Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Свидетельство о публикации

Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно

Добавить свой материал

За каждый опубликованный материал Вы получите бесплатное свидетельство о публикации от проекта «Инфоурок»

(Свидетельство о регистрации СМИ: Эл №ФС77-60625 от 20.01.2015)

Инфоурок / Математика / Другие методич. материалы / Исследовательская работа "Координатный метод в решениях задач ЕГЭ"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 28 июня.

Подать заявку на курс
  • Математика

Исследовательская работа "Координатный метод в решениях задач ЕГЭ"

библиотека
материалов

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Мухоршибирская средняя общеобразовательная школа №2»







Направление: математика







Координатный метод

в решениях задач ЕГЭ







Автор: Пузырева Анастасия,

ученица 11 класса МОУ

«Мухоршибирская СОШ №2»

Руководитель: Цыбикова Дарима Содномовна,

учитель математики











Мухоршибирь

2011 г.







Содержание.



Введение……………………………………………………………………………

Основная часть

1. «Симпатичные» фигуры……………………………………………..4

2. Основные формулы и определения…………………………………5

3. Уравнение плоскости…………………………………………………7

4. Примеры решения задач……………………………………………..

4.1. Расстояние между точками………………………………..8

4.2.Расстояние между прямыми………………………………..9

4.3. Угол между прямыми…………………………………….10

4.4. Угол между прямой и плоскостью………………………..11

4.5. Угол между плоскостями. …………………………………12

Заключение…………………………………………………………………………14

Литература………………………………………………………………………….15

Приложение.























Введение.

Я – ученица 11 класса. Через несколько месяцев мне сдавать единый государственный экзамен. Я хочу получить хороший балл, а для этого мне надо уметь решать задания второй части, в частности стереометрические задачи (С2 и С4). Не все задачи удается решить традиционным способом – через элементы треугольника, и учитель предложил нам для решения задач координатный метод.

В сборнике Бунеевой Н.А. и Каргаполова А.М. «Задачи по стереометрии (координатный метод)» [1] содержатся основные формулы и подходы решения задач по стереометрии с помощью координатного метода, предложены решения заданий, которые предлагались при поступлении на разные факультеты Новосибирского Государственного университета в разные годы.

Я же задалась целью изучить координатный метод и применить его при решении задач единого государственного экзамена.

Задачи:

  • Рассмотреть фигуры, которые «удобно» расположить в прямоугольной системе координат;

  • Рассмотреть типы задач, решаемых координатным способом;

  • Выделить основные формулы;

  • Рассмотреть способы задания плоскости;

  • Применить координатный метод при решении задач ЕГЭ разных лет.

Объект исследования: методы решения стереометрических задач.

Предмет исследования: координатный метод решения стереометрических задач.

Рамки исследовательской работы не позволяют представить весь материал, поэтому мы к работе прилагаем сборник «Координатный метод в решениях задач ЕГЭ» [6].

Глава 1. «Симпатичные» фигуры.

Мы согласились с Бунеевой Н.А. и Каргаполовым А.М. – авторами сборника «Задачи по стереометрии (координатный метод)» [1], и фигуры (мы будем иметь в виду многогранники), которые «удобно» расположить в прямоугольной системе координат, назвали «симпатичными».

Виды «симпатичных фигур»:

  • куб и прямоугольный параллелепипед;

  • четырёхугольные пирамиды:

- пирамида с основанием квадрат (прямоугольник), основание высоты которой попадает в центр описанной около основания окружности, т.е. в точку пересечения диагоналей основания,

- пирамида, у которой основание квадрат (прямоугольник), одно боковое ребро перпендикулярно основанию;

  • треугольные пирамиды:

  • треугольная пирамида, в основании которой лежит правильный треугольник и одно боковое ребро, перпендикулярно основанию,

  • правильная треугольная пирамида,

  • правильный тетраэдр;

  • пирамиды, у которых основания – прямоугольные треугольники:

  • прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине A, ребро AD перпендикулярно основанию ABC (ребра AB, AC, и AD попарно перпендикулярны),

  • прямоугольный треугольник АВС с прямым углом при вершине A, ребро CD перпендикулярно основанию ABC (ребра AB, AC и CD попарно перпендикулярны),

  • прямоугольный треугольник ABC с прямым углом при вершине A и её боковые ребра равны между собой (основание высоты пирамиды попадает в центр описанной около основания ABC окружности);

  • треугольные призмы:

  • правильная треугольная призма,

  • прямая призма, но в основании лежит прямоугольный треугольник;

  • правильная шестиугольная пирамида;

  • правильная шестиугольная призма.

Рассмотренные фигуры действительно «симпатичны»: есть простая возможность введения системы координат и, как следствие, решения задач, содержащих в условии «симпатичную» фигуру, методом координат.

2. Основные формулы и определения.[1]

Из предложенных в сборнике [1] формул новыми для меня были только формулы для нахождения расстояния от точки до плоскости (10), формула для нахождения угла между плоскостями (11) и формула для нахождения угла между прямой и плоскостью (13) и уравнение плоскости (9).

  1. Расстояние ρ между точками A1(x1; y1; z1) и А2(x2; y2; z2), равно

ρ hello_html_m6043e94.gif

  1. Координаты середины K(х;у;z) отрезка AB равны средним арифметическим координат его концов. Таким образом, если A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2), то

К(hello_html_m5cb25621.gif;hello_html_778b0f8f.gif;hello_html_6284c24.gif).

  1. Координаты вектора AB равны разности соответствующих координат конца B и начала A данного вектора. Таким образом, если A(x1; y1; z1) и B(x2; y2; z2), то

hello_html_55380dfd.gif.

  1. Длина вектора hello_html_m2c25d930.gif, имеющего координаты (a1; a2; a3), равна hello_html_3cb6a17b.gif=hello_html_m39db2abb.gif.

  2. Скалярным произведением двух ненулевых векторов hello_html_m2c25d930.gif и hello_html_m17016a4b.gif называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между ними. hello_html_m2c25d930.gif·hello_html_m17016a4b.gif=hello_html_3cb6a17b.gif·hello_html_6477f9ea.gif·cos φ.

  3. Скалярное произведение векторов hello_html_m2c25d930.gif(a1; a2; a3), и hello_html_m17016a4b.gif(b1; b2; b3) равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

hello_html_m2c25d930.gif·hello_html_m17016a4b.gif= a1 b1+ a2 b2 + a3 b3.

  1. Ненулевые векторы hello_html_m2c25d930.gif(а1; a2; a2) и hello_html_m17016a4b.gif(b1; b2; b3) перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, т.е. a1 b1+ a2 b2 + a3 b3= 0

  2. Если φ – угол между ненулевыми векторами hello_html_m2c25d930.gif(a1; a2; a3) и hello_html_m17016a4b.gif(b1; b2; b3),

то hello_html_558be742.gif=

  1. Всякое уравнение первой степени аx+by+cz+d=0 задает в координатном пространстве единственную плоскость, которая перпендикулярна вектору hello_html_m1eb6c9e4.gif(a, b, c). Вектор hello_html_m29ddd9af.gif называется вектором нормали к данной плоскости.

  2. Если p – расстояние от точки M (m1; m2; m3) до плоскости аx+by+cz+d=0 , то hello_html_m4cb3fac9.gif

  3. Если α – угол между плоскостями, заданными уравнениями a1x + b1y + c1z + d1=0 и a2x + b2y + c2z + d2=0, то

соshello_html_2e28ff68.gif= hello_html_m40360b62.gif

  1. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

  2. Если α – угол между прямой, направляющий вектор которой hello_html_55247b0b.gif (m1; m2; m3), и плоскостью ax+by+cz+d=0, то

sinα=hello_html_m493c1119.gif

  1. Если α – угол между прямыми, направляющие векторы, которых

hello_html_55247b0b.gif (m1, m2, m3) и (n1, n2, n3), то

со=hello_html_m28f106ad.gif

3. Уравнение плоскости.

Конечно, для того, чтобы научиться решать задачи с помощью координатного метода, умения находить координаты вершин и знания формул недостаточно. Очень часто условие задачи содержит некоторую плоскость, поэтому для того чтобы применить предложенные формулы, необходимо уметь записывать уравнение плоскости [6].

Способы задания плоскости:

  1. плоскость, проходящая через три точки, не лежащие на одной прямой;

  2. плоскость, проходящая через точку, перпендикулярно ненулевому вектору;

  3. плоскость, проходящая через две точки, параллельно ненулевому вектору;

  4. плоскость, проходящая через точку, параллельно двум ненулевым векторам.

Уравнения координатных плоскостей:

Плоскость хОу задается формулой: z=0, вектор нормали имеет координаты hello_html_3bf58276.gif;

Плоскость хОz задается формулой: у=0, вектор нормали имеет координаты hello_html_mab3188d.gif;

Плоскость уОz задается формулой: х=0, вектор нормали имеет координаты hello_html_m3c4ca0f3.gif.











4. Примеры решения задач.

Типы стереометрических задач, к которым применим координатный метод:

  • расстояние между точками,

  • расстояние между прямыми,

  • угол между прямыми,

  • угол между прямой и плоскостью,

  • угол между плоскостями.

В данной главе предложен координатный метод решения задач ЕГЭ разных лет [6], с решениями задач традиционным образом (через элементы треугольника) можно ознакомиться в указанной литературе.

4.1. Расстояние между точками.

Задача. [2. Задача 17, стр.184.] Основание пирамиды – квадрат со стороной, равной а. Боковое ребро АМ перпендикулярно плоскости основания пирамиды и вдвое больше ребра основания. Найти радиус сферы, описанной около этой пирамиды.

(В этой задаче может вызвать затруднение нахождение расположения центра сферы, описанной около пирамиды. Воспользуемся формулой нахождения расстояния между точками)

Решение.

Пусть О (х; у; z) - центр сферы, описанной около пирамиды МАВСD. Тогда R=ОМ=ОА=ОВ=ОС=ОD.

Расположим пирамиду в прямоугольной системе координат так, чтобы

А(0;0;0), В(0; а;0), С(а; а;0), Д(а;0;0), М(0;0;2а)

По формуле 1 расстояния между точками имеем:

1). АО2= x2+y2+z2 2). ВО2= x2+(y-а)2+z2

3). СО2= (x-а)2+(y-а)2+z2 4). DО2=(x-а)2+y2+z2

5). МО2= x2+y2+(z-2а)2

Из 1) и 2), получаем у=а/2 . Из 1) и 4) получаем х= а/2 .

Подставляя значения х и у в 3) и 5) выражения, и приравнивая эти выражения, получаем z=а. Тогда центр сферы имеет координаты О(а/2; а/2; а).

R2= (а/2)2 +(а/2)2+а2. R=hello_html_mc4ba6f6.gif Ответ: R=hello_html_mc4ba6f6.gif

4.2.Расстояние между прямыми.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

(Если данные прямые перпендикулярны, то построение их общего перпендикуляра нахождение его длины не вызывает затруднений. Если же данные прямые не перпендикулярны, то построение общего перпендикуляра сравнительно более сложно. В этом случае предлагаем способ, который заключается в том, чтобы через одну из прямых провести плоскость β параллельно второй и найти расстояние от любой точки второй прямой до плоскости β и применить формулу расстояния от точки до плоскости).

Задача. [2.,Задача 11. Стр.169]. Ребро куба АВСDА1В1С1D1 равно 1. Найти расстояние между прямыми АВ1 и ВД.

Решение. Расположим куб в прямоугольной системе координат так, чтобы

А(0;0;0), В(0; 1;0), С(1; 1;0), D(1;0;0), В1(0; 1;1).

Расстояние между скрещивающимися прямыми мы найдем как расстояние от любой точки прямой АВ1 до плоскости β, содержащей прямую ВD и параллельной прямой АВ1.

Напишем уравнение плоскости β: ax+by+cz+d=0, проходящей через точки В и Д параллельно прямой АВ1. ([6] глава 3. Задача 3.)

-x-y+z+1=0

Найдем по формуле 10 расстояние от точки А(0;0;0), до плоскости β:

-x-y+z+1=0



ρ=hello_html_m74d3b6fa.gifОтвет: ρ=hello_html_1b9e5cff.gif

4.3. Угол между прямыми.

Определение. Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые порознь параллельны данным скрещивающимся прямым.

Задача. [2. Задача 9, стр.167] В прямоугольном параллелепипеде АВСD А1В1С1D1. Известно АА1=1, АВ=2, АD=3. Найти угол между прямыми ВD1 и АС.

Решение. Расположим прямоугольный параллелепипед АВСDА1В1С1D1

в прямоугольной системе координат так, чтобы А(0;0;0), В(0;2;0), С(3;2;0), D1(3;0;1).

Направляющий вектор прямой ВД1 имеет координаты (3;-2;1).

Направляющий вектор прямой АС имеет координаты (3;2;0).

Найдем косинус угла между прямыми по формуле 14. соshello_html_2e28ff68.gif=hello_html_76c1db7c.gif.

Ответ: arcos hello_html_m2ada5fba.gif

Задача. [6, вариант 7, задача С2, стр.71]

В правильной шестиугольной призме АВСDЕFА1В1С1D1Е1F1, все ребра которой равны. Найти косинус угла между прямыми АВ1 и ВD1.

Решение. Расположим основание призмы АВСДЕFА1В1С1Д1Е1F1 в прямоугольной

системе координат так, чтобы центр описанной окружности совпадал с началом координат. В правильном шестиугольнике R=a=1.

Тогда точка А(0;1;0), В(hello_html_7135cb2c.gif; hello_html_m661d7888.gif0), В1(hello_html_7135cb2c.gif; hello_html_m661d7888.gif1), D1(0;-1;1)

Направляющий вектор прямой АВ1 имеет координаты (hello_html_7135cb2c.gif; - hello_html_m661d7888.gif 1).

Направляющий вектор прямой ВД1. Имеет координаты (-hello_html_7135cb2c.gif; -hello_html_615a29fb.gif;1).

Найдем косинус угла между прямыми по формуле 14 соshello_html_2e28ff68.gif=hello_html_m5e164a04.gif.

Ответ: соshello_html_2e28ff68.gif=hello_html_m4ba8abde.gif

4.4.Угол между прямой и плоскостью

Определение. Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость.

В тех случаях, когда затруднительно найти проекцию прямой на плоскость, предлагаем воспользоваться формулой 13 для нахождения угла между прямой и плоскостью.

Задача. [3, Вариант 1, задача С4, стр.8] Отрезок РN – диаметр сферы. Точки М, L лежат на сфере так, что объем пирамиды РМNL- наибольший. Найти синус угла между прямой NT и плоскостью РМN, если Т – середина ребра ML.

Решение. Пирамида РNМL имеет наибольший объем, если треугольники РМN и РLТ прямоугольные, равнобедренные с общей гипотенузой РN, лежащие во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Расположим пирамиду в прямоугольной системе координат как показано на рисунке. Пусть катеты равнобедренных прямоугольных треугольников РМN и РLТ равны 1. Тогда радиус сферы R=hello_html_18bb84e9.gif.

Тогда М(0;0;0), Р(1;0;0), N(0;1;0), L(hello_html_39389a95.gifhello_html_18bb84e9.gif). Точка Т (hello_html_746dbdb0.gif– середина ребра ML.

Направляющий вектор прямой NT имеет координаты (hello_html_362661d.gif.

Плоскость РМN задается уравнением z=0, вектор нормали имеет координаты hello_html_3bf58276.gif([6] Глава 3. п.5.).

По формуле 13 находим синус угла α между прямой NT и плоскостью РМN:

sin α=hello_html_4042944d.gif.

Ответ: sin α =hello_html_m6c30838f.gif.

4.6.Угол между плоскостями.



Задача С4. [ЕГЭ, 2005 г.] Основание прямой четырехугольной призмы АВСDА1В1С1D1 – прямоугольник АВСD, в котором АВ=5, АD=hello_html_m67cb178a.gif. Найти тангенс угла между плоскостью грани АА1Д1Д призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра СD перпендикулярно прямой В1D, если расстояние между прямыми АС и В1D1 равно hello_html_m980c3de.gif.

(В данной задаче вызывает сложность построение второй плоскости, что затрудняет решение задачи традиционным способом)

Решение.

Расположим призму в прямоугольную систему координат так, чтобы А(0;0;0), В(0;5;0), D(hello_html_m67cb178a.gif; 0; 0), В1(0;5;hello_html_4432f0d6.gif. Напишем уравнение плоскости β, которая проходит через середину DС - точку К(hello_html_m67cb178a.gif;hello_html_m4531daaa.gif;0) , и для которой вектор hello_html_m63629d3e.gif(hello_html_m67cb178a.gif;-5;hello_html_9e1f914.gif) – есть вектор нормали. ([6] задачу 2 из главы 3 – уравнение плоскости, проходящей через точку, перпендикулярно ненулевому вектору):

hello_html_m67cb178a.gif·hello_html_m67cb178a.gif- 5·hello_html_m4531daaa.gif+ 0·(hello_html_m5fa1d97b.gifhello_html_1b730b13.gifhello_html_14483a70.gif=-20,5

hello_html_1b730b13.gifУравнение плоскости, проходящей через точку К перпендикулярно прямой В1Д имеет вид hello_html_m67cb178a.gifх-5у-hello_html_m980c3de.gifz -20,5=0.

Уравнение плоскости АА1D1D имеет вид у=0 (([6] п.5.глава 3).

Тогда по формуле 16 имеем соshello_html_2e28ff68.gif=hello_html_m600c1ad5.gif=hello_html_m17cc5320.gif. hello_html_1b730b13.gifsinhello_html_2e28ff68.gif= hello_html_36e9a1b0.gifhello_html_1b730b13.giftghello_html_2e28ff68.gif=hello_html_45275f25.gif

Ответ: tghello_html_2e28ff68.gif=hello_html_45275f25.gif















Заключение.

Ознакомившись глубже с методом координат и применив его к решениям стереометрических задач, я сделала вывод, что его можно и нужно использовать в тех случаях, когда решение традиционным способом затруднительно.

Мы провели в классе практикумы по решению задач методом координат, и практикум для учащихся 11 классов некоторых школ района.

Надеемся, что представленный материал поможет выпускникам лучше справиться с заданиями ЕГЭ.

























Литература.

  1. Бунеева Н.А, Каргаполов А.М. Задачи по стереометрии (координатный метод), 2006.

  2. Единый Государственный экзамен: математика: методика подгот. : кн. для учителя / [Л.О.Денищева, Ю.А.Глазков, К.А. Красньянская и др.]. – М.: Просвещение, 2005. – 256 с.

  3. Единый государственный экзамен: математика: контрол. измерит. материалы: 2005-2006/ под общ. ред.Л.О.Денищевой; М-во образования и науки Рос. Федерации, Федерал. служба по надзору в сфере образования и науки, Федерал. ин-т пед. измерений, - М.: Просвещение, 2006. – 96 с.

  4. Единый государственный экзамен: математика: учебно-тренировочные материалы: 2005: Математика/под ред.Л.О.Денищевой, -М: Просвещение, 2005. – 78 с.

  5. ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания/И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин, П.И.Захаров, В.С.Панферов, С.Е.Посицельский, А.В.Семенов, А.Л.Семенов, М.А.Семенова, И.Н.Сергеев, В.а.смирнов, С.А.Шестаков, Д.Э.Шноль, И.В.Ященко; под ред.А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.: Издательство «Экзамен», 2010 – 55 с. (Серия «ЕГЭ 2010. Типовые тестовые задания)

  6. Координатный метод в решениях задач ЕГЭ. Учебное издание. /авторы-составители Д.С.Цыбикова, А.Пузырева. – Издательсво «Школьная телефотостудия МОУ «МСОШ №2», 2010. -22 с.

  7. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2010: Математика/авт.-сост.И.Р.Высоцкий, Д.Д.Гущин, П.И.Захаров и др.; под ред. А.Л.Семенова, И.В.Ященко. – М.:АСТ:Астрель, 2010.-93 с. – (Федеральный институт педагогических измерений).

17




Подайте заявку сейчас на любой интересующий Вас курс переподготовки, чтобы получить диплом со скидкой 50% уже осенью 2017 года.


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Автор
Дата добавления 19.01.2016
Раздел Математика
Подраздел Другие методич. материалы
Просмотров368
Номер материала ДВ-356566
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх