Исследовательская работа: "Кредиты в экономических задачах"

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №19 г.Новоалтайска»

Кредиты в экономических задачах

Выполнила: Склярова Виктория

ученица 10м класса

Руководитель: С. В. Куличенко

учитель математики,

высшей квалификационной категории

2020

Оглавление

Введение

Основная часть

Глава 1. Теоретические основы кредитования

1.1. Основные понятия

1.2. Виды кредитов

Глава 2. Математические основы кредитования

Глава 3. Решение практических задач

Заключение

Литература

Приложение

Введение

Актуальность:

Цель каждого старшеклассника на ЕГЭ - набрать как можно большее количество баллов. За правильно выполненное задание №17 по математике профильного уровня ученик может получить 3 первичных балла.

Проблема:

В настоящее время процент правильного выполнения задания №17 ЕГЭ по математике профильного уровня среди учащихся очень низкий.

Цель работы:

Создание методического пособия, позволяющего ученикам научиться решать задание №17 ЕГЭ по математике, связанного с процессами кредитования.

Задачи:

• Собрать необходимую информацию по кредитам

• Изучить математические основы процесса кредитования

• Разобрать основные типы задач с примерами решений

• Провести необходимые расчёты и оформить результаты

• Проанализировать полученные результаты

Объект исследования:

Экономические задачи

Предмет исследования:

Задачи задания №17 ЕГЭ по математике

Методы исследования:

Анализ, синтез, сравнение.

Гипотеза исследования:

Если учащиеся научатся решать задание №17, то это поможет им сдать Единый Государственный экзамен на более высокий балл.

Этапы исследования:

1 этап. Теоретический

Изучение литературы по данной проблеме

2 этап. Практический

• Изучение интернет ресурсов

• Систематизация полученной информации

• Решение задач

• Оформление презентации

Направления исследования:

• Теоретические основы кредитования

• Математические основы кредитования

• Решение практических задач

Глава 1

Теоретические основы кредитования

Основные понятия

1. Понятие кредита

В переводе с латинского «кредит» (creditum) обозначает «заем». Это слово отражает суть процесса кредитования. Одна сторона (кредитор) предоставляет другой стороне (заемщику) денежную ссуду на определенный период времени. Заемщик обязуется выплатить кредитору взятую сумму и оговоренную комиссию (проценты) в срок, установленный кредитором.

Кредит – предоставление банком или кредитной организацией денег заемщику в размере и на условиях, предусмотренных кредитным договором, по которому заемщик обязан возвратить полученную сумму и уплатить проценты по ней.

2. Понятия кредитования

Структура кредита: тело кредита + проценты

График погашения кредита – определение конкретных сроков и сумм порционной оплаты взятой суммы и процентов. График рассчитывается сотрудниками банка исходя из конкретных условий.

Существует 2 варианта погашения кредита:

1. Выплата суммы долга одинаковыми порциями. Эта схема называется аннуитетным  графиком платежа;

2. Выплата суммы долга по принципу убывания, т. е. в начале срока погашения сумма наибольшая, а к концу – наименьшая. Принцип таков: тело кредита делится на равные части, а проценты начисляются на остаток платежа. Такой график погашения называется дифференцированным.

3.  История возникновения кредита

Мало кто знает, что история кредитования началась еще в шестом веке до нашей эры, правда само значение данного понятия несколько отличалось от его современной трактовки. До правления Соломона существовали личные займы, в случае не возврата которых должник становился рабом кредитодателя. С началом правления Царя Соломона такая мера наказания стала запрещенной формой ответственности должника. С тех пор личная ответственность была заменена на имущественную.

Виды кредитов

Кредит можно классифицировать по различным признакам.

I. По основным видам заемщиков:

- предприятиям;

- организациям;

- населению;

- государству.

II. По сроку кредитования различают следующие виды кредита:

- краткосрочный – ссуда выдается на срок до 1 года;

- среднесрочный – со сроком от 1 до 3 лет;

- долгосрочный – свыше 3-х лет.

III. По способу кредитования различают:

- денежный кредит;

- товарный кредит.

IV. В зависимости от обеспеченности товарно-материальными ценностями или гарантией:

- обеспеченный;

- необеспеченный.

V. По характеру предоставления кредит может быть:

- банковский кредит 

- потребительский кредит 

- ипотечный кредит 

- коммерческий кредит 

- государственный кредит 

Глава 2

Математические основы кредитования

При изучении  основных понятий кредитования, его сущности и его составляющих, информации, представленной в периодической печати, выявились основные направления математики, лежащие в основе кредитования-проценты.
Процентом числа (или от числа) называется сотая часть этого числа. Процентные вычисления имеют самое широкое (по сравнению с другими дробями) практическое применение в повседневной жизни.

Некоторые формулы для работы с процентами:

x*(1 + p/100) - величина x увеличилась на p%

x*(1 - p/100) - величина x уменьшилась на p %

x*(1 + p/100)^k - величина x увеличилась на p% в k раз

Процентная ставка -  сумма, указанная в процентном выражении к сумме кредита, которую платит получатель кредита за пользование им в расчёте на определённый период.

Простая процентная ставка - ставка, которая применяется каж­дый раз  к первоначальной сумме кредита.

Форму­ла простых процентов имеет следующий вид:

FV = PV(1+i*n)

где  FV - сумма, которую владелец обязан выплатить после начисления процентов; PV - сумма, которую банк выдал владельцу на определённых основаниях;  i - процентная ставка; n - период начисления процентов в годах.

Так, если взять 100 тыс. р. на 2 года под 12% годовых (проценты начисляются по простой ставке), то сумма выплаты банку после 2 лет будет равняться:

FV = 100 тыс. * (1 + 0,12*2) = 124 тыс. рублей

Сложная процентная ставка - ставка, которая применяется после каждого интервала начисления к сумме первоначального долга и начисленных за предыдущие интервалы процентов. При начислении дохода по сложной процентной ставке деньги со временем ра­стут по степенному закону.

 Формула сложных процентов имеет следующий вид:

FV = PV(1+i) ⁿ

где  FV - сумма, которую владелец обязан выплатить после начисления процентов; PV -  сумма, которую банк выдал владельцу на определённых основаниях;  i - процентная ставка; n - период начисления процентов в годах.

Например, если взять 100 тыс. р. на 2 года под 12 %годовых (проценты начисляются по сложной ставке), то на­ращенная сумма после 2 лет будет равняться:

FV = 100 тыс. * (1 + 0.12)²= 125,44 тыс. р.

Эффективная процентная ставка - полная стоимость кредита с учётом всех прочих расходов.

Номинальная процентная ставка - это стоимость кредита без учета дополнительных расходов, таких как дополнительные комиссионные суммы и прочие.

Глава 3

Решение практических задач

Задание №17 ЕГЭ по математике профильного уровня включает в себя задачи двух типов:

1.Задачи на оптимальный выбор

2.Банки, вклады, кредиты

В данной работе мы подробно разберём решение экономических задач на кредиты.

Они делятся по схемам поэтапного решения:

Задачи с аннуитетным графиком погашения кредита (см. приложение1)

Задачи с дифференцированным графиком погашения кредита (см. приложение 2)

В задачах с аннуитетным графиком необходимо применять формулу суммы элементов геометрической прогрессии:  Sn = (b₁*(1-qⁿ)) / 1-q

В задачах с дифференцированным графиком - формулу суммы элементов арифметической прогрессии:  S_n = (( a₁+a_n)/2)*n

Задача №1 (Нахождение суммы платежа в промежуточном периоде)

31 декабря 2019 года Михаил взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Михаил переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Михаил выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение:

Эта задача соответствует 1 схеме, так как кредит выплачивается равными платежами.

Пусть S-сумма кредита, S = 6 902 000 руб.; X - сумма платежа за промежуточный период;

% = 12,5%, поэтому коэффициент k, показывающий во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов, равен: k = 1 +12,5/100=9/8

Составим схему погашения кредита:

-сумма долга увеличивается в k раз

- Михаил вносит платёж

И так повторяется 4 раза. Получается:

(((S*k-x)*k-X)*k-X)*k-X=0

Раскрываем скобки:

Sk⁴-X*(k³+k²+k+1) =0

(k³+k²+k+1) - Геометрическая прогрессия, используем формулу суммы элементов прогрессии.

Sk⁴=X*(k⁴-1) / (k-1)

Отсюда:

X = Sk⁴*(k-1) / (k⁴-1)

Не спешите подставлять все значения, сначала сократите всё, что можно. Для этого подставим в уравнение только k:

X = S*(9/8)⁴*(9/8-1) / ((9/8)⁴-1)

X = (S*9⁴) / (8*(9⁴-8⁴)

X = (S*81²) / (8*(9²-8²)*(9²+8²))

S = 6 902 000=6 902 тыс. Для упрощения вычислений будем работать с тысячами.

X = (6 902*81²) / (8*17*145) = (29*7*81²)/(4*29*5)=2296,35 тыс.

Ответ: 2 296 350 рублей.

Задача №2 (Нахождение процентной ставки)

Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.

Решение:

Эта задача соответствует 2 схеме, так как сумма долга уменьшается равномерно.

Пусть S-сумма кредита; %= x%; k=1+0,01*x; Z - общая сумма выплат;

n- платёжный период, n=6

Составим схему выплаты долга:

Вот клиент берёт в банке кредит на сумму S. После начисления процентов сумма долга увеличилась в k раз и стала равна k*S. После первой выплаты сумма долга уменьшилась на 1/6*S и стала равной 5/6*S. Банк снова начисляет проценты, и теперь сумма долга равна 5/6*k*S. Таким образом, первая выплата:

Z₁ = S*k-5/6*S

Вторая выплата:

Z₂ = 5/6*k*S-4/6*S

6-ая выплата:

Z₆ = 1/6*k*S

Сумма всех выплат:

Z = Z₁+Z₂+Z₃…Z₆

Получаем:

Z = (S*k-5/6*S)+(5/6*k*S-4/6*S)+…+ (1/6*k*S)

Z = k*S*(1+5/6+4/6…+1/6)-S*(5/6+4/6+…+1/6)

Мы сгруппировали слагаемые и вынесли общие множители за скобку. Видим, что и в первой, и во второй скобке — суммы арифметической прогрессии, у которой a1=1/6,

d=1/6.

В первой скобке - сумма 6 слагаемых, во второй сумма 5 слагаемых.

По формуле сумма арифметической прогрессии:

1/6+2/6+…+1 = ((1/6+1)/2)*6 = 7/2

1/6+2/6+…+5/6 = ((1/6+5/6)/2)*5 = 5/2

Получаем:

Z = 7/2*k*S-5/2*S = 7/2*(1+x/100)*S-5/2*S = 7/2*S+7*x/200-5/2*S = S+(7*x/200)*S = S+П,

где П - величина переплат по кредиту. Эта величина показывает, на сколько общая сумма выплат больше суммы взятой в кредит.

П = (7*x/200)*S

П = 63%*S = 63/100*S

Отсюда: (7*x/200)*S = 63/100*S

х = (200*63)/ (7*100) = 18

Ответ: 18%

Задача №3 (Нахождение суммы выплат банку)

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

- каждый январь долг возрастает на 25 % по сравнению с концом предыдущего года;

- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

- в июле 2017,2018 и 2019 долг остаётся равным S тыс. рублей;

- выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 625 тыс. рублей;

- к июлю 2021 долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Решение:

Еще одна задача - комбинированная. Здесь мы рисуем такую же схему выплаты кредита, как в задачах второго типа.

Введем переменные:  k = 1+25/100 = 5/4, Y = 625 тысяч рублей, Z-общая сумма выплат. Рисуем схему погашения кредита (см. приложение 3)

Общая сумма выплат: Z = 3*(k*S-S)+2*Y = 3*S*(k-1)+2*Y

 Кроме того, долг был полностью погашен последней выплатой Y.

Это значит, что k*(k*S-Y) = Y, и тогда S = (Y*(k+1))/k²

X = 3*(Y*(k+1))/k²)*(k-1)+2*Y = 3*Y*((k²-1)/k²)+2*Y = Y*(5-3/k²)

X = 625*(5-(3*4²/5²)) = 625*77/25 = 77*25 = 1925 тысяч рублей

Ответ: 1 925 000

Задача №4 (Нахождение периода кредитования)

15-го января планируется взять кредит в банке на некоторое количество месяцев. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 30% больше суммы, взятой в кредит.

Решение:

Пусть k = 1+x/100

По формуле для переплаты П при выплате суммы кредита S дифференцированными платежами имеем:

П = S*(n+1)/2*(x/100)

где n - искомое число месяцев, а x = 3 - величина платежной ставки в процентах. По условию, переплата П равна 0,3*S, тогда:

0,3*S = (n+1)/2*0,03*S

откуда n = 19

Ответ: 19 месяцев

Заключение

Таким образом, в ходе выполнения данной работы была достигнута поставленная цель. Мы смогли создать методическое пособие, позволяющее ученикам научиться решать задание №17 ЕГЭ по математике, связанного с процессами кредитования. Также были выполнены все поставленные задачи. Мы собрали необходимую информацию по кредитам, изучили математические основы процесса кредитования, разобрали основные типы задач с примерами решений, провели необходимые расчёты и оформили результаты. Надеюсь. что данная работа поможет вам научиться решать подобные задания.

Список литературы

Брехова Ю.В., Алмосов А.П., Завьялов Д.Ю. Финансовая грамотность: материалы для учащихся. 10-11 классы общеобразоват. орг. М.: ВАКО, 2018 г., 344 с.

Чумаченко В.В., Горяев А.П. Основы финансовой грамотности: учеб. пособие для общеобразоват. орг., 3-е издание – М.: Просвещение, 2018 г., 271 с.

Акимов Д. В., Дичева О. В., Щукина Л. Б. Решения задач по экономике: от простых до олимпиадных. - М.: ВИТА-ПРЕСС, 2010 г., 336 с.

https://ege.sdamgia.ru/

https://ege-study.ru/

Приложение 1

Пусть S – сумма кредита, n – количество платежных периодов, р – процент по кредиту, начисляемый банком. Коэффициент   - показывает, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов.

Схема погашения кредита: Где Х – очередная выплата, n – число платежных периодов. Раскроем скобки: Для выражения в скобках можем применить формулу суммы геометрической прогрессии. Получим:

Приложение 2

Пусть S – сумма кредита, n – количество платежных периодов, p – процент по кредиту, начисляемый банком. Коэффициент показывает, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов.

Схема погашения кредита для  платежных периодов. 1 выплата:  2 выплата:  n-ная выплата:  Сумма всех выплат:  Применяем формулу суммы арифметической прогрессии. Общая сумма выплат: Где  – величина переплаты,

Приложение 3