Исследовательская работа "Лента Мебиуса" 10 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение                                      средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных

предметов  с. Тербуны

Лента Мебиуса

                                                            Выполнила:    Чепурина Анна Витальевна ,

                                                                                      ученица  10-а класса

                                                                  Руководитель : Кирикова М.А ,

                                                                             учитель математики  первой 

                                                                             квалификационной категории 

с.Тербуны

2015г.

Введение…………………………........................................................3 

1.     Историческая справка ……………………………………………4

2.     Лист Мёбиуса – начало новой науки  топологии.........................5

3.     Изготовление листа Мебиуса ………………………………........6                                           

4.     Опыты с листом Мебиуса...............................................................9 

5.     Топологические свойства листа Мёбиуса ……………………..11                                              

6.      Теоремы о  ленте Мебиуса…………………………………… .12

7.     Фокусы с лентой Мебиуса………………………………………15

8.     Применение листа Мёбиуса……………………………………..16

Заключение..........................................................................................23

Список использованной литературы................................................25

Приложение

                                                   Введение

В наше время актуально изучение различных свойств и нестандартных применений необычных фигур.

         Слышали ли вы когда – нибудь о листе Мёбиуса? Как его можно изготовить, как  он связан с математикой и где применяется в жизни.

Занимаясь этой работой, я пришла к выводу, что хотя лист Мёбиуса открыли ещё в XΙX веке, он был актуален и в XX веке, и в XXΙ. Удивительные свойства листа Мёбиуса использовались и используются в кулинарии, в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий и бижутерии. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников.

Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни. В Москве, в сентябре 2006 года состоялся Фестиваль художественной математики. С большим успехом было принято выступление профессора из города Токио.

Меня очень заинтересовала, заинтриговала эта тема. Я изучила литературу, затем сама изготовила лист Мебиуса, а потом проводила исследования, ставя опыты, изучая его волшебные, необыкновенные свойства.

Лента Мёбиуса – бумажная лента, повёрнутая одним концом на пол- оборота (то есть 180 градусов) и склеенная с его другим концом.    Миллионы людей во всех частях света даже не подозревают, что они каждый день используют ленту Мёбиуса.

Цель:  рассказать и показать одноклассникам, что на вид простая лента, повёрнутая   

           на полоборота со склеенными концами, может заключать в себе много

           неожиданностей.

Объект  исследования: лист Мёбиуса.

ü    Задачи:  выявить  источники и литературу по данной теме и проанализировать их;

ü    познакомиться с историей возникновения листа Мёбиуса;

ü    научиться изготавливать лист Мёбиуса;

ü     изучить разнообразные свойства листа Мёбиуса;

  Работая над темой,  использовала следующие методы: анализ, синтез,

наблюдение, эксперимент, сравнение и социологический опрос.

ГЛАВА  I

«Лист Мёбиуса- начало новой науки»

1. 1. Историческая справка

 Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса придумал в 1858 году немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус. Рассказывают, что открыть свой “лист” Мёбиусу помогла служанка, сшившая неправильно концы длинной ленты. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал её результаты.      

Одновременно с Мёбиусом изобрёл этот лист и другой ученик К. Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году. А. Ф. Мёбиус  родился  в городе Шульпфорте. Некоторое время под руководством  К. Гаусса изучал  астрономию. Начал вести  самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории, в 1818г. стал её директором.  В те времена занятия матема­тикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. Став профессором Лейпцигского университета, с 1816 года Мёбиус впервые ввёл проективную геометрию, систему координат и аналитические методы исследования; установил существование односторонних поверхностей (листов Мёбиуса), многогранников, для которых неприменим «закон рёбер» и которые не имеют объёма. Мёбиус – один из основоположников теории геометрических преобразований, а также топологии. Он получил важные результаты в теории чисел (функция Мёбиуса) и стал одним из крупнейших геометров своего времени.

1.2. Лента Мёбиуса - начало новой науки топологии

С того момента, как немецкий математик А. Ф. Мёбиус обнаружил существование удивительного одностороннего листа бумаги, начала развиваться целая новая ветвь математики, называемая топологией. Термин “топология” может быть отнесён к двум разделам математики. Одну топологию, родоначальником которой был Пуанкаре, долгое время называли комбинаторной. За другой, у истоков которой стоял немецкий учёный Георг Кантор, закрепилось название общей или теоретико-множественной.

         Комбинаторная топология – раздел геометрии. «Геометрия» - слово греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие», («гео» - по – гречески земля, а «метрео» - мерить) изучает свойства фигур. Как и любая наука геометрия делится на разделы.

1. Планиметрия (лат. слово, «планум» - поверхность + метрия), раздел геометрии, изучающий свойства фигур на плоскости (треугольник, квадрат, круг, окружность и т.д.)

2. Стереометрия (греч, «стереос» - пространство + метрия) - раздел геометрии, изучающий свойства фигур в пространстве (шар, куб, параллелепипед и т.д.)

З. Топология (греч. «топос» - место, местность + логия) является одним из самых «молодых» разделов современной геометрии, в котором изучаются свойства таких фигур, которые не меняются, если  их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, т. е не изменяются при деформациях. Примером топологических объектов являются: буквы И и Н, тонкие длинные воздушные шарики.

         Комбинаторная топология изучает свойства геометрических фигур, остающиеся неизменными при взаимно однозначных и непрерывных отображениях. Долгое время топология воспринималась как наука, далёкая от жизни, призванная лишь «прославлять человеческий разум». Но в наше время выяснилось, что она имеет самое непосредственное отношение к объяснению устройства мироздания.

         Общая топология примыкает к теории множеств и лежит в основании математики. Это аксиоматическая теория, призванная исследовать такие понятия, как «предел», «сходимость», «непрерывность» и т. п. Основы аксиоматики топологического пространства были заложены Феликсом Хаусдорфом и завершены российским математиком Павлом Сергеевичем Александровым.

1.3. Как изготавливают лист Мёбиуса

● Лист Мёбиуса относится к числу (математических неожиданностей).Чтобы изготовить лист Мёбиуса, возьмём прямоугольную полоску АВCD, перекрутим её на 180 градусов и склеим противоположные стороны АВ и CD, т.е. так что совместятся точки А и C  и точки D и В.

Смотри прил. 1. 1.

●Формы и размеры бумажной полоски для листа Мёбиуса.

         Полоска должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине. Из квадратного листа ленты Мёбиуса не сделаешь. Это верно, но нельзя недооценивать тот факт, что ограничения на размер имеют значения в том случае, когда бумагу запрещается мять. Если же мять бумагу не запрещается, то лист Мёбиуса можно склеить не только из квадрата, но из прямоугольника любых размеров – склеиваемые стороны могут быть даже во сколько угодно раз длиннее не склеиваемых.

         ● Развёртывающая поверхность.

         Раз требование не мять бумагу важно, посмотрим, каков его математический смысл.

         Легко понять, что запрещение мять бумагу значительно ограничивает       

возможность манипулировать бумажным листом. Например, лист бумаги, не помяв, можно свернуть в трубку или сложить без складки пополам , но нельзя сложить вчетверо. Из листа бумаги, не смяв его, можно сделать конус, но нельзя сделать сферу или даже её кусочек: прижмите лист бумаги к глобусу ,и обязательно появятся складки. Как видно, листу бумаги можно придать далеко не всякую форму. Смотри прил. 2 .

         Поверхности, которые можно сделать из листа бумаги , изгибая, но, не сминая его, математики называют развёртывающимися. В математике развертывающиеся поверхности определяются не так: в метаматематическом языке отсутствуют слова «бумага», «сминать», «сделать». Существует целая теория развёртывающихся поверхностей, среди достижений которой – удовлетворительный ответ на вопрос, какими они могут быть; математики называют это «классификацией» (ответ принадлежит Леонардо Эйлеру). Приведём только некоторые свойства развертывающихся поверхностей как экспериментальные факты.

Смотри прил. 3

1.Через каждую точку А развёртывающиеся поверхности, не лежащую на её границе, проходит лежащий на поверхности отрезок, не кончающийся в А. Иначе говоря, каждой точке к развёртывающейся поверхности (изогнутому, но не смятому листу бумаги) можно приложить спицу так, чтобы она прилегала к поверхности на некотором протяжении по обе стороны от взятой точки. Такой отрезок называется образующей поверхности (условимся, что это название относится только к отрезкам максимальной длины, целиком лежащим на поверхности, то есть к отрезкам, не содержащимся в больших отрезках с этим свойством).

2.Если через точку А, не лежащую на границе поверхности, проходят две различные образующие, причём А не является концом ни одной из них, то достаточно маленький кусок поверхности, окружающий А, является плоским. В таком случае точку А мы будем называть плоской.

3.Если точка А, не лежащая на границе поверхности, является концом какой-нибудь образующей, скажем, а, то окрестность точки А устроена так: через точку А проходит единственная не кончающаяся в ней образующая, допустим b. Эта образующая разделяет поверхность на две части. С той стороны от образующей b, с которой находится образующая  a, к образующей b прилегает плоский кусок, с другой стороны от b, сколь угодно от точки А, имеются не плоские точки. Точку А в этой ситуации мы будем называть полуплоской.

Подчеркнём, что если точка поверхности не является ни граничной, ни плоской, то через неё проходит единственная не кончающаяся в ней образующая, причём концы этой образующей лежат на границе поверхности.

         ●Примеры: Лист бумаги, свёрнутый в цилиндр или в конус, плоских (и полуплоских) точек не имеет. У цилиндра образующие составляют семейство параллельных отрезков, у конуса – семейство отрезков, веером расходящихся из одной точки. Возможны более сложные расположения образующих.

Смотри прил. 4 .

 Например, образующие и плоские точки развёртывающейся поверхности, показаны  на рисунке  (на нём поверхность развёрнута в плоский лист бумаги): тонкие линии – образующие, а закрашенные области состоят из плоских точек.

         Точки, лежащие на границе области плоских точек, являются либо граничными для всей поверхности, либо полуплоскими. Если поверхность сделана из бумажного многоугольника (скажем, из прямоугольника), то плоские точки составляют один или несколько плоских многоугольников, причем у каждого из этих многоугольников вершины лежат на границе поверхности, а стороны либо лежат на границе, либо состоят из полуплоских точек.

ГЛАВА 2

2.1.  Опыты с листом Мебиуса

У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое «поверх­ность». Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что - нибудь таинственное в таком обычном понятии?  Да, может, примером является лист Мёбиуса. Чтобы изучить его свойства, я провела несколько опытов  (разделив их на две группы) самостоятельно.

I группа опытов

Опыт № 1. Мы привыкли к тому, что у всякой поверхности, с которой

                   имеем дело (лист бумаги, велосипедная или волейбольная камера) –

                   две стороны.

                   Начала красить лист Мёбиуса,  не переворачивая его.

                   Результат. Лист Мёбиуса закрасился полностью.

                   « Если кто - нибудь вздумает раскрасить только одну сторону

                   поверхности мёбиусовой ленты, пусть сразу погрузит её всю в ведро  с краской», - пишет Рихард Курант и Герберт Робинс в превосходной  

                  книге «Что  такое математика?»

Опыт №2. Изготовила из бумаги паука и муху и отправила «гулять» по

                   обыкновенному кольцу, но запретила им переползать границы.

                   Результат. Паук не смог добраться до мухи.

Опыт № 3. Отправила этих паука и муху только уже по листу Мёбиуса. И

                    запретила им переползать через границу.

                    Результат. Бедная муха будет съедена, если, конечно, паук бегает

                    быстрее!

Опыт №4. Изготовила из бумаги человечка и отправила, его путешествовать по ленте Мебиуса.

               Результат. Человечек  вернется в точку отправления,  в ней он  встретился бы    при этом со своим зеркальным  отображением.

II группа опытов

связана с разрезанием листа Мёбиуса, результаты  занёсены в таблицу

№ опыта	Описание опыта	Результат
1.	Простое кольцо разрезала по середине вдоль.	Получила два простых кольца, такой же длины, шириной в два раза уже, с двумя границами.
2.	Лист Мёбиуса разрезала по середине вдоль.	Получила 1 кольцо, длина которого в два раза больше, ширина в два раза уже, перекручено на 1 полный оборот, с одной границей.
3.	Лист Мёбиуса шириной 5см разрезала вдоль на расстоянии 1см от края.	Получила два сцепленных друг с другом кольца: 1) лист Мёбиуса  - длина = длине исходного, ширина 3см  ; 2) ширина 1см, длина в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота,  с двумя границами.
4.	Лист Мёбиуса шириной 5см  разрезала вдоль на расстоянии 2см от края.	Получила два сцепленных друг с другом кольца: 1) кольцо – лист Мёбиуса шириной 1см,  длина = длине исходного; 2) кольцо -  ширина 2см, в два раза длиннее исходного перекрученного на два полных оборота, с двумя границами.
5.	Лист Мёбиуса шириной 5см, разрезала вдоль на расстоянии 3см, от края.	Получила два сцепленных друг с другом кольца:1) кольцо – лист Мёбиуса шириной 1см такой же длины; 2) кольцо – шириной 2см длина его в два раза больше исходного перекручена на два полных оборота.

 Результаты проведённого социологического опроса с учащимися 10-а класса.

Вопросы	Да	Нет	Слышали
1.Знаете ли вы, что такое топология?	1	19
2.Знаете ли вы, что такое лента Мебиуса?	6	10	4
3.Знаете ли вы, свойства  ленты Мебиуса?	5	13	2

Только 5% учащихся 10-а класса знают,что такое топология. 30% учащихся  знают , что такое лента Мебиуса.20% слышали  о ней. 50% не имеют представление о ленте Мебиуса. 25% учащихся знают  свойства ленты, 10% слышали о них, 65%  не знают ничего о свойствах ленты Мебиуса.

2.2.Топологические свойства листа Мёбиуса

По результатам опытов можно сформулировать следующие топологические свойства листа Мёбиуса, относящиеся к математическим неожиданностям.

1.     Односторонность – топологическое свойство листа Мебиуса, характерное только для него.

2.     Непрерывность – на листе Мёбиуса любая точка может быть соединена

    с любой другой точкой. Разрывов нет – непрерывность полная.

               С топологической точки зрения круг            неотличим от квадрата,

               потому что их легко преобразовать один в другой, не нарушая

               непрерывность.              

3.     Связность – чтобы располовинить  кольцо, потребуется  два разреза. Что касается листа Мёбиуса, то количество связей заменяется в зависимости от смены количества оборотов ленты: если один оборот – двусвязен, если два оборота – односвязен, если три – двусвязен и т. д. А вот чтобы разделить квадрат на две части, нам потребуется только один разрез. Связность принято оценивать числом Бетти, или  иногда пользуются эйлеровой характеристикой.

4.Ориентированность – свойство, отсутствующее у листа Мёбиуса. Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем изгибам листа Мёбиуса, то тогда он вернулся бы в исходную точку, но превратился бы в своё зеркальное отражение.

5.«Хроматический номер» - это максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая  из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести. 

6.Теоремы о  ленте Мебиуса

Теорема 1:   λ ≥ π/2

Из-за сложности доказательства я не рассматриваю его в своей работе.

Теорема 2:   λ ≤ √3

Эта теорема проще предыдущей: для её доказательства достаточно объяснить, как склеить ленту Мёбиуса из полоски, длина которой больше √3. Предположим сначала, что её длина в точности равна √3. Тогда на этой полоске можно расположить два правильных треугольника. Перегнём полоску по боковым сторонам этих треугольников, чередуя направления сгиба . Края AB и CD полоски совместятся, причём точка A совместится с точкой D, а точка B – с точкой C. Получится лента Мёбиуса, края которой располагаются встык.(см. приложение 1.2)

При этом построении было нарушено главное правило – не мять бумагу. Но легко понять, что если длина полоски хоть немного больше √3, то  излом  по образующей можно заменить  изгибанием, производимым на узком участке. Короче говоря, излом вдоль прямолинейного отрезка нам не страшен: его можно заменить близким к нему изгибанием. (Непоправимое сминание бумаги происходит, когда две линии перегиба пересекаются, т.е. когда лист складывается наподобие носового платка – всё это известно нам из повседневного опыта.). Её устройство можно представить себе так: три одинаковых правильных треугольника ABC, A'B'C', A"B"C" лежат параллельно друг другу, соответствующие вершины над соответствующими вершинами; стороны AB и A'B', B'C' и B"C", C"A" и CA соединены перемычками. Линия склейки проходит по медиане одного из треугольников.

Почему не удаётся найти λ точнее?

Пока задача не решена, трудно сказать,  почему  она не решена. Всё же иногда в разных нерешённых задачах удаётся проследить общие трудности, отметить, так сказать, на математической карте труднопроходимые места, что позволяет подчас предсказать успех или неудачу при решении той или иной задачи

Теорема 3. Ленту Мёбиуса с самопересечениями можно склеить из полоски любой длины, большей π/2.

Делается это так. Возьмём достаточно большое нечётное n и построим правильный n-угольник, вписанный в окружность диаметра 1. Рассмотрим, далее, n содержащих центр окружности треугольников, каждый из которых ограничен стороной и двумя диагоналями n-угольника ( n=7). Эти треугольники покрывают наш n-угольник, некоторые его места – по нескольку раз. Приложим теперь эти n треугольников друг к другу , после чего отрежем по длинной медиане половину самого левого треугольника и приложим её к самому правому треугольнику . Получится прямоугольная полоска с отношением длины к ширине, бóльшим π/2 и стремящимся к π/2 при n, стремящимся к ∞ (ширина полоски стремится к 1, а длина – к π/2). Последовательно перегнем эту полоску по всем проведённым на ней линиям, чередуя направления сгиба  . Отрезки AB и CD при этом почти совместятся – между ними окажется только несколько слоёв сложенной бумаги. При этом “почти совмещении” точка A совместится с D, а точка B – с C, так что если бы мы смогли “пропустить ленту сквозь себя” и склеить |AB| с |CD|, то получилась бы лента Мёбиуса. Если ленту взять чуть более длинной, можно избежать складок, подобно тому как мы это сделали в доказательстве теоремы 2.  Получили ленту Мебиуса, края которой разделены несколькими слоями бумаги,смотрите  в приложении 1.3. Но вернёмся к ленте Мёбиуса. Теорема 1, как мы видели, в действительности относится к самопересекающимся лентам. Маловероятно, чтобы условие отсутствия самопересечений не воздействовало на λ; однако учесть это воздействие не удаётся, поскольку математика не обладает достаточными техническими средствами для изучения самопересечений в трёхмерном пространстве. Напротив, вполне вероятно, что теорема 2  неулучшаема. Ведь улучшить её – значит придумать новую  конструкцию  ленты. Опыт показывает, что оптимальные конструкции бывают простыми и гармоничными, каковой и является конструкция из доказательства теоремы 2. Естественно предположить, что если бы лучшая конструкция существовала, она была бы найдена – за столько лет!

Вот почему можно ожидать, что λ = √3.       

Фокусы с лентой Мебиуса

Проблема завязывания узлов

Как завязать на шарфе узел, не выпуская из рук его концов? Это можно сделать так. Положите шарф на стол. Скрестите руки на груди. Продолжая держать их в таком положении, нагнитесь к столу и возьмите поочередно по одному концу шарфа каждой рукой. После того как руки будут разведены, в середине шарфа сам собой получится узел. Пользуясь топологической терминологией, можно сказать, что руки зрителя, его корпус и шарф образуют замкнутую кривую в виде “трехлистного” узла. При разведении рук узел только перемещается с рук на платок.

 Завязать узел на шарфе одной рукой, не выпуская конец шарфа из руки. Ответ этой головоломки можно найти в книге М.Гарднера “Математические чудеса и тайны”.

С точки зрения топологии жилет можно рассматривать как двустороннюю поверхность с тремя не сцепленными краями, каждый из которых является обыкновенной замкнутой кривой. Застегнутый жилет является двусторонней поверхностью с четырьмя краями.

Загадочная петля.

Зрителю, носящему жилет, надевают на руку петлю, а затем просят заложить большой палец в нижний карман жилета. Теперь можно предложить присутствующим снять петлю с руки, не вытаскивая пальца из кармана жилета. Разгадка такова: петлю нужно протащить в жилетное отверстие для рукава, перебросить через голову зрителя, вытащить через второе отверстие для рукава и перенести под вторую руку. В результате этих действий петля окажется под жилетом, окружая собой грудь. Опускайте ее до тех пор, пока она не покажется из-под жилета, а затем дайте упасть на пол.

Вывертывание жилета на изнанку, не снимая с человека.

Владельцу жилета необходимо сцепить пальцы рук за спиной. Окружающие должны вывернуть жилет наизнанку, не разнимая рук владельца. Для демонстрации этого опыта необходимо расстегнуть жилет и стянуть его по рукам за спину владельца. Жилет будет болтаться в воздухе, но, конечно, не снимется, потому что руки сцеплены. Теперь нужно взять левую полу жилета и, стараясь не измять жилет, просунуть ее как можно дальше в правую пройму. Затем взять правую пройму и просунуть ее в ту же пройму и в том же направлении. Осталось расправить жилет и натянуть его на владельца. Жилет окажется вывернутым на изнанку. Этот фокус мы провели и сняли на видео с одноклассниками. Оно содержится в презентации «Лента Мебиуса».

2.3. Применение листа Мёбиуса

∞   У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу.

Смотри приложение 5.

Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе, которых лежит всё та же односторонняя поверхность.

∞ Лист Мёбиуса используется во многих изобретениях, навеянных тщательным изучением свойств односторонней поверхности. Полоса ленточного конвейера, выполненная в виде листа Мёбиуса, позволяет ему работать дольше в два раза , потому что вся поверхность листа равномерно изнашивается. В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек сразу с двух сторон. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты в два раза и соответственно время звучания. В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности. Это даёт ощутимую экономию. Лист Мёбиуса применяют в велосипедной и волейбольной камере.

∞  Совсем недавно ей нашли другое применение - она стала играть роль пружины, вот только пружины особенной. Как известно взведённая пружина срабатывает в противоположном направлении. Лист Мёбиуса же, вопреки  всем законам, направление срабатывания не меняет, подобно механизмам с двумя устойчивыми положениями. Такая пружина могла бы стать бесценной в заводных игрушках – её нельзя перекрутить, как обычную – своего рода вечный двигатель.

Смотрите прил. 6.

∞  В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса.

 ∞  Лист Мёбиуса используется в кулинарии для того, чтобы создать интересный и аппетитный вид для булочек, сушек, хвороста. А также при изготовлении инструментов для приготовления и украшения различных блюд, силовых конструкций (мешалка).

Смотри прил. 7.

 ∞  При помощи ленты Мёбиуса создают целые шедевры.

Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства. Эшер был одним из художников, кто особенно любил его и посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту. Одна из известных показывает муравьев, ползающих по поверхности листа Мёбиуса.

Смотри прил.9.

∞  Лист  Мёбиуса также постоянно встречается в научной фантастике, например, в рассказе Артура Кларка «Стена Темноты». Иногда научно – фантастические рассказы предполагают, что наша Вселенная может быть некоторым обобщенным листом Мёбиуса. В рассказе автора А.Дж. Дейча, бостонское метро строит новую линию, маршрут которой становится настолько запутанным, что превращается в лист Мёбиуса, после чего на этой линии начинают исчезать поезда.

∞  Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мёбиуса, и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти: спираль замыкается сама на себя, и происходит самоуничтожение.

Приложение 10.

∞  Мёбиусовый лист понравился не только математикам, но и фокусникам

Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цир­ке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).

 ∞  Физики утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах листа Мебиуса, в частности, отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой… правильно, зеркального своего двойника.

 ∞        Существует гипотеза, что наша Вселенная вполне вероятно замкнута в тот же самый лист Мёбиуса, согласно теории относительности, чем больше масса, тем больше кривизна пространства. Эта теория полностью подтверждает предположение, что космический корабль, всё время летящий прямо, может вернуться к месту старта, это подтверждает неограниченность и конечность Вселенной.

Смотри прил.  11.

  ∞  Интерес к листу Мёбиуса не угас и в наши дни. В Москве  в сентябре 2006 года состоялся Фестиваль художественной математики. С большим успехом было принято выступление профессора из г. Токио Джина Акияма. Его представление напоминало шоу иллюзиониста, где было место и листу Мёбиуса (работа с бумагой « Лист Мёбиуса и его модификации»).

СПОРТ

Ручной эспандер "Робур"

Смотри прил. 12 .

Одна из любимых вещей всех школьных учителей физкультуры, которая по их собственному выражению«тренирует не только мышцы кисти, но и мышцу мозга".Кистевой эспандер от студии Артемия Лебедева повторяет форму ленты Мёбиуса. Отличное средство для снятия стресса, размышлений о бесконечности и просто полезный способ занять руки.

ПАРФЮМ

Духи Bugatti

Смотри прил. 13

Компания Bugatti начала выпуск не только сверхдорогих автомобилей (модель Veyron стоит 1,3 млн. евро), но и… духов. каждый флакончик, сделанный из хрусталя и покрытый настоящим золотом выполнен в виде необычного листа Мёбиуса, который имеет лишь одну сторону. Цена духов Bugatti составляет 3500 евро.

Духи Loewe Quzas, Quizas, Quizas

Смотри прил. 14 .

Осенью 2011 года вышла багровая версия аромата, флакон которой обернут лентой Мебиуса – символом круговорота страстей в природе. Богатство композиции состоит из свежести азиатских апельсинов, бергамота, красных ягод, продолжается цветочным сердцем из магнолии, фрезии и лепестков апельсина, и завершается композицией из чувственного шлейфа кашмирового дерева, золотой амбры и ветивера.

Духи UFO Limited Edition, Kenzo

Смотри прил. 15 .

Презентация аромата Kenzo состоялась в 2009 году на ретроспективной выставке работ Рона Арада (Ron Arad) в парижском Центре Помпиду. Именно этот художник и архитектор придумал космический дизайн флакона в виде ленты Мебиуса. Он разработан так, чтобы точь-в-точь поместиться в ладонь. Unidentified Fragrance Object, или «Неопознанный ароматический объект» существует в количестве всего 180 экземпляров и стоит $188.

МЕБЕЛЬ

Стол Мёбиуса

Смотри прил. 16

Стол с одной поверхностью, за которым можно стоять, сидеть и на котором можно удобно лежать.

Книжная полка Infinity

Смотри прил. 17 .

Дизайнер Джоб Келевий сломал форму, когдаразрабатывал свой книжный шкаф Инфинити. Используяматематическую концепцию Лемниската, и что-то похожеена ленту Мебиуса, в полке Инфинити дизайнер воплотилфизическое представление о бесконечности. Это значит,что если вы прочитали все книги с этой полки, считайте, чтовы постигли всю бесконечность литературы.

Диван Мёбиуса

Смотри прил. 18.

Родившееся под девизом "Двойное кресло - двойное удовольствие", кресло-диван Moebius Double Armchair создано дизайнером Gaеtan Van de Wyer из Бельгии и несет в себе свежее видение мебели для влюбленных. 

ЛОГОТИПЫ

Логотип компании Woolmark

Смотри прил. 19.

Логотип был создан в 1964 году в результате дизайнерского конкурса. Член жюри Franco Grignani не устоял и предложил свой вариант, спрятавшись под псевдонимом Francesco Seraglio. Данный логотип напоминает лист Мебиуса и является символом вечности и гибкости компании. 

Символ переработки

Смотри прил. 20.

Международный символ переработки представляет собой Лист Мёбиуса. Перерабо́тка (другие термины: вторичная переработка,рециклинг отходов, рециклирование и утилизация отходов) — повторное использование или возвращение в оборот отходов производства или мусора. Наиболее распространена вторичная, третичная и т. д. переработка в том или ином масштабе таких материалов, как стекло, бумага, алюминий, асфальт, железо, ткани и различные виды пластика. Также с глубокой древности используются в сельском хозяйстве органические сельскохозяйственные и бытовые отходы.

Символ математики

Смотри прил. 21 .

Лист Мёбиуса считают символом современной математики, так как именно он дал толчок новым математическим исследованиям.

ОДЕЖДА И ОБУВЬ

Туфли

Смотри прил. 22.

Созданная в 2003 году архитектором Рэм Ди Колхаазом и обувщиком Галахадом Кларком компания United Nudeспециализируется на выпуске инновационной дизайнерской обуви. Одной из наиболее удачных разработок компании являются туфли Mobius, названные так в честь геометра Августа Мебиуса и его идеи односторонней поверхности. Идея туфель такова: кожаный верх туфель и подошва представляют собой единую ленту, закрученную определенным образом. 

Шарф Мёбиуса

Смотри  прил. 23 .

Инетресная вещь шарф Мёбиуса появивщаяся в гардеробах 21 века. Шарф Мёбиуса можно сделать самому связав концы шарфа на перекрутив на один оборорт.

ЖИВОПИСЬ

Граффити

Смотри прил. 24.

Современная лента Мёбиуса нарисована на одной из стен в Праге, Чехия.

По ленте двигаются два типа машин: танки и строительно-дорожная техника.Символ современной цивилизации: разрушаем-строим-разрушаем-строим..

АРХИТЕКТУРА

Здание библиотеки

Смотри прил. 25.

В настоящее время рассматривается проект постройки библиотеки в виде листа Мёбиуса в Казахстане.

Изгибы здания образуют лист Мёбиуса, таким образом внутреннее пространство переходит во внешнее и обратно; подобным образом стены переходят в крышу, а крыша трансформируется обратно в стены. Естественный свет проникает во внутренние коридоры сквозь геометрические отверстия во внешней оболочке, создавая прекрасно освещённые пространства, идеальные для чтения.

Аттракционы

Смотри прил. 26.

Аттракцион “Американские горки” напоминает форму листа Мебиуса. В Москве находятся самые большие в мире американские горки инвертированного типа, где человек сидит в подвешенном кресле, а его ноги находятся в воздухе. Скорость - 81 км/ч, высота 30 м. Высота, по сравнению с зарубежными аналогами, невелика, но это с лихвой окупается обилием спиралей, колец и мёртвых петель.

Кинолента

              Смотри прил. 27.

В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де Форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон. 

Кассета

Смотри прил. 28.

Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и соответственно время звучания.

Автомобиль Toyota MOB

Смотри прил. 29.

Боллид Мёбиуса выполнен испанским дизайнером Хорхе Марти Видала и сочетает в себе красоту и загадку ленты Мёбиуса. Уникальная форма кузова обеспечивает гоночной машине хорошую аэродинамику

Матричный принтер

Смотри прил. 30.

Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения её ресурса. 

Резистор Мёбиуса

Смотри прил. 31.

Это недавно изобретённый электронный элемент, который не имеет собственной индуктивности.

Шлифовальная лента

Смотри прил. 32.

В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса

Заключение

Лист Мёбиуса - первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но

эта - самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по - прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, худож­ников и нас учеников. Мне были очень интересны открытые свойства листа Мёбиуса:

·        Лист Мебиуса имеет один край, одну сторону

·        Лист Мёбиуса - топологический объект. Как и любая топологическая фигура, он не меняет своих свойств, пока его не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.

·        Один край и одна сторона листа Мебиуса не связаны с его положением в пространстве, не связаны с понятиями расстояния.

·        Лист Мёбиуса находит многочисленные применения в кулинарии, в технике, в физике, в живописи, в архитектуре, в оформлении ювелирных изделий и бижутерии и изучении свойств Вселенной. Вдохновлял он на творчество многих писателей и художников.

·        Лента Мебиуса вдохновляет многих художников на создание известных скульптур и картин.

·        Чудесные свойства ленты порождают множество научных трудов, изобретений (весьма полезных и совершенно нереальных), а также множество фантастических рассказов.

Работая над данной темой, я получила удовольствие от полезной и интересной информации о листе Мёбиуса от того, что смастерила своими руками и поделилась этим с ребятами нашей школы.

Итак :

 Я  выявила   источники и литературу по данной теме и проанализировала  их;

ü    Познакомилась  с историей возникновения листа Мёбиуса;

ü    Научилась  изготавливать лист Мёбиуса;

ü     Изучила  разнообразные свойства листа Мёбиуса;

  Лист Мёбиуса

Лист Мебиуса – символ математики,
Что служит высшей мудрости  венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,
Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В  поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,
Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары…

                                                 

Литература

1.     Е.С. Смирнова. Курс наглядной геометрии. – М: Просвещение, 2002.

2.     И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Еранжиева. Наглядная геометрия. 5-6 класс. – М: Дрофа, 2000.

3.     Лист Мёбиуса. [Электронный ресурс]. – Разработка ПО 2009. Режим доступа:  http://ru.wikipedia.org/wiki/Лист_Мёбиуса

4.     Старохамская Ю.А. Что такое лента Мёбиуса и зачем ее надо резать. [Электронный ресурс]. – Разработка ПО 2009. Режим доступа:  http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-13219/

5.     Фукс Д. Лента Мебиуса: Вариации на старую тему. [Электронный ресурс]. – Разработка ПО 2008. Режим доступа: http://arbuz.uz/t_lenta.html

6.     Эксперименты с листом Мёбиуса. [Электронный ресурс]. – Разработка ПО 2009. Режим доступа: http://oksla.narod.ru/experiments.html

7.     Энциклопедия для детей «Математика». – М: Аванта+, 2005.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение 1.1         

 

а

Приложение1.2.

Приложение 1.3.

Приложение 2.

Приложение 3.

 

   Приложение 4 .

Приложение 5.

Приложение 6 .

                                                               

Приложение 7 .

                    

Приложение 8.

Приложение 9.

Приложение 10.

Приложение 11.

Приложение 12 .                          

Приложение 13.

Приложение 14.

Приложение 15.

Приложение 16

Приложение 17.

Приложение 18.

Приложение 19.

Приложение 20.

Приложение 21.

Приложение 22.

Приложение 23.

Приложение 24.

Приложение 25.

Приложение 26.

Приложение 27.

Приложение 28.

Приложение 29 .

Приложение 30.

Приложение 31.

Приложение 32.