Исследовательская работа "История комбинаторного анализа" (11 класс)

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №47» г. Перми

ИСТОРИЯ КОМБИНАТОРНОГО АНАЛИЗА

Исследовательская работа

Выполнил ученик 11 класса

Бочкарев Дмитрий

Научный руководитель:

Карнишина Валентина Ивановна

Пермь 2021

Вряд ли сегодня найдется математик, который бы в детстве не увлекался решением различных комбинационных задач: построением магических квадратов, расстановкой ферзей на шахматной доске, которые не бьют друг друга, обходом конем всех шахматных полей… Одни увлекательные комбинационные проблемы появились в глубокой древности, другие возникли сравнительно недавно, но все они вызывают неподдельный интерес математиков, которые обращаются к ним вновь и вновь.

Можно с достаточной уверенностью утверждать, что математика как наука начиналась с комбинаторного анализа. Решаемые при этом проблемы имели практическое значение. Но в то же время они представляли большой интерес пытливому уму, являлись тем оселком, на котором оттачивались математические способности людей. Среди дошедших до нас математических задач древнейших цивилизаций – Китая, Индии, Греции – в большом количестве присутствуют комбинаторные задачи. Так, первым дошедшим до нас магическим квадратом 3х3, является древнекитайское изображение на черепаховом панцире, созданное в 2200 г. до н.э. Но известен этот магический квадрат, по-видимому, был гораздо раньше. Так в рукописи «Же Ким» (XII-XIII в. до н.э.) сказано, что император Ию, который жил около 4 тысяч лет назад, «нашел на берегу реки священную черепаху, на ее панцире был изображен рисунок из черных и белых кружков».

Но, несмотря на свою древность, комбинаторика долгое время оставалась вне серьезных математических исследований. Только со второй половины XX в. резко возрос интерес со стороны ведущих математиков мира к комбинаторному анализу. Это связано, с прежде всего, с резким расширением области его приложений. Комбинаторные методы анализа стали активно применяться в других разделах математики, например, теории чисел, теории вероятностей, алгебре, геометрии. С другой стороны, комбинаторный анализ все больше применяется в практической деятельности человека: в лингвистике, экономике, медицине, генетике, психологии, криптографии, связи, статистической физике... В то же время интерес самих математиков к комбинаторике резко возрос в связи с появлением в середине прошлого века вычислительной техники, что позволило решить многие перечислительные задачи.

Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно образовывать из элементов конечного множества. Комбинаторные мотивы можно заметить уже в китайской «Книге Перемен» (V в. до н.э.). Это наиболее ранний философский текст Китая. Самая ранняя его часть (примерно VII век до н.э.) предназначена для гадания и состоит из 64 гексаграмм. Известны разные их расположения. В порядке следования этих гексаграмм ясно прослеживаются элементы комбинаторики, существует множество математических закономерностей, выявленных в их расположении. По мнению создателей «Книги перемен», все в мире комбинируется из различных сочетаний мужского и женского начал, а также восьми стихий: земля, горы, вода, ветер, гроза, огонь, облака и небо.

Историки математики Древнего Китая также отмечают комбинаторные мотивы в руководствах по игре в Го (и других играх). Большой интерес математиков многих стран с древних времён неизменно вызывали магические квадраты (магическим или волшебным квадратом называется квадратная таблица, в которую вписаны числа таким образом, что их сумма в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова). Как сказано выше, первый известный нам магический квадрат был обнаружен в Китае.

В Древней Индии элементы комбинаторики известны уже во II в. до н.э. Ариабхата в 499 г. написал трактат в стихах по астрономии и математике. В нем он, в частности, привел правили суммирования треугольных чисел. Варахимихира в V в., занимаясь сочетаниями, фактически уже получил треугольник Паскаля. В XII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Считается, что древнеиндийские учёные рассматривали комбинаторные конфигурации в связи с применением их в поэтике – науке о структуре поэтических произведениях. Например, они занимались подсчётом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы из определенного количества слогов.

Древние греки также рассматривали различные комбинаторные задачи. В школе Пифагора была доказана теорема о сторонах прямоугольного треугольника. Это вызвало у них интерес к представлению чисел в виде суммы квадратов, а также и к квадратным числам 1, 4, 9, 16… Пифагорейцы рассматривали и другие фигурные числа: треугольные, шестиугольные и т.д. Примерно в то же время Ксенократ (IV в. до н.э.) подсчитывал число слогов; его современник Папп нашел количество пар и троек, которые можно получить из трех элементов (с повторениями). В «Застольных беседах» Плутарх пишет: «Хрисипп … говорит, что число комбинаций, которые можно получить из десяти предложений, превосходит один миллион. На это возразил Гиппарх, указав, что одно утвердительное предложение охватывает включенных в него 103049, а отрицательное – 309952». Аристотель при изложении своей логики безошибочно перечислил все возможные типы трёхчленных силлогизмов. Аристоксен рассмотрел различные чередования длинных и коротких слогов в стихотворных размерах.

В начале IX в. научным центром ближневосточного мира становится Багдад, где появляется «Дом мудрости», в который приглашаются виднейшие учёные всего исламского мира. Почти в то же время на западе исламского халифата, в испанской Кордове, сформировался другой научный центр, благодаря которому античные знания стали понемногу возвращаться в Европу. Первым делом арабские ученые стали осваивать наследие Греции и Индии. Их труды переводились на арабский язык, изучались и комментировались. Причем размах этой деятельности действительно впечатляет – известны более сотни переводчиков и комментаторов одного только Евклида.

А в XIII в. происходит расцвет и самой арабской науки. Так арабские алгебраисты вывели формулу для степени суммы двух слагаемых – бином Ньютона. Скорее всего, эту формулу уже знал знаменитый поэт и математик Омар Хайам (XI–XII вв.). По крайней мере, ее приводит в своих научных работах персидский ученый Насир ад-Дин Туси. В XV в. эта формула была подробно исследована другим персидским математиком и астрономом Джемшидом ибн Масуд аль-Каши. Как сообщают некоторые европейские источники, ссылающиеся на арабские оригиналы, для вычисления коэффициентов этой формулы брали число 10001 и возводили его последовательно во вторую, третью, четвертую и т.д. степени. Затем исключали лишние нули и получали треугольную таблицу из биномиальных коэффициентов. Арабские математики были знакомы и с формулой знали и основное свойство элементов этой таблицы, выражающееся формулой .

Надо отметить, что примерно в то же время аналогичная таблица была приведена в китайского алгебраиста Чжу Ши-дзе «Яшмовое зеркало»

В начале XII в. начинается возрождение науки и, в частности, математики в Европе. Одним из первых европейских ученых был Леонардо по прозвищу «Фибоначчи». Сын купца из итальянского города Пиза, торговавшего в Алжире, получил образование в арабских учебных заведениях. В 1202 г. он издает книгу «Liber Abaci» (Книга абака). В ней ученый излагал арабскую арифметику, геометрию Евклида и некоторые свои математические изыскания. Среди них были и новые комбинаторные задачи. Например, об отыскании наименьшего числа гирь, с помощью которых можно было бы взвесить любой вес меньший некоторого заданного (вес должен быть, конечно, целочисленным).

Другая его известная задача о кроликах: имеется пара кроликов. Через два месяца у них рождается еще одна пара. И так далее: любая пара кроликов производит на свет другую пару каждый месяц, начиная со второго месяца своего существования. Сколько пар кроликов будет через год? При решении этой задачи возникает числовая последовательность, в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих. Эта последовательность называется числами Фибоначчи. В отличие от известных еще древним грекам арифметической и геометрической прогрессий каждый член данной последовательности определяется не только ее последним членом, но и предпоследним.

Примерно в то же время ряд открытий в Европе в области комбинаторики сделали два еврейских исследователя, Авраам ибн Эзра и Леви бен Гершом (Герсонид). Ибн Эзра подсчитывал число размещений с перестановками в огласовках имени Бога и обнаружил симметричность биномиальных коэффициентов, а Герсонид дал явные формулы для их подсчёта и применения в задачах вычисления числа размещений и сочетаний.

И все же, временем рождения комбинаторики, как самостоятельной математической дисциплины считается середина XVII в.

Однажды азартный игрок в кости и любитель математики шевалье де Мере обратился к великому французскому ученому Блезу Паскалю с просьбой в решении двух задач: 1) Сколько раз нужно бросать две кости, чтобы ставить на одновременное выпадение хотя бы раз двух шестёрок было выгодно? 2) Пусть два игрока договорились, что тот, кто первым выиграет 6 партий, получит весь приз. Но предположим, что доиграть до конца не удалось по независящим от игроков обстоятельствам. В момент остановки, например, первый игрок победил 5 раз, второй – 3. Как справедливо следует разделить приз?

Б. Паскаль справился с этими задачами, но предложил решить их и другому французскому математику – Пьеру Ферма. Возникшие в ходе решения этих задач проблемы и выводы, к которым пришли два ученых, они обсуждали в своих письмах. При решении данных вероятностных задач было необходимо сосчитать количество различных комбинаций, которые удовлетворяли искомым решениям. Содержание этой переписки стало известно широкому кругу математиков Франции. Таким образом, решение двух данных задач ознаменовало появление сразу двух новых математических дисциплин – теории вероятностей и комбинаторики.

Следующий крупный шаг был сделан в 1666 г., когда Г.В. Лейбниц представил Лейпцигскому университету сочинение «Рассуждение об искусстве комбинаторики». Автору на тот момент было 20 лет. Именно в этой работе впервые прозвучал сам термин «комбинаторика». Правда, это понятие Г. Лейбниц понимал чрезмерно широко, включая в него всю конечную математику и даже логику. Рассматриваемая работа было наиболее полным и глубоким по содержанию сочинением по данной теме.

Ученик Лейбница Якоб Бернулли является создателем теории вероятностей. Его книга «Искусство предположений» вышла в 1713 г. уже после смерти автора (1705 г.). Т.к. значительная часть вероятностных задач решается с использованием различных комбинационных конфигураций, то значительная часть этого сочинения посвящена именно комбинаторике. Соответствующий материал сосредоточен во второй части и состоит из девяти глав. В них разбираются перестановки с перестановками и без них, различные сочетания и размещения. Таким образом, Я. Бернулли построил комбинаторную теорию, которая отличалась от других работ своей системностью, широтой рассматриваемых проблем и простотой решения соответствующих задач.

В этот же период начала формироваться терминология этой новой науки. Термин «сочетание» (combination) впервые встречается у Паскаля (1653 г.). Термин «перестановка» (permutation) употребил в указанной книге Я. Бернулли (хотя эпизодически он встречался и раньше). Он же использовал и термин «размещение» (arrangement).

Значительные достижения в комбинаторики принадлежат одному из величайших математиков XVIII в. Л. Эйлеру, швейцарцу, члену Петербургской академии наук, прожившему почти всю жизнь в России. Где он и похоронен на Смоленском лютеранском кладбище в Петербурге.

Л. Эйлер занимался практически всеми вопросами математики, среди них были и довольно странные. Ну, например, можно ли обойти кенигсбергские мосты так, чтобы не побывать на одном и том же дважды? Или возможно ли поставить 36 офицеров из 6 разных полков так, чтобы в каждой шеренге и каждой колонне было по одному офицеру каждого воинского звания из каждого полка? И т.д. Но эти, вроде бы, несерьезные задачи впоследствии привели к созданию новых разделов комбинаторике, имеющих большое практическое значение. Первая задача (о мостах) привела к созданию топологии и теории графов, второй задаче (об офицерах) обязана своим появлением теория планирования экспериментов. В трудах Л. Эйлера комбинаторика оформилась окончательно как самостоятельный раздел математики.

Исследования Леонарда Эйлера (1707–1783) сыграли определяющую роль в развитии комбинаторного анализа. Он либо решал, либо формулировал и тем самым значительно продвигал формирование многих из так называемых «классических комбинаторных задач». Под таковыми понимают всевозможные расположения элементов конечных дискретных множеств в соответствии с определенными правилами. Таких задач десять. Несмотря на простоту их формулировок, они на протяжении большого промежутка времени не поддавались решению и явились исходными при становлении и формировании ряда научных направлений современных математических дисциплин.

После работ Б. Паскаля, П. Ферма, Г. Лейбница и Л. Эйлера можно было уже говорить о комбинаторике как о самостоятельном разделе математики, тесно связанном со многими другими областями математики. Таким образом, комбинаторика как самостоятельная ветвь математики возникла в XVII веке.

Но ее развитие продолжается до сих пор. Так в начале XX в. начала развиваться комбинаторная геометрия: были доказаны теоремы Минковского-Радона, Радона, Хелли, Юнга, Бляшке, а также строго доказана изопериметрическая теорема. На стыке топологии, анализа и комбинаторики были доказаны теоремы Борсука-Улама и Люстерника-Шнирельмана. Во второй четверти XX века были поставлены проблема Борсука и проблема Нелсона-Эрдёша-Хадвигера. В 1940-х годах оформилась теория Рамсея. Отцом современной комбинаторики считается венгерский математик Пал Эрдёш, который ввел в комбинаторику вероятностный анализ. Внимание к конечной математике и, в частности, к комбинаторике значительно повысилось со второй половины XX в., когда появились компьютеры. Сейчас это чрезвычайно содержательная и быстроразвивающаяся область математики.

Литература

1. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. – М.: Наука, 1975. – 208 с.

2. История математики. С древнейших времен до начала Нового времени // История математики / Под редакцией А.П. Юшкевича, в трёх томах. – М.: Наука, 1970. – Т. I.

3. Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А.П. Юшкевича, в трёх томах. – М.: Наука, 1970. – Т. II.

4. Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А.П. Юшкевича, в трёх томах. – М.: Наука, 1972. – Т. III.

5. Рыбников К.А. Комбинаторный анализ. Очерки истории. – М.: Изд. мехмата МГУ, 1996. – 124 с.

6. Рыбников К.А. История математики в двух томах. – М.: Издательство МГУ, 1960-1963.

Краткое описание документа:

В этой работе рассматривается история возникновения комбинаторики как науки. Несмотря на свою древность, комбинаторика долгое время оставалась вне серьезных математических исследований. Только со второй половины XX в. резко возрос интерес со стороны ведущих математиков мира к комбинаторному анализу. Это связано, с прежде всего, с резким расширением области его приложений. Комбинаторные методы анализа стали активно применяться в других разделах математики, например, теории чисел, теории вероятностей, алгебре, геометрии.