Исследовательская работа и презентации к ней.

Второй районный фестиваль науки

«Ученые будущего»

Исследовательская работа

«Комбинаторика в нашей жизни»

                  Работу выполнил: Закиров Рустам,

                   ученик 9  класса

                 Кирбинской СОШ

                 Руководитель:  Габдрахманова Ф.М.,

                                           учитель математики

2012

Содержание

       Введение……………………………………………………………………..3

      Основная часть

      1. Понятие о науке «Комбинаторика» ……………………………………...4

      2. Комбинаторика в различных областях жизнедеятельности человека…5

      2.1. Комбинаторика на шахматной доске …………………………..………6

      2.2. Пароли и коды в нашей жизни …………………………………………8

      3. Выбор нескольких элементов

      3.1. Сочетания в нашей жизни …..................................................................9

      3.2. Примеры решения задач на нахождение числа сочетаний .…………14

      Заключение ………………………………………………………………….16

      Литература…………………………………………………………………...17

Введение

                                « Учимся не для школы, а для жизни»

                                                                                            (Сенека).

Актуальность этой работы определяется успешным применением комбинаторики и ее приложений в различных областях науки и сферы. С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому-химику, биологу, конструктору, диспетчеру и т.п. Усиление интереса к комбинаторике в последнее время обуславливается бурным развитием кибернетики  и вычислительной техники.

 Проект имеет социальную и личную значимость, которая заключается возможности овладения основными и нетрадиционными методами решения задач, а также    возможностью научиться ориентироваться в проблемных ситуациях и использовании успешной игры в шашки, шахматы, лото и т.д. Также работая над проектом я расширил свой кругозор и базу математических знаний.

Объект исследования: область математики–комбинаторика.

Цель исследования: показать, что область комбинаторики  

широко применяется в различных сферах жизнедеятельности.

Гипотеза: комбинаторика имеет широкий спектр практической

          направленности.

Для подтверждения выдвинутой гипотезы были поставлены

          следующие задачи  исследования:

ü собрать, изучить и систематизировать материал о комбинаторике;

ü рассмотреть  использование комбинаторики в различных сферах жизнедеятельности;

ü рассмотреть как элементы комбинаторики, в частности сочетания, используются при решении различных жизненных ситуаций;

ü показать практическую значимость комбинаторики как области математики.

Базой моих исследований являются книги Н.Я.Виленкина, А.Н. Виленкина, П.А.Виленкина «Комбинаторика», Я.Бродского «Об изучении элементов комбинаторики, вероятности, статистики в школе», Е.Я Гика «Математика на шахматной доске», Л.Я.Окунева «Комбинаторные задачи на шахматной доске» и задачники по комбинаторике, а также другие справочные материалы.

При работе над проектом применялись следующие методы:

1) теоретические: изучение и анализ источников информации по комбинаторике и занимательной математике; моделирование приемов использования комбинаторики в различных областях жизнедеятельности человека.

2) эмпирические: исследование различных игровых ситуаций и результатов игр в шахматы.

   Работа «Комбинаторика  в нашей жизни» имеет практическое значение. Оно заключается в следующем: знание основных правил комбинаторики и умение их применять позволяет  с умом выигрывать и решать задачи.

1.     Понятие о науке «Комбинаторика»

Комбинаторика – ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, – возникла в XVI в. В жизни тогдашнего общества большое место занимали азартные игры. Проблемы азартных игр явились движущей силой развития комбинаторики.

Одним из первых занялся подсчетом числа различных комбинаций при игре в кости итальянский математик Тарталья. Он составил таблицу, показывавшую, сколькими способами могут выпасть р костей. Однако при этом не учитывалось, что одна и та же сумма очков может быть получена разными способами. [4].

Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрыш­ных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв с использованием ключевых слов и т. д.

Стали выходить журналы по комбинаторике, печататься книги, посвященные этой науке. Элементы комбинаторики находили отражение и в школьном курсе математики. [1].

Задача, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называются комбинаторикой. Комбинаторику можно рассматривать как часть теории множеств – любую комбинаторную задачу можно свести к задаче о конечных множествах и их отображениях.

Комбинаторика как наука стала развиваться в XVIII в. параллельно с возникновением теории вероят­ностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных ком­бинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тарталье (ок. 1499-1557), Г. Гали­лею (1564-1642) и французским ученым В. Паскалю (1623-1662) и П. Ферма. Комбинаторику, как само­стоятельный раздел математики, первым стал рассмат­ривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666 г. Он также впервые ввел термин «комбинато­рика». Значительный вклад в развитие комбинато­рики внес Л. Эйлер.

2. Комбинаторика в различных областях жизнедеятельности человека

2.1. Комбинаторика на шахматной доске

Профессиональный интерес математиков к шахматам проявился довольно давно и был связан с двумя направлениями: математической логикой и комбинаторикой. Первое — рассмотрение игры с точки зрения построения ее формальной модели, удобной для логического анализа на основе действующих соревновательных правил. Второе — исследование конкретных позиций или их классов в игре для достижения определенных результатов, например матовой позиции за определенное число ходов. Последнее направление породило множество изящных логико-вычислительных проблем. Некоторые из них и по сей день предлагаются на различных математических и программистских олимпиадах, а также для развлечения на досуге. Сошлемся на посвященные этим вопросам книги Л.Я. Окунева «Комбинаторные задачи на шахматной доске» [5].и Е.Я. Гика «Математика на шахматной доске».[3]. Нужно упомянуть еще работы Мартина Гарднера, вышедшие под общим названием «Математические развлечения». В них содержатся материалы, посвященные шахматным задачам. Вот несколько примеров. Определение размера награды создателю шахматной игры потребовало от «администрации» легендарного индийского царя вычисления количества пшеничных зерен, равного числу с 20 значащими цифрами.

Задачи о шахматной доске, на которой не все поля принимаются во внимание, представляют собой алгоритмический интерес в игре, поскольку они определяют, в частности, поля внимания играющего при принятии решения о ходе, который он намерен сделать. Кроме того, вследствие изменения количества полей и формы шахматной доски появляются новые разновидности игры, например шахматы, предложенные Робертом Фишером.

Исследование геометрии шахматной доски приводит к разработке алгоритмов для известных и широко применяемых на практике интуитивных правил «квадрата», «треугольника» или «линии Троицкого», позволяющих оценить качество позиции не только на много ходов вперед, но и окончательно, как в приведенных случаях. Более того, при геометрическом анализе позиции в шахматной партии могут возникать и так называемые экстремальные задачи. Их решение помогает отыскивать мат за наименьшее количество ходов.

Если теперь обратить внимание на шахматную доску с расположенными на ней фигурами, то возникающие задачи уже будут носить явно выраженный игровой характер. Особенно тогда, когда это задачи с достаточно интересным набором фигур. К ним относятся не только случаи вроде такого, как обойти конем все поля шахматной доски, занимая каждое поле лишь один раз, но и знаменитые коллекции многофигурных эндшпилей. Значительная часть комбинаторных задач связана с определением числа возможных расстановок фигур на доске, что очень важно при поиске однотипных позиций, приводящих к одинаковому результату в дальнейшем течении партии.

Как известно, основной способ поиска наилучшего хода заключается в переборе возможных ходов, рассмотрении движения по дереву последовательных позиций и оценке возникающих в результате них состояний игры. Но это весьма дорогостоящий путь в том смысле, что при его прохождении играющему предъявляются непомерные требования по времени даже в случае использования компьютера. Поэтому при поиске наиболее эффективных алгоритмов в компьютерных шахматах принято учитывать как можно больше ограничений (условий), упорядочивающих перебор, т.е. позволяющих отбрасывать те позиции, которые при выборе хода рассматривать не нужно. Эти задачи представляют, как правило, трудности и для математиков, из-за чего получили распространение так называемые эвристические методы их решения. В разработку эффективных методов перебора внесли большой вклад советские математики А. Брудно и В. Арлазаров, предложившие альфа-бета процедуру и форсированный вариант, реализованные еще в шахматной программе «Каисса». [1].

Так как борьба за уменьшение времени на «обдумывание» хода всей программой является принципиальным фактором, то математики затрачивают массу усилий на создание входящих в нее приложений (задач, решаемых при поиске нужного хода), работающих наиболее быстро, а также требующих по минимуму оперативной памяти. Так, в свое время один из авторов «Каиссы» придумал изящную реализацию нахождения сочетаний для m фигур и n мест, которые они могут занимать, что весьма важно для эффективной работы подобной программы.

Клод Шеннон и Михаил Ботвинник внесли огромный вклад в создание математической модели шахматной игры и способствовали прогрессу в интеллектуализации программ для нее.

По существу компьютерные шахматы — едва ли не самый убедительный пример за полвека развития информационных технологий, когда именно в интеллектуальной деятельности автомат успешно соперничает с человеком.

2.4. Пароли и коды в нашей жизни.

Вся наша жизнь состоит из множества разнообразных программ. Чтобы запустить ту или иную программу нужно ввести соответствующий верный пароль.

В качестве кода в зависимости от рода программы могут выступать всевозможные цифры, слова или комбинации слов, поведение или действие, и так далее...

Одна и та же программа, в зависимости от того какой пароль будет предложен, будет выполняться по-разному, в соответствии с предложенным паролем. [3].

Рассмотрим на следующем примере – завязывание отношений между двумя людьми. Допустим, знакомится парень с девушкой, возникает программа взаимоотношения. В зависимости от того, что сделает или будет говорить один из них, отношения, а вернее программа отношений будет принимать тот, или иной характер. Если, кто то из них вводит пароль дружбы, вражды, романтики или любой другой, путем каких-то слов или действий будет один результат, другой пароль – другой результат.

Когда мы узнаем что-то новое, развиваемся, к нам приходит жизненный опыт, он то как раз и есть ничто иное как набор всевозможных паролей, комбинаций. Ведь опытный человек всегда найдет лучшее решение в конкретной ситуации, потому – что он располагает большей комбинацией паролей.

Мир вокруг нас постоянно меняется, однако все происходящие изменения вовсе не хаотичны, как может показаться на первый взгляд. Любые трансформации внутри Вселенной могут быть классифицированы, их структура отражена в восьми триграммах, их шестидесяти четырех комбинациях (гексаграммах). [1].

3. Сочетания в нашей жизни

В зависимости от правил составления комбинаций можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания. [2].

Изучив подробнее один тип комбинаций – это сочетания, я решил выполнить несколько задач и проанализировать полученные результаты.

Рассмотрим случай выбора двух элементов.

Пример 1. В чемпионате участвовали 7 команд. Каждая команда играла один матч с каждой. Сколько всего было встреч?

Решение. Рассмотрим таблицу результатов встреч размером 7 х 7.

	1-я	2-я	3-я	4-я	5-я	6-я	7-я
1-я команда
2-я команда						0:3
3-я команда
4-я команда							4:3
5-я команда
6-я команда		4:0	2:2
7-я команда		2:3		1:1

Так как никакая команда не играет сама с собой, то клетки по диагонали надо закрасить. Тогда в подсчёте числа встреч будет участвовать ровно 7*7-7=7(7-1) = 42 клетки. В результате закрашивания таблица разделилась на две половинки, в них результаты встреч дублируются. Поэтому если мы разделим оставшиеся 42 клетки на две равны половины, то получим число всех проведённых игр.

Коротко решение задачи выглядит так:

(7(7-1))/2 = 21.

Ответ: 21.

Около 2500 лет тому назад древнегреческие математики находили сумму 1+2+3+…+(n - 1)+ n  с помощью примерно таких  же рассуждений. Сначала они рисовали клетчатую лесенку, в основании которой - полоса из n клеток, над ней полоса, в которой (n-1) клетка, затем полоса с (п-2) клетками, и т.д.; в предпоследней строке стояли две клетки, а наверху – одна клетка. Правее они рисовали ту же лесенку, но в перевёрнутом виде: внизу – одна клетка, над ней – две, затем – три клетки,…, а последняя строка состоит из n клеток. Затем, сдвинув эти лесенки вместе, получали прямоугольник из n строк и (n+1) столбца. Число клеток в этом прямоугольнике равно n(n+1). Значит, в каждой из двух равных между собой лесенок находится ровно (n(n+1))/2 клеток. Получилась замечательная формула для суммы первых n натуральных чисел:(1 + 2 +…+ ( n -1) + n = n(n +1))/2  [1].

Вернёмся к примеру 1. Состав участников игры определён, как только мы выбрали две команды. Значит, количество всех игр в турнире из n команд – это в точности количество всех выборок двух элементов из n данных элементов. Важно при этом то, что порядок выбора не имеет значения, т.е если выбраны две команды, то какая из них первая, а какая вторая – не важно.

Пример 2.Встретились 6 друзей и каждый пожал руку каждому своему другу. Сколько было рукопожатий?

Решение.

Первый способ. Можно, как и в примере 1, составить таблицу рукопожатий 6 друзей. Затем, рассуждая аналогично, получим, что общее число рукопожатий равно (6(6-1))/2 = 15.

Второй способ. Условно перенумеруем друзей. Первый поздоровался со вторым, третьим, …, шестым. Всего 5 рукопожатий Для второго  неучтёнными остались рукопожатия с третьим, четвёртым, пятым, шестым. Всего 4 рукопожатия, и т.д. Получаем, что рукопожатий было всего 5+4+3+2+1 = 15.

 Подведём промежуточный итог, оформим его в виде теоремы.

Теорема 1 (о выборах 2-х элементов). Если множество состоит из n элементов, то у него имеется( n(n-1))/2 подмножеств состоящих из 2-х элементов.

Пример 3. В классе 27 учеников. К доске нужно вызвать двоих. Сколькими способами это можно сделать, если: а) первый ученик должен решить задачу по алгебре, а второй – по геометрии; б) они должны быстро стереть с доски?

Решение. Для стирания с доски порядок вызова учеников не важен, т. е., к примеру, вызов Коли и затем Кати ничем не отличается от вызова Кати затем Коли. А вот в первом случае порядок существенен (по крайней мере, для Кати и Коли). Тут применимо правило умножения. Учитель сначала вызывает решать алгебраическую задачу одного из 27 учеников, а затем независимым образом вызывает одного из оставшихся 26 учеников решать задачу по геометрии. Получается 27*26 = 702 способа вызова.

Если во втором случае начать считать, как в первом, то любую пару учеников мы посчитаем дважды. Значит, количество вызовов без учета порядка будет ровно в два раза меньше, чем количество вызовов с учетом порядка.

Ответ: а) 702;  б) 351. 

Это рассуждение верно и в общем случае выбора двух элементов из п данных. Оказывается, что всегда количество выборок  двух элементов без учета порядка будет ровно в два раза меньше, чем количество выборок с учётом порядка.

В следующем примере поговорим о выборе трёх элементов из данного множества.

Пример 4. В классе 27 учеников, из которых нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если: а) первый ученик должен решить задачу, второй – сходить за мелом, третий – пойти дежурить в столовую; б) им следует спеть хором? 

Решение. Рассуждаем, как в примере 3. В первом случае важен порядок вызова учеников и применимо правило умножения. Один из 27 учеников идет решать задачу. Один из оставшихся 26 учеников идёт за мелом, а один из оставшихся 25 будет дежурным в столовой. Получается: 27*26*25 = 17550 способ вызова.

Количество выборок 2-х элементов из п данных.

n(n -1)

(по правилу умножения)

(n(n -1 ))/2

 Во втором случае начнём действовать, вызывая учеников по порядку. Можно сначала вызывать Пашу, затем Вову и потом Аню. Обозначим этот вариант (ПВА). Можно вызывать этих же ребят в другом порядке. Например, сначала Аню, затем Пашу и потом Вову (АПВ). Буквы А, П, В можно расставить по порядку Р = 3! Способами. Во всех этих случаях состав хора будет одинаковым. Значит, каждый состав хора при подсчёте, учитывающем порядок вызова учеников, мы возьмём 3! раз. Поэтому количество различных составов хора в 3! раз меньше количества всех вызовов по порядку.

Итак, число способов, при которых порядок выбора трёх элементов из 27 не важен, в 3! раз меньше числа способов, при которых порядок выбора трёх элементов из 27 важен. Остаётся лишь учесть, что 3!= 3*2*1 = 6, получить ответ:

(27*26*25)/6 = 2925 способов.

Ответ: а)17550;  б)2925.

Это рассуждение верно и в общем случае выбора трёх элементов из n данных. Значит, верна следующая теорема.

Теорема 2. (о выборах 3-х элементов).Если множество состоит из n элементов, то у него имеется( n(n-1)(n-2))/6 подмножеств, состоящих из трёх элементов.

Достаточно длинный словесный оборот «количество выборок двух (трёх) элементов из n данных без учёта порядка» можно заметно сократить, если ввести для такого количества выборок специальное название и специальное обозначение.

Определение 1. Число всех выборок двух элементов из п данных без учёта обозначают С  и называют числом сочетаний из п элементов по 2. Число всех выборок трёх элементов из n данных без учёта порядка обозначают С  и называют числом сочетаний из n элементов по 3.

Учитывая сказанное, теоремы о выборках двух или трёх элементов можно записать в виде следующих формул для числа сочетаний из n элементов по два и по три:

Число всех выборок m элементов из n данных без учета порядка обозначают   и называют числом сочетаний из n элементов по m.

Теорема 3. Для числа сочетаний из n элементов по m справедлива формула  [2].

Теорема 3 может быть сформулирована так: если множество состоит из n элементов, то у него имеется   подмножеств, состоящих из m элементов. Итак, мы изучили понятие «сочетания» на конкретных примерах, сейчас рассмотрим и проанализируем задачи на нахождение числа сочетаний.

Знание элементов комбинаторики, в частности сочетаний, могут пригодится не только на уроках математики, но и русского языка, истории и даже  физической культуры. Полезны знания и диспетчеру школьного расписания, и кондитеру, то есть область применения комбинаторики практически не знает границ. Применяя полученные знания, можно решать различные жизненные ситуации.

3.1. Примеры решения задач на нахождение числа сочетаний

В повседневной жизни нередко перед нами возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов решения. Чтобы  сделать правильный выбор, очень важно не упустить ни один из них. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число.

1. В 9  классе 5 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Решение: Выбираем 2 учащихся из 5, порядок выбора не имеет значения (оба выбранных пойдут на олимпиаду как полностью равноправные); количество способов выбора равно числу сочетаний из 5 по 2:   способов.                                           Ответ: 10 способов.

2. В 9  классе учатся  16 мальчиков и 10 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырёх мальчиков и трёх девочек. Сколькими способами можно это сделать?

Решение: Нужно сделать два выбора: 4 мальчиков из 16 (всего  способов) и 3 девочек из 10 (всего  способов); порядок выбора значения не имеет (все идущие на уборку равноправные). Каждый вариант выбора мальчиков может сочетаться с каждым выбором девочек, поэтому по правилу умножения общее число способов выбора равно:  *=  способов.       Ответ: 218400 способов.

3. По списку в 9  классе 16 мальчиков и 10 девочек. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать: а) при условии, что пару обязательно должны составить мальчик и девочка; б) без указанного условия?

Решение: а) Выбираем 1 мальчика из 16 и 1 девочку из 10; общее число способов выбора пары: . б) Выбрать 2 дежурных из 16+10=26 учащихся класса (без учёта порядка) можно:    способами.                                      Ответ: а) 160; б) 325

Таким образом, рассмотрев и проанализировав задачи,  установили, что элементы комбинаторики, в частности сочетания, используются при решении

различных жизненных ситуаций.

Заключение

Человеку часто приходится иметь дело с задачами, в которых нужно подсчитать число всех возможных способов расположения некоторых предметов или число всех возможных способов осуществления некоторого действия. Разные пути или варианты, которые приходится выбирать человеку, складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, называемый комбинаторикой, занят поиском ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или другом случае.

Комбинаторика имеет огромное значение в различных областях науки и сферы. С комбинаторными величинами приходится иметь дело представителям многих специальностей: ученому – химику, биологу, конструктору, диспетчеру и т.п. Комбинаторика используется в музыке, в мебельной деятельности, в различных играх (нарды, шашки, шахматы). В каждой из этих игр приходится рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывает тот, кто их лучше изучает, знает выигрышные комбинации и умеет избегать проигрышных. Усиление интереса к комбинаторике в последнее время обуславливается бурным развитием кибернетики.

Рассмотрев использование комбинаторики в различных сферах жизнедеятельности, как элементы комбинаторики, в частности сочетания, используются при решении различных жизненных ситуаций;  показали практическую значимость комбинаторики как области математики. Таким образом,  подтвердили гипотезу: комбинаторика – это раздел математики, находящийся на магистральном пути развития науки и имеющий широкий спектр практической направленности. Можно сделать вывод, что дальнейшее развитие комбинаторики и теории вероятностей необходимо для научного прогресса, который ведет к улучшению уровня жизни населения, а, значит, к тому, к чему стремится все человечество на протяжении десятков веков. 

Литература

1.     Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. - М.: Просвещение, 2006

2.     Бродский Я. Об изучении элементов комбинаторики, вероятности, статистики в школе // Математика. – 2004. – № 31. – 2–8 с.

3.     Гик Е.Я. Математика на шахматной доске. М.: Наука, 1976.

4.     Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. М.: Мнемозина, 2005

5.     Окунев Л.Я. Комбинаторные задачи на шахматной доске. М.: Наука, 1985.

• 1 слайд

  Комбинаторика
  в нашей жизни
  
  Выполнил: Закиров Рустам, ученик 9 класса
  Кирбинской СОШ
  Руководитель: Габдрахманова Ф.М., учитель математики
  Второй районный фестиваль
  «Ученые будущего»
  Исследовательская работа
  1
  

• 2 слайд

  2
  Учимся не для школы, а для жизни"
  (Сенека).
  

• 3 слайд

  3
  Объект исследования: область математики – комбинаторика.
  Цель исследования: показать, что область комбинаторики широко применяется в различных сферах жизнедеятельности.
  

• 4 слайд

  Проблемный вопрос:
  Может ли нам комбинаторика помочь в реальной жизни?
  
  4
  

• 5 слайд

  Цель: . показать, что область комбинаторики широко применяется в различных сферах жизнедеятельности.
  Задачи:
  собрать, изучить и систематизировать материал о комбинаторике.
  рассмотреть использование комбинаторики в различных сферах жизнедеятельности
  рассмотреть как элементы комбинаторики, в частности сочетания, используются при решении различных жизненных ситуаций;
  показать практическую значимость комбинаторики как области математики
  5
  

• 6 слайд

  
  Что означает термин «Комбинаторика»?
  
  Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina», что в переводе на русский означает – «сочетать», «соединять».
  6
  

• 7 слайд

  
  
  
  7
  Кто ввел термин «Комбинаторика»?
  Термин "комбинаторика" был введён всемирно известным немецким учёным Готфрид Вильгельм Лейбницем. (1.07.1646 - 14.11.1716)
  

• 8 слайд

  8
  Комбинаторика возникла в XVI веке. В жизни привилегированных слоев общества большое место занимали азартные игры.
  В карты и кости выигрывались и проигрывались золото, бриллианты, дворцы и имения. Широко были распространены всевозможные лотереи.
  Поэтому первые комбинаторные задачи касались в основном азартных игр:
  сколькими способами можно выбросить нужное число очков, бросая кости;
  сколькими способами можно получить двух королей в карточной игре и т.д.
  

• 9 слайд

  9
  Ученые- исследователи комбинаторики
  Джероламо Кардано
  (1501–1576)
  НикоккоТарталья
  (1499-1557).
  

• 10 слайд

  
  
  10
  Ученые- исследователи комбинаторики
  Галилео Галилей
  (1564-1642)
  Безу Паскаль
  (1623-1662)
  Пьер Ферма
  (1601-1665)
  Л. Эйлер.
  

• 11 слайд

  11
  Шахматы не только популярная игра, но и источник множества интересных математических задач. Не случайно шахматные термины можно встретить в литературе по комбинаторике , теории графов, кибернетике, теории игр, программированию .
  Задача 1.
  Обойти конем все поля доски,
  посетив каждое из них по од-
  ному разу.
  Этой задачей занимался Л. Эйлер
  Комбинаторика на шахматной доске
  

• 12 слайд

  12
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• 13 слайд

  13
  Задачи о маршрутах составлены и для других фигур.
  На рис. изображен кратчайший замкнутый маршрут ферзя по всей доске, занимающий 14 ходов.
  

• 14 слайд

  
  
  14
  

• 15 слайд

  15
  В 9 классе 5 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
  
  Решение: Выбираем 2 учащихся из 5, порядок выбора не имеет значения (оба выбранных пойдут на олимпиаду как полностью равноправные); количество способов выбора равно числу сочетаний из 5 по 2:
  способов.
  Ответ: 10 способов.
  Примеры решения задач:
  
  
  

• 16 слайд

  16
  
  
  В 9 классе учатся 16 мальчиков и 10 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырёх мальчиков и трёх девочек. Сколькими способами можно это сделать?
  
  Решение: Нужно сделать два выбора: 4 мальчиков из 16 (всего способов ) и 3 девочек из 10 (всего способов ); порядок выбора значения не имеет (все идущие на уборку равноправные). Каждый вариант выбора мальчиков может сочетаться с каждым выбором девочек, поэтому по правилу умножения общее число способов выбора равно.
  
  
  Ответ: 218400 способов.
  

• 17 слайд

  Список использованной литературы:
  
  
  17
  1. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. - М.: Просвещение, 2006
  2.Бродский Я. Об изучении элементов комбинаторики, вероятности, статистики в школе // Математика. – 2004. – № 31. – 2–8 с.
  3. Гик Е.Я. Математика на шахматной доске. М.: Наука, 1976.
  4. Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. М.: Мнемозина, 2005
  5. Окунев Л.Я. Комбинаторные задачи на шахматной доске. М.: Наука, 1985.
  
  
  

• 18 слайд

  
  
  
  18
  Играйте в шахматы
  и решайте задачи
  по комбинаторике!