Исследовательская работа "Фракталы Герасимова на взаимно-простых числах"

Научно-исследовательская конференция школьников

«Шаг в будущее»

Секция:  «Математика»

Фракталы Герасимова на взаимно простых числах

Работа ученицы 7 «А» класса

Джанбулатовой Зайнап Нурудиновны

МАОУ «Средняя школа 5»

Руководитель: Салтыкова Р. А.

учитель математики

г. Когалым

2019 год

Содержание

Введение   …………………………………………………….…………..…………………..…    3

Цели  работы и её задачи …………………………………………………………..…………..    3

Материал и методика     ……………………………………………………………..………….   4

I.   Понятие фрактала ………………………………………………………….………………....  5

1.      Что такое фрактал? ……….………………………………………………………………  5

2.      Фракталы Герасимова   …………………………………………………………………    5

II.     Фракталы Герасимова на взаимно простых числах  .…………………….…………..…...  6

III.  Фракталы Герасимова на прямоугольниках Фибоначчи  ………………….……………..  8

IV.  Формула суммы квадратов чисел Фибоначчи …………………………….………………  9

V.    Появились новые вопросы ………………………………………………………………….  9

Выводы     …………………………………………………………..…………..……….......….    10

Литература   …………………………………………………………………….………………   11

Приложения ………………………………………………………………………….………….. 12

Введение

С понятием фрактала я столкнулась впервые, когда учительница попросила меня нарисовать отрезок длиной 9 см и разделить его на три равные части. Я, конечно, легко с этим справилась. Затем учительница предложила достроить центральную часть до правильного треугольника, а сам отрезок «выкинуть». На следующем шаге каждый из четырех полученных отрезков заменили на подобную ей же фигуру. Продолжая такие операции, мы получили следующие фигуры:

                        

Можно продолжать эти операции до бесконечности.

Я узнала, что полученная фигура называется кривой Коха. Затем при помощи похожих операций мы построили другую фигуру – снежинку Коха, взяв в качестве начальной фигуры равносторонний треугольник:

             

 

Обе построенные фигуры являются фракталами (от лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый).

Эта тема показалась мне очень увлекательной. Особенно меня заинтересовали фракталы, простой способ построения которых предложил Сергей Герасимов в своей статье на сайте http://habrahabr.ru/post/194406/ . Фракталы Герасимова строятся на прямоугольниках с взаимно простыми сторонами и имеют ряд интересных свойств, изучению которых и посвящена данная работа.

Цели работы и ее задачи

1.      Познакомиться с понятием фрактала, в частности, с фракталами Герасимова. Научиться строить фракталы Герасимова.

2.      Исследовать свойства фракталов Герасимова.

3.      Построить фракталы на числах Фибоначчи и изучить их свойства.

Материал и методика

На первом этапе работы рассматриваются фракталы Герасимова на прямоугольниках с взаимно простыми сторонами. При этом вначале построение фракталов проводили вручную на клетчатой бумаге. Это оказалось довольно трудоемким занятием даже при небольших значениях сторон прямоугольников. Поэтому в дальнейшем мы решили использовать программу построения таких фракталов на http://xcont.com/pattern.html. Экспериментальным путем были выявлены и изучены некоторые свойства таких фракталов.

На следующем этапе в качестве экспериментальной модели взяли прямоугольники, размеры сторон которых равны последовательным числам Фибоначчи. На данном этапе мы также обнаружили некоторые интересные факты.

При работе над проектом была выведена формула, которая позволяет вычислить сумму квадратов нескольких первых чисел Фибоначчи. Конечно, для науки данная формула не является новой, но для меня это стало настоящим (моим!) открытием.

                                                                                                                                   I.            Понятие фрактала.

1.      Что такое фрактал?

Что общего у дерева, берега моря, облака или кровеносных сосудов у нас в руке? У всех этих объектов есть одно общее свойство: они самоподобны. От ветки, как и от ствола дерева, отходят отростки поменьше, от них — еще меньшие, и т. д., то есть ветка подобна всему дереву. Похожим образом устроена и кровеносная система. Это свойство называется  фрактальностью, а сами такие объекты — фракталами.   

Фракталами называют геометрические объекты, имеющие сильно изрезанную форму и обладающие свойством самоподобия. Слово фрактал произошло от латинского слова fractus и переводится как дробный, ломаный. Самоподобие фрактала означает, что при увеличении фигуры ее маленькие фрагменты получаются очень похожими на большие.

Мы можем наблюдать фракталы в природе: модель горного хребта, крона дерева, лист папоротника, река и ее притоки, языки пламени, система кровообращения, дыхательная система, молния и др.

                                                                             

Фракталы нашли свое применение в компьютерных системах, телекоммуникации, медицине, биологии.

2.      Фракталы Герасимова.

     Занимаясь построением геометрических фракталов, мы обнаружили удивительно простой способ построения фракталов, описанный Герасимовым. Он предлагает на клетчатой бумаге начертить прямоугольник со сторонами a  и  b и отправить луч из какой-нибудь его вершины под углом 45°, т.е. так, что он будет двигаться по диагоналям клеток к одной из сторон прямоугольника. Дойдя до стороны прямоугольника, луч отразится под прямым углом и продолжит движение к следующей стороне. Это продолжится до тех пор, пока луч не попадет в одну из оставшихся вершин. При этом луч строим прерывистой линией с длиной черточки, равной длине диагонали одной клетки.

 

В зависимости от размеров сторон прямоугольника, получается определенный узор, который и может оказаться фрактальным рисунком.

                                                                     II.            Фракталы Герасимова на взаимно простых числах.

Исследования показывают, что фрактальные узоры получаются, если строить их на прямоугольниках с взаимно простыми сторонами. При этом с разными сторонами получаются разные узоры.

Построим несколько фракталов на прямоугольниках, разность сторон которых равна 1, описанным выше способом. Как видим, фрактальные рисунки практически совпадают.

Проводя далее исследования на прямоугольниках с разностью сторон, равной 2, получаем два различных узора, один из которых не является фракталом. На прямоугольниках, размеры которых отличаются на 3, получаем три различных рисунка, и два из них являются фракталами.

Представим результаты дальнейших исследований в табличном виде (см. таблицу).

Таким образом, получаем простое правило: если разность сторон прямоугольников         a – b = n, то на них можно построить ровно n различных узоров, из которых фракталов будет столько, сколько остатков m  являются взаимно простыми  с разностью n.

По правилам математики остаток от деления на число n меньше самого числа n. Например, при делении на 8 могут быть получены остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, и 7. Для удобства изложения материала остаток 0 заменим на 8. Тогда в полученном наборе остатков при делении на 8 взаимно простыми с числом 8 являются числа 1, 3, 5, 7. Значит, среди прямоугольников с разностью сторон, равной 8, имеется ровно 8 различных рисунков, среди которых фракталы образуют 4 прямоугольника с остатками 1, 3, 5, 7. Если же  n – простое число, то на таком прямоугольнике можно построить  n – 1 различных фракталов.

Также можно заметить, что некоторые фракталы с одинаковой разностью чем-то похожи друг на друга. Например, среди фракталов с разностью 7 похожи фракталы с остатками 1 и 6, 2 и 5, 4 и 3 (рис. 13), а с разностью 5 – можно сравнить фракталы с остатками 1 и 4, 2 и 3 (рис. 11). Обратим внимание, что в первом случае суммы остатков равны 7, а во втором – 5:

1 + 6 = 7,       2 + 5 = 7,       4 + 3 = 7;                      1 + 4 = 5,       2 + 3 = 5.

Таблица

Зависимость количества различных фрактальных рисунков от соотношения размеров прямоугольника

Разность сторон прямоугольников	Стороны прямоугольника		Соотношение размеров сторон	Остаток от деления сторон на n	Количество различных узоров	Является ли узор фракталом	Количество различных фракталов	Фрактальные рисунки
n	a	b	Взаимно простые или нет	m
1	44	43	вз. пр.	0	1	да	1	рис. 7
2	43	41	вз. пр.	1	2	да	1	рис. 8 (а)
	44	42	не вз. пр.	0		нет		рис. 8 (б)
3	43	40	вз. пр.	1	3	да	2	рис. 9 (а)
	44	41	вз. пр.	2		да		рис. 9 (б)
	45	42	не вз. пр.	3		нет		рис. 9 (в)
4	41	37	вз. пр.	1	4	да	2	рис. 10 (а)
	42	38	не вз. пр.	2		нет		рис. 10 (б)
	43	39	вз. пр.	3		да		рис. 10 (в)
	44	40	не вз. пр.	4		нет		рис. 10 (г)
5	41	36	вз. пр.	1	5	да	4	рис. 11 (а)
	42	37	вз. пр.	2		да		рис. 11 (б)
	43	38	вз. пр.	3		да		рис. 11 (в)
	44	39	вз. пр.	4		да		рис. 11 (г)
	45	40	не вз. пр.	5		нет		рис. 11 (д)
6	37	31	вз. пр.	1	6	да	2	рис. 11 (а)
	38	32	не вз. пр.	2		нет		рис. 12 (б)
	39	33	не вз. пр.	3		нет		рис. 12 (в)
	40	34	не вз. пр.	4		нет		рис. 12 (г)
	41	35	вз. пр.	5		да		рис. 12 (д)
	42	36	не вз. пр.	6		нет		рис. 12 (е)
7	43	36	вз. пр.	1	7	да	6	рис. 13 (а)
	44	37	вз. пр.	2		да		рис. 13 (б)
	45	38	вз. пр.	3		да		рис. 13 (в)
	46	39	вз. пр.	4		да		рис. 13 (г)
	47	40	вз. пр.	5		да		рис. 13 (д)
	48	41	вз. пр.	6		да		рис. 13 (е)
	49	42	не вз. пр.	7		нет		рис.13 (ж)

Почему эти узоры можно называть фракталами? Фрактал – это фигура, обладающая свойствами самоподобия. Часть картинки должна повторять картинку в целом. Возьмем прямоугольник со сторонами (a х b) и будем увеличивать длины его сторон таким способом:  в качестве длины прямоугольника возьмем сумму сторон предыдущего прямоугольника         (a + b), а ширина нового прямоугольника будет равна длине предыдущего a. Получим прямоугольник (a + b) х a. Что же происходит в этих прямоугольниках при таком увеличении? Отделим от прямоугольника квадрат и посмотрим, что происходит на границе.

                                               

Луч выходит в той же точке, откуда зашел. Значит, если от прямоугольника отделить квадрат А, то в оставшемся прямоугольнике В луч будет «путешествовать» тем же путем, как если бы он пробегал по нему при условии сохранения размеров первоначального прямоугольника. Таким образом, если отрезать от прямоугольника квадрат, то в оставшейся части В останется неизменная часть фрактала. Но это означает, что если отделять от фрактала квадраты столько раз, сколько это возможно, мы доберемся до «начала» фрактала.

Значит, увеличивая размеры сторон прямоугольников, мы получаем узоры, обладающие свойствами самоподобия – фракталы.

                                                         III.            Фракталы Герасимова на прямоугольниках Фибоначчи

            Числами Фибоначчи называют ряд чисел 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, … Первые два числа в этой последовательности – 0 и 1, а каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Поскольку два последовательных числа этого ряда взаимно просты, то на них также можно построить фракталы. Причем все эти фракталы подобны (приложение 2).

      Примем две стороны a и b прямоугольника равными двум последовательным числам Фибоначчи и построим фрактал на этом прямоугольнике. Пусть b > a > 1, тогда следующий фрактал будем строить уже на прямоугольнике с длинами сторон  a + b и b. Как видно, получаем опять фрактальные узоры, так как рисунки на первых прямоугольниках представляют собой часть рисунка, представленного в последнем прямоугольнике.

                                                                             IV.            Формула суммы квадратов чисел Фибоначчи

Рассмотрим фрактал, построенный на прямоугольнике со сторонами 34 и 55 (рис. в приложении 3). Площадь этого прямоугольника равна 34 ∙ 55. С другой стороны, прямоугольник разбит на квадраты со сторонами 34, 21, 13, 8, 5, 3, 2, 1, 1. Значит, площадь прямоугольника равна сумме их площадей. Тогда получаем формулу:

34² + 21² + 13² + 8² + 5² + 3² + 2² + 1² + 1² = 34 ∙ 55.

Значит, сумма квадратов нескольких первых чисел Фибоначчи равна произведению последнего числа этого ряда и следующего за ним числа из ряда Фибоначчи.

Таким способом можно находить и сумму квадратов ряда чисел, построенного по такому же правилу, как и ряд чисел Фибоначчи, взяв для начала любую пару взаимно простых чисел:

 3² + 4² + 7² + 11² + 18² + 29² + 47² + 76² + 123² = 123 ∙ 199 – 3.

Число 3 (первое число ряда) здесь вычитается потому, что при разбиении прямоугольника 123 х 199 на квадраты остаются три единичных квадрата 1 х 1.

                                                                                                                 V.            Появились новые вопросы.

Итак, мы выяснили, что при построении фракталов Герасимова на прямоугольниках с одной и той же разностью сторон получаются похожие рисунки. Возникает вопрос: будут ли одинаковыми рисунки, полученные на «образах» этих прямоугольников, построенных по вышеописанному правилу? К примеру, на прямоугольниках (2, 3) и (3, 4) получаем следующие «образы»:

(2, 3) – (3, 5) – (5, 8) – (8, 13) – (13, 21) – (21, 34) – (34, 55) – (55, 89) – (89, 144) – …

(3, 4) – (4, 7) – (7, 11) – (11, 18) – (18, 29) – (29, 47) – (47, 76) – (76, 123) – (123, 199) – …

Будут ли одинаковыми фрактальные рисунки, например, на прямоугольниках (89, 144) и (123, 199)? Рисунки оказались разными!

Почему же они оказались разными, если прямоугольники были получены из двух прямоугольников с одинаковыми узорами?

Выводы:

            Выполняя исследовательскую работу, я узнала, что такое фрактал, научилась строить фракталы Герасимова, изучила некоторые их свойства. В ходе работы были получены следующие результаты:

1.      Фракталы Герасимова можно строить на прямоугольниках, у которых стороны взаимно простые.

2.      Если длина и ширина прямоугольника имеют общий делитель, то фрактал на таком прямоугольнике не получится.

3.      Если большую сторону прямоугольника оставить такой же, а меньшую сторону заменить суммой его сторон, то в обоих прямоугольниках получим один и тот же фрактал.

4.      Фрактальный узор зависит от того, на сколько одна сторона прямоугольника больше другой стороны.

5.      Если одна сторона прямоугольника больше другой, например, на 9, то различных рисунков получится 9. Среди чисел от 0 до 9 взаимно простыми с 9 являются 1, 2, 4, 5, 7, 8, значит, различных фракталов можно получить 6.

6.      На числах Фибоначчи также можно построить фракталы. Все они будут похожи друг на друга.

7.      Так как взаимно простых чисел бесконечно много, то и фракталов Герасимова можно построить бесконечно много.

8.      Сумма квадратов нескольких чисел Фибоначчи равна произведению последнего из этих чисел на следующее за ним число Фибоначчи.

Литература

1.      Генератор фракталов Герасимова. http://xcont.com/pattern.html

2.      Материал из Википедии. Фрактал. https://ru.wikipedia.org/wiki/ Фрактал

3.      Сергей Герасимов. Фракталы в простых числах. http://habrahabr.ru/post/194406/

4.      Фракталы в природе. http://elementy.ru/posters/fractals/nature

Приложение 1. Зависимость фрактального рисунка от остатков

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 2.    Фракталы Герасимова на числах Фибоначчи

 

 

 

Приложение 3.    Разбиение прямоугольника Фибоначчи на квадраты