Исследовательская работа "Методика песочных часов"

                           МБОУ Новосёлковаская СОШ

                                  Арзамасского района

Работа реферативного характера с элементами

             самостоятельного поиска

Тема: «Арифметика песочных часов»

                                                     Выполнила ученица 10 класса

                                                     Усанова Анна Владимировна

                                                     Руководитель:

                                                     Филатова Анастасия Николаевна

                                                      учитель математики первой

                                                      квалификационной категории.

                             Нижегородская область

                              Арзамасский район

                               д.Бебяево д.40В

                                  [e-mail]

                                        2014-2015

Введение.

Летом я отдыхала в лагере и за победу в одном из конкурсов мне подарили чисто символический подарок – песочные часы. Стоят они у меня на столике и навели меня на следующие мысли: когда появились песочные часы, принцип их работы и разнообразия, а также их арифметика.

Трудно представить себе современную жизнь без возможности точно ориентироваться в окружающем нас мире.

За свою историю человек  изобрел множество  видов часов: солнечные, огненные, водяные, песочные, механические, электрические, электронные, атомные….
   Солнечные часы теперь можно встретить на зданиях как украшение. Об огненных часах напоминают свечи на новогодних елках. Водяные и песочные часы заявляют о себе в восклицании: ваше время истекло! Правда, кое-где в процедурных кабинетах поликлиник еще сохранились песочные часы на 3, 5 и 10 минут. Но и там они не могут составить конкуренцию электрическим и электронным таймерам, которые вытесняют эти изобретения тысячелетней давности, как ЭВМ и микрокалькуляторы вытесняют конторские счеты и арифмометры.

      Но все-таки мне хочется  поразмышлять немного о песочных часах – стеклянном баллончике с перетянутой по осиному талией, через которую из одной половинки часов в другую пересыпается мелкий прокаленный песок.
            Цель:

1.Проследить историю возникновения различных видов часов.

2.Подобрать и проанализировать литературу по данной теме.

3.Разобраться в арифметике песочных часов.

Раз – секунда пролетела,

Оглянуться не успела.

Шестьдесят секунд промчались –

И минутой оказались.

Ну а шестьдесят минут

Целый час с собой ведут.

Час за часом двадцать раз

И четыре про запас –

Сутки полные проходят

День и ночь с собой уводят.

Содержание.

I.                   Введение

II.                1.История часов

2.Арифметика песочных часов.

    III.     Заключение.

IV.             Литература

История часов.  

Когда мы употребляем слово «часы», при этом имеем в виду механизм для измерения времени. Но известно ли вам, что человек изобрел множество способов измерять время еще до того, как были придуманы первые механические часы. Сначала люди измеряли время в восходах и заходах солнца. Уменьшение или, наоборот, увеличение тени, падающей от различных предметов — палок, камней, деревьев, помогало человеку, пусть очень приблизительно, ориентироваться по времени. Звезды также служили людям в качестве гигантских часов, ведь человек давно заметил, что ночью в разное время видны разные звезды.

Древние египтяне делили ночь на двенадцать временных промежутков, каждый из которых начинался с восходом одной из двенадцати звезд. Кстати, на столько же промежутков делили египтяне и день. Получается, что наше деление суток на двадцать четыре часа основывается на представлениях древних египтян. Египтяне, между прочим, создали и так называемые теневые (мы их называем солнечные) часы. Они представляли из себя простую деревянную доску с отметинами. Теневые часы, разделенные на двенадцать дневных промежутков, и стали первым изобретением человека, предназначенным для измерения времени.

В других механизмах для измерения времени люди стали использовать огонь и воду. Оказывается, время можно измерить при помощи горящей свечи с надрезами по краям. Ведь за равные промежутки времени сгорают равные части свечи. И если зарубками отметить часть, сгорающую за, допустим, минуту, то с помощью свечи можно будет довольно точно измерять время. В других часах использовались вода и тарелка или блюдо. Если в блюде проделать небольшую дыру и положить его на воду, то через некоторое время вода заполнит блюдо и оно затонет. Если знать, что вода заполняет блюдо за, допустим, пятнадцать минут, то с помощью и этого нехитрого приспособления можно будет измерять время.

Около 140 года до нашей эры древние греки и римляне придумали способ усовершенствования водяных часов. В контейнер с водой, уровень которой постепенно поднимался, они помещали поплавок. Поплавок специальным приспособлением прикреплялся к зубчатому колесу — шестеренке. Когда вода достигала определенного уровня, колесо проворачивалось на один зубец. Одновременно поворачивалась и прикрепленная к нему стрелка.

Первые настоящие механические часы были изобретены более тысячи четырехсот лет тому назад. В этих часах к механизму крепилась катушка с цепочкой и грузом на конце. Под действием груза катушка вращалась, цепочка разматывалась. С помощью нескольких шестеренок и регулятора движение передавалось на стрелку, которая двигалась по циферблату.

Примерно две тысячи лет тому назад человек изобрел еще один прибор для измерения времени — песочные часы. Они состояли из двух сообщающихся сосудов с песком. Сосуды эти можно было переворачивать, и тогда песок из верхнего через узенькое отверстие начинал пересыпаться в нижний. Если один из сосудов наполнить таким количеством песка, чтобы тот пересыпался в нижнюю часть ровно за один час, то тогда и с помощью этого приспособления можно было довольно точно следить за временем.

Арифметика песочных часов.

В энциклопедической литературе я узнала следующую информацию о песочных часах.

Песо́чные часы́ — простейший прибор для отсчёта промежутков времени, состоящий из двух сосудов, соединённых узкой горловиной, один из которых частично заполнен песком. Время, за которое песок через горловину пересыпается в другой сосуд, может составлять от нескольких секунд, до нескольких часов.

Одним из первых упоминаний о таких часах является обнаруженное в Париже сообщение, в котором содержится указание по приготовлению тонкого песка из порошка чёрного мрамора, прокипячённого в вине и высушенного на солнце^[1]. На кораблях применялись четырёхчасовые песочные часы (время одной вахты) и 30-секундные для определения скорости корабля по лагу.

В настоящее время песочные часы используются при проведении некоторых врачебных процедур, в фотографии, а также в качестве сувениров.

В операционных системах Windows символ песочных часов, в который обращается указатель мыши используется для индикации занятости системы.

⌛ — символ песочных часов в Юникоде (HOURGLASS, код U+231B).

Недостатком песочных часов является короткий интервал времени, который можно измерить с их помощью. Часы, получившие распространение в Европе, обычно были рассчитаны на работу в течение получаса или часа. Встречались часы, работающие в течение 3 часов, очень редко — 12 часов. Для увеличения интервала измерения составлялись наборы песочных часов в одном корпусе (футляре).

Точность песочных часов зависит от равномерной зернистости и сыпучести песка, формы колбы, качества её поверхности. Колбы заполнялись отожжённым и просеянным через мелкое сито и тщательно высушенным мелкозернистым песком. В качестве исходного материала также использовались молотая яичная скорлупа, цинковая и свинцовая пыль. При длительном использовании точность песочных часов ухудшается из-за повреждения песком внутренней поверхности колбы, увеличения диаметра отверстия в диафрагме между колбами и дробления песчаных зёрен на более мелкие.

Песочные часы…

          Если это - трехминутные часы, то песок пересыпается за три минуты. Если их тут же перевернуть, то можно отмерить 6 минут. Еще раз перевернув их в момент полного пересыпания песка, можно дождаться окончания девятиминутного интервала. Понятно, что таким образом можно отмерить любое целое число минут, кратное трем.

         Ну а если у меня есть пара песочных часов- трехминутные и пятиминутные, - то  я смогу еще отмерять время, кратное 5 минутам. Таким образом, я могу отмерить 3,5,6,10 минут…  Кроме того, можно отмерить и 8 минут: сначала отсчитаем 5 минут на одних часах, а потом 3 минуты на других. А 11 минут? Тоже можно, потому что 11= 2*3+5. И 12 минут отмерить можно, так как 12= 4*3. Хочу проверить можно ли отмерить и 13, и 14, и 15 минут.
        А может быть, я смогу отмерять любое целое число минут, больше 7? Конечно же! Если мы умеем отмерять 8, 9, и 10 минут, то добавляя по 3 минуты, получим 11,12 и 13 минут, добавляя еще по 3 минуты, получим 14, 15 и 16 минут и т.д.
        Замечу, что заодно я показала, что всякую сумму в целое число рублей, большую семи рублей, можно уплатить купюрами достоинством в 3 и 5 рублей. На бумажных деньгах доказательство можно провести и иначе.
        Пусть мы можем уплатить некоторое число рублей, большее семи; покажем, что в таком случае мы можем уплатить сумму и на 1 рубль большую. Отсюда, как говорят, по индукции – и будет следовать наше утверждение.
Действительно, если в имеющейся сумме есть купюра в 5 рублей, то,  заменив ее двумя «трешками», мы увеличим сумму на 1 рубль. Если же в сумме нет ни одной «пятерки», то там не менее трех «трешек» ( сумма больше семи). Заменив три «трешки» двумя «пятерками», мы и в этом случае увеличим сумму на 1 рубль. Доказательство окончено.
         Но вернусь к песочным часам. Если у нас на руках только пятиминутные и десятиминутные часы, то, как нетрудно понять, с их помощью мы сможем отмерять только промежутки времени, кратные 5 минутам. И вообще, если у нас есть к- минутные и m- минутные песочные часы, то время, отмеренное с их помощью, будет кратно НОД(к, m)- наибольшему общему делителю чисел к и m. Числа 3 и 5 взаимно просты, их наибольший общий делитель равен 1; числа 3 и 10 тоже взаимно просты. Оказывается, что с помощью трехминутных и десятиминутных песочных часов можно отмерить любое целое число минут, большее семнадцати. Действительно, 18=6*3, 19=10+3*3, 20=2* 10. А дальше, как и прежде, добавляем нужное число раз трехминутные интервалы.
       Ну а в общем случае? Оказывается, что если числа k и m взаимно просты, то при помощи k- минутных и m- минутных часов можно отмерить любое целое количество минут, большее km- k-m.  Заметчу, кстати, что 3*5-3-5=7, а 3*10-3-10=17, т.е. трехминутными и пятиминутными часами можно отмерить любой целочисленный интервал времени, больший семи минут; а трехминутными и десятиминутными часами - любой целочисленный интервал времени, больший семнадцати минут, что мы и видели раньше.
        Докажем, что ровно km-k-m минут с помощью k-минутных и m-минутных часов при взаимно простых числах k и m отмерить нельзя. В самом деле, пусть мы смогли это сделать, «запуская» k- минутные часы x раз, а m-минутные - у раз. Тогда km-k-m=xk + ym, или k(x+1)=m(k-1-y) .Так как k и m взаимно просты, число k-1-y должно делиться на k( причем k-1-y>0 ). Но k-1-y<k. Получили противоречие.
 Таким образом, мы доказали, что, с помощью трехминутных и пятиминутных песочных часов невозможно отмерить промежуток времени в 7 минут. А теперь совершим невозможное - отмерим 7 минут с помощью этих часов! А как же наше доказательство? Доказательство верно, но лишь при том предположении, что очередной пуск часов происходит после полного пересыпания песка у работавших до этого часов. Это предположение естественно для одних часов, поскольку с их помощью мы не можем отмечать промежутки времени, меньшие того, на который эти часы рассчитаны. Но, имея двое часов, мы получаем новые возможности.
        Запустим одновременно трехминутные и пятиминутные часы. В тот момент, когда на трехминутных  часах упадет вниз последняя песчинка, остановим пятиминутные часы. Сделать это очень просто- стоит лишь положить их набок. Теперь пятиминутные часы «настроены» на 2 минуты, т.е.  с их помощью мы можем отмерить две минуты, а значит, и 7 минут : 7=2+5.
       Итак, с помощью трехминутных и пятиминутных часов мы можем отмерить промежутки времени в 2,3,5,6,7,8 и любое большее число минут. Остались неясными промежутки в 1 и 4 минуты. Может быть, их тоже можно отмерить? Конечно. «Запустим» наши часы одновременно. В тот момент, когда на трехминутных часах истечет песок, переворачиваем их и, тем самым, начинаем новую  трехминутку ,но прервем ее в  тот момент, когда вторые часы отмерят свои 5 минут. Остановленные трехминутные часы окажутся «настроенными» на 1 минуту ( 2*3-5=1). Получить теперь 4 минуты не представляет труда, поскольку 4=1+3.
      А можно ли с помощью трехминутных и десятиминутных часов получить все целые промежутки времени от 1 до 17 минут? Думаю, что – да.
       Почему я уверена в том, что это можно сделать? Дело в том, что имеет место следующая теорема:
       Если k и m– взаимно простые числа, то для любого целого числа n можно подобрать такие целые числа x и  y, что xk+ym=n. Какое отношение к песочным часам имеет эта теорема? Самое прямое. Из нее следует, что при наличии k-минутных и m-минутных часов, а потом еще  уk минут с помощьюm-минутных. Если же одно из них, например у, отрицательно, то запускаем одновременно те и другие часы, из которых высыпался песок, и в тот момент, когда m-минутные часы отсчитывают свои ( –ym) минут (y<0!), останавливаем k-минутные часы. Теперь, чтобы отсчитать n минут, следует запустить k-минутные часы и поддерживать их в работающем состоянии до тех пор, пока они не закончат отсчет xk минут.
       Таким образом, запущенные после остановкиk-минутные часы отсчитают xk-(-y)m=xk+ym=n минут.
       Но как найти решения уравнения xk+ym=n?Оказывается, достаточно научиться решать уравнения xk+ym=1: если x=a, y=b – решение этого уравнения, то x=na, y=nb - решение уравнения  xk+ym=n.
        Да, но как найти какое-нибудь решение уравнения xk+ym=1? Способов довольно много, опишу самый простой, но, наверное, не самый короткий.
Запишем это уравнение в виде y=(1-xk):m и будем придавать числу x значения 0,1,2, .., m-1. Покажем, что если числа  k и m взаимно просты, то при одном из этих значений число (1-xk):m будет целым. Найдем остатки от деления на m чисел  1-0*k, 1-1*k, …, 1-(m-1)*k.Они попарно различны,  ибо в противном случае число   (1-x₁k)-(1-x₂k)=(x₂-x₁)k делилось бы на m, а значит, и x₂-x₁ делилось бы на m(kmвзаимно просты!), что невозможно, так какx₂-x₁<m.Итак, при некотором из указанных значений x остаток равен нулю; следовательно, число y=(1-kx):m является целым. Эти  x и y и составляют искомое решение уравнения xk+ym=1.

Заключение.

Выполняя данную работу я узнала много интересной и полезной информации. А именно то, одно из первых изобретений человечества это часы. Без учета и фиксирования времени невозможно существование цивилизации. Неудивительно, что многовековая история часов породила множество удивительных конструкций, с помощью которых можно было измерять время. Сегодня мы можем назвать очень много видов часов – карманные, наручные, настенные, башенные, напольные. Все их объединяет одно – наличие часового механизма, который все время модифицируется, совершенствуется, позволяя человеку использовать часы практически в любом месте и любых ситуациях.

Но главное я узнала ответы на все (или почти все) мои вопросы.

Основным элементом песочных часов являются песочные колбы. Именно изготовление данного элемента песочных часов считается основным этапом технологического процесса. Когда данный этап подходит к концу, можно с уверенность говорить о том, что очередные песочные часы вот-вот будут готовы к использованию. При изготовлении песочных колб широко использовался метод производства прозрачного стекла, а также способ разлития данного стекла в полые колбы, имеющие сферическую форму.

После того, как песочные колбы готовы, их располагали таким образом, чтобы место их касания приобрело вид суженного горлышка. В это горлышко вставлялась специальная горизонтальная диафрагма, выполненная из металла. Диафрагма имела отверстие, которое создавалось с целью регулировать число и скорость песчинок, которые будут пересыпаться между колбами. Затем место стыка необходимо было укрепить плотной нитью и намазать смолой.

Со временем ученые заметили, что точность песочных часов напрямую зависит от качества, и, следовательно, от технологии изготовления самого песка. Поэтому на протяжении всего исторического периода приходилось множество раз менять технологию его производства. Ученые сошлись во мнении, что колбы должны заполняться отожженным песком, который имел бы тонкозернистую структуру. Предполагалось, что такой песок должен был быть много раз просеян через тонкие сита и затем полностью высушен. После такой обработки песок приобретал красноватую окраску. Однако Вы спросите, откуда же тогда в колбах песочных часов появлялся сероватый песок и песок светлого цвета?

Действительно, существовали не только красноватые пески. Так светлые пески, имеющие беловатый оттенок, происходили из жареной яичной скорлупы, которая предварительно была тонко помолота. Для изготовления сероватого песка использовались цинковые и свинцовые пыли.

За время от античности до современности технология производства песочных часов совершенствуется, однако в основе остаются принципы, выработанные еще в древности.

     Литература.

1.     Михаль С. Часы. От гномона до атомных часов = Hodiny (od gnomonu k atomovým hodinám) / Научный ред. В. А. Шполянский. Сокр. перевод с чешского Мельнера Р. Е.. — М.: Знание, 1983. — 256 с. — 80 000 экз.

2.     Серафимов В. В., Лермантов В. В., — Часы // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.

3.     Научно-популярный физико-математический журнал «Квант»., издательство «Наука»., Главная редакция физико-математической литературы., «Квант»1989.

4.     http://www.time-manage.com/istoriya-chasov.html

5.     http://www.marcoins.ru/istoriachasov.htm

6.     https://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%E5%F1%EE%F7%ED%FB%E5_%F7%E0%F1%FB

.