Исследовательская работа на тему "Фракталы"

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 3 c углубленным изучением

отдельных предметов» г. Котовск Тамбовская область

Исследовательская работа

Фракталы

Выполнена ученицей

7  А класса

 МБОУ «СОШ№3 с УИОП»

Дмитриевой Анастасией Дмитриевной

Научный руководитель

Учитель математики

 МБОУ «СОШ№3 с УИОП»

Артюхова Ольга Вячеславовна

Котовск, 2015

СОДЕРЖАНИЕ

Введение .....................................................................................................3

1.                 Что такое фрактал? ..........................................................................5

2.                 Типы фракталов. . ............................................................................6

    2.1.      Геометрические фракталы.........................................................6.

~       Кривая Коха ..........................................................................6

~       Снежинка Коха ......................................................................7

~       Ковер Серпинского. ..............................................................8

~       Треугольник Серпинского....................................................8

~       Дерево Пифагора...................................................................8

2.2.    Алгебраические фракталы.......................................................11

~       множество Мандельброта..............................................11

~       множество Жюлиа ..............................................................11

    2.3.     Стохастические фракталы........................................................12

3.                 Фракталы вокруг нас......................................................................13

4.                 Мои исследования..........................................................................17

5.                 Заключение......................................................................................21

6.                 Информационные источники........................................................22.

Введение.

«Есть в математике нечто,

 вызывающее человеческий восторг».

Ф. Хаусдорф.

            В современном мире всё стремительно меняется. Это касается и самой «старой» науки – математики. Меня заинтересовало одно из открытий тридцатилетней давности – открытие фракталов – удивительно красивых и таинственных геометрических объектов.

         Данная тема сегодня очень актуальна, поскольку в современной математике развивается новый раздел – фрактальная геометрия. Фракталы успели занять полноправное место не только в математике, но и в других областях науки, а красивые рисунки, выполненные с помощью компьютерной графики, привлекают к ним даже людей, далёких от науки.

         Вот что писал Мандельброт, сопоставляя классическую геометрию с фрактальной: « Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в её неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака – это не сферы, линии берега – не окружности, кора негладкая, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно. Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бесформенные, - задачи исследования морфологии аморфного».

           На уроках геометрии мы изучаем окружности, параллелограммы, прямоугольники, ромбы, квадраты, треугольники, их свойства. Однако в природе большей частью объекты «неправильные» - шероховатые, зазубренные, изъеденные ходами и отверстиями. Фракталы вокруг нас повсюду, и в очертаниях гор, и в извилистой линии морского берега. Некоторые из фракталов непрерывно меняются, подобно движущимся облакам или мерцающему пламени, в то время как другие, подобно деревьям или нашим сосудистым системам, сохраняют структуру, приобретенную в процессе эволюции.

         Оказывается, почти все природные образования имеют фрактальную структуру. Что это значит? Если посмотреть на фрактальный объект в целом, затем на его часть в увеличенном масштабе, потом на часть этой части и т. п., то нетрудно увидеть, что они выглядят одинаково. Фракталы самоподобны - их форма воспроизводится на различных масштабах.

          Открытие фракталов было открытием новой эстетики искусства, науки и математики, а так же революцией в человеческом восприятии мира.

Цель работы: познакомиться с таким математическим понятием, как «фрактал».

 Задачи:

~      узнать, что такое фрактал;

~      познакомиться с фракталами различных видов;

~      рассмотреть область приминения фракталов;

~      сделать выводы.

Гипотеза:  фракталы – область удивительного математического искусства.

Что такое фрактал

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков. Слово «фрактал» образовано от латинского fractus и в переводе означает «состоящий из фрагментов». Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался.

Одним из основных свойств фракталов является самоподобие, в самом простом случае небольшая часть фрактала содержит информацию обо всем фрактале.

Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: "Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому".

Не вдаваясь в математические тонкости можно сказать, что фракталы это самоподобные структуры. То есть, взяв отдельную часть изображения фрактала, можно в ней обнаружить все то же самое, что и в основном изображении.

        Можно сказать, что фракталы – это уникальные объекты, порожденные непредсказуемыми движениями хаотического мира!

Типы фактралов

 Для того чтобы представить все многообразие фракталов удобно прибегнуть к их общепринятой классификации. Фракталы делятся на многочисленные группы. Самые распространенные и крупные из них – это:

·        геометрические фракталы

·        алгебраические фракталы

·        стохастические фракталы

Геометрические фракталы

        История фракталов началась с геометрических фракталов, которые исследовались математиками в 19 веке. Это и есть те функции-монстры, которых так называли за недифференцируемость в каждой точке. Геометрические фракталы являются также самыми наглядными, так как сразу видна самоподобность. Вообще все геометрические фракталы обладают жесткой самоподобностью, не изменяющейся при изменении масштаба. Для построения геометрических фракталов характерно задание "основы" и "фрагмента", повторяющегося при каждом уменьшении масштаба. Поэтому эти фракталы иногда называют конструктивными или автомодельными. Примерами таких фракталов являются треугольник Серпинского, снежинка Коха, кривая Леви и многие другие.

Кривая Коха.

          Кривая Коха была описана в 1904 году шведским математиком Хельге фон Кохом (1870-1924) .

Алгоритм построения:

Единичный отрезок делим на три равные части и заменяем средний интервал равносторонним треугольником без средней трети; в результате образуется ломанная, состоящая из четырех звеньев длины 1/3; на следующем шаге повторяем описанную выше операцию для каждого из четырех получившихся звеньев; этот процесс продолжается неограниченно; предельная кривая и есть кривая Коха.

Снежинка Коха

       Из геометрических фракталов очень интересным и довольно хорошо известным является снежинка Коха.                                                               

         Строится она на основе равностороннего треугольника, каждая линия которого заменяется на 4 линии длиной в 1/3   исходной _/\_. Таким образом, с каждой итерацией длина кривой увеличивается на треть. И если мы сделаем бесконечное число итераций, то получим нужный фрактал, то есть снежинку Коха бесконечной длины.

Треугольник Серпинского.

 В 1915 году польский математик Вацлав Серпиньский (1882-1969) придумал красивый фрактальный объект – треугольник Серпиньского (его еще называют салфеткой или решетом Серпиньского).

Построение треугольника Серпинского:

На этой последовательности изображены треугольники Серпинского разных порядков. Сначала нам дан равносторонний треугольник. Из середины мы вырезаем другой треугольник, образованный точками, которые делят стороны исходного треугольника пополам. Далее операция проделывается для каждого из оставшихся треугольников.

Ковер Серпинского

Ковер Серпинского считается еще одной моделью фрактала.

Строится он следующим образом: берется квадрат, делится на девять квадратов, вырезается центральный квадрат. Затем с каждым из восьми оставшихся квадратов проделывается подобная процедура. И так до бесконечности. В результате вместо целого квадрата мы получаем ковер со своеобразным симметричным рисунком. Впервые данную модель предложил математик Серпинский, в честь которого он и получил свое название.

Дерево Пифагора.

          Пифагор, доказывая свою знаменитую теорему, построил фигуру, где на сторонах прямоугольного треугольника расположены квадраты. В наш век эта фигура Пифагора выросла в целое дерево.

           Впервые дерево Пифагора построил А. Е. Босман во время второй мировой войны, используя обычную чертёжную линейку. Одним из свойств дерева Пифагора является то, что если площадь первого квадрата равна единице, то на каждом уровне сумма площадей квадратов тоже будет равна единице.

        Если в классическом дереве Пифагора угол равен 45 градусам, то также можно построить и обобщённое дерево Пифагора при использовании других углов. Такое дерево часто называют обдуваемое ветром дерево Пифагора. Если изображать только отрезки, соединяющие каким-либо образом выбраные «центры» треугольников, то получается обнаженное дерево Пифагора.

Драконова ломаная

 Кривая Дракона изобретена итальянским математиком Джузеппе Пеано. Драконова ломаная относится к классу самоподобных рекурсивно порождаемых геометрических структур. Ломаная нулевого порядка представляет собой просто прямой угол. Изображение фигуры каждого следующего порядка строится путем рекурсивных замен каждого из отрезков фигуры младшего порядка на два отрезка, сложенных также в виде прямого угла.
     При этом каждый первый угол оказывается "вывернутым" наружу, а каждый второй - вовнутрь. Несмотря на внешнюю простоту, построение драконовой ломаной - увлекательная алгоритмическая задачка, решение которой может потребовать от нас определенных мыслительных усилий.

  В каждом из приведённых примеров мы рассмотрели несколько последовательных стадий преобразования исходной фигуры. Каждая из полученных на отдельном этапе фигур называется предфракталом, и их самоподобие очевидно. Настоящий фрактал получится, если число шагов алгоритма построения будет стремиться к бесконечности. Геометрические фракталы имеют колоссальное практическое значение. Применяя их в машинной графике, ученые научились получать сложные объекты, похожие на природные: изображения снежинок, горных вершин, искусственных облаков, деревьев, кустов, веток, береговой линии и так далее.

Алгебраические фракталы

  До сих пор все рассмотренные нами фракталы были геометрическими. Получены они  путем применения какого-либо преобразования во все меньшем масштабе. Такое преобразование называется итерацией  (повторением).

  Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что повторяющимся преобразованиям (итерированию) подвергаются не геометрические объекты, а алгебраические формулы. В результате некоторого количества итераций получаем множество, обладающее фрактальными свойствами. Эти множества могут быть представлены графически.  Их изображения ученые научились получать лишь после создания ЭВМ.

Очень сложные фрактальные картины получаются из  достаточно простых функций. Самыми известными алгебраическими фракталами  являются множества Мандельброта, множество Жюлиа, генерируемые простым уравнением с использованием комплексных чисел.

           К сожалению, многие термины уровня 10-11 класса, связанные с комплексными числами, необходимые для объяснения построения фрактала, мне неизвестны и пока трудны для понимания, поэтому подробно описать построение фракталов подобного вида для меня не представляется возможным.

Изначально фрактальная природа черно-белая, но если добавить немного фантазии  и красок, то можно получить настоящее произведение искусств.

Стохастические фракталы

Еще одним известным классом фракталов являются стохастические фракталы, которые получаются в том случае, если в итерационном процессе случайным образом менять какие-либо его параметры. К этому классу фракталов относится и фрактальная монотипия, или стохатипия. Термин «стохастичность» происходит от греческого   слова,   обозначающего   «предположение».   При   этом получаются объекты, очень похожие на природные – несимметричные деревья, изрезанные береговые линии и т.д.

 Двумерные стохастические фракталы используются при моделировании рельефа местности и поверхности моря.

Типичный представитель данного класса фракталов  - плазма.

Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число – тем более “рваным” будет рисунок.

 Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря – получим вместо плазмы – горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладываем текстуру и, пожалуйста,  фотореалистичные горы готовы.

Фрактальные модели сегодня широко применяют в компьютерных играх, создавая в них обстановку, которую уже трудно отличить от реальности

                                              

        Плазма                                                    Плазма 3d

Эта группа фракталов получила широкое распространение благодаря работам Майкла Барнсли из технологического института штата Джорджия..

Фракталы вокруг нас.

Фракталы на кухне.

      Фрактал, от которого плачут.

     Салатный лук сиреневого цвета в силу своего окраса и отсутствия слезоточивых фитонцидов навел на размышления о природной фрактальности этого овоща. Конечно, фрактал он незамысловатый, обычные окружности разного диаметра, можно даже сказать примитивнейший фрактал. Но не мешало бы вспомнить, что шар считается идеальной геометрической фигурой в пределах нашей Вселенной.

         Типичный представитель фрактала из растительного мира - цветная капуста.

     Дизайнеры и 3D-художники восторгаются экзотическими формами, похожими на фракталы цветной коралловой капусты.

Фракталы в народном творчестве.

         Мое внимание привлекла история всемирно известной игрушки «Матрешка». Присмотревшись внимательней, с уверенностью можно сказать, что эта игрушка-сувенир - типичный фрактал. Принцип фрактальности очевиден, когда все фигурки деревянной игрушки выстроены в ряд, а не вложены друг в друга.

                                                                                Не менее интересный объект исследования представляет собой роспись игрушки-фрактала. Это декоративная роспись – хохлома. Традиционные элементы хохломы – это травяные узоры из цветов, ягод и веток. Снова все признаки фрактальности. Ведь один и тот же элемент можно повторять несколько раз в разных вариантах и пропорциях. В итоге получается народная фрактальная роспись.

Компьютерная графика

        Фракталы широко применяются в компьютерной графике для построения изображений природных объектов, таких, как деревья, кусты, горные ландшафты, поверхности морей и т. д. С помощью этого метода создаются реалистичные изображения природных объектов, таких, например, как листья папоротника, деревья при этом неоднократно                                                                                                        применяются преобразования, которые двигают, изменяют в размере и вращают части изображения.

Фракталы в природе.

      Осьминог – морское придонное животное из отряда головоногих.

      Взглянув на эту фотографию, очевидно фрактальное строение его тела и присосок на всех восьми щупальцах этого животного.

      

          Это родственник улиток, брюхоногий голожаберный моллюск Главк. Этот фрактал встречается во всех океанах тропического пояса.

 

      Каждый из нас хотя бы раз в жизни держал в руках и с неподдельным детским интересом рассматривал морскую раковину. Когда смотришь на это спиралевидное образование беспозвоночных моллюсков, нет никаких сомнений в его фрактальной природе.

       Еще одни типичнейшим представителем фрактального подводного мира является коралл.

Фракталы, созданные мной.

        Выше мы дали определение фракталов, узнали историю возникновения, рассмотрели различные их виды.

        Меня заинтересовало: как можно самой построить такие фракталы? 

Фрактал «Уголок                                                                  

       Я разделила отрезок на три равые части и среднюю треть заменила на три отрезка такой же длины в форме буквы «П». Далее повторила это действие еще несколько раз.  Получила фрактал, который назвала «Уголок».

Фрактал «Зáмок».

          Инициатором данного фрактала является горизонтальный отрезок длины  L - это фрактал нулевого порядка. Фрактал первого порядка мы получим следующим образом: разделим отрезок на три равные части и заменим среднюю часть квадратным зубцом со стороной L/3, как показано на  рисунке.

           Чтобы построить «Зáмок» 2-го порядка, на каждом горизонтальном отрезке также построим квадратный зубец.

        Продолжая проделывать те же шаги будем получать фракталы все больших порядков. На картинках изображены фракталы третьего и четвертого порядков.

       Я назвала этот фрактал «Зáмок» из-за сходства с контурами зáмка.

 Фрактал «Домик».

        Инициатором этого фрактала является горизонтальный отрезок длины L.  Для создания фрактала первого порядка разделим данный отрезок на четыре части тремя вертикальными отрезками, как показано на рисунке, и соединим их верхние точки в треугольник. На рисунке  показан фрактал первого порядка.

     

          Для создания фракталов большего порядка будем проделывать эту процедуру над каждым из полученных отрезков. Ниже показаны фракталы 2 и 3 поколений.

Заключение

Своей проектной работой я хотела рассказать о довольном новом понятии в математике «фрактал». Что это такое, какие существуют виды, где распространяются.

 По сути, фракталы открывают нам глаза и позволяют посмотреть на математику с другой стороны. Казалось бы, производятся обычные расчёты с обычными «сухими» цифрами, но это даёт нам по-своему уникальные результаты, позволяющие почувствовать себя творцом природы. Фракталы дают понять, что математика — это тоже наука о прекрасном, когда с помощью простейших формул и алгоритмов получаются картины необычайной красоты исложности! 

        Моя гипотеза подтвердилась. Фракталы – область удивительного математического искусства!

Информационные источники:

1.      Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы.

2.     Пайттен Х.Щ., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Пер. с англ. – М.: Мир, 1993.

3.     Шабаршин А.А. Введение во фракталы. – Екатеринбург, 1998.

4.     Фракталы.  Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика. – М., 1998.

5.     http://www.ghcube.com/fractals/determin.html

6.     http://arbuz.uz/s_fractal.html

7.     http://www.cnam.fr/fractals/

8.     http://www.softlab.ntua.gr/mandel/

9.     http://www.math.yale.edu/mandelbrot/

Краткое описание документа:

Тема проекта раскрыта исчерпывающе, Анастасия продемонстрировала знания, выходящие за рамки школьной программы. Работа содержит достаточно полную информацию из разнообразных источников. Представлен исчерпывающий анализ ситуаций, складывавшихся в ходе работы, сделаны необходимые выводы. Работа отличается творческим подходом, собственным оригинальным отношением автора к идее проекта, четким и грамотным оформлением в точном соответствии с установленными правилами.