225	32400	33300
27	172	178	29584	31684	30616
28	180	177	32400	31329	31860
29	172	172	29584	29584	29584
Всего	5014	5096	881426	867840	896834

,

,

S_xS_y =  38.68709

b =  0.30766 •  1.19776 =  0.36850

a = 175.72414 -  0.36850 • 172.89655 = 112.01134

Уравнение линейной регрессии имеет вид:     у = 112.01134 + 0.36850 х.    

Приложение 2

Обработка данных роста сыновей и их матерей

№	Рост матери(х)	Рост сына (у)	х2	у2	ху
1	161	176	25921	30976	28336
2	164	171	26896	29241	28044
3	164	185	26896	34225	30340
4	158	172	24964	29584	27176
5	160	176	25600	30976	28160
6	160	180	25600	32400	28800
7	156	172	24336	29584	26832
8	165	176	27225	30976	29040
9	164	169	26896	28561	27716
10	163	170	26569	28900	27710
11	152	174	23104	30276	26448
12	165	192	27225	36864	31680
13	173	183	29929	33489	31659
14	173	175	29929	30625	30275
15	172	175	29584	30625	30100
16	165	160	27225	25600	26400
17	173	175	29929	30625	30275
18	156	178	24336	31684	27768
19	157	178	24649	31684	27946
20	160	172	25600	29584	27520
21	160	168	25600	28224	26880
22	164	175	26896	30625	28700
23	165	195	27225	38025	32175
24	168	172	28224	29584	28896
25	168	170	28224	28900	28560
26	155	180	24025	32400	27900
27	162	178	26244	31684	28836
28	164	177	26896	31329	29028
29	158	172	24964	29584	27176
Всего	4725	5096	770711	896834	830376

,

,

S_xS_y =  37.10967

b =  0.07382 •  1.24867 = 0.09218

a = 175.72414 -  0.09218 • 162.93103 = 160.70481

Уравнение линейной регрессии имеет вид:     у = 160.70481 + 0.09218 х .

Приложение 3

Обработка данных роста сыновей и их родителей

№	Средний рост отца и матери  (х)	Рост сына (у)	х2	у2	ху
1	170,5	176	29070.25	30976	30008
2	172	171	29584	29241	29412
3	167	185	27889	34225	30895
4	162,5	172	26406.25	29584	27950
5	162,5	176	26406.25	30976	28600
6	162,5	180	26406.25	32400	29250
7	163	172	26569.	29584	28036
8	162,5	176	26406.25	30976	28600
9	169,5	169	28730.25	28561	28645.5
10	169	170	28561	28900	28730
11	160,5	174	25760.25	30276	27927
12	170	192	28900	36864	32640
13	173,5	183	30102.25	33489	31750.5
14	173,5	175	30102.25	30625	30362
15	173	175	29929	30625	30275
16	167	160	27889	25600	26720
17	174,5	175	30450.25	30625	30537.5
18	169,5	178	28730.25	31684	30171
19	166	178	27556	31684.0	29548
20	164	172	26896	29584	28208
21	164	168	26896	28224	27552
22	168	175	28224	30625	29400
23	173	195	29929	38025	33735
24	169	172	28561	29584	29068
25	169	170	28561	28900	28730
26	170	180	28900	32400	30600
27	167	178	27889	31684	29726
28	172	177	29584	31329	30444
29	165	172	27225	29584	28380
Всего	4869	5096	818112	896834	855901

,

S_xS_y =  27,00878

b =  0.27106 •  1.71565 = 0.46505

 a = 175.72414 -  0.46505 • 167.91379 = 97.63620

Уравнение линейной регрессии имеет вид:     у = 97.63620 + 0.46505 х .

Приложение 4

Обработка данных роста дочерей и их матерей

№	Рост матери (х)	Рост дочери (у)	х2	у2	ху
1	155	155	24025	24025	24025
2	171	170	29241	28900	29070
3	164	164	26896	26896	26896
4	165	160	27225	25600	26400
5	165	165	27225	27225	27225
6	152	157	23104	24649	23864
7	173	171	29929	29241	29583
8	165	165	27225	27225	27225
9	165	176	27225	30976	29040
10	158	172	24964	29584	27176
11	158	166	24964	27556	26228
12	156	168	24336	28224	26208
13	158	164	24964	26896	25912
14	158	172	24964	29584	27176
15	157	167	24649	27889	26219
16	164	168	26896	28224	27552
17	164	169	26896	28561	27716
18	165	170	27225	28900	28050
19	162	168	26244	28224	27216
20	155	164	24025	26896	25420
21	162	160	26244	25600	25920
22	160	163	25600	26569	26080
23	161	159	25921	25281	25599
24	160	165	25600	27225	26400
25	162	165	26244	27225	26730
26	159	160	25281	25600	25440
27	164	164	26896	26896	26896
28	165	165	27225	27225	27225
29	158	159	24964	25281	25122
30	156	156	24336	24336	24336
31	160	165	25600	27225	26400
32	160	160	25600	25600	25600
33	163	163	26569	26569	26569
34	163	160	26569	25600	26080
35	165	173	27225	29929	28545
36	161	159	25921	25281	25599
Всего	5809	5927	938017	976717	956742

,

S_xS_y =  21.60283

b =  0.45608 •  1.16022 = 0.52915

a = 164.63889 -  0.52915 • 161.36111 = 79.25411

Уравнение линейной регрессии имеет вид:     у = 79.25411 + 0.52915 х . 

Приложение 5

Обработка данных роста дочерей и их отцов

№	Рост отца (х)	Рост дочери (у)	х2	у2	ху
1	167	155	27889	24025	25885
2	173	170	29929	28900	29410
3	175	164	30625	26896	28700
4	180	160	32400	25600	28800
5	180	165	32400	27225	29700
6	169	157	28561	24649	26533
7	174	171	30276	29241	29754
8	170	165	28900	27225	28050
9	188	176	35344	30976	33088
10	180	172	32400	29584	30960
11	180	166	32400	27556	29880
12	183	168	33489	28224	30744
13	180	164	32400	26896	29520
14	180	172	32400	29584	30960
15	175	167	30625	27889	29225
16	172	168	29584	28224	28896
17	172	169	29584	28561	29068
18	181	170	32761	28900	30770
19	170	163	28900	26569	27710
20	182	168	33124	28224	30576
21	185	164	34225	26896	30340
22	172	160	29584	25600	27520
23	165	159	27225	25281	26235
24	170	165	28900	27225	28050
25	175	173	30625	29929	30275
26	182	165	33124	27225	30030
27	165	160	27225	25600	26400
28	174	164	30276	26896	28536
29	168	165	28224	27225	27720
30	164	159	26896	25281	26076
31	175	156	30625	24336	27300
32	168	160	28224	25600	26880
33	168	165	28224	27225	27720
34	165	163	27225	26569	26895
35	165	160	27225	25600	26400
36	165	159	27225	25281	26235
Всего	6257	5927	1089043	976717	1030841

,

b =  0.58967 •  0.76504 =  0.45113

a = 164.63889 -  0.45113 • 173.80556 =  86.23081

Уравнение линейной регрессии имеет вид:     у = 86.23081 + 0.45113 х  .

 Приложение 6

Обработка данных роста дочерей и их родителей

№	Средний рост отца и матери (х)	Рост дочери (у)	х2	у2	ху
1	161	155	25921	24025	24955
2	172	170	29584	28900	29240
3	169,5	164	28730.25	26896	27798
4	172,5	160	29756.25	25600	27600
5	172,5	165	29756.25	27225	28462
6	160,5	157	25760.25	24649	25198
7	170	173	28900	29929	29410
8	173,5	171	30102	29241	29668
9	167,5	165	28056.25	27225	27637
10	176,5	176	31152.25	30976	31064
11	169	172	28561	29584	29068
12	169	166	28561	27556	28054
13	169,5	168	28730	28224	28476
14	169	164	28561	26896	27716
15	169	172	28561	29584	29068
16	166	167	27556	27889	27722
17	168	168	28224	28224	28224
18	168	169	28224	28561	28392
19	173	170	29929	28900	29410
20	165	163	27225	26569	26895
21	172	168	29584	28224	28896
22	172	165	29584	27225	28380
23	170	164	28900	26896	27880
24	167	160	27889	25600	26720
25	162	162	26244	26244	26244
26	162	160	26244	25600	25920
27	169	164	28561	26896	27716
28	166,5	165	27722.25	27225	27472
29	161	159	25921	25281	25599
30	165.5	165	27390	27225	27307
31	164	160	26896	25600	26240
32	164	165	26896	27225	27060
33	164	163	26896	26569	26732
34	164	160	26896	25600	26240
35	163	159	26569	25281	25917
36	162	159	26244	25281	25758
Всего	6029	5933	1010287,5	978625	994141

,

S_xS_y = 19.60403

b =  0.74858 •  1.18122 = 0.88423

a = 164.80556 -  0.88423 • 167.47222 = 16.72084

Уравнение линейной регрессии имеет вид:     у = 16.72084 + 0.88423 х .

 1 слайд. Приветствую всех участников и гостей конкурса исследовательских работ. Меня зовут Горват Елизавета. Я учусь в 9 классе. Предлагаю вашему вниманию исследовательскую работу «Формула роста:можно ли прогнозировать рост детейпо росту их родителей». Данная тема появилась в моей практике не случайно: несколько месяцев назад у меня родился брат , ростом при рождении 51 см. И  я задалась вопросом какого же роста он достигнет к 22 годам?

 Этот вопрос нередко интересуют будущих или уже состоявшихся родителей.  Испокон веков  люди пытались заглянуть в будущее, приподнять завесу неизвестного. И с помощью некоторых наук это стало возможным. Я  в свою очередь тоже  попытаюсь  внести свой вклад в этот загадочный процесс.

2 слайд.  С помощью такой науки как математическая статистика стало возможным предсказание , а точнее -  расчет роста будущих детей в  паре.

3 слайд. Целью моего исследования является определение тесной связи между ростом родителей, ростом детей и  вывод уравнения регрессии зависимости роста детей от роста их родителей.

 4 слайд. Для достижения цели я поставила  следующие задачи:1)Проанализировать математическую литературу по разделу «Теория корреляции»;

2) Осуществить статистический сбор данных  среди жителей п. Сергеевский;

3)    Провести необходимые расчеты для определения тесноты связи между ростом родителей и ростом детей;

4)      Составить уравнения регрессии для дочерей и сыновей.

  5 слайд.      Перед началом работы была выдвинута следующая гипотеза: рост детей зависит от среднего арифметического роста его родителей.  

6 слайд. Научная новизна работы проявляется в том, что,рассмотрев материал по данной теме, я нашла формулы, по которым можно рассчитать, каким будет рост ребенка. Однако эти формулы не имеют теоретического обоснования. Они несут большую погрешность. Я решила теоретически вывести формулу роста на основании большого количества испытуемых и обработать данные. А также рассмотреть доверительную надежность прогноза.

7 слайд. Объектом исследования являются данные роста детей  и их родителей в п. Сергеевский.

8 слайд. Предмет исследования: зависимость коэффициента корреляции.  Рассмотрение темы корреляции для параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратичной регрессии.

9 слайд. В ходе исследования мною были использованы следующие методы работы:

1). Эмпирический опрос;

2). Аналитический метод ;

3). Математический метод;

4).Логический метод .

10 слайд. Каким же будет конечный рост ребенка? И от какого из родителей он зависит?

11 слайд. Существует огромное количество формул, способных ответить на этот вопрос. Рассмотрим 5 из них. Они основаны на предположении, что конечный рост ребенка зависит от наследственности и, прежде всего, от роста родителей.

12 слайд. Любая из приведенных формул предполагает «идеальный» рост малыша, которого он может достичь при благоприятном стечении обстоятельств. А что же получается на практике? Мы  проанализировали данные о росте членов своих семей с целью выявить, какая же  из формул более работоспособна. В результате анализа получили отклонения  в росте  в пределах 5-10 см, и это довольно большая погрешность.

13 слайд. В теории вероятностей, элементы которой изучаются уже в школе, поставленные вопросы решаются в разделе, именуемом теорией корреляции. Там выводятся формулы, позволяющие вычислить коэффициент корреляции  r, и  записать линейное уравнение для связи между х и у ( его называют уравнением регрессии). Вычислить коэффициент корреляции можно по следующей формуле… , также необходимо найти оценки математического ожидания случайных величин x и у и оценки дисперсий случайных величин . Получив  r, можно записать  уравнение регрессии, где b, а –коэффициенты линейной регрессии

14 слайд.  Нами были собраны данные по 44 парам «муж-жена»  и их детям в возрасте 19-30 лет. По мнению кандидата медицинских наук А.С. Синявского: «Рост увеличивается до 17-19 лет у девушек и до 19-22 лет у юношей».

15-21 слайд. Расположив в два столбца полученные пары значений, вычислимдалее их квадраты и произведения, которые потребуются для вычисления коэффициента корреляции. Поделив суммы во втором и третьем столбцахна 29 (количество семей, имеющих сыновей), получим среднее арифметическое значения роста сыновей и роста их отцов соответственно. Забегая вперед, скажу, что полученные результаты явились для нас неожиданными.

22 слайд. Сложим, используя формулы все элементы х x_ix₁+x₂+…+x₂₉ = 180+180+...+172=5014,
 разделим полученную сумму на число элементов
. Аналогично вычислим и среднее значение произведений из последнего столбца.

Следующий этап – вычисление  оценки дисперсий случайных величин x и у. Сложим последовательно все элементы 4-гостолбца  32400 + 32400 + ... + 29584= 867840 , разделим полученную сумму на 29:.

Вычтем из последнего числа квадрат величины , получим значение для S_x² = 29925.51724 -172.89655² = 29925.51724 -29893.21760 = 32.29964
Аналогично вычислим значение S_y²:

30976+29241+...+29584=896834,;

S_y² = 30925.31034 -175.72414² = 30925.31034 -30878.97265 = 46.33769.

Вычислим произведение величин S_x² и S_y².
S_x²S_y² = 32.29964•46.33769 = 1496.690962.
Извлечем и последнего числа квадратный корень, получим значение S_xS_y.
S_xS_y = 38.68709.

Все готово для вычисления коэффициента корреляции по формуле

23 слайд. При помощи полученного r ,  а также коэффициентов а и в можем записать  уравнение  регрессии   для нахождения роста сына через рост отца.

Итак, уравнение регрессии имеет вид:     у = 112.01134 + 0.36850х.
 24 слайд. Проведем аналогичные расчеты для составления уравнения регрессии роста сыновей от роста матерей и совместного роста родителей.

Рост сыновей и их матерей .

Уравнение линейной регрессии имеет вид:     у = 160.70481 + 0.09218 х .

Рост сыновей и их родителей: . Уравнение линейной регрессии имеет вид:     у = 97.63620 + 0.46505 х .

Рассматривая диаграмму рассеивания  зависимости роста сына от роста отца можно сказать, что разброс точек не так уж велик  в отличие от диаграмм матерей и сына от роста обоих родителей. Поэтому можно сделать вывод, что зависимость между ростом матери  и ростом сына почти не существует,  а рост сына в свою очередь зависит от роста его отца.

Аналогично можно высчитать коэффициент корреляции между ростом дочерей и ростом их родителей (количество семей, имеющих дочерей 36).

Между дочерью и матерью   ,  уравнение линейной регрессии имеет вид:     у = 79.25411 + 0.52915 х.

Между  дочерью  и отцом  , уравнение линейной регрессии имеет вид:     у = 86.23081 + 0.45113 х.

  Дочерью и  родителями: , уравнение линейной регрессии имеет вид:     у = 16.72084 + 0.88423 х. 

Меньший разброс точек этого корреляционного поля указывает на то, что  рост дочери более тесно связан с ростом обоих родителей, чем ростом отца или ростом матери. Следовательно, рост дочери в большей мере зависит от роста отца, чем от роста матери, но наибольшая зависимость от суммы роста родителей.

Так как самая большая связь выявлена между ростом  сына и отца и ростом дочери  и ростом обоих родителей, то мы предлагаем использовать следующие формулы :

1)     для роста сына:     у = 112.01134 + 0.36850х

2)    для роста дочери у=16.72084+0.88423х.

Полученные нами в результате исследования формулы были апробированы: был измерен рост детей и их родителей  д. Имасы и д. Иванчино. Вследствие чего оценка точности при прогнозировании роста составила  , что намного меньше, чем в формулах рассмотренных нами выше. А теперь вернемся  к моему брату.  Рост моего отца -      , рост мамы -        .Следовательно вычислив по выведенной формуле , получим будущий рост брата, который будет равен ….. Спасибо за внимание!

• 1 слайд

  XV муниципальный конкурс учебно-исследовательских работ учащихся МБОУ «Сергеевская средняя общеобразовательная школа» Тема:
  Формула роста:
  можно ли прогнозировать рост детей
  по росту их родителей
  
  Направление:
  математика и
  экономика
  Горват Елизавета
  Владимировна
  9 класс
  Тарасова Татьяна
  Анатольевна
  МБОУ «Сергеевская
  СОШ»
  учитель математики
  

• 2 слайд

  
  
  Математическая статистика
  

• 3 слайд

  Цель:
  Определение тесной связи между ростом родителей, ростом детей и вывод уравнения регрессии зависимости роста детей от роста их родителей.
  
  

• 4 слайд

  Задачи:
  1)Проанализировать математическую литературу по разделу «Теория корреляции»;
  
  2)Осуществить статистический сбор данных среди жителей п. Сергеевский;
  
  3)Провести необходимые расчеты для определения тесноты связи между ростом родителей и ростом детей;
  
  4)Составить уравнения регрессии для дочерей и сыновей.
  
  

• 5 слайд

  Гипотеза:
  Рост детей зависит от среднего арифметического роста его родителей.
  
  

• 6 слайд

  Научная новизна
  Теоретический вывод более точной формулы роста на основании большого количества испытуемых.
  
  

• 7 слайд

  Объект исследования
  Данные роста детей и их
  родителей в п. Сергеевский.
  

• 8 слайд

  Предмет исследования
  Зависимость коэффициента корреляции (рассмотрение темы корреляции для параметров выборочного уравнения прямой линии среднеквадратичной регрессии).
  

• 9 слайд

  Методы работы:
  1). Эмпирический опрос (рост супругов, рост взрослого ребёнка)
  2). Аналитический метод (анализ и обобщение данных средств массовой информации)
  3). Математический метод (работа с математическими формулами)
  4). Логический метод (формулировка выводов и заключений на
  основе полученной информации)
  

• 10 слайд

• 11 слайд

  С чего всё начиналось
  1. Формула "народная" :
  (ПР мальчика)= (рост отца + рост матери) * 0,54 – 4,5
  (ПР девочки)= (рост отца + рост матери) * 0,51 – 7,5
  
  
  2. Авторство доктора Дж. Хокера (клиника «Майо») :
  ПР мальчика(см) = (рост отца + рост матери): 2 +6,4
  ПР девочки (см) = (рост отца + рост матери): 2 – 6,4
  
  

• 12 слайд

  С чего всё начиналось
  3. Исследователь из Чехословакии В. Каркус :
  ПР мальчика(см) = (рост отца + рост матери * 1,08): 2
  ПР девочки (см) = (рост отца * 0,923 + рост матери): 2
  
  4. Профессор В. Смирнов и эндокринолог Г. Горбунов :
  ПР мальчика(см) = (рост отца + рост матери + 12,5):2 ±8
  ПР девочки (см) = (рост отца + рост матери – 12,5):2 ±8
  
  5. Авторство Б. Горобец :
  ПР мальчика = (рост отца + рост матери)*0,57 – 14,5
  ПР девочки = (рост отца + рост матери)*0,505 - 5
  

• 13 слайд

  Немного из теории корреляции
  
  
  Коэффициент корреляции — это показатель взаимного вероятностного влияния двух случайных величин.
  
  
  y = a + b•x   
  

• 14 слайд

• 15 слайд

  
  Обработка данных роста сыновей и их отцов
  
  

• 16 слайд

  Продолжаем обработку...
  

• 17 слайд

  Обработка данных роста сыновей и их матерей
  

• 18 слайд

  Продолжаем обработку...
  

• 19 слайд

  Обработка данных роста сыновей и их родителей
  

• 20 слайд

  Продолжаем обработку...
  

• 21 слайд

  Расчеты сложные и интересные
  

• 22 слайд

  Продолжаем расчеты...
  X
   
  

• 23 слайд

  Рост сыновей и их отцов
  у = 112.01134 + 0.36850х
  
  Рост сыновей и их матерей
  у = 160.70481 + 0.09218 х
  
  Рост сыновей и их родителей
  у = 97.63620 + 0.46505 х 
  

• 24 слайд

  Рост дочерей и их родителей
  у = 16.72084 + 0.88423 х 
  
  Рост дочерей и их матерей
  у = 79.25411 + 0.52915 х
  
  Рост дочерей и их отцов      
  у = 86.23081 + 0.45113 х
  

• 25 слайд

  Выводы
  -Рост детей зависит от роста их родителей
  -Рост сына зависит от роста отца
  -рост дочери зависит от суммы роста родителей для роста сына:     у = 112.01134 + 0.36850х
  для роста дочери: у=16.72084+0.88423х.
  

XV муниципальный конкурс учебно-исследовательских работ учащихся 

 МБОУ «Сергеевская средняя общеобразовательная школа»

                                                                             Направление

                                                                                математика и экономика

Формула роста:

можно ли прогнозировать рост детей

по росту их родителей

Горват Елизавета                    Владимировна                    9 класс                    Тарасова Татьяна                    Анатольевна                   МБОУ «Сергеевская                   СОШ»                   учитель математики

                                                     Гайны – 2015

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………………  3

ГЛАВА I    Теоретическая часть

1.1.Несколько формул для определения роста ребенка.................6

1.2.Немного из теории Корреляции.................................................8

ГЛАВА II   Практическая часть

        2.1.Составление уравнения регрессии

              для определения роста ребенка.................................................11

       Заключение........................................................................................16

       Библиографический список............................................................ 17

       Приложение.......................................................................................18