Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Презентации / Исследовательская работа: Как научиться решать тригонометрические уравнения
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Исследовательская работа: Как научиться решать тригонометрические уравнения

библиотека
материалов

hello_html_319b02d0.gifhello_html_m53a562f9.gifhello_html_m67099f80.gifhello_html_16442608.gifhello_html_5d7113a8.gifhello_html_mf9d2c2e.gifhello_html_m7e0cbc08.gifhello_html_m677540c4.gifhello_html_m39f5182b.gifhello_html_m7f1e22ac.gifhello_html_47a4bc43.gifКак научиться решать тригонометрические уравнения?

Тригонометрия – это один из главных разделов в математике. В школьном курсе рассматриваются только простейшие тригонометрические уравнения. Способ решения – самый примитивный. Когда я просматривала экзаменационные материалы, я пришла к выводу, что этих знаний недостаточно. Навыки решения тригонометрических уравнений полезны, а иногда просто необходимы при решении других задач.

Основная трудность при решении тригонометрических уравнений заключается в том, что обнаружить ошибку в решении простой проверкой невозможно.

Целью моей работы является расширение представления о способах решения тригонометрических уравнений.

Что же такое тригонометрия, как и кем она образована.

Тригонометрия - это микро раздел математики, в котором изучаются зависимости между величинами углов и длинами сторон треугольников, а также алгебраические тождества тригонометрических функций. Очень важной частью этого микро раздела, имеющей колоссальное значение в области практического применения, является решение тригонометрических уравнений. Они позволяют проводить измерения там, где их невозможно произвести сравнением с эталоном. Например, в астрономии, где в большинстве случаев невозможно использовать какой-либо измерительный прибор.800px-Rome_trireme_drawing

Как и все науки, тригонометрия возникла из потребностей жизни. Развитие мореплавания требовало умения определять положение корабля в открытом море по солнцу и звездам. Войны, которые правители вели между собой, требовали умения определять большие расстояния и составлять карты местности. Землепашцу надо было знать смену времен года, чтобы своевременно производить, необходимы сельскохозяйственные работы и т. д. Все это и многое другое привело к необходимости развивать астрономию, а развитие астрономии было немыслимо без развития тригонометрии.

Тригонометрия возникла и развивалась у народов с развитой торговлей и сельским хозяйством: у вавилонян, греков, индийцев, китайцев. Зародилась она много веков назад и в течение тысячи лет оставалась частью астрономии.

Решение тригонометрических уравнений довольно трудная тема школьной математики. Некоторое время я никак не могла научиться их решать, наверное, потому, что не совсем понимала что это и для чего мне эти уравнения нужны. Потом … села за учебники: школьные и не совсем школьные и вот что я поняла.

Тригонометрическими уравнениями обычно называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций.

Решение любого тригонометрического обычно сводится к решению простейших тригонометрических уравнений вида sin x =a, cos x = a, tg x =a и т.д., где а – действительное число. Для решения можно воспользоваться либо графиком соответствующей тригонометрической функции или числовой окружностью.

Возможно, именно из-за такого большого количества способов применения решений тригонометрических уравнений в практических целях они так разнообразно представлены в материалах единого национального тестирования по математике.

На уроке обычно, знакомясь с новой темой, мы сначала спокойно решаем легкие тригонометрические уравнения. Но сталкиваясь с трудностями, мы не понимаем их и бросаем, так и не разобравшись…

В школьном курсе математики изучаются способы и методы решений, но уделяется этому мало времени. А, именно, разбор этих примеров позволит выпускнику не только подготовиться к единому национальному тестированию по математике, но и научится нестандартно мыслить, так как самое сложное в тригонометрии - это видеть, какую формулу и где нужно применить, чтобы достигнуть результата. Я, думаю, что изучив данный материал, и рассмотрев его применение на практике, я расширю и углублю свои знания по теме, что будет способствовать развитию логического и творческого мышления в процессе решения задач. Вообще работу с тригонометрическими уравнениями естественно нужно начинать с простейших тригонометрических уравнений, затем решать уравнения, сводящиеся к квадратным, однородные тригонометрические, уравнения, решаемые с помощью введения вспомогательного угла, с помощью замены sin x + cos x= t.

Итак, простейшим тригонометрическим уравнением ,называют уравнение f(x)= а , где а – данное число , а f(x)-одна из основных тригонометрических функций.

Тригонометрические уравнения первого типа

Основные формулы

hello_html_f1413d7.gif, hello_html_mb5b4051.gif, hello_html_m32004f90.gif

hello_html_753d2ef2.gif, hello_html_m5a78a217.gif,hello_html_m32004f90.gif

hello_html_22969a4f.gif, hello_html_mf05892b.gif, hello_html_m32004f90.gif

hello_html_m49ab6e3e.gif, hello_html_m66621f5e.gif,hello_html_m32004f90.gif

Образец:

hello_html_m1ce95fe2.gif;

Решение:

hello_html_mb89aef4.gif, hello_html_m32004f90.gif,

hello_html_m71a1bcd3.gif,hello_html_m32004f90.gif,

hello_html_2a2dae31.gif, , hello_html_m32004f90.gif,hello_html_m3bb37436.gif

hello_html_m3b3174c1.gif, hello_html_m32004f90.gif,

Ответ: hello_html_m3b3174c1.gif,hello_html_m32004f90.gif.

Уравнения первого типа (простейшие) решать вовсе не трудно, просто нужно знать формулы. Но далее представлены тригонометрические уравнения , сводящиеся к простейшим с помощью замены аргумента тригонометрических функций , а также уравнения сводящиеся к квадратным или рациональным .

Уравнения, сводящиеся к простейшим, заменой неизвестного

Рассмотрим примеры решения уравнения, которые после введения нового неизвестного f(x)= t , где f(x)-одна из основных тригонометрических функций, превращаются в квадратные либо рациональные уравнения с неизвестным t.

Образец: 2cos x2 +3cos x + 1 =0

Введем новое неизвестное cos x = t, тогда это уравнение превращается в квадратное уравнение с неизвестным t:

2t2 +3t +1 =0

Это уравнение имеет два корня t1= -1 и t2=- 0,5.

Следовательно , множество всех решений уравнений(1) есть объединение множеств всех решений двух уравнений cos x=-1 и cos x= - 0,5 .

Решая каждое из этих уравнений , находим , что множество решений уравнения3 состоит из трех серий решений : xm =hello_html_21005594.gifm , mhello_html_m34aff587.gifZ, xn=hello_html_m28adb16a.gif

Применение основных тригонометрических

формул для решения уравнения

1. Применение основных тригонометрических тождеств

hello_html_6cab0cb2.gif

Решение : применяя основное тригонометрическое тождество
hello_html_199487f7.gif, перепишем уравнение 1 в виде 2sin2 x+hello_html_m1cfb7a7.gifsin x – 2= 0
Введем новое неизвестное
sin x=t, тогда уравнение 2 превращается в квадратное уравнение с неизвестным t :

2t2 + 3t – 2 = 0

Уравнение 3 имеет два корня t1=0,5 и t2= - 2 .Поэтому множества решений уравнения 2 , а значит, и уравнения 1 , есть объединение множеств решений двух уравнений : sin x = 0,5 и sin x = -2. Решения первого из них состоит из двух серий. Второе уравнение не имеет решений, следовательно, решения уравнения1 состоит из двух серий :

Xm = hello_html_594777c9.gif.

2.Применение формул сложения

Sin 5 x cos3x= Sin 3 x cos5x

Перенеся все члены уравнения в левую часть и применив формулу синуса разности двух углов, перепишем уравнение в виде

Sin 2 x=0 .

Все решения уравнения , а значит, и уравнения 1, удовлетворяют условию 2xm=hello_html_ecf24c.gif. Следовательно ,уравнение 1 имеет одну серию решений:

Xm=hello_html_2b5a0d5.gif.

Большая роль отводится выбору корней при решении тригонометрических уравнений.

Отбор корней в тригонометрическом уравнении может быть вызван 1)необходимостью выявления посторонних корней в случае , когда при решении происходит расширение области определения уравнения, или 2) требованием найти значения неизвестного, удовлетворяющие заданным условиям .

Существуют два приема отбора корней: геометрический и алгебраический.

Рассмотрим геометрический способ.

Образец:
hello_html_6628b001.gif

Данное уравнение равносильно системе hello_html_3e75cb95.gif

Решая уравнение системы ,получим :

Cosx-cos3x+sin2x=0

Sin2x(2sinx+1)=0.

Последнее уравнение равносильно совокупности :

hello_html_112080c2.gifhello_html_3226b86b.gif

В итоге приходим к системе :
hello_html_383bba41.gif

Поскольку предстоит отбор корней , вторую серию решений целесообразно записать в виде двух арифметических прогрессий с разностью 2hello_html_6b2fd1c.gif.

hello_html_5d888d89.gif

Геометрический способ. На тригонометрическом круге изобразим точками представителей всех четырех серий (рис. 1). Значения х из «запрещающей» серии отметим крестиками. Ясно, что решениями уравнения будут те значения х, которым соответствуют концы горизонтального диаметра. Эти значения записываются в виде х =hello_html_34eac283.gif, рhello_html_md6b17d9.gif.











hello_html_1efe9eb4.gif

hello_html_50661fa5.gif

hello_html_430381e2.gif


hello_html_m55f3aa81.gif

hello_html_m74a52965.gif



hello_html_3e938cb2.gif


Итак, рассмотрено несколько способов решения тригонометрических уравнений. В каждом примере строго соблюден принцип «от простого к сложному», что несомненно принесет пользу ученикам как при решении трудных задач в школе, так и на едином национальном тестировании по математике.

Многие математические задачи допускают несколько вариантов решения. Часто первый избранный бывает далеко не самым удачным. Нахождение «наиболее простых», оригинальных путей решения нередко является результатом длительной и кропотливой работы. Умение решать задачу различными способами является одним из признаков хорошей математической подготовки.

Многие математические задачи допускают несколько вариантов решения. Часто первый избранный бывает далеко не самым удачным. Нахождение «наиболее простых», оригинальных путей решения нередко является результатом длительной и кропотливой работы. Умение решать задачу различными способами является одним из признаков хорошей математической подготовки.

Несомненно, работа над данной темой расширила область знаний, полученных мною на уроках о способах решения тригонометрических уравнений, их совокупностей и систем. Я выполнила поставленную перед собой цель, познакомилась с нестандартными способами решения уравнений.

Я считаю, что тригонометрические уравнения достойны подробного рассмотрения на уроках алгебры в рамках профильной школы или внеурочной работы. Этому способствует актуальность темы, доступность материала, разнообразие способов решения тригонометрических уравнений.



























1. Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе» (№6), Москва, «Школа-Пресс», 2004г.

2. Научно-теоретический и методический журнал «Математика в школе» (№4), Москва, «Школа-Пресс»,2000.

3. Научно-практический журнал «Математика для школьников»(№1), Москва, «Школьная пресса», 2005г.

4. Учебник по алгебре и началам математического анализа -10-11 класс.

Мордкович А. Г. издательство «Дрофа»

5. Энциклопедия юного математика.

6. Учебно- методическая газета «Математика »№ 17, Москва ,2005 г.

7. Учебно- методическая газета «Математика» № 20 , 2005 г














Приложения

Задания, на отработку навыков решения простейших тригонометрических уравнений.

1)hello_html_3d6612c0.gif, 2)hello_html_49e31bef.gif,

3)hello_html_53267a74.gif, 4)hello_html_437197b3.gif,

5)hello_html_2432686a.gif, 6)hello_html_192f19aa.gif,

7)hello_html_m196fcc01.gif, 8)hello_html_m40b4d5ed.gif,

Задания, требующие применения основных тригонометрических формул или замены переменной.

9) sinx +cosx=cos2x

10)2cosx+sinx -1 –sin2x=0

11)sinxcos3x- 1=sinx-cos3x, 12) tg5x=sin2 xtg5x

13)4sin2xcosx= cosx

14)4sin2x + sinxcosx=1

15)sin4x =2 cos2x-1

16) Укажите наибольший отрицательный корень уравнения hello_html_m1fbc29c.gif

17)Найдите сумму корней уравнения hello_html_m621c2a44.gif на

18)Найдите сумму корней уравнения hello_html_1191a385.gif принадлежащих отрезкуhello_html_7386b451.gif

19)Найдите наибольший корень уравнения hello_html_m6bf27924.gif принадлежащий отрезку hello_html_m46377b22.gif

20) Найдите наименьший неотрицательный корень уравнения hello_html_59e01628.gif














Автор
Дата добавления 04.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Презентации
Просмотров727
Номер материала ДВ-306488
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх