Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа "Как быстро считать устно.Интересные приёмы быстрого счёта."
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Исследовательская работа "Как быстро считать устно.Интересные приёмы быстрого счёта."

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ исслед. раб..ppt

библиотека
материалов
Исследовательская работа по математике Коновалов Андрей - 8класс учитель – М...
Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школ...
Объектом исследования являются алгоритмы счета. Предметом исследования высту...
Задачи: - раскрыть феномен « Чудо - счётчиков»; - описать старинные способы...
Гипотеза: в старину говорили: « Умножение – мое мученье». Значит, раньше был...
1) Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами со...
3)Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий? 4) А хотели...
По результатам опроса можно сделать вывод, что в большинстве случаев современ...
Изучение старинных способов умножения показало, что это арифметическое дейст...
9 1

УЖЕ ЧЕРЕЗ 10 МИНУТ ВЫ МОЖЕТЕ ПОЛУЧИТЬ ДИПЛОМ

от проекта "Инфоурок" с указанием данных образовательной лицензии, что важно при прохождении аттестации.


Если Вы учитель или воспитатель, то можете прямо сейчас получить документ, подтверждающий Ваши профессиональные компетенции. Выдаваемые дипломы и сертификаты помогут Вам наполнить собственное портфолио и успешно пройти аттестацию.


Список всех тестов можно посмотреть тут - https://infourok.ru/tests

Описание презентации по отдельным слайдам:

№ слайда 1 Исследовательская работа по математике Коновалов Андрей - 8класс учитель – М
Описание слайда:

Исследовательская работа по математике Коновалов Андрей - 8класс учитель – Макина Л.Н.

№ слайда 2 Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школ
Описание слайда:

Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Не каждый школьник, обучаясь в школе, знает, какую профессию он выберет в будущем, но каждый понимает, что математика необходима для решения многих жизненных задач: расчеты в магазине, оплата за коммунальные услуги, расчет семейного бюджета и т.д. Кроме того, всем школьникам необходимо сдавать экзамены в 9-м классе и в 11-м классе, а для этого, обучаясь с первого класса, необходимо качественно осваивать математику и прежде всего нужно научиться считать. Актуальность моего исследования состоит в том, что в наше время всё чаще на помощь ученикам приходят калькуляторы, и все большее количество учеников не может считать устно. Поэтому в своей работе я хочу показать, как можно считать быстро и правильно и что процесс выполнения действий может быть не только полезным, но и интересным занятием.

№ слайда 3 Объектом исследования являются алгоритмы счета. Предметом исследования высту
Описание слайда:

Объектом исследования являются алгоритмы счета. Предметом исследования выступает процесс вычисления. Цель исследования: изучить нестандартные приемы вычислений и экспериментальным путем выявить причину отказа от использования этих способов при обучении математике современных школьников.

№ слайда 4 Задачи: - раскрыть феномен « Чудо - счётчиков»; - описать старинные способы
Описание слайда:

Задачи: - раскрыть феномен « Чудо - счётчиков»; - описать старинные способы умножения и опытно-экспериментальным путем выявить трудности в их использовании; - рассмотреть некоторые приемы устного умножения и на конкретных примерах показать преимущества их использования.

№ слайда 5 Гипотеза: в старину говорили: « Умножение – мое мученье». Значит, раньше был
Описание слайда:

Гипотеза: в старину говорили: « Умножение – мое мученье». Значит, раньше было сложно и трудно умножать. Прост ли наш современный способ умножения? При работе я пользовался следующими методами: -поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет; -практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета; -анализ полученных в ходе исследования данных

№ слайда 6 1) Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами со
Описание слайда:

1) Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку? 2) Умеете ли вы умножать, складывать, вычитать числа столбиком, делить «уголком»?

№ слайда 7 3)Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий? 4) А хотели
Описание слайда:

3)Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий? 4) А хотели бы узнать?

№ слайда 8 По результатам опроса можно сделать вывод, что в большинстве случаев современ
Описание слайда:

По результатам опроса можно сделать вывод, что в большинстве случаев современные школьники не знают других способов выполнения действий , так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.

№ слайда 9 Изучение старинных способов умножения показало, что это арифметическое дейст
Описание слайда:

Изучение старинных способов умножения показало, что это арифметическое действие было трудным и сложным из-за многообразия способов и громоздкости их выполнения. Современный способ умножения прост и доступен всем. При знакомстве с научной литературой обнаружил более быстрые и надежные способы вычислений. Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный в работе. Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки устного счета.

Выбранный для просмотра документ моя работа.doc

библиотека
материалов



Филиал муниципального общеобразовательного учреждения средняя общеобразовательная школа с углублённым изучением отдельных предметов с. Тербуны в с. Берёзовка.






Как быстро считать устно. Интересные приёмы быстрого счёта.


Исследовательская работа по математике



Коновалов Андрей - 6класс

учитель – Макина Л.Н.










с.Берёзовка, 2013

hello_html_m2459a0af.gif

СОДЕРЖАНИЕ



Введение.................................................................................стр.3

  1. История счёта.

1.1. Как люди научились считать…………….................стр.7

1.2. Счётные устройства......................................................стр.8

1.3. «Чудо- счётчики»..............................................................

2. Старинные способы умножения

2.1. Русский крестьянский способ умножения…..………… 2. 2.Метод «решётки»……………….…….. …………………

2.3. Индийский способ умножения………………………………

2.4. Китайский способ умножения…………………………………

2.5.Египетский способ умножения....................................

3.Таблица умножения Оконешникова..........................................

4. Устный счет – гимнастика ума

4.1. Умножение и деление на4……………..……………………….

4.2. Умножение и деление на5……………………………………...

4.3. Умножение на 25………………………………………………

4.4. Умножение на 1,5………………………………………………

4.5. Умножение на 9……….………………………………………

4.6. Умножение на 11………………………………………………

4.7. Умножение трехзначного числа на 101……………………

4.7. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5 …

4.8. Возведение в квадрат числа, близкого к 50……………….

4.9. Приёмы быстрого умножения .............................................

Заключение………………………………………………………

Список использованной литературы……………………………










Что такое умножение?
Это действие сложения.
Но не слишком-то приятное,
Потому что мно-го-крат-ное…
Тим Собакин

Попытаемся сделать это действие

приятным и увлекательным.

Введение

Курс математики располагает широкими возможностями в интеллектуальном развитии человека, в повышении его общей культуры.  Общеизвестно, что наряду с формированием основных математических понятий, изучением свойств чисел, арифметических действий в начальном обучении важнейшее место всегда занимало формирование у школьников вычислительных навыков и умений. Сегодня значимость названных навыков уменьшилась в связи с широким внедрением во все сферы человеческой деятельности электронной вычислительной техники, использование которой, несомненно, облегчает процесс вычислений. Однако МК не всегда может оказаться под рукой, да и пользоваться им без осознания вычислительных навыков невозможно. Из сказанного следует, что владение навыками вычислений необходимо, ведь своя голова надежней, чем самые современные  вычислительные средства.

За простым действием умножения скрываются тайны истории математики. Случайно услышанные слова «умножение решеткой», «шахматным способом» заинтриговали. Захотелось узнать эти и другие способы умножения, сравнить их с нашим сегодняшним действием умножения.

Я остановлюсь более подробно на таком качестве вычислительного навыка как рациональность.  Рациональность вычислений— это вычислительные операции из возможных, «выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия». Применение рациональных вычислений воспитывает у школьников интерес к математике, вызывает желание научиться вычислять наиболее быстрыми, лёгкими и удобными способами.


Объектом исследования являются алгоритмы счета.

Предметом исследования выступает процесс вычисления.

Цель: изучить нестандартные приемы вычислений и экспериментальным путем выявить причину отказа от использования этих способов при обучении математике современных школьников.

Задачи:

- раскрыть феномен « Чудо - счётчиков»;

- описать старинные способы умножения и опытно-экспериментальным путем выявить трудности в их использовании;

- рассмотреть некоторые приемы устного умножения и на конкретных примерах показать преимущества их использования.

Гипотеза: в старину говорили: « Умножение – мое мученье». Значит, раньше было сложно и трудно умножать. Прост ли наш современный способ умножения?

При работе я пользовался следующими методами:

-поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

-практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;

-анализ полученных в ходе исследования данных.

Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков усиливает интерес учащихся к математике и содействует развитию математических способностей.



Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был проведен устный опрос. Было опрошено 17 учащиеся 5-7 классов.


Результаты анкетирования

( На диаграммах представлены в процентах доли утвердительных ответов учащихся).

1) Нужно ли уметь выполнять арифметические действия с натуральными числами современному человеку?

hello_html_54053fda.gif






2) Умеете ли вы умножать, складывать,

вычитать числа столбиком, делить «уголком»?

hello_html_4fa47592.gif






3)Знаете ли вы другие способы выполнения арифметических действий?


hello_html_5286ec99.gif










4) А хотели бы узнать?



hello_html_m385bc2c1.gif










По результатам опроса можно сделать вывод, что в большинстве случаев современные школьники не знают других способов выполнения действий , так как редко обращаются к материалу, находящемуся за пределами школьной программы.





  1. История счёта

1.1.Как люди научились считать.

Число - одно из основных понятий математики - родилось в глубокой древности в связи с практической необходимостью. Сначала люди «на глаз» сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей и т.д.

Затем в человеческом языке появились числительные и люди смогли называть число предметов, животных, дней. Таких числительных было мало и их число зависело от под считываемых предметов. Одно и тоже число называли разными словами, если, например, считали людей, рыб, лодки, сети, звёзды, палки. Мы и сейчас используем разные неопределённые числительные со значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча», «пучок» и другие.

С развитием производства и торгового обмена люди стали понимать, что общего у трёх лодок и трёх топоров, десяти стрел и десяти орехов. Племена часто вели обмен «предмет на предмет». Например, обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Становилось ясно, что 5 — одно и тоже число и для кореньев и для рыб. Значит, и называть их можно одним словом.

Постепенно люди начали использовать для счёта камешки, палочки, части собственного тела. Вот как известный учёный Н.Н.Миклухо-Маклай описывает счёт папуасов: «Папуас загибает один за другим пальцы рук, причём издаёт определённый звук, например, «бе, бе, бе». Досчитав до 5, он говорит «Ибон - бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет «бе, бе...» пока не дойдёт до «ибон - али» (две руки). Затем он идёт дальше, приговаривая «бе, бе, ...» и восклицает «самба - бе» (одна нога) и «самба - али» (две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого». Руки и ноги — это первый инструмент для счёта.

А как записывали числа?

До возникновения письменности использовали зарубки на палках, насечки на костях, узелки на верёвках. Найденная волчья кость в Дольни-Вестонице (Чехословакия) имела 55 насечек, сделанных 25000 лет назад.

За несколько столетий до новой эры изобрели способ записи чисел, при котором цифрами служили буквы обычного алфавита. Такой алфавитной нумерацией пользовались до XVII века. Чтобы отличить «настоящие» буквы от чисел, над буквами-числами ставили чёрточку (на Руси эта чёрточка называлась «титло»). Тогда не было единой позиционной системы во всех нумерациях и поэтому было очень трудно выполнять действия.

Изобретение индийцами десятичной позиционной нумерации в 6 веке считается одним из крупнейших достижений человечества. Индийская нумерация и индийские цифры стали известны в Европе от арабов и обычно их называют арабскими.


    1. Счётные устройства


Математики во все времена мечтали о таких помощниках, которые освободили бы их из плена долгих и утомительных вычислений. И такие устройства стали изобретать.

Одним из первых вычислительных устройств был АБАК (от греческого слова «abax» -доска). Эта счётная рама появилась в 5 веке до н.э., а пользовались ею до XVIII века. Известны несколько разновидностей абака: греческий, римский, китайский, японский и другие. Русский абак-это счёты. Они появились в 16 веке и иногда ими пользуются ещё и в наши дни.

За абаками были созданы АРИФМОМЕТРЫ. Они были сконструированы независимо друг от друга разными изобретателями: итальянцем Леонардо да Винчи (XV век),

немецким учёным В. Шиккардом (XVII век),

французским математиком Блез Паскалем (XVII век) и другими.

Арифмометры — это настольная механическая вычислительная машина для выполнения четырёх математических действий. Русский арифмометр был сконструирован инженером Одиером в 1874 году.(4)

Долгое время популярным счётным устройством была ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ЛИНЕЙКА, изобретённая лондонским профессором Гунтером в 1625 году. Служила она до XX века и была вытеснена микрокалькуляторами.

Первую программно-управляемую вычислительную машину создал английский учёный Ч.Беббидж в XVIII веке.

Первую электронно-вычислительную машину «ЭНИАК « разработали в США в 1945 году.

Первая отечественная ЭВМ была разработана в 1947 году под руководством академика С.А.Лебедева. С его именем связано дальнейшее развитие российской вычислительной техники.

Современный помощник вычислений – микрокалькулятор - прибор, позволяющий производить сложные вычисления за короткий промежуток времени. Микрокалькуляторы удобны в эксплуатации: лёгкие, размеры их невелики. Их часто можно встретить встроенными в часы, мобильные телефоны. Но, несмотря уже на имеющиеся удобства, процесс развития вычислительной техники продолжается.

1.3 .«Чудо — счётчики»

Встречаются люди с необыкновенными способностями, которые по быстроте устных вычислений могут состязаться с ЭВМ. Их называют «чудо - счётчиками». И таких людей немало.

Рассказывают, что отец Гаусса, рассчитываясь со своими рабочими в конце недели, прибавлял оплату к каждому дневному заработку за сверхурочные часы. Однажды после того как Гаусс-отец закончил расчёты, следивший за операциями отца ребёнок, которому было 3 года, воскликнул: «Папа, подсчёт не верен! Вот такая должна быть сумма!» Вычисления повторили и с удивлением убедились, что мальчик указал правильную сумму.

Мадмуазель Осака-японка, англичанин Бакстон, американец Фаллер и другие производили в уме быстро и точно сложнейшие вычисления.

В Грузии живёт Арон Чикашвили. Как-то друзья решили проверить его возможности «чудо-счётчика». Его попросили сосчитать сколько слов и букв скажет диктор, комментирующий второй тайм футбольного матча. Одновременно был включен магнитофон. Ответ последовал, как только диктор сказал последнее слово: 17427 букв и 1835 слов. На проверку ушло ... 5 часов. Ответ оказался правильным.

Проводились соревнования ЭВМ и человека в институте кибернетики Украинской академии наук. В соревновании участвовал молодой счётчик-феномен Игорь Шелушков и ЗВМ «Мир». Машина за несколько секунд сделала множество сложных операций, но победителем оказался Игорь Шелушков.

В Сиднейском университете в Индии тоже проходили соревнования человека и машины. Шакунтала Деви тоже опередила ЭВМ.

Большинство таких людей обладает прекрасной памятью и имеют дарование. Но некоторые из них никакими особыми способностями к математике не обладают. Они знают секрет! А секрет этот в том, что они усвоили приёмы быстрого счёта, запомнили несколько специальных формул. Значит, и мы тоже можем, пользуясь этими приёмами, быстро и точно считать.

2. Старинные способы умножения


2.1. Русский крестьянский способ умножения


В России 2-3 века назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название крестьянского (существует мнение, что он берет начало от египетского).

Пример: умножим 47 на 35,

- запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;

- левое число будем делить на 2, правое – умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);

- деление заканчивается, когда слева появится единица;

- вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа;

- далее оставшиеся справа числа складываем – это результат.


hello_html_m33727f9.jpg 35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645.



2.2. Метод «решетки»

Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль - Хорезми жил и работал в Багдаде. Учёный работал в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные.

В своей «Книге об индийском счете» учёный описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «методом решётки»

Пусть нужно умножить 25 и 63.

Начертим таблицу, в которой две клетки по длине и две по ширине Запишем одно число по длине, другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо)- 1575.

hello_html_m39b2d6a9.png



hello_html_m6e5cd604.gif Нами рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.

Рассмотрим еще один пример: перемножим 987 и 12:

- рисуем прямоугольник 3 на 2;

- затем квадратные клетки делим по диагонали;

- вверху таблицы записываем число 987;

- слева таблицы число 12 - теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр – сомножителей, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки выше диагонали, единицы ниже;

- после заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали;- результат записываем справа и внизу таблицы .

987 ∙ 12=11844


hello_html_m5505e0ba.jpg

Этот алгоритмом умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и Италии.

Неудобство этого способа заключается в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

2.3 Индийский способ умножения

Некоторые опытные учителя в прошлом считали, что этот способ должен заменить в нашей школе общепринятый способ умножения.

Американцам он настолько понравился, что они его даже так и назвали «Американский способ». Однако им пользовались жители Индии еще в VI в. н. э., и правильнее его назвать «индийским способом». Перемножим два каких - либо двузначных числа, скажем 23 на 12. Я сразу пишу, что получится.

х23

12

276


Вы видите: очень быстро получен ответ. Но как он получен?

Первый шаг: х23 говорю: «2 х 3 = 6»

12

6


Второй шаг: х23 говорю: « 2 х 2 + 1 х 3 = 7»

12

76


Третий шаг: х23 говорю: «1 х 2 = 2».

12 пишу 2 левее цифры 7,получаю 276

276



Мы познакомились с этим способом на очень простом примере без перехода через разряд. Однако исследования показали, что им можно пользоваться и при умножении чисел с переходом через разряд, а также при умножении многозначных чисел. Приведу примеры:


х528 х24 х15 х18 х317

123 30 13 19 12

64944 670 195 342 3804


На Руси этот способ был известен как способ умножения крестиком.

В этом «крестике» и заключается неудобство умножения, легко запутаться, к тому же трудно удерживать в уме все промежуточные произведения, результаты которых затем надо сложить.

2.4 Китайский Способ умножения


Пример12 × 321 = 3852
Рисуем первое число сверху вниз, слева на право: одна зелёная палочка и две оранжевых.
Рисуем второе число снизу вверх, слева на право: три голубых палочки , две красненых, одну сиреневую.

Теперь простым карандашиком по рисунку прогуляемся, точки пересечения чисел-палочек на части разделим и приступим к подсчёту точек. Двигаемся справа налево (по часовой стрелке): 2583Число-результат будем «собирать» слева направо (против часовой стрелки) ; получили 3852.

hello_html_49f37cc9.png


Пример: 24 × 34 = 816
В этом примере есть нюансы. При подсчёте точечек в первой части получилось16. Единичку отправляем-прибавляем к точкам второй части 20 + 1)…

hello_html_787a4012.png


При работе с более «серьёзными» числами рисовательный способ умножения стал чересчур громоздким, а умножение столбиком пошло в радость.

2.5 . Египетский способ умножения


Обозначения чисел, которые использовались в древности, были более или менее пригодны для записи результата счета. А вот выполнять арифметические действия с их помощью было очень сложно, особенно это касалось действия умножения . Выход из этой ситуации нашли египтяне, поэтому способ получил название египетского. Они заменили умножение на любое число - удвоением, то есть сложением числа с самим собой.

Пример: 34 ∙ 5=34∙ (1 + 4) = 34∙ (1 + 2 ∙ 2) = 34 ∙ 1+ 34 ∙ 4.


Т.к. 5 = 4 + 1, то для получения ответа оставалось сложить числа, стоящие в правом столбике против цифр 4 и 1 , т.е. 136 + 34 = 170.

hello_html_m35a4ac94.jpgИтак, рассмотренные старинные способы умножения показывают, что используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и известен он был не всегда. Однако, он достаточно быстр и наиболее удобен.

 

3. Таблица Оконешникова.

В этом разделе я рассмотрю новый способ умножения, о котором недавно появились сообщения. 
Школьники смогут научиться устно складывать и умножать миллионы, биллионы и даже секстиллионы с квадриллионами. А поможет им в этом кандидат философских наук Василий Оконешников, по совместительству изобретатель новой системы устного счёта. Учёный утверждает, что человек способен запоминать огромный запас информации, главное – как эту информацию расположить.
По мнению самого учёного, наиболее выигрышной в этом отношении является девятеричная система – все данные просто располагают в девяти ячейках, расположенных, как кнопочки на калькуляторе.

hello_html_m9a8370f.png



По мысли учёного, прежде чем стать вычислительным «компьютером», необходимо вызубрить созданную им таблицу. Цифры в ней распределены в девяти клетках непросто. Как утверждает Оконешников, глаз человека и его память так хитро устроены, что информация, расположенная по его методике, запоминается во-первых, быстрее, а во-вторых – намертво .
Таблица разделена на 9 частей. Расположены они по принципу мини калькулятора: слева в нижнем углу «1», справа в верхнем углу «9». Каждая часть – таблица умножения чисел от 1 до 9 (опять же в левом нижнем углу на 1, рядом правее на 2 и т.д., по той же «кнопочной» система). Как ими пользоваться?
Например, требуется умножить 9 на 842. Сразу вспоминаем большую «кнопку» 9 (она вверху справа и на ней мысленно находим маленькие кнопочки 8,4,2 (они также расположены как на калькуляторе). Им соответствуют числа 72, 36, 18. Полученные числа складываем особо: первая цифра 7 (остаётся без изменения), 2 мысленно складываем с 3, получаем 5 – это вторая цифра результата, 6 складываем с 1, получаем третью цифру -7, и остаётся последняя цифра искомого числа – 8. В результате получилось 7578.
Если при сложении двух цифр получается число, превосходящее девять, то его первая цифра прибавляется к предыдущей цифре результата, а вторая пишется на «своё» место. .
С помощью матричной таблицы Оконешникова, по утверждению самого автора, можно изучать и иностранные языки, и даже таблицу Менделеева. Новая методика была опробована в нескольких российских школах и университетах. Минобразования РФ разрешило публиковать в тетрадях в клеточку вместе с привычной таблицей Пифагора новую таблицу умножения – пока просто для знакомства.

4. Устный счет – гимнастика ума

4.1. Умножение и деление на 4

Чтобы умножить число на 4, его дважды удваивают.

Например,

214 * 4 = (214 * 2) * 2 = 428 * 2 = 856

537 * 4 = (537 * 2) * 2 = 1074 * 2 = 2148

Чтобы число разделить на 4 , его дважды делят на 2.

Например,

124 : 4 = (124 : 2) : 2 = 62 : 2 = 31

2648 : 4 = (2648 : 2) : 2 = 1324 : 2 = 662

4.2. Умножение и деление на 5

Чтобы умножить число на 5, нужно его умножить на 10/2 , то есть умножить на 10 и разделить на 2.

Например,

138 * 5 = (138 * 10) : 2 = 1380 : 2 = 690

548 * 5 (548 * 10) : 2 = 5480 : 2 = 2740

Чтобы число разделить на 5, нужно умножить его на 0,2, то есть в удвоенном исходном числе отделить запятой последнюю цифру.

Например,

345 : 5 = 345 * 0,2 = 69,0

51 : 5 = 51 * 0,2 = 10,2


4.3. Умножение на 25

Чтобы умножить число на 25, нужно его умножить на 100/4, то есть умножить на 100 и разделить на 4.

Например,

348 * 25 = (348 * 100) : 4 = (34800 : 2) : 2 = 17400 : 2 = 8700



4.4. Умножение на 1,5

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

Например,

26 * 1,5 = 26 + 13 = 39

228 * 1,5 = 228 + 114 = 342

127 * 1,5 = 127 + 63,5 = 190,5


4.5. Умножение на 9

Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число. Например,

241 * 9 = 2410 – 241 = 2169

847 * 9 = 8470 – 847 = 7623


4.6. Умножение на 11

1 способ. Чтобы число умножить на 11, к нему приписывают 0 и прибавляют исходное число. Например:

47 * 11 = 470 + 47 = 517

243 * 11 = 2430 + 243 = 2673

2 способ. Если хочешь умножить число на 11, то поступай так: запиши число, которое нужно умножить на 11, а между цифрами исходного числа вставь сумму этих цифр. Если сумма получается двузначное число, то 1 прибавляем к первой цифре исходного числа. Например:

hello_html_5ba8bf37.gifhello_html_m2e0eef0d.gifhello_html_6282e69c.gifhello_html_m372a1526.gif 45 * 11 = 495 87 * 11 = 967

4 (4+5) 5 8 (8+7) 7

Такой способ подходит только для умножения двузначных чисел.




4.7. Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6) на число десятков, увеличенное на 1 (на 6+1 = 7), и к полученному числу приписывают 25

(6 * 7 = 42 Ответ: 4225)


Например:

9hello_html_m4bc0f977.gif52 = 9025

9 *10

1hello_html_m752a9672.gif252 = 15625

12 * 13


4.8. Возведение в квадрат числа, близкого к 50

Если хочешь возвести в квадрат число, близкое к 50, но большее 50, то поступай так:

1) вычти из этого числа 25;

2) припиши к результату двумя цифрами квадрат избытка данного числа над 50.

Примеры:

1) 582 = 3364.

Объяснение: 58 – 25 = 33, 82 = 64, 582 = 3364.

2) 672 = 4489

Объяснение: 67 – 25 = 42, 67 – 50 = 17, 172 =289,

672 = 4200 + 289 = 4489.

Если хочешь возвести в квадрат число, близкое к 50, но меньшее 50, то поступай так:

1) вычти из этого числа 25;

2) припиши к результату двумя цифрами квадрат недостатка данного числа до 50.

Примеры:

1) 482 = 2304.

Объяснение: 48 – 25 = 23, 50 – 48 =2, 22 = 4, 482 = 2304.

2) 372 = 1369

Объяснение: 37 – 25 = 12, 50 - 37 = 13, 132 =169,

372 = 1200 + 169 = 1369.

4.9 Другие приемы быстрого умножения.

  1. Как быстро умножить такие числа, как, например, 24 и 26, 63 и 67, 86 и 84 и т.п., то есть, когда в сомножителях десятков поровну, а единицы составляют вместе 10?

Например, надо 73 умножить на 77. Я 7 умножаю на 8 (на 1 больше, чем 7), получается 56 – столько сотен в произведении; затем 3 умножаю на 7, получается 21 – столько единиц в произведении. Значит, если 73 умножить на 77 будет 5621.  

2. Как умножить любые два двузначных числа, близкие к 100 (например, числа 93 и 95).

Надо найти дополнения до 100 к данным числам: для 93 будет 7, а для 95 будет 5. От первого 
данного числа отнимаю дополнение второго: 93 – 5 = 88 – столько будет в произведении сотен; перемножить дополнения: 7 х 5 = 35 – столько будет в произведении единиц. Значит, 93 х 95 = 8835

























Заключение

Описывая старинные способы вычислений и современные приёмы быстрого счёта, я попытался показать, что как в прошлом, так и в будущем, без математики, науки созданной разумом человека, не обойтись.

Изучение старинных способов умножения показало, что это арифметическое действие было трудным и сложным из-за многообразия способов и громоздкости их выполнения.

Современный способ умножения прост и доступен всем.

При знакомстве с научной литературой обнаружил более быстрые и надежные способы умножения. Поэтому изучение действия умножения – тема перспективная.

Возможно, что с первого раза у многих не получится быстро, с ходу выполнять эти или другие подсчеты. Пусть сначала не получится использовать прием, показанный в работе. Не беда. Нужна постоянная вычислительная тренировка. Из урока в урок, из года в год. Она поможет приобрести полезные навыки устного счета.














Литература


1. Ванцян А.Г. Математика: Учебник для 5 класса. - Самара: Издательский

дом «Фёдоров», 1999.

2. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986.

3. Минских Е.М. «От игры к знаниям», М., «Просвещение» 1982г.

4. Свечников А.А. Числа, фигуры, задачи М., Просвещение, 1977г.

5. http://matsievsky.newmail.ru/sys-schi/file15.htm

6. http://sch69.narod.ru/mod/1/6506/hystory.html


















10


Общая информация

Номер материала: ДБ-246046

Похожие материалы