Исследовательская работа "Квадрат Пирсона"

МБОУ «Красногвардейская школа №2»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

«КВАДРАТ ПИРСОНА»

 

 

 

 

 

 

Выполнил:

учащийся 8-А класса

  Пархоменко Дмитрий

 

 

 

 

 

Руководитель:

учитель математики

 Орлова Елена Витальевна

 

 п Красногвардейское  2015

 

 

Содержание

 

Введение  ……………………………………...……............................……….3

Глава 1.  Кто такой Пирсон ………………..................................................….5

§ 1.Теоретические основы решения задач на смеси и сплавы..............6

§ 2 Квадрат Пирсона.................................................................................6

Глава 2. Задачи на смеси и сплавы…………………....................................…8

§ 1. Задача №1.........…………...........................................................……8

§ 2. Задача №2………………….........…………................................…...9

§ 3. Задача №3,Задача №  4.........…………................................………10

§ 4. Задача №5 Задача № 6……........…………................................…..11

§ 5. Задача №7.........…………................................…………………….12

§ 6. Задача №8.........…………................................…………………….13

Заключение ………………………………………………….......................…14

Список используемой литературы…………………………......................…15

Задачи разные нужны,

Задачи разные важны.

      У Я.И. Перельмана в «Занимательной алгебре» мне встретилась задача

 «В парикмахерской»

    Может ли алгебра понадобиться в парикмахерской? Оказывается, что такие случаи бывают. Мне пришлось убедиться в этом, когда однажды в парикмахерской  услышал диалог:

    - Не поможете ли нам разрешить задачу, с которой мы никак не справимся?

Уж сколько раствора испортили из-за этого! – добавил другой.

-В чём задача? – осведомился я.

  У нас имеется два раствора перекиси водорода: 30-процентный и 3-процентный. Нужно их смешать так, чтобы составился 12-процентный раствор. Не можем подыскать правильной пропорции…

   Мне дали бумажку, и требуемая пропорция была найдена. Она оказалась очень простой. Какой именно?

    И я подумал о том, что проценты встречаются нам на уроках физики, химии, чтении газет, просмотре телепередач. Умением грамотно и экономно проводить элементарные процентные вычисления обладают далеко не все учащиеся, хотя многие из них ориентированы на поступление в высшие учебные заведения. Практика показывает, что очень многие, окончившие школу, не только не имеют прочных навыков обращения с процентами в повседневной жизни, но даже не понимают смысла процентов, как доли от некоторой заданной величины. Увидев задачи на проценты в контрольно-измерительных материалах ЕГЭ и ГИА, решил обязательно исследовать такие задачи. Я приступил к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. Я научился решать задачи на смеси и сплавы, используя «квадрат Пирсона» - это механический способ, который позволяет рационально и экономно проводить вычисления при решении задач на концентрацию, что очень ценно на ЕГЭ и ГИА.

Я определил:

Объект исследования: задачи на сплавы и смеси.

Предмет исследования: «квадрат Пирсона»  при решении задач на сплавы и смеси.

Цель исследования: показать  и раскрыть суть способа  решения задач на сплавы и смеси, используя «квадрат Пирсона».

Гипотеза: для решения задач на смеси и сплавы существует простейший метод решения - «квадрат Пирсона».

    Данная работа рассказывает о способе решения задач на концентрацию веществ, который предложил английский математик и статистик Карл (Чарльз) Пирсон.

   Карл Пирсон (1857-1936) - английский математик, биолог, статистик, философ, член Лондонского королевского общества (с 1896). Родился в Лондоне. Окончил Кембриджский университет. Учился в Гейдельбергском и Берлинском университетах. С 1884 по 1911—профессор прикладной математики и механики Лондонского университетского колледжа. 

Этот способ имеет ещё два названия: метод креста и конверт Пирсона.

Теоретические основы решения задач на смеси и сплавы.

Примем некоторые допущения:

- все получающиеся смеси и сплавы однородны;

- при решении этих задач, считается, что масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов.

Определение. Процентным содержанием (концентрацией или массовой долей) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах.

    Допустим, нужно приготовить раствор определенной концентрации, имея в распоряжении два раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно нам. Тогда, если обозначить массу первого раствора через m₁, а второго – через m₂, то при смешивании общая масса смеси будет слагаться из суммы этих масс. Пусть массовая доля растворенного вещества в первом растворе – ω₁, во втором – ω₂, а в их смеси – ω. Тогда общая масса растворенного вещества в смеси будет слагаться из масс растворенного вещества в исходных растворах:

m₁•ω₁ + m₂•ω₂ = ω (m₁ + m₂).

Отсюда,

m₁ (ω₁ – ω) = m₂ (ω – ω₂),

 = .

    Видно, что отношение массы первого раствора к массе второго раствора есть отношение разности массовых долей растворенного вещества в смеси и во втором растворе к разности соответствующих величин в первом растворе и в смеси.

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешения или «квадрат Пирсона». При расчетах записывают одну над другой массовые доли растворенного вещества (в %) в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.

w1		w – w2
	w
w2		w1 – w

w₁ – большая массовая доля I раствора,

w₂ - меньшая массовая доля II раствора,

w - искомая массовая доля растворенного вещества в растворе.

 Задача №1( из открытого банка заданий ЕГЭ).

Смешали 4 л 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 л 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Решение:

15 %	+	25 %	=	х %
4 л		6 л		4+6=10 (л)

4 ∙ 0,15 = 0,6 (л) – масса вещества в первом растворе.

6 ∙ 0,25 = 1,5 (л) – масса вещества во втором растворе.

0,6 + 1,5 = 2,1 (л) – масса вещества в получившемся растворе.

2,1 : 10 = 0,21 = 21 % - концентрация получившегося раствора.

Ответ: 21 %.

«Квадрат Пирсона»

25 %		х - 15	6 л
	х %
15 %		25 - х	4 л

Составим пропорцию: ,

                                        4 (х - 15) = 6 (25 - х),

                                        4х – 60 = 150 – 6х,

                                        10х = 210,

                                         х = 21.

Ответ: 21 %.

Задача №2 Однажды во время летних каникул, мама спросила меня, сколько

частей девятипроцентного и семидесятипроцентного уксуса надо взять, чтобы получить тридцатипроцентный  раствор.

Решение:

  Сначала я решил эту задачу с помощью уравнения:

Пусть х – количество частей 9%-ого уксуса, а у – количество частей  70%-ого. Тогда мы сложим произведения частей на процентное содержание и получим 9х+70у. Знаем, что это равно  произведению

30 на сумму х и у.

По условию задачи составим и решим уравнение.

9х + 70у = 30(х+у);

9х + 70у = 30х + 30у;

Ответ: 40у = 21х. Этот означает, что мы должны взять 40 часть 9%-ого раствора и 21 часть 70%-го.

«Квадрат Пирсона»

Задача№3: В ювелирную мастерскую поступило два сплава золота различной пробы:  58% и 95%. Сколько граммов сплава с 95%-ным содержанием золота

нужно взять, чтобы получить 37г сплава с 70%-ным содержанием золота?

Решение:

«Квадрат Пирсона»

Пусть k- коэффициент пропорциональности.

12k+25K=37;

k=1.

 Ответ: 12 г золота с 70% концентрации надо взять.

Задача №4:Для приготовления маринада необходим 2%-ый раствор уксуса. Сколько нужно добавить воды в 100 г 9%-го раствора уксуса, чтобы получить

раствор для маринада?

Решение:

«Квадрат Пирсона»

Пусть k- коэффициент пропорциональности.

2k=100; k=50.

7k=50*7=350;

Ответ: надо  взять 350 г воды, чтобы получить раствор нужной концентрации.

Задача №5:Для размножения водорослей вода в аквариуме должна содержать

2% морской соли. Сколько литров пресной воды нужно добавить к 80 л морской воды с 55%-ым содержанием соли, чтобы получить воду, пригодную для заполнения аквариума?

Решение:

«Квадрат Пирсона»

Пусть k- коэффициент пропорциональности.

2k=80; k=40.

53k=53*40=2120;

 Ответ: взять 2120 л воды, чтобы получить воду, пригодную для заполнения аквариума.

Задача №6  «В парикмахерской»

  Смешали 30%-ный и 3%-ный растворы перекиси водорода и получили 12%-ный раствор. В какой пропорции каждого раствора надо взять?

Решение:

30 %		12 – 3 = 9	х
	12 %
3 %		30 – 12 = 18	у

Следовательно, ,

                             .

Ответ: 3-процентного раствора надо взять вдвое больше, чем 30-процентного.

Задача № 7  (в 2011 году 9-классникам на экзамене по математике)   

Имеется два сплава с разным содержанием золота. В первом сплаве содержится 35 % золота, а во втором – 60 %. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 40 % золота?

Решение.

35 %	+	60 %	=	40 %
х		у		х + у

0,35 х – масса вещества в первом растворе.

0,6 у – масса вещества во втором растворе.

0,35 х + 0,6 у – масса вещества в получившемся растворе.

0,4 (х + у) – масса вещества в получившемся растворе.

Составим и решим уравнение:

0,35 х + 0,6 у = 0,4 (х + у),

0,35 х – 0,4 х = 0,4 у – 0,6 у,

- 0,05 х = - 0,2 у,

х = 4 у.

Ответ: первого сплава надо взять в 4 раза больше, чем второго.

«Квадрат Пирсона»

60 %		40 – 35 = 5	у
	40 %
35 %		60 – 40 = 20	х

Составим пропорцию: ,

                                        .

Ответ: первого сплава надо взять в 4 раза больше, чем второго.

Задача №8: (из заданий заочной школы при Московском физико-техническом университете)

При переработке молока жирностью 5,8 % получают творог и сыворотку

жирностью 19,33% и 0,63% соответственно. Сколько килограмм творога

получат при переработке 18,7 кг творога?

Решение:

«Квадрат Пирсона»

Пусть k- коэффициент пропорциональности.

5,17k+13,53k=18,7;

k=1.

5,17k=5,17*1=5,17;

 Ответ: 5,17 кг творога.

Вывод:

      Для решения задач на концентрацию существует оригинальный метод решения - «квадрат Пирсона». Как и все методы решений, «квадрат Пирсона» имеет свои преимущества и недостатки. Одним из преимуществ этого способа является то, что он доступен ученикам. Также «квадрат Пирсона» полезен для домохозяек, чтобы   получать нужную концентрацию уксуса или сиропа. Недостатком этого метода является то, что его можно применять только при смешивании двух растворов. То есть если нужно смешать три или более веществ, «квадрат Пирсона» не поможет. Немецкий физик 18-го столетия Лихтенберг сказал: «То, что вы были вынуждены открыть сами, оставляет в вашем уме дорожку, которой вы сможете снова воспользоваться, когда в том возникнет необходимость». Поэтому я решил исследовать метод решения задач на смеси и сплавы, используя «квадрат Пирсона», чтобы в дальнейшем использовать этот метод в подготовке к ГИА и ЕГЭ. Умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо всем, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни.

Литература

Перельман Я.И. Занимательная алгебра. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1967.— 200с.

Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Вып. 1/авт.-сост. В.Н. Студенецкая, Л.С. Сагателова. - Волгоград: Учитель, 2007. – 205 с.

Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2011-2015.

Квант. http://kvant.mccme.ru