Конус - от др.-греч. κώνος «сосновая шишка»
Конусом называется тело, которое состоит из круга - основания
конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга,— вершины
конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания
(рис. 1) Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания,
называются образующими, конуса. Поверхность конуса состоит из основания и
боковой поверхности.
Отрезок,
соединяющий вершину и границу основания, называется образующей
конуса.
Объединение образующих конуса называется образующей (или боковой)
поверхностью конуса. Образующая поверхность конуса является конической поверхностью.
Отрезок,
опущенный перпендикулярно из вершины на плоскость основания (а также длина
такого отрезка), называется высотой конуса.
Угол
раствора конуса — угол между двумя противоположными образующими
(угол при вершине конуса, внутри конуса).
Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с
центром основания, перпендикулярна плоскости основания.
Наглядно прямой круговой конус можно представлять себе как тело,
полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси
(рис.1). Рис.1. Конус
У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Осью
прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.
Типы конусов зависят от вида основания, наклона конической поверхности к
основанию. В работе рассматривается прямой круговой конус.
В основании прямого кругового конуса находится окружность. Площадь
основания такого конуса определяется по формуле 
Площадь боковой поверхности конуса
равна 
Величина части пространства, занимаемого геометрическим телом, называется
объемом этого тела.
Если площадь основания конечна, то объём
конуса также конечен и равен трети произведения высоты на площадь
основания.
где S — площадь основания, H — высота.
Объём кругового конуса равен
Рис.2 Основные элеметы конуса
Основная единица измерения объема – 1метр кубический.
Рис.3 Кубический метр
Для измерения
жидкости используются и другие не традиционные единицы измерений. (Приложение
3,4)
Знания
о конусе широко применяются в жизни - в быту, на производстве, в науке.
Например, в быту мы часто используем вёдра, имеющие форму усечённого конуса,
служащие нам ёмкостью для различных жидкостей и сыпучих веществ. Наши растения,
благоприятно развиваются в цветочных горшках. А эти предметы чаще всего имеют
форму либо прямого кругового конуса, либо форму усечённого конуса.
Самое
широкое использование конической поверхности можно наблюдать при изготовлении
ведер (Приложение 4). Своей кажущейся необычной формой пожарные ведра обязаны
следующим причинам. Лекало такой формы намного снижает расход материала и
затраты при производстве ведра. Коническая форма ведра в несколько раз ускоряет
процесс зачерпывания воды. Возможность взяться за ведро обеими руками (одной из
них за конус) дает возможность более точного попадания в цель. При отсутствии
подручных средств, конусом можно пробить лед, добираясь до воды. Конус можно
воткнуть в землю песок, снег, и ведро не укатится. При ударе у цилиндрического
ведра больше шансов быть раздавленным «в лепешку», чем у конического. В быту
используются ведра – формы усеченного конуса
Воронка: для переливания жидкостей из более
крупной посуды, в более мелкую мы используем воронку. Если присмотреться
к её форме, мы заметим, что она похожа на усечённый конус. Емкости для разлива
сока также имеют коническую форму (Приложение 5).
Идя по улице, мы можем увидеть человека с
интересным приспособлением в руках. Это рупор. Он служит для усиления звука, то
есть он является громкоговорителем. Рупор по форме напоминает трубу граммофона.
(Приложение 6).
Многие музыкальные инструменты имеют конические
элементы. (Приложение 7).
В жизни мы нередко встречаемся с конусами.
Лампа с металлическим абажуром отбрасывает пучок света в виде конуса.
(Приложение 8).
Одной из самых распространённых
канцелярских принадлежностей является ручка. Она имеет конический элемент на
конце. Этим элементом является зауженный конец ручки (Приложение 9).
Дорожный конус — приспособление для
временной разметки дорог (Приложение 10). Дорожный конус используется как
ограждение при проведении дорожно-строительных работ, для
разграничения движения или для обозначения аварийных участков и мест ДТП.
Удобство формы использования конуса можно наблюдать
и кондитерской продукции. Пирожное – заварная трубочка, мороженное в коническом
стаканчике, любимое лакомство многих (Приложение 11)
Это в современном мире принято упаковывать
семечки в специальные пакетики, а раньше семечками торговали бабушки, и самой
ходовой упаковочной тарой для стакана семечек был кулек, представляющий из себя
коническую поверхность, свернутую из газеты. (Приложение 12)
Очень часто мы встречаем конус в элементах
архитектуры. Ярким примером этого наблюдения является конус, который лежит в
основании крыш домов (Приложение 13).
При выполнении практической части исследования
нами были проведены расчеты геометрических параметров конических сосудов.
Создана модель «Геометрические параметры конических сосудов» в программе Microsoft Excel. Разработанная
модель отображает зависимость геометрических параметров конических сосудов друг
от друга. Полученные расчетные данные страниц моделей необходимы для
сравнительного анализа взаимосвязи между основными элементами конуса.
При исследовании использовались конические
поверхности, изготовленные из плотной бумаги, которые являлись моделями
конического сосуда.
Для изготовления моделей был построены два круга
радиуса 10 см, один из которых разделили на 8 равных частей, другой на 6 частей.
Круги, имеющие восемь и шесть секторов, служили шаблонами для изготовления 11
конических поверхностей (Приложение 14).
1 модель – коническая поверхность,
изготовленная из 1/8 части круга
2 модель – коническая поверхность,
изготовленная из 2/8=1/4части круга
3 модель – коническая поверхность,
изготовленная из 3/8 части круга
4 модель – коническая поверхность,
изготовленная из 4/8=1/2части круга
5 модель – коническая поверхность,
изготовленная из 5/8части круга
6 модель – коническая поверхность,
изготовленная из 6/8=3/4части круга
7 модель – коническая поверхность,
изготовленная из 7/8 части круга
8 модель – коническая поверхность,
изготовленная из 1/6 части круга
9 модель – коническая поверхность, изготовленная
из 2/6=1/3 части круга
10 модель – коническая поверхность,
изготовленная из 3/6=1/2 части круга
11 модель – коническая поверхность,
изготовленная из 4/6=2/3 части круга
12 модель – коническая поверхность,
изготовленная из 5/6 части круга
Заметим, что модели 4 и 10 при одинаковом
радиусе окружности полностью совпадают.
Конические поверхности получили, скрепив края
круговых секторов с помощью скотча (Приложение 15).
В электронной таблице создаем несколько страниц
для отображения геометрических параметров различных моделей конуса. Первая
страница титульная для создания гиперссылок и интерактивного перехода между
страницами.
Исследование 1.
На отельной странице модели «Геометрические
параметры конического сосуда» для каждой из моделей конической поверхности
создаем таблицу, содержащую значения геометрических параметров конуса. Каждый
из параметров внесен в отдельную строку.
1 параметр – Образующая
конической поверхности.
Вводим значение длины образующей. В нашем
случае длина образующей равна 10см. Для доказательства подтверждения гипотезы
при расчете в модели значение параметра образующей можно поменять.
2 параметр – Радиус
основания конуса.
Радиус основания рассчитывается из формулы
длины окружности основания, которая совпадает с длиной кругового сектора
равного k части круга
радиуса L.
C=k∙2∙π∙L, где k-коэффициент показывающий какую часть круга
взяли для создания конической поверхности
C=2∙π∙R
Формулы (1) и (2) получаем R=(k∙2∙π∙L)/( 2∙π)=k∙L
Итак, R=k∙L
3 параметр – Высота конуса.
Высоту конуса находим по теореме Пифагора,
используя известные параметры радиус и образующей. 
4 параметр – Площадь
боковой поверхности конического сосуда
Площадь боковой поверхности конического сосуда
вычисляем по формуле
Sбоковая=π∙R∙L
5 параметр – Площадь основания
конуса
Площадь основания конуса вычисляем по формуле
Sоснования=π∙R2
6 параметр – Площадь поверхности
конуса
Полная поверхность конуса состоит из боковой
конической поверхности и основания конуса, поэтому она находится как сумма двух
этих параметров.
Площадь поверхности конуса вычисляем по формуле
Sконуса = Sбоковая + Sоснования
7 параметр – Объем конуса
Объем конуса определяем по формуле
Все параметры автоматизировано вычислялись в
электронной таблице. Для каждой модели конуса отдельная страница. Все параметры
вычисляются одинаково. Модели отличаются друг от друга коэффициентом, который
определяется количеством сегментов взятых от круга для изготовления модели
конуса (Приложение 16).
Все данные полученные при вычислениях сводятся в
аналитическую таблицу (Приложение 17).
Таблица 1
Сравнение объемов конических сосудов
|
Модели
Основные элементы конуса
|
1/8 круга
|
2/8 круга
|
3/8 круга
|
4/8 круга
|
5/8 круга
|
6/8 круга
|
7/8 круга
|
|
Радиус
основания полного конуса
|
1,25
|
2,50
|
3,75
|
5,00
|
6,25
|
7,50
|
8,75
|
|
Высота
полного конуса
|
9,92
|
9,68
|
9,27
|
8,66
|
7,81
|
6,61
|
4,84
|
|
Объем
полного конуса
|
16,23
|
63,37
|
136,52
|
226,72
|
319,32
|
389,62
|
388,15
|
|
Радиус
основания 1/2 конуса
|
0,63
|
1,25
|
1,88
|
2,50
|
3,13
|
3,75
|
4,38
|
|
Высота
1/2 конуса
|
4,96
|
4,84
|
4,64
|
4,33
|
3,90
|
3,31
|
2,42
|
|
Объем
1/2 конуса
|
2,03
|
7,92
|
17,06
|
28,34
|
39,92
|
48,70
|
48,52
|
|
Радиус
основания 1/3 конуса
|
0,42
|
0,83
|
1,25
|
1,67
|
2,08
|
2,50
|
2,92
|
|
Высота
1/3 конуса
|
3,31
|
3,23
|
3,09
|
2,89
|
2,60
|
2,20
|
1,61
|
|
Объем
1/3 конуса
|
0,60
|
2,35
|
5,06
|
8,40
|
11,83
|
14,43
|
14,38
|
|
Радиус
основания 1/4 конуса
|
0,31
|
0,63
|
0,94
|
1,25
|
1,56
|
1,88
|
2,19
|
|
Высота
1/4 конуса
|
2,48
|
2,42
|
2,32
|
2,17
|
1,95
|
1,65
|
1,21
|
|
Объем
1/4 конуса
|
0,25
|
0,99
|
2,13
|
3,54
|
4,99
|
6,09
|
6,06
|
|
Отношение
объема 1/2 конуса к полному объему
|
0,125
|
0,125
|
0,125
|
0,125
|
0,125
|
0,125
|
0,125
|
|
Отношение
объема 1/3 конуса к полному объему
|
0,04
|
0,04
|
0,04
|
0,04
|
0,04
|
0,04
|
0,04
|
|
Отношение
объема 1/4 конуса к полному объему
|
0,02
|
0,02
|
0,02
|
0,02
|
0,02
|
0,02
|
0,02
|
|
Модели
Основные элементы конуса
|
1/6 круга
|
2/6 круга
|
3/6 круга
|
4/6 круга
|
5/6 круга
|
|
Радиус
основания полного конуса
|
1,67
|
3,33
|
5,00
|
6,67
|
8,33
|
|
Высота
полного конуса
|
9,86
|
9,43
|
8,66
|
7,45
|
5,53
|
|
Объем
полного конуса
|
28,68
|
109,7
|
226,72
|
346,90
|
401,99
|
|
Радиус
основания 1/2 конуса
|
0,83
|
1,67
|
2,50
|
3,33
|
4,17
|
|
Высота
1/2 конуса
|
4,93
|
4,71
|
4,33
|
3,73
|
2,76
|
|
Объем
1/2 конуса
|
3,59
|
13,71
|
28,34
|
43,36
|
50,25
|
|
Радиус
основания 1/3 конуса
|
0,56
|
1,11
|
1,67
|
2,22
|
2,78
|
|
Высота
1/3 конуса
|
3,29
|
3,14
|
2,89
|
2,48
|
1,84
|
|
Объем
1/3 конуса
|
1,06
|
4,06
|
8,40
|
12,85
|
14,89
|
|
Радиус
основания 1/4 конуса
|
0,42
|
0,83
|
1,25
|
1,67
|
2,08
|
|
Высота
1/4 конуса
|
2,47
|
2,36
|
2,17
|
1,86
|
1,38
|
|
Объем
1/4 конуса
|
0,45
|
1,71
|
3,54
|
5,42
|
6,28
|
|
Отношение
объема 1/2 конуса к полному объему
|
0,125
|
0,125
|
0,125
|
0,125
|
0,125
|
|
Отношение
объема 1/3 конуса к полному объему
|
0,04
|
0,04
|
0,04
|
0,04
|
0,04
|
|
Отношение
объема 1/4 конуса к полному объему
|
0,02
|
0,02
|
0,02
|
0,02
|
0,02
|
Исследование 2.
Для составленных моделей в электронной таблице
добавляем страницу для анализа отношений изменения высоты при изменении объема
конуса в 1/2 , 1/3 и 1/4 раза.
Для вычисления высоты конуса при заданном
объеме воспользуемся свойством подобных конусов: отношение объемов двух
подобных конусов будет равно кубу отношения его линейных размеров 
.
Следовательно 
.
Также используем теорему об отношении площадей
двух подобных фигур. 
.
Для половины объема конуса площадь основания
будет вычисляться так
.
Аналогично вычислим площадь основания для
трети и четверти объема конуса.
Из формулы объема конуса 
определим высоту конуса
.
Произведем вычисления для половины, трети и
четверти объема полного конуса.
В электронной таблице копируем значения
объемов конусов для всех моделей. Вычисляем значения половины, трети и четверти
объемов конусов. Для каждого случая определяем коэффициент подобия. И вычисляем
значение основания конуса для половины объема конуса, трети конуса и его
четверти. Как следствие вычисляем высоту неполного конуса. Для анализа находим
отношение высоты половины, трети и четверти объема конуса к полному объему
конуса.
Таблица 2
Сравнение высот конических сосудов
|
Модели
Основные элементы конуса
|
1/8 круга
|
2/8 круга
|
3/8 круга
|
4/8 круга
|
5/8 круга
|
6/8 круга
|
7/8 круга
|
|
Объем
полного конуса
|
16,23
|
63,37
|
136,52
|
226,72
|
319,32
|
389,62
|
388,15
|
|
Основание
полного конуса
|
4,91
|
19,63
|
44,18
|
78,54
|
122,72
|
176,71
|
240,53
|
|
Высота
полного конуса
|
9,92
|
9,68
|
9,27
|
8,66
|
7,81
|
6,61
|
4,84
|
|
1/2
объема конуса
|
8,12
|
31,69
|
68,26
|
113,36
|
159,66
|
194,81
|
194,08
|
|
Коэффициент
подобия
|
1,26
|
1,26
|
1,26
|
1,26
|
1,26
|
1,26
|
1,26
|
|
Основание
1/2 объема конуса
|
3,09
|
12,37
|
27,83
|
49,48
|
77,31
|
111,32
|
151,52
|
|
Высота
1/2 объема конуса
|
7,87
|
7,68
|
7,36
|
6,87
|
6,20
|
5,25
|
3,84
|
|
Отношение
высоты 1/2объема конуса к полному объему конуса
|
0,79
|
0,79
|
0,79
|
0,79
|
0,79
|
0,79
|
0,79
|
|
1/3
объема конуса
|
5,41
|
21,12
|
45,51
|
75,57
|
106,44
|
129,87
|
129,38
|
|
Коэффициент
подобия
|
1,44
|
1,44
|
1,44
|
1,44
|
1,44
|
1,44
|
1,44
|
|
Основание
1/3 объема конуса
|
2,36
|
9,44
|
21,24
|
37,76
|
59,00
|
84,96
|
115,63
|
|
Высота
1/3 объема конуса
|
6,88
|
6,71
|
6,43
|
6,00
|
5,41
|
4,59
|
3,36
|
|
Отношение
высоты 1/3 объема конуса к полному объему конуса
|
0,69
|
0,69
|
0,69
|
0,69
|
0,69
|
0,69
|
0,69
|
|
1/4
объема конуса
|
4,06
|
15,84
|
34,13
|
56,68
|
79,83
|
97,40
|
97,04
|
|
Коэффициент
подобия
|
1,59
|
1,59
|
1,59
|
1,59
|
1,59
|
1,59
|
1,59
|
|
Основание
1/4 объема конуса
|
1,95
|
7,79
|
17,53
|
31,17
|
48,70
|
70,13
|
95,45
|
|
Высота
1/4 объема конуса
|
6,25
|
6,10
|
5,84
|
5,46
|
4,92
|
4,17
|
3,05
|
|
Отношение
высоты 1/4 объема конуса к полному объему конуса
|
0,25
|
0,25
|
0,25
|
0,25
|
0,25
|
0,25
|
0,25
|
Сравнение высот жидкостей конических сосудов
|
Модели
Основные элементы конуса
|
1/6 круга
|
2/6 круга
|
3/6 круга
|
4/6 круга
|
5/6 круга
|
|
Объем
полного конуса
|
28,68
|
109,70
|
226,72
|
346,90
|
401,99
|
|
Основание
полного конуса
|
8,73
|
34,91
|
78,54
|
139,63
|
218,17
|
|
Высота
полного конуса
|
9,86
|
9,43
|
8,66
|
7,45
|
5,53
|
|
1/2
объема конуса
|
14,34
|
54,85
|
113,36
|
173,45
|
200,99
|
|
Коэффициент
подобия
|
1,26
|
1,26
|
1,26
|
1,26
|
1,26
|
|
Основание
1/2 объема конуса
|
5,50
|
21,99
|
49,48
|
87,96
|
137,44
|
|
Высота
1/2 объема конуса
|
7,83
|
7,48
|
6,87
|
5,92
|
4,39
|
|
Отношение
высоты 1/2объема конуса к полному объему конуса
|
0,79
|
0,79
|
0,79
|
0,79
|
0,79
|
|
1/3
объема конуса
|
9,56
|
36,57
|
75,57
|
115,63
|
134,00
|
|
Коэффициент
подобия
|
1,44
|
1,44
|
1,44
|
1,44
|
1,44
|
|
Основание
1/3 объема конуса
|
4,20
|
16,78
|
37,76
|
67,13
|
104,88
|
|
Высота
1/3 объема конуса
|
6,84
|
6,54
|
6,00
|
5,17
|
3,83
|
|
Отношение
высоты 1/3 объема конуса к полному объему конуса
|
0,69
|
0,69
|
0,69
|
0,69
|
0,69
|
|
1/4
объема конуса
|
7,17
|
27,43
|
56,68
|
86,73
|
100,50
|
|
Коэффициент
подобия
|
1,59
|
1,59
|
1,59
|
1,59
|
1,59
|
|
Основание
1/4 объема конуса
|
3,46
|
13,85
|
31,17
|
55,41
|
86,58
|
|
Высота
1/4 объема конуса
|
6,21
|
5,94
|
5,46
|
4,70
|
3,48
|
|
Отношение
высоты 1/4 объема конуса к полному объему конуса
|
0,25
|
0,25
|
0,25
|
0,25
|
0,25
|
Заключение
В результате
выполнения исследовательской работы нами были изучены основные элементы конуса.
Были изготовлены модели конических сосудов разных объемов, для каждого из
которых была проверена выдвигаемая гипотеза. Результаты измерений и анализ
данных подтверждают справедливость гипотезы. Из вышеприведенных таблиц мы видим,
что отношение
объема жидкостей половины сосуда к объему жидкости полного сосуда действительно
равно 0,125, что подтверждает первый пункт гипотезы.
Сравнительный же анализ высот жидкостей
показал, что отношение высот половины жидкостей сосуда к высоте полного сосуда
в среднем рано 0,79, что равно предполагаемому показанию 4/5. Это подтверждает
второй пункт гипотезы.
Анализируя
таблицу, мы видим, что эти показания подтверждаются для любой из одиннадцати
моделей. А если поменять длину образующей, т.е. радиус окружности круга для
изготовления шаблона наших моделей, легко убедиться, что показания отношений
сохраняются. И это подтверждает третий пункт гипотезы
Энциклопедии:
1. Математика: Школьная энциклопедия – 2003
Книги:
2. Андреев Н.Н., Коновалов С.
П., Панюнин Н. М, Математическая составляющая, М.: Фонд «Математические этюды»,
2015 год
3. Атанасян Л.С и др. Геометрия
10-11. Учебник для общеобразовательных школ, М.: Просвещение, 2015
Журналы:
4. Конический фужер. Журнал
«Наука и жизнь», №12, 2015, стр.95.
Интернет- ресурсы:
5. http://etudes.ru - сайт «Математические этюды»
6. http://scolaire.ru/russkiye_meri.php - сайт «Старые русские меры»
7. http://festival.1september.ru/articles/622383/ фестиваль педагогических идей «открытый урок Синица А.А., «Измерение
объема. Единицы объема»
Приложение 1
Наполнение конического бокала жидкостью 
Приложение 2
Дольные единицы м3:
1 м3 = 1000 дм3 =1000000
см3 = 1000000000 мм3
1 м3 =
100 дм3 =106 см3 = 109 мм3
1 л = 1 дм3 =
0,001 м3
1 см3 =
0,001 дм3 = 0,000001 м3 = 10-6 м3
1 мм3 =
0,001 см3 = 0,000001 дм3 = 0,000000001 м3 =
10-9 м3
Приложение 3
Единицы измерения объема
|
Русские меры объема
|
Английские меры объема
|
|
Ведро - 12 дм3
|
Бушель - 36,4 дм3
|
|
Бочка - 490 дм3
|
Галлон - 4,5 дм3
|
|
Штоф - 1,23 дм3 = 10 чарок
|
Баррель (сухой) - 115,628 дм3
|
|
Чарка - 0,123 дм3=0,1 штофа= 2 шкалика
|
Баррель (нефтяной) - 158,988 дм3
|
|
Шкалик - 0,06 дм 3 = 0,5 чарки
|
Английский баррель для сыпучих веществ - 163,65 дм3
|
Приложение 4
Ведра
Приложение 5.
Воронка Тара для
сока
Приложение
6.
Рупор.
Граммофон.
Приложение 7
Духовые инструменты
Приложение 8 Приложение
9
Абажур лампы Наконечник
шариковой ручки
Приложение 10.
Дорожные конусы
Приложение
11 Приложение
12.
Рожок для мороженного Конический
кулек для семечек
Приложение 13
Приложение 14
Шаблон для изготовления конической поверхности
Приложение 15
Модели конических поверхностей
Приложение 16
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.