Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа "Искусство глазами математики"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Исследовательская работа "Искусство глазами математики"

библиотека
материалов


Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

"Карагайлинская основная общеобразовательная школа"





Научно-практическая конференция "Эрудит"


секция: математика, физика, информатика, астрономия




Исследовательская работа





Искусство глазами математики


Авторы:

Кащаева Татьяна, Черненко Максим,

ученики 7 класса

МБОУ "Карагайлинская ООШ"

Руководитель:

Семенцова Ольга Васильевна,

учитель математики высшей

категории

МБОУ «Карагайлинская ООШ»






Прокопьевский район

2015

Содержание


  1. Введение……………………………………………………………………… 2

  2. Глава 1. Математика в песенном творчестве……………………………… 5

1.1 История исследования связи музыки с математикой ……………… 5

1.2 Представление о музыки в древности. ……………………………… 5

1.3 Средневековое понимание цифр в музыке…………………………… 6

1.4 Математики помогает изучать музыку……………………………… 8

1.5 Математическая модель музыкального произведения……………… 10

  1. Глава 2 Фольклор и математика…………………………………………… 10

  2. Глава 3. Математика и поэзия……………………………………………… 11

5. Глава 4. Теоретико-методический аспект геометрических аналогий… 11

1.1 Структурно-функциональный анализ треугольника и тетраэдра… 11

6. Заключение………………………………………………………………… 14

7. Литература…………………………………………………………………… 15

8. Результаты исследовательской работы. ………………………………… 16

8.1 Приложение 1. Сравнительная таблица песенного и

математического объектов………………………………………………… 16

8.2 Приложение 2. Математическая модель музыкального

произведения "Солдатушки-ребятушки"………………………………… 18

8.3 Приложение 3. Математический объект в фольклоре. …………… 19

8.4 Приложение 4. Поэтические строки и математика ………………… 21











Введение

Я больше всего дорожу аналогиями,

моими верными учителями .Они знают

все секреты природы, и ими меньше всего

следует пренебрегать.

Ян Кеплер

В 90 – е годы прошлого века начали говорить о необходимости сочетать серьезное естественно-научное и техническое образование с гуманитарным. Сейчас все большую популярность завоевывает такая, на первый взгляд, парадоксальная идея: лучшее усвоение знаковой информации, которую несет математика, происходит при помощи лучшего усвоения образной информации – музыки, поэзии, фольклора, живописи.

Избежать односторонности в изучении математики может помочь широкое применение метода аналогии.

Аналогия – есть некоторого рода сходство, но на более определенном и выраженном с помощью понятий уровне. Различие между аналогией и другими видами сходства заключается в намерениях думающего. Сходные предметы согласуются между собой в каком-то отношении, и если свести это отношение, в котором они согласуются, к определенным понятиям, то можно рассмотреть эти сходные предметы как аналогичные. Если удается добраться до ясных понятий, то выясняется аналогия.

Аналогия (греч. analogia – соответствие, сходство), сходство предметов (явлений, процессов) в каких-либо свойствах.

Аналогии могут быть двух видов:

  1. Простая аналогия, при которой по сходству объектов в некоторых признаках заключают их сходство в других признаках.

  2. Распространенная аналогия, при которой из сходства явлений делают вывод о сходстве причин.

В свою очередь, простая и распространенная аналогии могут быть:

а) строгой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов находятся во взаимной зависимости;

б) нестрогой аналогией, при которой признаки сравниваемых объектов не находятся в явной взаимной зависимости.

Строгая аналогия применяется в научных исследованиях, в математических доказательствах, а при решении задач (арифметических, геометрических и др.) используется либо алгоритм, либо нестрогая аналогия с уже решенными однотипными задачами.

Аналогия является, пожалуй, одним из самых распространенных методов научного исследования. Широкое применение аналогий часто приводит исследователя к более или менее правдоподобным предположениям о свойствах изучаемого объекта, которые затем могут подтверждены или опровергнуты опытом или более строгими рассуждениями.

Мы в своей работе проследим математико-гуманитарные аналогии. Попытаемся перевести математику, ее правила, методы, проблемы, задачи, теоремы на язык гуманитарной культуры, на язык образов, символов и эмоций. В качестве исследования рассмотрим литературные и музыкальные произведения (загадки, песни, стихотворения). Сквозь призму математических знаний, попытаемся найти то, что объединяет их с математикой (установить ассоциацию по схожести), интерпретировать математику языком литературы и музыки.

Кроме установления аналогий между математико-гуманитарные понятиями, рассмотрим математические аналогии.

Например, некоторые свойства треугольника и тетраэдра похожи, а многие геометрические понятия, связанные с треугольником, имеют пространственные аналогии. Например:

сторона треугольника – грань тетраэдра;

длина стороны – площадь грани;

вписанная окружность – вписанная сфера;

описанная окружность – описанная сфера; площадь – объем и т. д.

Эта аналогия не только внешняя. Многие теоремы о треугольниках, если применить в их формулировках планиметрические термины, соответствующие стереометрическим, и соответствующим образом «подправить» формулировки, превращаются в теоремы о тетраэдрах.

Цель исследования рассмотреть математико-гуманитарные и геометрические аналогии. Доказать, что математика и искусство тесно связаны.

Задачи исследования:

  1. Изучить учебную, методическую, энциклопедическую литературу.

  2. Определить сущность аналогии и ее виды.

  3. провести свое исследование по установлению связи между музыкой и математикой, рассмотрев музыкальные произведения, как математическую модель.

  4. Проанализировать запись музыкального произведения.

  5. Выделить признаки сравниваемых объектов, находящихся во взаимной зависимости, как в искусстве, так и в математике.

  6. Установить аналогии между математическими и литературными объектами.

Объект исследования некоторые образцы литературного и песенного творчества; геометрические аналогии в учебниках геометрии 7-9 и 10 – 11 классов на примере треугольника и тетраэдра.

Предмет исследования – математика и песня, фольклор и математика, математика и поэзия, треугольник и тетраэдр.

Методы исследования: анализ учебной, методической, энциклопедической, научно-популярной литературы; сравнительный анализ, выявление аналогий.

Рассмотрев понятие «аналогия», мы выявили для себя гипотезы:

1) между математикой и песней существуют аналогии;

2) между математикой и поэзией существуют аналогии;

3) между фольклором и математикой существуют аналогии;

4) между тетраэдром и треугольником существуют аналогии.

В результате своего исследования мы постараемся подтвердить либо опровергнуть данные гипотезы.

К теме аналогий часто обращаются философы, например, В.Беляев, который в структуре аналогии выделяет тему и фору.«Чтоб произошла аналогия, тема и фора должны относится к разным предметным областям, иначе аналогия уступит место рассуждению с помощью примера и иллюстрации», - утверждает философ и сравнивает аналогию с метафорой по размытости символов и объектов, которым соответствуют эти символы. Найденные в гуманитарных областях знания аналогии математических объектов также довольно приблизительны, размыты, отдалены, поэтому, взяв во внимание сравнение В.Беляева, будем называть их литературными метафорами математики. Мы решили провести целенаправленную работу по установлению аналогий, выбрав в поля их поиска разнообразные литературные произведения всевозможных жанров, включая фольклорные.

Глава 1. Математика в песенном творчестве

«Музыка есть таинственная арифметика души;

Она вычисляет, сама того не подозревая»

Г.Лейбниц.


1.1. История исследования связи музыки с математикой.

Математика – царица наук, тесным образом перекликается с музыкой. Несомненно, математика пронизывает музыку.

Музыка и ее первый звук родились одновременно с творением мира, как утверждали древние мудрецы.

Вhello_html_6a5a4809.jpghello_html_m7d35bf2f.jpg своих трудах ученые неоднократно делали попытки представить музыку как некую математическую модель. Примером этого служит цитата из работы Леонарда Эйлера "Диссертация о звуке", написанная в 1727 году. "Моей конечной целью в этом труде было то, что я стремился представить музыку как часть математики и вывести в надлежащем порядке из правильных оснований все, что может сделать приятным объединение и смешивание звуков".

Лейбниц в письме Гольдбаху пишет: "Музыка есть скрытое арифметическое упражнение души, не умеющей считать". На что Гольдбах ему отвечает: "Музыка - это проявление скрытой математики".

Однако, одним из первых, кто попытался выразить красоту музыки с помощью чисел, был Пифагор. Он создал свою школу мудрости, положив в ее основу два предмета - музыку и математику. Музыка, как одно из видов искусств, воспринималась наряду с арифметикой, геометрией и астрономией как научная дисциплина, а не как практическое занятие искусством.

Пhello_html_m231be255.jpgифагор считал, что гармония чисел сродни гармонии звуков и что оба этих занятия упорядочивают хаотичность мышления и дополняют друг друга.

1.2. Представление о музыки в древности.

Взаимосвязью между музыкой и математикой интересовались еще в древности. И это неудивительно, поскольку присутствие в музыке математического компонента очевидно. Самые важные характеристики звука – его высота и длительность – определяются количеством колебаний и продолжительностью звучания, которые в свою очередь выражаются посредством конкретного числа. Как известно, пифагорейцы предположили, что в основе мира лежит некая абстракция – число. Более того, число в различных ипостасях: «бог-число», «вещь-число», «искусство-число» и т.д. стало у них сущностью мира. Эта числовая конструкция бытия мыслилась ими как конкретный «музыкально-числовой космос» или «строй мира», действующий гармонично во всех проявлениях. Таким образом, Пифагор и его последователи попытались объединить математику, гармонию и музыку в единую сущность не только космоса, но и человеческой души и конкретной вещи.

Мhello_html_m32647652.jpgузыкальная гармония мыслилась древними как некая логически построенная система, которая имеет много общего с математикой. В глубокой древности было подмечено определенное соответствие между высотой звука и конкретным числом, определяющим длину струны. Именно по этому принципу был создан широко популярный в античности музыкальный инструмент – лира, который впоследствии стал эмблемой музыкальной искусства.

1.3. Средневековое понимание цифр в музыке

При знакомстве с музыкальной эстетикой средневековья необходимо постоянно иметь в виду тот исключительно важный и в известной степени определяющий факт, что средневековыми теоретиками музыка понималась не как искусство, a, прежде всего, как наука. Именно это обуславливает специфические особенности музыкальной эстетики средневековья в отличие от современной.

Известно, что музыка входила в состав семи "свободных искусств", делившихся на "trivium" (грамматика, риторика, логика) и "quadrivium" (арифметика, геометрия, астрономия, музыка). Характерно, что музыка относилась именно к сфере математических знаний. Тем самым она признавалась одной из математических дисциплин, одной из отраслей математики. И как таковая она понималась, прежде всего, как наука о числах.

В IV-V веках в странах Западной Европы появляется обширная литература на латинском языке, посвященная теоретическим вопросам музыки. К IV веку относится комментарий Клавдия к платоновскому "Тимею". В начале V века Макробий пишет комментарий к цицероновскому "Сну Сципиона". В это же время появляется трактат Августина "О музыке", состоящий из шести книг, а в 430 году — книга Марциана Капеллы "О музыке". В период с 500 по 510 год пишет свои пять книг о музыке Боэций.

Одним из первых числовую природу музыки обосновывал Августин, в трактате которого "О музыке" мы находим зачатки традиционного для средневековой музыкальной теории математизма и числовой символики. Убеждение в том, что число составляет сущность и природу музыки, совпадает с основными положениями эстетики Августина, с его воззрениями на сущность и природу красоты.

Согласно Августину, число есть основа красоты, которую мы воспринимаем посредством слуха и зрения. Ведь красота содержится во всем том, в чем мы открываем отношения подобия и равенства, т. е. пропорцию и симметрию. Но что более, чем числа, является условием равенства и подобия? "А там, где равенство или подобие, — говорит Августин, — там наличие числа; ведь, конечно, нет ничего более равного и подобного, чем единица и единица".

На этом основании Августин приходит к убеждению о числовой основе всякого искусства, в том числе и музыкального: "Прекрасные вещи нравятся нам благодаря числу, в котором, как мы уже показали, обнаруживается стремление к равенству". Эту числовую основу музыкального искусства Августин подробно разрабатывает в трактате "О музыке". Он классифицирует числа на пять типов:


звучащие (sonantes), находящиеся в самих звуках, независимо от того, слышат их или нет;

числа, находящиеся в восприятии слушателя (occursores);

числа движущиеся (progressores), воспроизводимые воображением тогда, когда нет ни реальных звуков, ни слухового ощущения;

числа, хранимые памятью и тогда, когда мы о них не вспоминаем (numeri recordabiles);

числа судящие (judiciales) — тот эстетический критерий, которым мы бессознательно оцениваем все другие числа, называя их приятными или неприятными.

Все эти пять типов чисел образуют основу музыкального искусства и музыкального восприятия.



1.4. Математики помогает изучать музыку

Математика и музыка – два школьных предмета, два полюса человеческой культуры. Слушая, музыку мы попадаем в волшебный мир звуков и открываем в ней совершенство, простоту и гармонию. Решая математические задачи, мы погружаемся в строгое пространство чисел, не задумываясь о том, что мир звуков и пространство чисел издавна тесно связаны друг с другом. Нам нравится звук гитары. На уроках музыки мы увидели взаимосвязь между цифрами и мелодией, записанной нотами. Мы предположили, что в математике и музыке существуют одинаковые термины, на основе которых можно выявить их взаимосвязь.

Математика и музыка тесно связаны, в них есть очень много общего.

И если «математика ум в порядок приводит», то музыка воспитывает уважение к числу, формирует нравственные качества человека, помогает более тонко чувствовать окружающий мир.

На первых же уроках сольфеджио – так называются уроки музыкальной грамоты – ученики музыкальных школ сразу же сталкиваются с математикой. В музыке все считать надо, как и в математике. 7 нот, 5 линеек нотного стана, интервалы.

Чтобы записать числа мы используем цифры, а музыка – ноты. В музыке мы имеем дело с различными длительностями, они составляют основу любого ритма: целая нота(hello_html_67c9a0c2.png), половинная(hello_html_m450c9f7d.png), одна четверная(hello_html_4d0fbcf7.png), одна восьмая(hello_html_2c714d39.png), одна шестнадцатая(hello_html_6444f9e3.png).

При записи мелодии, звуки имеют свою длину (длительность). Здесь и происходит сопоставление целого числа и целой длительности, дробного числа и длительности коротких нот, записываемых при помощи дроби.

Названия длительности служат одновременно и названиями чисел. Нетрудно понять, почему длительности музыкальных нот заимствовали свои названия у дробей. Мы видим, что длительности получаются так же, как дроби: они возникают при делении целой ноты(hello_html_67c9a0c2.png) на равные доли. Поэтому длительность можно подсчитывать как дробные числа, например:

hello_html_4d0fbcf7.png= hello_html_2c714d39.png + hello_html_maaa561e.png

Равенство здесь надо понимать в том смысле, что длительность слева равна сумме длительностей справа. С помощью чисел то же равенство можно записать в виде 1/4 = 1/8 + 2/16.

= hello_html_4d0fbcf7.png + hello_html_4d0fbcf7.png + hello_html_m450c9f7d.png = 1/1 = 1/4 + 1/4 + 1/2

И наоборот: 2/4 + 1/8 + 1 = hello_html_4d0fbcf7.png + hello_html_4d0fbcf7.png + hello_html_2c714d39.png + hello_html_67c9a0c2.png = 4/8 + 1/8 + 8/8 = =hello_html_m1b1ae945.jpg+ hello_html_2c714d39.png +hello_html_m1b1ae945.jpghello_html_m1b1ae945.jpg


hello_html_4d9e3582.jpg

Не зная математических понятий, не умея различать дроби, не умея сравнивать их, невозможно было бы сыграть музыкальный фрагмент.

Именно здесь мы сталкиваемся с математической операцией сравнения.

Параллели.

Вhello_html_6df80d4.jpg музыке, как и в математике, тоже есть понятие параллельности.


Параллельные тональности, а ещё линии нотного стана - это 5 параллельных прямых, которые никогда не пересекаются. Музыканта интересует не просто то, что одна нота выше или ниже другой. Ему требуется знать насколько одна выше или ниже другой по звучанию. Измерить эту высоту помогают параллельные линии.

Симметрия.

«Душа музыки – ритм, он состоит в правильном периодическом повторение частей музыкального произведения. Правильное же повторение сущность симметрии».

Такое мнение высказал известный русский физик Г.В. Вульф.

В музыке часто используется симметрия. Ряд музыкальных форм строится симметрично. В этом отношении особо характерно рондо. Главная тема проводится не менее 3 раз в основной тональности, а эпизоды – в других тональностях. Это напоминает зеркальную симметрию, основная тема служит плоскостью, от которой как бы отражаются эпизоды.

Провести исследование связи между музыкой и математикой мы решили на примере чешской народной песни «Я из Кутной горы».

Проанализировав запись этого музыкального произведения, мы заметили, что первая музыкальная фраза, состоящая из 5 тактов, повторяется и в конце произведения. Этот факт наглядно демонстрирует наличие симметрии в построении мелодии.

hello_html_5c8ea53a.jpg

Математические объекты можно выделить и в звучащих по радио или телевизору песнях. В данной таблице систематизирован поиск аналогий в песенном и математических объектах. Познакомьтесь с нашими «открытиями».

Приложение 1. Сравнительная таблица песенного и математического объектов.

1.5 Математическая модель музыкального произведения

Для записи песни «Солдатушки - ребятушки» на математическом языке под каждой нотой песни мы подписали дробь, значение которой соответствует длительности ноты. Складывая дроби, проверили, что их сумма в каждом такте равна заданному ритму hello_html_m2416ae57.gif. Запись песни с помощью дробей можно рассматривать как математическую модель музыкального произведения.

Приложение 2. Математическая модель музыкального произведения "Солдатушки-ребятушки"

Глава 2. Фольклорные метафоры математики

Установление различных видов зависимостей можно рассматривать на фольклорном материале. За фольклорным объектом может угадываться и математический объект.

В таблице установлены фольклорные аналогии и соответствующие им математические объекты.

Приложение 3. Математический объект в фольклоре.

Глава 3. Математика и поэзия

Аналогичную работу проделаем и с поэтическими произведениями: составим таблицу аналогий, приведем примеры стихотворных строк, где упоминаются математические объекты. Поэты не пытались написать нечто математическое, они описывали совсем другое. А мы попытались связать написанные ими произведения с математическим материалом.

Приложение 4. Поэтические строки и математика


Глава 4. Теоретико-методический аспект геометрических аналогий

Структурно-функциональный анализ треугольника и тетраэдра

Отметим какие-нибудь три точки А,В,С, не лежащие на одной прямой, и соединим их отрезками АВ, ВС, АС (рис.1).

hello_html_3958870e.gif





Рис. 1



Мы получили геометрическую фигуру, которая называется треугольником. Точки А, В, С называются вершинами, отрезки АВ, ВС, АС – сторонами, три угла

hello_html_m67f91fa0.gifhello_html_m67f91fa0.gifhello_html_m67f91fa0.gifВАС, САВ, АСВ – углами треугольника. Название «треугольник» происходит от греческого слова тригонон.

Рhello_html_m51f211fb.gifассмотрим произвольный треугольник АВС и точку D, не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединив точку D с вершинами треугольника АВС, получим треугольники DAB, DBC и DCA. Поверхность, составленная из четырех треугольников АВС, DAB, DBC и DCA называется тетраэдром и обозначается так: DABC (рис.2).




Рис. 2



Треугольники из которых состоит тетраэдр, называются гранями, их стороны – ребрами, а вершины – вершинами тетраэдра.

Тетраэдр имеет четыре грани, шесть ребер и четыре вершины. Два ребра тетраэдра, не имеющие общих вершин, называются противоположными. На рис.2 противоположными являются ребра AD и ВС, DB и АС, DC и АВ. Иногда выделяют одну из граней тетраэдра и называют ее основанием, а три другие – боковыми гранями. Название «тетраэдр» происходит от греческого слова tetra (тетра) – «четыре» и греческого слова edra (эдра) – «основание».


Виды треугольников и тетраэдров

Правильный треугольник – правильный тетраэдр;

Равнобедренный треугольник – правильная треугольная пирамида;

Равносторонний треугольник – тетраэдр общего вида;

Прямоугольный треугольник – тетраэдр, в котором все три плоских угла при одной вершине прямые.

Важно отметить следующий факт: не все свойства треугольника имеют аналогии среди свойств тетраэдра. Например, все высоты любого треугольника пересекаются в одной точке, но не о каждом тетраэдре можно сказать тоже самое.

Те тетраэдры, для которых такое свойство верно, составляют класс ортоцентрических тетраэдров.

Признаки равенства треугольников и тетраэдров

Признаки равенства треугольников – одна из тем, которая остается актуальной на протяжении всего курса планиметрии. В стереометрии признаки равенства тетраэдров не рассматриваются.

Равенство треугольников и тетраэдров определяются на основе понятия наложения:

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.

Две пирамиды называются равными, если они при вложении одной в другую могут быть совмещены.


Для доказательства признаков равенства тетраэдров необходимо знать признаки равенства трехгранных углов, а именно:

Два трехгранных угла равны, если все три плоские угла одного из них равны плоским углам другого и одинаково с ними расположены;

Два трехгранных угла равны, если они имеют по равному трехгранному углу, заключенному между двумя двухгранными углами, соответственно равными и одинаково расположенными;

Два трехгранных угла равны, если они имеют по равному плоскому углу, заключенному между двумя двухгранными углами, соответственно равными и одинаково расположенными.

Признаки равенства треугольников и тетраэдров


Признаки равенства треугольников

Признаки равенства тетраэдров

I

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если в двух тетраэдрах соответственно равны две грани и двугранный угол между ними, то такие тетраэдры равны или симметричны.

II

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Два тетраэдра равны или симметричны, если они имеют по равному ребру, прилежащему к соответственно равным трехгранным углам.

III

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Два тетраэдра равны или симметричны, если они имеют по шесть равных ребер, и в обоих тетраэдрах равные элементы располагаются в одном и том же порядке (так, что трем ребрам, лежащим в одной грани или выходящим из одной вершины, соответствуют три равных им ребра, также лежащие в одной грани или выходящие из одной вершины).

Мы рассмотрели признаки равенства треугольников, и нашли аналогичные им для тетраэдра. Это необходимо при доказательстве более сложных теорем и решения сложных задач.

Заключение

Приступая к исследованию, мы ставили перед собой цель – рассмотреть математико-гуманитарные и геометрические аналогии.

Нами были выдвинуты следующие гипотезы:

1) между фольклором и математикой существуют аналогии;

2) между математикой и поэзией существуют аналогии;

3) между математикой и песней существуют аналогии;

4)между тетраэдром и треугольником существуют аналогии;

В результате нашего исследования, мы доказали верность этих гипотез. В работе были отражены аналогии между математикой и фольклором, математикой и поэзией, математикой и песней, а так же аналогии в математике, и показано, что математика и музыка, такие далекие друг от друга, на взгляд многих, в действительности тесно связанные между собой:

  • музыкальные и математические операции родственны и содержательно и психологически.

  • занимаясь музыкой, человек развивает и тренирует свои математические способности.

  • занятия математикой могут значительно облегчить изучение музыкальной гармонии и сольфеджио.

А насколько важна аналогия в математике, можно судить по следующему высказыванию известного польского математика Стефана Банаха: «Математик — это тот, кто умеет находить ана­логии между утверждениями; лучший математик тот, кто заме­чает аналогии теорий; но можно себе представить и такого, кто между аналогиями видит аналогии».

Обнаружение сходства или различия между предметами поднимает наше мышление на более высокую степень; сосуществовавшие ранее без взаимосвязи знания приобретают новое качество; рассматриваемый предмет познается при этом глубже, подробнее.

Широкое применение аналогии дает возможность более легкого и прочного усвоения математических понятий, так как часто обеспечивает мысленный перенос определенной системы знаний и умений от известного объекта к неизвестному.

Аналогия является прежде всего методом научного исследования, а также эффективным методом изучения математики.

Материал данной работы может быть использован с целью уменьшения затруднений при изучении математических понятий.

Литература

  1. Атанасян, Л. С. Геометрия. 7-9 классы/ Л. С. Атанасян. – М.: Просвещение, 2003.

  2. Атанасян, Л. С. Геометрия. 10-11 классы/ Л. С. Атанасян. – М.: Просвещение, 2010 – 206 с.

  3. Варга Б.. Дюмень Ю., .Лопариц Э. Язык, музыка, математика. - Просвещение, 1993.

  4. Видеман, Т.Н. Математика. 10-11 классы: рефераты/ Т.Н.Видеман. – Волгоград: Учитель, 2009. – 287 с.

  5. Волошинов А.В. Математика и искусство. – М., Просвещение, 2000.

  6. Кучеров. В. Геометрические аналогии/ В. Кучеров. – М.: Бюро Квантум, 1995. – 128 с.

  7. Медушевский В.В., Очаковская О.О. Энциклопедический словарь юного музыканта. - Педагогика, 1985.

  8. Панишева, О.В. Математика для гуманитариев.5-11 классы: опыт работы, уроки, внеклассные мероприятия/ О.В.Панишева. –Волгоград: Учитель, 2011. – 271 с.

  9. Савин А.П., Станцо В.В., Котова А.Ю. Детская энциклопедия математика Я познаю мир. – М.: ООО Фирма «Издательство АСТ», 1999.

10. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагоги–ка, 1989. – 352 с.

Ресурсы Интернета:

11. www.o-detstve.ru

12. www.vp-ch.ru

13. www.1september.ru

14. www.tarefer.ru

15. www.virartech.ru

16. http://n-shkola.ru/arch/54.html

17. http://rudocs.exdat.com/docs/index-17734.html




8. Результаты исследовательской работы

8.1 Приложение 1. Сравнительная таблица песенного и математического объектов.


Песенный объект

Математический объект

Еще раз уйти, чтобы вернуться,

Еще раз окончить, чтоб начать,

Еще раз пусть двери распахнутся,

Еще раз понять, простить, принять...

Периодическая функция

И как реки встречаются в море,

Так встречаются люди в Москве.

Пересечение прямых

Как хорошо, что нам выпало встретиться

В веке сплошных скоростей. . .

Пересечение прямых

. . .Мы, конечно, с тобой разминемся.

Я тебя никогда не увижу!

Скрещивающиеся прямые

Мимо текла, текла река,

Плыли куда-то облака. . .


Определение прямой, па­раллельной к плоскости

Дан приказ ему - на запад,

Ей - в другую сторону.

Уходили комсомольцы

На гражданскую войну.

Противоположно направ­ленные векторы

Время летит стрелою.

Скоро и мы с тобою

Вместе из города уйдем. . .

Векторы

. . .Отражается небо

В лесу, как в воде,

И деревья стоят голубые.

Симметрия относительно плоскости

Гляжусь в тебя, как в зеркало,

До головокруженья. . .

Симметрия

На смену закатам

Привычно приходят рассветы. . .

Периодичность

. . .Я свободен! Я свободен!

Свободный член много­члена

Куда подует ветер,

Туда и облака. . .

Одинаково направленные векторы

Только раз бывает в жизни встреча,

Только раз судьбою рвется нить,

Только раз в холодный зимний вечер

Мне так хочется любить.

Касательная

. . .Тебе половина, и мне половина, а-а

Координаты середины отрезка

. . . От чистого истока

В прекрасное далеко,

В прекрасное далеко

Я начинаю путь.

Луч

Если с другом вышел в путь,

Если с другом вышел в путь –

Веселей дорога!

Сонаправленные векторы (движутся в одну сто­рону)

Вы так высоко парите,

Здесь, внизу, меня не замечая. . .

Вершина

Я буду вместо, вместо, вместо нее. . .

Замена переменной

И уносят меня, и уносят меня

В звенящую снежную даль

Три белых коня, три белых коня

Декабрь, январь и февраль.

Система координат в про­странстве (кони — оси ко­ординат)

Мы великие таланты,

Мы понятны и просты. . .

Простые числа

Издалека долго

Течет река Волга,

Течет река Волга –

Конца и края нет. . .

Бесконечность

Как провожают пароходы –

Совсем не так, как поезда.

Морские медленные воды

Не то что рельсы в два ряда. . .

Параллельные прямые (рельсы в два ряда)

. . .Чунга-чаяга, постоянно

Жуй кокосы, ешь бананы,

Жуй кокосы, ешь бананы –

Чунга-чанга!

Постоянная функция

В нашей жизни все бывает:

И под солнцем лед не тает,

И зимой весну встречаем,

Дождь идет в декабре. . .



События с небольшой вероятностью

. . .Моря даль деля на мили,

Жизни даль деля на вахты,

Держит курс согласно карты

В порт, в порт.

Единицы измерения



8.2 Приложение 2. Математическая модель музыкального произведения "Солдатушки - ребятушки"


hello_html_1d4c9a38.jpg

8.3 Приложение 3. Математический объект в фольклоре.


Математический объект

Фольклорный

объект

Примечание


Прямая


Загадка: шагаешь – впереди лежит,

оглянешься – назад бежит.

Будешь ты

у меня по ниточке ходить.

Отгадка: дорога


Круг и шар


Загадка: без окон, без дверей, полна

горница людей.

Здесь аналогия составлена не по отгадке, а по тому признаку, что круг и шар –фигуры ,полностью «заполненные» точками

Через две точки можно провести только одну прямую


На двух якорях корабль крепче держится


Две точки задают прямую, однозначно ,закрепляют

ее местоположение так же, как якоря – положение корабля

Аксиома

Ясно, как дважды два


Метод от противного


Не было бы счастья, да несчастье помогло


Параллельные плоскости

Загадка: два быка бодаются, вместе

не сойдутся

Отгадка: небо и земля


Параллельные прямые


Загадка: два братца в воду глядятся,

век не сойдутся

Отгадка: берега реки


Отрезок


Было бы начало, будет и конец.

Как бечевку ни вить, а концу быть.

Ласточка весну начинает, а соловей

кончает


Прямая, перпендикулярная

плоскости


Загадка: сто один брат, все в один ряд, вместе связаны стоят

Отгадка: забор. Каждый

«брат» перпендикулярен

земле

Проекция наклонной


От своей тени не убежишь.

Загадка: сколько по ней ни иди, всё

будет бежать впереди.


Отгадка: тень

Всякая наклонная имеет

проекцию, как всякий

предмет – тень

Перпендикуляр из точки

на прямую


С одного вола двух шкур не дерут

(словацкая мудрость)

Из одной точки к прямой

двух перпендикуляров не

провести

Нулевой вектор


У нашего господина нет ни ржи, ни

овина

Все координаты равны нулю

Квадрат

Что вдоль, что поперек


Луч


Загадка: придет в дом, не выгонишь

колом, пора придет – сам уйдет

Отгадка: солнечный луч


Немонотонная функция


Не всё в гору, ино и под гору


Синусоида (косинусоида)

Загадка: По морю идет, а как на берег выползет, тут и пропадает

Отгадка: волна (форма графика)

Парабола

Загадка: Разноцветное коромысло над рекою повисло

Отгадка: радуга (имеет форму параболы с ветвями, направленными вниз)

Возрастающая функция

(прямая пропорциональность)


Чем дальше в лес, тем больше дров.

Дальше в спор – больше слов.

Больше почет – больше хлопот.

Много снега – много хлеба.

Меньше конь – меньше воз.

Много гостей – много и новостей.

Как аукнется – так и откликнется.


Убывающая функция (обратная пропорциональность)


Тише едешь – дальше будешь.

Высоко летаешь – низко упадешь.

Дальше от кузницы -меньше копоти.

Дальше положишь – ближе возьмешь.

Меньше лести – больше чести.

Меньше знаешь – крепче спишь


Симметрия

Загадка: Перед нами вверх ногами, перед тобой –вверх головой

Отгадка: отражение в воде

Куб

Загадка: От воды родится, а воды боится

Отгадка: соль.

кристаллы соли имеют форму куба

Посторонний корень

Пятое колесо в телеге.

Сбоку припеку


Противоположно направленные векторы

Люди с базара, а Назар- на базар



8.4 Приложение 4. Поэтические строки и математика


Поэтический объект


Математический объект

Снег на крыше, на крылечке.

Солнце в небе голубом.

В нашем доме топят печки,

В небо дым идет столбом.

С. Маршак. Круглый год

Перпендикуляр к плоскости (дым перпендикулярен плоско­сти неба и земли)

Вот в одинаковых платьях, как сестры, Бабочки сели в траву отдыхать.

То закрываются книжечкой пестрой,

То, раскрываясь, несутся опять.

С. Маршак. Разноцветная книга

Подобные фигуры

Видели люди, смотревшие снизу,

Как осторожно он шел по карнизу.

Вот он прошел половину пути.

Надо еще половину пройти.

С. Маршак. Рассказ о настоящем герое

Середина отрезка

Однажды Лебедь, Рак да Щука

Везти с поклажей воз взялись,

И вместе трое все в него впряглись,

Из кожи лезут вон, а возу все нет ходу!

И. А. Крылов

Некомпланарные векторы, сум­ма векторов (равнодействующая сил, действующих на воз, равна нулю)


Там, за синими курганами,

На распутье трех дорог,

Убаюканный туманами,

Спит зеленый хуторок.

И. Приблудный

Начало координат (распутье трех дорог ~ точка пересечения трех координатных осей)

Упрощаюсь, словно очищаюсь

От всего, что нажито тщетой.

Вновь с душою легкой просыпаюсь, Точно в праздник или выходной!

А. Кравченко

Упрощение выражений

У лукоморья дуб зеленый,

Златая цепь на дубе том,

И днем и ночью кот ученый

Все ходит по цепи кругом.

А.С.Пушкин

Эвольвента круга (линия, которую описывает при движении кот)

В песчаных степях аравийской земли

Три гордые пальмы высоко росли.

Родник между ними из почвы бесплодной,

Журча, пробивался волною холодной.

М. Ю. Лермонтов. Три пальмы

Центр вписанной или описанной

окружности в треугольнике

Начинают строительство с колышка,

Что вбиваем мы в это полюшко.

После в линии, как в тетрадке,

Ровно вписываем палатки.

И. Донич

Алгоритм построения треуголь­ника, вписанного в окружность

Три мудреца

Три мудреца в одном тазу

Пустились по морю в грозу.

Будь попрочнее старый таз,

Длиннее был бы мои рассказ.

С. Маршак

Обратная пропорциональность


...А вы, друзья, Как ни садитесь, Все в музыканты не годитесь.

И. А. Крылов

От перестановки мест слагаемых сумма не изменяется


Не дорога, серпантин:

Снизу-вверх, ну а сверху –вниз.

А.Кравченко

Синусоида (косинусоида)

Судьба, как ракета, летит по параболе Обычно - во мраке и реже – по радуге...

Идут, к своим правдам по-разному храбро,

Червяк - через щель, человек – по параболе...

Сменяя каноны, прогнозы, параграфы, Несется искусство, любовь и история

По параболической траектории.

А. Вознесенский

Парабола








Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 06.10.2015
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Номер материала ДВ-035072
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх