Исследовательская работа "Квадратичная функция и её свойства в задачах первой части ОГЭ по математике»

Оглавление

            Введение

1.     Цель. Задача. Гипотеза.

2.     Содержание:
2.1. Квадратичная функция. Ее график и свойства
2.2. Исследование. Влияние коэффициентов квадратного трехчлена на расположение параболы на координатной плоскости.
2.3. Применение квадратичной функции, ее графика и свойств при решении экзаменационных задач.

3.     Заключение.

4.      Список используемой литературы

Введение

 При ознакомлении  с сборником заданий ОГЭ-2021 , под редакцией И. В. Ященко. Мне встретились задания,  которые мы не рассматривали на уроках математики в школе.

    Я решила, повторить определение понятия «квадратичная функция»  и свойства квадратичной функции. И заинтересовалась другим: выяснить,  как влияют коэффициенты квадратного трехчлена на расположение параболы на координатной плоскости. И использовать это впоследствии при решении экзаменационных задач.

Цель работы: показать применение свойств квадратичной функции при решении экзаменационных задач  первой части ОГЭ по математике.

Задачи работы:

Ø  сбор информации о применении квадратичной функции и ее свойств на примере образовательного портала «Сдам ГИА: Решу ОГЭ»;

Ø  провести анализ и систематизацию собранной информации;

Ø  исследовать влияние коэффициентов квадратного трехчлена на расположение параболы на координатной плоскости;

Ø  показать решения заданий разного типа.

Гипотеза: предположила, что знание свойств  квадратичной функции полезно при решении экзаменационных задач  ОГЭ по математике.

2.1. Квадратичная функция. Ее график и свойства.

Определение. Квадратичной функцией называется функция вида  у=ах²+вх+с, а ≠0

График – парабола (см. Рис. 1) с вершиной в точке (х₀,у ₀), где х₀ =-в/2а, у ₀=а(х₀ )²+вх ₀+с.

    D (f): х Є R. Функция непрерывна на всей  

 Рис. 1. График функции у = ах²+ вх +с , где а ≠0

Свойства функции

1.      у = ах²+ вх +с в случае а > 0.

1. D (f): х Є R;

2. Е (f) : у > у ₀;

3. у убывает при х Є( - ∞; х ₀ ); у возрастает при х Є (х ₀ :+ ∞)

4. Унаим = у ₀, Унаиб    - не существует;

5. Непрерывна;

6. Выпукла вниз.

2.      у = ах²+ вх +с в случае а < 0.  

1. D (f): х Є R ;

2. Е (f) : у < y₀ ;                                       Рис. 2. График функции у = ах² +bx+c в случае а < 0

3. y возрастает при хЄ( - ∞; х ₀); у убывает при хЄ(х ₀ + ∞);

4. Унаиб = у ₀, Унаим - не существует;

5. Непрерывна;

6. Выпукла вверх.

2.2. Исследование. Влияние коэффициентов квадратного трехчлена на расположение параболы на координатной плоскости.

Исследование.

Влияние коэффициентов квадратного
трехчлена на расположение параболы на координатной плоскости.
Цель исследования
 выяснить влияние коэффициентов квадратного трехчлена на расположение параболы на координатной плоскости.

План исследования

эксперимент №1 Расположение графика при а>0 1. b>0,c>0 2. b>0,c<0 3. b<0, c>0 4. b<0,c<0

эксперимент №2 Расположение графика при а<0 1.b>0,c>0 2.b>0,c<0 3.b<0, c>0 4.b<0,c<0

Результаты исследования

эксперимент №1

Расположение графика при а>0

1. b>0,c>0  вершина находится во II или III четверти.

           

2. b>0,c<0  вершина параболы                                           

находится в III четверти           

3.      b<0, c>0 вершина находится в I или IV четверти

                                                                                            
4. b<0,c<0  вершина находится в IV четверти          

Эксперимент  № 2

Расположение графика при а<0

1.b>0,c>0 вершина параболы находится

 в I четверти

2. b>0, c<0 вершина находится вo I или IV четверти

                               

3.b<0, c>0  вершина параболы находится вo II четверти    

4.b<0,c<0 вершина находится вo II или III четверти.

                                      

2.3. Применение квадратичной функции, ее графика и свойств при решении экзаменационных задач

Задание 11 № 1

Найдите значение a по графику функции у = ах²+ вх +с,             изображенному на рисунке.

1) – 1   2) 1   3) 2    4) 3

Решение: Абсцисса вершины параболы х ₀ = −1, поэтому   -в/2а= -1, откуда b=2a. Парабола пересекает ось ординат в точке с ординатой 3, поэтому c=3. Тем самым, уравнение параболы принимает вид

                                     y = ax ² + 2x + 3 . Поскольку парабола проходит через точку (−1; 2), имеем:2=а*(-1) ² +2*(-1)+3, откуда следует а=1.Верный ответ указан под номером 2.

Ответ: 2.

Задание 11 № 2

Найдите значение b по графику функции y = ax ² + bx + c, изображенному на рисунке.   

1)      -2    2) 1   3) 2   4) 3

Решение.

Абсцисса вершины параболы х ₀ = −1, поэтому   -в/2а= -1,  откуда b=2a. Парабола пересекает ось ординат в точке с ординатой 3, поэтому c=3. Тем самым, уравнение параболы принимает вид y = ax ² + 2x + 3 . Поскольку парабола проходит через точку (−1; 2), имеем:

2=а*(-1) ² +2*(-1)+3, откуда следует а=1.

Таким образом, b=2a=2 *11=2. Верный ответ указан под номером 3.

Ответ: 3.

Задание 11 № 3

   Найдите значение с по графику функции y = ax ² + bx + c , изображенному на рисунке.

1) -3   2)1   3)2     4) 3

Решение.

Значение c — это ордината графика при x=0. Значит, c=3. Такой ответ указан под номером 4.

Ответ 4.

Задание 11 № 4

На рисунке изображён график квадратичной функции y = f(x). Какие из следующих утверждений о данной функции неверны? Запишите их номера в порядке возрастания.

1) Функция возрастает на промежутке (−∞;  −1].               

2) Наибольшее значение функции равно 8.

3) f(−4) ≠ f(2).

Решение.

Проверим каждое утверждение.

1) На луче (−∞;  −1] большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Следовательно, функция возрастает на этом луче; первое утверждение верно.

2) Наибольшее значение функции равно 9, а не 8, как сказано во втором утверждении. Второе утверждение неверно.

3) Значения функции в точках −4 и 2 равны нулю, поэтому f(−4) = f(2). Третье утверждение неверно.

В ответе следует указать номера неверных утверждений, то есть 23.

Ответ: 23.

Задание 11 № 5 

                 На рисунке изображён график функции 

УТВЕРЖДЕНИЯ	ПРОМЕЖУТКИ
А) функция возрастает на промежутке Б) функция убывает на промежутке	1) [1;2] 2) [0;2] 3) [-1;0] 4) [-2;3]

y = ax ² + bx + c . Установите соответствие между утверждениями и промежутками, на которых эти утверждения выполняются. Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.

Решение.

Функция, изображённая на графике возрастает на промежутке [-1; 0]  и убывает на промежутке [1;2]. Следовательно, функция возрастает на третьем промежутке и убывает на первом.

Ответ: 31.

Задание 11 № 6

На рисунке изображены графики функций вида y = ax ² + bx + c. Для каждого графика укажите соответствующее ему значения коэффициента a и дискриминанта D.

              

1) a > 0, D > 0

2) a > 0, D < 0

3) a < 0, D > 0

4) a < 0, D < 0

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

А	Б	В	Г

Решение.  График функции — парабола. Ветви этой параболы направлены вверх, если a > 0 и вниз, если a < 0.При D > 0 уравнение ax² + bx + c = 0 имеет два корня, то есть график функции

 y = ax ² + bx + c имеет два пересечения с осью абсцисс. Если D < 0, то корней нет,  соответственно график не пересекает ось абсцисс. Таким образом, получаем ответ: A — 1, Б — 2, В — 4, Г — 3.

Ответ: 1243.

Задание 11 № 7

Установите соответствие между графиками функций и формулами, которые их задают.

         

А                                              Б                                              В

1) у = х ²       2) у = х/2         3) у = √х         4) у = 2/х

Ответ укажите в виде последовательности цифр без пробелов и запятых в указанном порядке.

Решение.

Определим вид графика каждой из функций.

1) у = х ² — уравнение параболы, ветви которой направленны вверх.

2) у = х/2 — уравнение прямой.

3) у = √х — уравнение верхней ветви параболы, направленной вправо.

4) у = 2/х — уравнение гиперболы.

Тем самым найдено соответствие: A — 1, Б — 4, В — 2.

Ответ: 142.

Заключение

     В ходе исследовательской работы я изучила литературу о квадратичной функции, ее свойствах. Выяснила влияние коэффициентов квадратного трехчлена на расположение параболы. В результате работы убедилась,  что знание свойств,  квадратичной функции, полезно при решении экзаменационных задач  ОГЭ по математике.

Литература и интернет ресурсы

1. Виленкин Н.Я. Функции в природе и технике. М. Просвещение, 1989г
2. Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: справочные материалы: книга для учащихся. М. Просвещение. 1988г
3. Образовательный портал «Сдам ГИА: Решу ОГЭ»

Структурное подразделение «Старочамзинская  основная общеобразовательная школа»

 МБОУ « Большеигнатовская СОШ»

Исследовательская работа

Квадратичная функция и её свойства в задачах первой части ОГЭ по математике

Автор работы: ученица 9 класса Куликова Ксения

Руководитель: учитель математики Дорофеева Елена Петровна

2021 г.