Исследовательская работа "Геометрия масс"

Районная конференция учебно-исследовательских работ

«Золотые россыпи»

Отдел образования, спорта и туризма Лельчицкого райисполкома ГУО «Лельчицкая средняя школа №1»

Секция «Математика»

Геометрия масс

Выполнила 

Мещенко Милана Андреевна, учащаяся 8 «А» класса

Руководитель

Павлова Валентина Николаевна,

Учитель математики

Лельчицы, 2022

Содержание

Введение…………………………………………………………………………..3

1.     Теоретическая часть. Понятие центра масс и ее свойства……………...4

2.     Практическая часть. Задачи на применение свойства центра масс……6

3.     Вывод теоремы Менелая через свойства центра масс………………....14

4.     Заключение………………………………………………………………..18

5.     Литература………………………………………………………………...19

Введение

Математика настолько удивительна и познавательна, каждый раз узнавая что-то новое, всегда удивляешься красоте свойств окружающего тебя мира.  В математической литературе можно встретить интересный метод, позволяющий быстрее и проще доказывать известные теоремы и решать некоторые задачи. Несколько простых свойств центра масс позволяют решать различные задачи геометрии и алгебры. Также с помощью этих свойств удается ответить на вопросы о том, пересекаются ли несколько прямых в одной точке, принадлежат ли несколько точек одной прямой или одной плоскости и т. п. Эффективны барицентрические размышления при решении более сложных задач на доказательство. Использование данного метода при решении сложных задач нам дает возможность упростить оформление решения, то есть сделать решение более «красивым». 

Актуальность темы: в школьном курсе математики тема «Геометрия масс» не рассматривается.  На олимпиадах и тестировании по математике встречаются задачи, в которых дано довольно много величин и при этом не сразу удается установить связь между ними и искомой величиной, а также грамотно обосновать ход своих мыслей. Использование метода масс позволяет быстро найти решение трудной геометрической задачи, понятно сформулировать логическую цепочку рассуждений.

Объект исследования – геометрические задачи, решаемые с помощью барицентрического метода.

Цель работы: познакомиться с теорией способа решения задач методом геометрии масс, повысить познавательное и аналитическое мышление при решения геометрических задач, развитие навыков исследовательской работы.

 Задачи: 

1.      Ознакомиться с историей открытия барицентрического метода. 

2.      Рассмотреть основные формулировки, свойства связанные с методом геометрии масс. 

3.      Разобрать и систематизировать задачи, решаемые с помощью метода геометрии масс. 

4.      Закрепить полученные навыки и умения при решении задач. 

1. Общая информация о методе масс. Понятие и свойства центра масс

Родоначальником метода, о котором пойдет речь в нашей работе, был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в III в. до н. э. он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс. Также данный метод называется барицентрический, так как приставка «бари» (греч. barys тяжелый, baros тяжесть, вес) означает тяжелый, поэтому «барицентр» означает центр тяжести (центр масс).

Также этим методом Архимедом была установлена теорема о том, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке

Метод Архимеда был развит выдающимися математиками, такими как Лагранж, Чева, Папп, Якоби, Мёбиус (например, в 1827 году немецкий математик Август Фердинанд Мёбиус ввёл понятие барицентрических координат, с помощью которых он сумел изложить проективную геометрию), и превратился в эффективное и строго обоснованное средство геометрического исследования. В последние десятилетия барицентрический метод стал использоваться и в вычислительной математике.

В физике под материальной точкой понимают тело, размерами которого можно пренебречь при сравнении их с расстояниями до других тел, рассматриваемых в задаче. Для упрощения рассуждений такое «малое» тело рассматривают как геометрическую точку (т. е. считают, что масса тела сосредоточена в одной точке). Если в точке А сосредоточена масса m, то будем эту материальную точку обозначать mA.

                              Рассмотрим два небольших шарика, имеющих массы m1 и m2,

соединенных жестким «невесомым» стержнем. На этом стержне имеется такая замечательная точка Z, что если подвесить всю систему в этой точке, то она будет в равновесии – ни один из шариков не «перетянет». Эта точка Z и есть центр масс двух рассматриваемых материальных точек с массами m1 и m2. Такая же картина наблюдается и для большего числа материальных точек.

При применении барицентрического метода решения геометрических задач используют следующие интуитивно ясные и имеющие простой механический смысл свойства центра масс:

1.     Всякая система, состоящая из конечного числа материальных точек, имеет

Рис. 1

2.     Центр масс двух материальных точек расположен на отрезке, соединяющим эти точки; его положение (рис. 1) определяется архимедовым правилом рычага: произведение массы материальной точки на расстояние от нее до центра масс одинаково для обеих точек, т. е. m1*AO=m2*OB, из данного равенства получим отношение масс двух

𝑨𝑶 𝒎𝟐 материальных точек:        = .  Масса точки О будет равна сумме масс 𝑩𝑶 𝒎𝟏

точек А и В.

3.     Если в системе, состоящей из конечного числа материальных точек, отметить несколько материальных точек и массы всех отмеченных точек перенести в их центр масс, то от этого положение центра масс всей системы не изменится.

2. Задачи на применение центра масс

Задача 1. Докажем теорему Архимеда: три медианы треугольника имеют общую точку, и каждая из медиан делится этой точкой в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Доказательство:

                                              А

 

                        В                 А1                        С

 Пусть АВС данный треугольник, АА₁, ВВ₁, СС₁ – его медианы. Загрузим вершины А, В, С равными массами – по единице. Получим систему трех материальных точек 1А, 1В, 1С. Согласно свойству 1 данная система имеет центр масс и причем единственный, докажем, что это точка Z. Рассмотрим точки А и В, по правилу рычага (по свойству 2) центр их масс будет точка С₁, с массой равной сумме масс точек А и В, то есть массой равной 2. Согласно свойству 3, центр масс точек А, В, С не изменится, если мы массы точек А и В перенесем в точку С₁ в их центр масс. Значит центр масс точек С₁ и точки С будет центром масс всей системы точек А, В, и С, а также центр масс всей системы будет принадлежать медиане СС₁. По правилу рычага  mC_1*C₁Z = mC*ZC, подставим массы точек С₁ и С в данное равенство, получим:

2*С₁Z=1*ZC.

Разделим данное равенство на С₁Z получим: ^𝑍𝐶 = ²

                                                                                                                        𝐶₁𝑍        1

Аналогично убедимся, что Z принадлежит и медиане АА₁ и ВВ₁. Получаем, что все три медианы будут иметь общую точку, которая будет являться центром масс всей системы трех точек А, В, и С и это будет точка Z, которая будет делить каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника. Что и требовалось доказать.

 Можно сделать вывод, что если треугольник будет иметь вершины с равными массами, то центр масс трех его вершин находится в точке пересечения медиан, а если вершины его будут с разными массами, то точка пересечения медиан не является центром масс данной системы, состоящей из вершин треугольника.

Задача 2. Каждая вершина тетраэдра ABCD (не обязательно правильного) соединена отрезком с точкой пересечения медиан противолежащей ей грани (всего получается четыре отрезка); далее, каждая середина ребра соединена отрезком с серединой противоположного ребра (три отрезка). Имеют ли эти семь отрезков общую точку? 

Решение.

D

Наш тетраэдр ABCD представляет собой систему, состоящую из четырех материальных точек A, B, C, D.

Которые являются вершинами тетраэдра. Поместим в каждую точку

Рассмотрим треугольник ABD, где О₁ будет являться центром масс точек A, B, D. Так как вершины треугольника имеют равную массу, следовательно, центр масс будет являться точка пересечения медиан треугольника.

Следовательно, центр масс точек A, B, C, D будет находиться на отрезке О₁С, назовем эту точку Z. Масса точки О₁ равна 3, а масса тоски С равна 1, значит по 𝑂¹𝑍        1 правилу рычага          = . Аналогично рассмотрим треугольник BCD, где О₂ точка 𝑍𝐶          3

пересечения медиан треугольника. Значит О₂ является центром масс точек B, C и D. Следовательно, центр масс точек A, B, C, D будет находиться на отрезке О₂А. Так как по свойству 1 (Всякая система, состоящая из конечного числа материальных точек, имеет центр масс и притом единственный) центр масс точек A, B, C, D единственный, следовательно отрезки О₁С и О₂А будут иметь общую точку, которая является центром масс и это точка Z. Исходя из выше сказанного следует, что все четыре отрезка будут пересекаться в точке Z и будут делиться этой точкой в отношении 3 : 1 начиная от вершины тетраэдра. Масса точки Z равна 4. 

Далее рассмотрим точку E, которая является серединой ребра AC, а значит и центром масс точек А и С, так как массы точек А и С равны по единице, то масса точки Е равна 2. Точка F является серединой ребра B и D, а значит и центром масс точек B и D. Следовательно, масса точки F также равна 2. Значит на отрезке EF лежит центр масс точек A, B, C, D и это точка Z. В данном отрезке точка Z будет делить отрезок EF пополам. Аналогично можно сделать вывод, что три отрезка, которые соединяют середину ребра с серединой противоположного ребра пересекаются в точке Z и эта точка будет делить их пополам. Значит центр масс всей системы (центроид тетраэдра) лежит в середине отрезка, соединяющего середины противоположных ребер тетраэдра. Такие отрезки называются бимедианами тетраэдра.

Мы доказали еще одну теорему: Бимедианы тетраэдра проходят через

его центроид, причем делятся им пополам.

В данном случае, геометрия масс не только помогла эту теорему доказать, но, что гораздо более существенно, помогла нам ее увидеть, то есть обнаружить и сформулировать.

  Согласно свойству 1, центр масс точек A, B, C, D единственный, следовательно, отрезки, которые соединяют середину ребра с серединой противоположного ребра пересекаются в точке Z и отрезки, которые соединяют точку пересечения медиан противоположной грани с вершиной тетраэдра также пересекаются в этой точке. Значит эти семь отрезков будут иметь общую точку, что и требовалось доказать.

Ответ: имеют общую точку.

Задача 3. Через середину медианы АА₁ и через вершину B треугольника АВС проведена прямая. В каком отношении делит она сторону АС?

Решение.

                                                             Нам необходимо найти отношение AF к

FC. Так как точка А₁ середина отрезка ВС,

то в точки В и С поместим массы по единице, для того чтобы точка А₁ была центром масс точек В и С. Масса точки A₁ будет равна 2. В точку А поместим массу равную 2, так чтобы точка О была

центром масс точек А и А₁

Следовательно, точка О будет являться центром масс точек А, В и С. Масса точки О будет равна 4. Значит точка F будет центром масс точек А и С, масса этой точки будет равна 3. По правилу рычага AF : FC=1 : 2.

Ответ: AF : FC=1 : 2.

Задача 4. На стороне ВС треугольника АВС взята такая точка D, что |𝐵𝐷|: |𝐷𝐶| = 5:1. В каком отношении медиана СЕ делит отрезок АD?

Решение.

Медиана СЕ пересекает АD в точке О. Нам необходимо найти отношение

АО к ОD. Так как точка Е является серединой отрезка АВ, то поместим в точки А и В массы равные единице, для того чтобы точка Е являлась центром масс точек А и В.

Так как масса точки В равна 1, то для того чтобы точка D стала центром масс точек В и С, поместим  в точку С массу равной 5 (по правилу рычага, так как по условию |𝐵𝐷|: |𝐷𝐶| = 5:1). Следовательно, точка О будет являться центром масс точек А, В и С. Значит по правилу рычага АО:ОD=6:1.

Ответ: АО:ОD=6:1.

Задача 5. На сторонах треугольника АВС взяты точки А₁, В₁, С_1, что АС₁⁼¹АВ, 3

ВА₁⁼¹ВС, СВ₁⁼¹СА. При пересечении отрезков АА₁, ВВ₁, СС₁ образовался

              3                           3

треугольник А₂В₂С₂. Найдите отношение площадей треугольников А₂В₂С₂ и АВС

Решение. 

Решать данную задачу будем поэтапно, загружая в вершины необходимые массы:

1.     Рассмотрим сначала точку С₂ в каком она отношении делит отрезки СС₁ и АА_1. Рассмотрим точки С и В, поместим в н их соответствующие массы 1 и 2, так чтобы точка А₁ была их центром масс. Далее рассмотрим точки В и А. Так как в точке В масса равна 2, то в точку С необходимо положить массу  4,  для того чтобы точка С₁ являлась их центром масс. Получим массы точек С₁ и А₁ соответственно 6 и 3.

Получим следующее отношения:

                                                                                   С₁С₂         1              АС₂          3

                                                                                                 =                           =   

                                                                                    С₂С       6             С₂А₁         4

2.     Теперь рассмотрим точку А₂.

Аналогично рассуждая получим следующие равенства:

А₁А₂ 1 ВА₂ 3 =           =

                                                                                    А₂А       6             А₂В₁         4

3.     Расставим полученное отношение отрезков на рисунке. Выразим площадь треугольника А₂В₂С₂. Всю площадь треугольника АВС возьмем за 3х, тогда площадь треугольника АВВ₁ =2х. Далее рассмотрим треугольник АВВ₁ разделим его на семь частей и выразим площадь треугольника АА₂В₁

7

8𝑥

= .

7

Выразим отношение площадей:

𝑆𝐴2𝐵2𝐶2  

                                                           𝑆𝐴𝐴 𝑠𝑖𝑛𝛼     

Далее получим:

𝑆𝐴2𝐵2𝐶2 = 3

      8𝑥           8

7

3𝑥

𝑆𝐴2𝐵2𝐶2 = 7

3𝑥

Находим необходимое отношение: ^𝑆𝐴2𝐵2𝐶2 = 7 ₌ ¹

                                                                                                   𝑆_𝐴𝐵𝐶                    3𝑥         7

Ответ:  .

Задача 6. В треугольнике АВС точка F делит сторону ВС в отношении 4 : 1, считая от вершины В. Точки М и Р отсекают от боковых сторон АВ и АС по одной седьмой, считая соответственно от вершины  А и от вершины С. В каком отношении делится каждый из отрезков МР и А F точкой пересечения?

Рассмотрим точки А и В. Поместим в них такие массы, чтобы точка М была их центром масс, то есть в точку В массу 1, а в точку А масса 6.

Далее рассмотрим точки В и С. Так как в точка В имеет массу 1, то в точку С необходимо поместить массу 4, для того чтобы точка F была центром масс точек В и С. Масса точки F равна 5.

Рассмотрим точки А и С. Выразим массу точки А по правилу рычага, чтобы точка Р была центром масс точек А и С.

4*1=6*mA 

mA=⁴ = ²

             6        3

Получим, масса точки Р равна 4 , масса точки М равна 7. Рассмотрим отрезок МР и отрезок А F, так как на этих отрезках должна находиться точка которая является центром масс точек А, В и С и согласно свойству такая точка единственная, следовательно это общая точка О, которая и является точкой пересечения двух отрезков. Масса точки О будет равна 11 . Найдем по правилу рычага необходимые отношения:

 7*МО=4 *ОР;  ^МО                               

ОР

 𝑂𝐴;    

Ответ: МР делится в отношении 2 : 3 начиная от М, АF делится в отношении 

3 : 4 начиная от А.

3. Вывод теоремы Менелая с помощью свойств центра масс Решая предыдущие задачи, я получила следующие умозаключения.

Если мы рассматриваем любой треугольник и две его чевианы, то можно вывести следующее равенства:

                                                                             Замечание.  

          А       ЕС и АР чевианы  треугольника АВС.

(Чевиана — это

 С      отрезок в треугольнике,  соединяющий

вершину треугольника с

точкой на противоположной стороне.) В

Где a, b, c, d – отношение длин отрезков на которые делят чевианы треугольника:

                                                                                               𝑆𝐵𝐴𝑃         𝑐

                                                                                                             =   

                                                                                               𝑆𝑃𝐴𝐶         𝑑

                                                                                               𝑆𝐴𝐶𝐸        𝑏

                                                                                                             =   

                                                                                               𝑆𝐸𝐶𝐵        𝑎

Применим свойства геометрии масс выразим отношение отрезков, на которые разбиваются чевианы треугольника при пересечении. Загрузим в вершины треугольника такие массы, чтобы точка пересечения чевиан стала центром масс точек А, В и С.

По правилу рычага выразим массу точки С:

b*c=d*mC

mC=^𝑏𝑐

𝑑

Находим массу точек Е и Р. Далее находим отношение отрезков по правилу рычага: ЕО*(a+b)=OC*^𝑏𝑐, отсюда выражаем

𝑑

                                                                                       𝐸𝑂             𝑏𝑐

                                                                                     =          

                                                                                       𝑂𝐶       𝑑(𝑎 + 𝑏)

AО*a=OP*(^𝑏𝑐 + 𝑏)

𝑑

𝑏𝑐

𝐴𝑂        ( 𝑑 + 𝑏)

=

𝑂𝑃              𝑎

                                                                                            𝐴𝑂         𝑏(𝑐+𝑑)

Упростим выражение и получим: = . В задачах где необходимо будет 𝑂𝑃              𝑎𝑑

доказать пересекаются ли три чевианы в одной точке, нужно проверить равенство для третьей чевианы BZ, то есть в нашем случае: a*AZ=^𝑏𝑐. Зная

𝑑

данный алгоритм решения задач такого типа, легко составлять задачи и проверять ход решения. Эти умения я применила при ознакомлении одноклассников с данным методом при решении геометрических задач. Также с помощью данного метода можно вывести следующие равенства:

Преобразуем данное равенство получим:                                             =

                                                                                                               𝑂𝑃               𝑎

𝐴𝑂         𝑏    𝑐+𝑑

        =    (       ) 

𝑂𝑃         𝑎       𝑑

𝑏 𝐴𝐸 𝑐+𝑑 𝐵𝐶 Далее заменим отношения =  и =

                                                                         𝑎        𝐵𝐸           𝑑           𝑃𝐶

𝐴𝑂         𝐴𝐸     𝐵𝐶

 

𝑂𝑃         𝐵𝐸     𝑃𝐶

                                                                                                𝐵𝐸     𝑃𝐶

Умножим полученное равенство на ∙   и получим следующее:

𝐴𝐸 𝐵𝐶 𝐴𝑂 𝐵𝐸 𝑃𝐶

∙                                                                                                                                            ∙     = 1 Поменяем множители для удобства, чтобы отрезки следовали по

𝑂𝑃     𝐴𝐸     𝐵𝐶

порядку получим:

                                                                                     𝐵𝐸    𝐴𝑂    𝑃𝐶

                                                                                    ∙    ∙  = 1

                                                                                     𝐸𝐴    𝑂𝑃    𝐵𝐶

Вывели теорему Менелая.

Заключение

Изучив материал по теме «Геометрия масс», я научилась решать и составлять задачи на нахождение отношения длин отрезков, отношение площадей треугольников, а также рассмотрела задачи, где необходимо доказать, пересекаются ли отрезки в одной точке. В ходе проделанной работы вывела теоремы о бимедианах тетраэдра, а также теорему Менелая. При изучении свойств центра масс точек открыла для себя много нового и интересного, такое чувство будто заглянула за ширму мироздания.

 Также пришла к выводу, что, используя свойства геометрии масс материальных точек, можно упростить решения многих задач олимпиадного характера, тем самым повысить свой уровень при подготовке к олимпиаде.

Решение задач этим методом выглядит более рациональным и кратким, что не может не порадовать при изучении этого метода. Работая по данной теме, можно убедиться, что метод с использованием центра масс позволяет решить задачи, которые ранее казались неразрешимыми. 

Изучая источники по этой теме, убедилась в тесной связи двух предметов - математики и физики.

Думаю, что решать задачи по физике станет легче, используя навык при решении метод геометрии масс.

Работа над темой «Геометрия масс» мною не закончена, впереди поиск многих интересных задач, которые проще и наглядней решаются при помощи этого метода.

Литература

1.     Балк М.Б, Болтянский В.Г.  Геометрия масс,: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987 (Библиотечка «Квант», Выпуск 61).

2.     И. Ф. Шарыгин. Задачи по геометрии. Планиметрия: Наука. Гл. ред. физ.мат. лит., 1986 (Библиотечка «Квант», Выпуск 17).

3.     Видеоурок: Семинар 1 - Геометрия масс, начальные сведения https://www.youtube.com/watch?v=Ozc0_24cMaY&list=PLZ3r8TP7Qoc5X6 Ko_CDPlqsEjxOjiA-5M&index=1