Исследовательская работа на тему "Функции комплексного переменного"

        МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ, НАУКИ И МОЛОДЕЖИ РЕСПУБЛИКИ КРЫМ

МАЛАЯ АКАДЕМИЯ НАУК «ИСКАТЕЛЬ»

                                                                           Отделение: математика

                                                                                 Секция: математика

Функции комплексного переменного

Работу выполнила:

________________________

ученица ____ класса

Научный руководитель:

Тезисы

Функции комплексного переменного

      Отделение: математика

      Секция: математика

      Автор: 

      Научный руководитель:

Решение многих задач математики, физики  сводится  к  решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Стремление сделать уравнения разрешимыми – одна из главных причин расширения понятия числа.

Комплексные числа имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, но и в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии. Именно поэтому следует расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях.

    Целью исследования было изучить понятие комплексного числа, свойства,  правила действий,  простейшие функции комплексного переменного.

В работе рассмотрено понятие комплексных чисел, рассмотрены примеры действий с комплексными числами. Особое внимание уделено графическому изображению функций комплексного переменного. 

   График  комплексной функции   можно было бы  построить в четырехмерном пространстве, но существуют способы построения в виде поверхностей в трехмерном пространстве.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ..……………………………………………………………………...3

РАЗДЕЛ 1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ……4

РАЗДЕЛ 2. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ СВОЙСТВА…………………..6

1.1. Определение комплексного числа………………………………………….6

1.2. Геометрическое изображение комплексных чисел………………………..7

1.3. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа……...8

1.4. Действия с комплексными числами………………………………………..10

1.4.1. Сложение комплексных чисел……………………………………………10

1.4.2. Вычитание комплексных чисел…………………………………………...11

1.4.3. Произведение комплексных чисел………………………………………..11

1.4.4.  Извлечение корней ………………………………………………………..12

1.5. Геометрический смысл алгебраических операций ………………………...13

1.6. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений..18

РАЗДЕЛ 3. ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ  КОМПЛЕКСНОГО

ПЕРЕМЕННОГО…………………………………………………………………..20

ЗАКЛЮЧЕНИЕ…………………………………………………………………....26

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………………....27

ВВЕДЕНИЕ

Решение многих задач математики, физики  сводится  к  решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Стремление сделать уравнения разрешимыми – одна из главных причин расширения понятия числа.

Действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например, квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет действительных корней. Простейшее из них – уравнение х²+1=0. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел, добавляя к нему новые числа. Эти новые числа вместе с действительными числами образуют множество, которое называют множеством комплексных чисел.

Алгебру комплексных чисел можно успешно использовать в элементарной геометрии, тригонометрии, теории геометрических преобразований, а также в электротехнике и различных задачах с механическим и физическим содержанием.

Комплексные числа и функции комплексного переменного находят применение во многих вопросах науки и техники.

Объект исследования: комплексные числа и функции комплексного переменного.

         Цель исследования: изучить понятие комплексного числа, свойства,  правила действий,  простейшие функции комплексного переменного.

         Задачи исследования: 1) изучить литературу по теме;

         2)  рассмотреть различные свойства и формы комплексных чисел, математические действия с ними;

         3)  использовать изученный материал для вычисления значений простейших функций комплексного переменного;

         4) рассмотреть графическое изображение  простейших функций комплексного переменного.

РАЗДЕЛ 1

ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ

         Джеронимо Кардано (1501 – 1576)  поставил задачу: нарезать участок земли прямоугольной формы с площадью 40 кв. ед. и периметром 20 лин. ед. Решая систему , он пришёл к уравнению x² - 10x + 40 = 0, корни которого не являются действительными числами. Он показал, что система уравнений  не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида , .  Кардано был удивлён таким результатом, назвав число  софистическим, добавив, что “для осуществления таких действий нужна была бы новая арифметика, которая была бы настолько же утончённой, насколько бесполезной”,  нужно только условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и считать, что . Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой природы,  

 называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в 1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть до извлечения из них кубических корней.

 Название “мнимые числа” ввел в 1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа i (i² = -1) - мнимой единицы. Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу.  Термин “комплексные числа”  так же был введен Гауссом в 1831 году. Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание, совокупность понятий, предметов, явлений и т. д., образующих единое целое.

         В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.  Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и XVIII веков была построена общая теория корней n-х степеней сначала из отрицательных, а затем из любых комплексных чисел, основанная на формуле английского математика А. Муавра.

         С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу: ,  которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую комплексную степень. Любопытно, например, что . Можно находить синус и косинус от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.

         В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. Швейцарский математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.

         Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией, гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования теории этих чисел.

                   Большой вклад в развитие теории функций комплексного переменного внесли русские и советские ученые. Н. И. Мусхелишвили занимался ее применениями к упругости, М. В. Келдыш и М. А. Лаврентьев - к аэро- и гидродинамике, Н. Н. Богомолов и В. С. Владимиров - к проблемам квантовой теории поля.

РАЗДЕЛ 2

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ИХ СВОЙСТВА

         1.1. Определение комплексного числа

         Комплексным числом является комбинация z = a + bi, где a и b – действительные числа, а i – мнимая единица: формальный символ, означающий квадратный корень из минус единицы: i² = – 1. При этом a = Rez называется действительной частью комплексного числа, а b = Imz соответственно мнимой (обозначения от слов Real  и Image соответственно).

Действительные числа являются частным видом комплексных чисел (при b = 0).

         Долгое время не удавалось найти такие физические величины, над которыми можно выполнять действия, подчинённые тем же правилам, что и действия над комплексными числами. Отсюда названия: “мнимая единица”, “мнимое число” и т.п. В настоящее время известен целый ряд таких физических величин, и комплексные числа широко применяются не только в математике, но также и в физике и технике.

         Правило каждого действия над комплексными числами выводится из определения этого действия. Но определения действий над комплексными числами не вымышлены произвольно, а установлены с таким расчетом, чтобы согласовались с правилами действий над действительными числами. Ведь комплексные числа должны рассматриваться не в отрыве от действительных, а совместно с ними.

         Комплексное число вида 0 + bi называется «чисто мнимым». Запись  bi обозначает то же, что 0 + bi.

Два комплексных числа a + bi,  a₁ + b₁i  называются  равными, если

 a = a₁, b = b₁.

         1.2. Геометрическое изображение комплексных чисел

          Действительные числа можно изобразить точками прямой, как показано на рис.1, где точка С изображает число 4. Это число можно изобразить также отрезком ОС, учитывая не только его длину, но и направление.

 

Рис.1

          Каждая точка С «числовой прямой» изображает некоторое действительное число (рациональное, если отрезок ОС соизмерим с единицей длины, и иррациональное, если несоизмерим). Таким образом, на «числовой прямой» не остаётся места для комплексных чисел.

          Но комплексные числа можно изобразить на плоскости. Для этого мы выбираем на плоскости прямоугольную систему координат (рис. 2). Комплексное число a + bi мы изображаем точкой, у которой абсцисса х равна абсциссе а комплексного, а ордината у равна ординате b комплексного числа.

Рис.2

Комплексное число  может также изображаться вектором с координатами a и b, идущим из начала координат в точку (a; b).      По определению модуля комплексного числа

,                              

модуль комплексного числа равен длине вектора .

         Пример. На рис. 1 точка А с абсциссой х=2 и ординатой у=3 изображает комплексное число 2+3i. Точка  В (-3, 1) изображает комплексное число: –3 + i.

         Действительные числа (в комплексной форме они имеют вид a + 0i) изображают точками оси OХ, а чисто мнимые – точками оси OУ.

         Пример. Точка  С на рис. 1 изображает действительное число 4, точка D – чисто мнимое число -3i. Начало координат изображает число 0.

         Сопряжённые комплексные числа a + bi  и a - bi изображаются парой точек, симметричных относительно оси абсцисс.  Комплексные можно изображать также векторами, начинающимися в точке О и оканчивающимися в соответствующей точке числовой плоскости. Так, комплексное число a + bi можно изобразить не только точкой Z (рис. 2), но также вектором ОZ .

Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

         Геометрическое истолкование комплексных чисел позволило определить многие понятия, связанные с функцией комплексного переменного, расширило область их применения.

         Стало ясно, что комплексные числа полезны во многих вопросах, где имеют дело с величинами, которые изображаются векторами на плоскости: при изучении течения жидкости, задач теории упругости.

         1.3. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа

Понятия «больше» или «меньше» для комплексных чисел лишено смысла (не принято никакого соглашения).

Пусть точка М(х,у) (или радиус – вектор 0М) изображает комплексное число z=x+iy.

Число r=√x²+y²­, равное длине вектора, изображающего комплексное число, т.е. расстоянию от начала координат до изображающей это число точки, называется модулем комплексного числа z=x+iy и обозначается символом |z|.

Угол φ=(0М,ˆ0х) между положительным направлением оси 0х и вектором 0М, изображающим комплексное число z=x+iy ≠0, называется его аргументом.

  

Рис.3

Из определения видно, что каждое комплексное число (≠0), имеет бесконечное множество аргументов. Все они отличаются друг от друга на целые кратные 2π и обозначаются единым символом Argz (для числа z=0 аргумент не определяется, не имеет смысла).

Каждое значение аргумента совпадает с величиной φ некоторого угла, на который следует повернуть действительную ось (ось 0х) до совпадения ее направления с направлением радиус-вектора точки М, изображающей число z (при этом φ > 0, если поворот совершается против часовой стрелки и φ <0 в противном случае). Таким образом, аргумент комплексного числа z=x+iy ≠0 есть всякое решение φ системы уравнений cosφ=x/√x²+y²; sinφ=y/√x²+y².

Значение Argz при условии 0≤Argz<2π называется главным значением аргумента и обозначается символом argz. В некоторых случаях главным значением аргумента считают наименьшее по абсолютной величине его значения, т.е. значение, выделяемое неравенством -π<φ≤π.

Между алгебраическими х, у и геометрическими r, φ характеристиками комплексного числа существует связь, выражаемая формулами x=rcosφ, y=rsinφ, следовательно, z=x+iy=r(cosφ+isinφ). Последнее выражение, т.е.

                                 z=r(cosφ+isinφ)                       

называется тригонометрической формой комплексного числа. Любое число z≠0 может быть представлено в тригонометрической форме.

              Для практики число вида (cosφ+isinφ) удобнее записывать короче, с помощью

                                                e^iφ=cosφ+isinφ                               

              Доказанное для любых чисел φ (действительных или комплексных) это равенство называется формулой Эйлера. С ее помощью всякое комплексное число может быть записано в показательной форме

                                                 z=re^iφ                                          

          1.4. Действия с комплексными числами

            1.4.1. Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел  z₁ = a + bi и z₂ = c + di называется комплексное число z = (a+c) + (b+d)i  

Числа a+bi и a-bi называются сопряженными. Их сумма равна действительному числу 2а, (а+bi) + (а-bi) = 2а.

Числа а+bi и -a-bi называются противоположными. Их сумма равна нулю. Комплексные числа равны, если равны их действительные части и коэффициенты мнимых частей: а+bi = c+di,  если a = c, b = d.

Комплексное число равно нулю тогда, когда его действительная часть и коэффициент мнимой части равны нулю, т.е. z = a + bi = 0, если a = 0, b = 0.

Действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Если b = 0, то a + 0i = a - действительное число.

Если а = 0, b 0, то a + bi = bi  – чисто мнимое число. Для комплексных чисел справедливы переместительный и сочетательный законы сложения. Их справедливость следует из того, что сложение комплексных чисел по существу сводится к сложению действительных частей и коэффициентов мнимых частей, а они являются действительными числами, для которых справедливы указанные законы.

Пример. (-3 + 5i) + (4 – 8i) = 1 - 3i

 Пример. (2 + 0i) + (7 + 0i) = 9 + 0i. Так как запись 2 + 0i означает то же, что и 2 и т. д., то наполненное действие согласуется с обычной арифметикой (2 + 7=9).

Пример. (0 + 2i) + (0 + 5i) = 0 + 7i, т. е. 2i + 5i = 7i

Пример.  (-2 + 3i) + ( - 2 – 3i) = - 4

         1.4.2. Вычитание комплексных чисел

Вычитание комплексных чисел определяется как действие, обратное сложению: разностью двух комплексных чисел a + bi и с + di называется комплексное число х + уi, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое. Отсюда, исходя из определения сложения и равенства комплексных чисел получим два уравнения, из которых найдем, что х = а-с, у = b-d. Значит, (а+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i.

Пример. (-5 + 2i) – (3 – 5i) = -8 + 7i

Пример. (3 + 2i) – (-3 + 2i) = 6 + 0i = 6

1.4.3. Произведение комплексных чисел

Произведением z₁= a + bi  и  z₂ = c + di называется комплексное число

z = (ac-bd) + (ad + bc)i,

z₁z₂ = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.

Легко проверить, что умножение комплексных чиcел можно выполнять как умножение многочленов с заменой i² на –1. Для умножения комплексных чисел также справедливы переместительный и сочетательный законы, а также распределительный закон умножения по отношению к сложению.

Из определения умножения получим, что произведение сопряженных комплексных чисел равно действительному числу: (a + bi)(a - bi) = a² + b²

Деление комплексных чисел, кроме деления на нуль, определяется как действие, обратное умножению. Конкретное правило деления получим, записав частное в виде дроби и умножив числитель и знаменатель этой дроби на число, сопряженное со знаменателем:

(a + bi):(c + di) =

Степень числа i является периодической функцией показателя с периодом 4. Действительно,

i² = -1, i³ = -i, i⁴ = 1, i⁴ⁿ = (i⁴)ⁿ = 1ⁿ = 1, i⁴ⁿ⁺¹ = i, i⁴ⁿ⁺² = -1, i⁴ⁿ⁺³ = -i.

Пример. (1 – 2i)(3 + 2i) = 3 – 6i + 2i – 4i ^{2 ­} = 3 – 6i + 2i + 4 = 7 – 4i.

Пример. Найти частное (7 – 4i):(3 + 2i).

 ((7 – 4i)(3 - 2i))/((3 + 2i)(3 – 2i)) = (13 – 26i)/13 = 1 – 2i.        

==

        1.4.4.  Извлечение корней

Извлечение корня из комплексного числа есть действие, обратное возведению в степень. С его помощью по данной степени (подкоренное число) и данному показателю степени (показатель корня) находят основание (корень). Иначе говоря, это действие равносильно решению уравнения zⁿ=a для нахождения z. В множестве комплексных чисел действие извлечения корня всегда выполнимо, причем неоднозначно: в результате получается столько значений, каков показатель корня. В частности, квадратный корень имеет ровно два значения.

         1.5. Геометрический смысл алгебраических операций

Пусть даны два комплексных числа z₁ и z₂. В результате сложения этих чисел получается число z₃, изображаемое вектором 0С диагонали параллелограмма 0АСВ (по правилу параллелограмма сложения векторов): z₁+z₂=0A+0B=0C=z₃.

Разность (z₁-z₂) данных чисел, соответствующая их вычитанию, можно рассматривать как сумму вектора 0А, изображающего число z₁ и вектора 0D=--0В, противоположного вектору 0В (симметричного ему относительно начала координат): z₁-z₂=z₁+(-z₂)=0A+0D=0E=BA. Таким образом, разности (z₁-z₂) данных чисел соответствует вектор ВА другой диагонали параллелограмма 0АСВ (рис.4).

Рис.4

Для иллюстрации остальных алгебраических действий над комплексными числами более удобна тригонометрическая форма.

Пусть Z₁= r₁ (cosj₁ + isinj₁), Z₂ = r₂(cosj₂ + isinj₂). Тогда:

Z₁Z₂= r₁r₂[cosj₁cosj₂ – sinj₁sinj₂ + i(sinj₁cosj₂ + cosj₁sinj₂)]=

= r₁r₂[cos(j₁ + j₂) + isin(j₁ + j₂)].

Таким образом, произведение комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:

Z₁Z₂= r₁r₂[cos(j₁ + j₂) + isin(j₁ + j₂)]   

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

                   Z²=[r(cosj + isinj)]²= r²(cos2j + isin2j)

Z³=Z²Z= r²(cos2j + isin2j)r(cosj + isinj)= r³(cos3j + isin3j)

Вообще для любого комплексного числа Z= r(cosj + isinj)0 и любого натурального числа n справедлива формула:

Zⁿ =[r(cosj + isinj)]ⁿ= rⁿ( cosnj+ isinnj),     

которую называют формулой Муавра. Таким образом, при возведении комплексного числа в степень «n» в ту же степень возводится его модуль, а аргумент умножается на «n» (на показатель степени).

Частное двух комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, можно находить по формуле:

[cos(j₁ – j₂) + isin(j₁ – j₂)],      

т.е. при делении двух комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются.

Извлечение корня. Пусть а=re^iφ, z=ρe^iσ. Решаем уравнение zⁿ=a для вычисления ⁿ√a: ρⁿe^inσ=re^iφ. Отсюда с учетом того, что аргументы чисел отличаются на целое, кратное числу 2π, получаем: ρⁿ=r, nσ-φ=2πK, или ρ=ⁿ√r; σ_K+1=(φ+2πK)/n (причем К=0,1,2…n-1). Таким образом,

          z_k=ⁿ√r(cosφ+isinφ)=ⁿ√r(cos(φ+2Kπ)/n+isin(φ+2Kπ)/n),                

где ⁿ√r - арифметический корень, а К=0,1,2,…, n-1; т.е. корень степени n в множестве комплексных чисел имеет n различных значений z_k (исключение представляет z=0, в этом случае все значения корня равны между собой и равны нулю).

Заметим также, что разность между аргументами соседних чисел z_k+1 и z_k постоянна и равна 2π/n: σ_k+1-σ_k=(φ+2π(K+1))/n-(φ+2πK)/n=2π/n. Отсюда следует, что все значения ⁿ√a располагаются на комплексной плоскости в вершинах некоторого правильного n-угольника с центром в начале координат.

Пример .     Z³ = –8

Число –8 запишем в тригонометрической форме

-8 = 8(cos(p + 2pk) + isin(p + 2pk)),   kÎZ

Пусть Z = r(cosj + i×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:

r³(cos3j + isin3j) = 8( cos(p + 2pk) + isin(p + 2pk)),   kÎZ

Тогда  3j =p + 2pk, kÎZ,      j = ,  kÎZ

r³ = 8,               r = 2

Следовательно:

Z = 2(cos() + isin()),   kÎZ

k = 0,1,2...

k = 0      Z₁ = 2(cos + isin) = 2(i) = 1+i

k = 1      Z₂ = 2(cos( + ) + isin( + )) = 2(cosp + isinp) = –2

k = 2     Z₃ = 2(cos( + ) + isin( + )) = 2(cos + isin) = 1–i

 Ответ:    Z₁₃ = 1+i;    Z₂ = –2.

Пример .      Z⁴ = 1

Число 1 запишем в тригонометрической форме

1 = 1 (cos(2pk) + isin(2pk)),   kÎZ

Пусть Z = r(cosj + i×sinj), тогда данное уравнение запишется в виде:

r⁴ (cos4j + isin4j) = cos(2pk) + isin(2pk)),   kÎZ

4j = 2pk,    kÎZ,             j = ,      kÎZ

r⁴ = 1,                                  r = 1

Z = cos + isin

k = 0,1,2,3...

k = 0            Z₁ = cos0+ isin0 = 1 + 0 = 1

k = 1            Z₂ = cos + isin = 0 + i = i

k = 2            Z₃ = cosp + isinp = –1 + 0 = –1

k = 3            Z₄ = cos + isin= 0 – i=-i

  Ответ: Z₁₃ = 1,   Z₂₄ =  i.

Корень q-той степени из любого комплексного числа имеет ровно q значений. Как они расположены на комплексной плоскости? Во-первых, они все имеют одинаковый модуль, равный корню из модуля числа, то есть, они лежат на окружности с центром в начале координат. Далее, углы между ними равны 2π/q, то есть, они лежат в вершинах правильного q-угольника. Таким образом, алгоритм извлечения корня следующий: извлекаем корень из модуля подкоренного выражения, рисуем окружность этого радиуса, делим аргумент подкоренного выражения на q и откладываем этот угол от положительной половины действительной оси, и ставим точку на окружности. Затем вписываем в окружность правильный q-угольник так, чтобы эта точка была одной из вершин. Например, извлечём корень 4-й степени из – 1. Модуль у неё равен единице, так что все значения корня лежат на единичной окружности. Аргумент – 1 равен π, так что первый корень имеет аргумент π/4, второй π/4 + π/2 = 3π/4, третий 5π/4, и четвёртый 7π/4. Подставляя эти значения в тригонометрическую форму, получим (± 1 ± i)/√2 (все возможные комбинации знаков). А так выглядят корни шестой степени из плюс единицы, которые суть ± 1;  ±1/2 ± √3i/2 (рис. 5) и корни третьей степени из минус единицы (ри.6).

      

         Рис. 5.                                                      Рис. 6

Как устроена РП корня q-той степени? Возьмём q экземпляров комплексной плоскости с разрезами по положительной части действительной оси. На верхнем берегу разреза первого листа D₀ комплексный  корень совпадает с действительным и имеет нулевой аргумент. При обходе нуля на D₀ против часовой стрелки к аргументу корня прибавляется 2π/q, и на нижнем берегу разреза аргумент корня равен 2π/q. К нижнему берегу D₀ пришивается верхний берег следующего листа D₁, на котором аргумент возрастает от 2π/q до 4π/q. Опять же к нижнему берегу D₁ пришивается верхний берег D₂, на котором аргумент возрастает от 4π/q до 6π/q. На последнем листе D_{q – 1} аргумент возрастает от 2(q – 1)π/q до 2qπ/q = 2π. Но аргумент 2π – это всё равно, что аргумент 0, поэтому нижний берег D_{q – 1} сшивается с верхним берегом D₀. Говорят, что начало координат является точкой ветвления n-го порядка. На рисунке   ситуация изображена для случая  q = 3. Следует только иметь в виду, что самопересечений, которые видны на рисунке 7, в действительности нет! Просто в трехмерном пространстве такую  РП нельзя изобразить без самопересечений (в четырехмерном можно).

Рис. 7. Риманова поверхность кубического корня

        1.6. Применение комплексных чисел к решению алгебраических уравнений

Рассмотрим уравнение Z² = a, где a – заданное действительное число,                Z – неизвестное.

Это уравнение:

            имеет один корень, если a = 0.

            имеет два действительных корня Z_1,2=, если a > 0.

            не имеет действительных корней, если a < 0. Но имеет два комплексных корня:

Z_1,2 =  i

Введенное понятие корня из отрицательного числа позволяет записать корни  любого квадратного уравнения с действительными коэффициентами

aZ² + bZ + c = 0

По известной общей формуле

Z_1,2=

Итак, при любых действительных a (a0), b, c корни уравнения можно находить по формуле. При это если дискриминант  положителен , то уравнение aZ² + bZ + c = 0 два действительных различных корня. Если D = 0, то уравнение aZ² + bZ + c = 0 два равных действительных корня. Если D < 0, то уравнение

aZ² + bZ + c = 0 имеет два различных комплексных корня.

Пример . Z² – 6Z + 10 = 0               

D = b² – 4ac = 6² – 4·10 = – 4= i²·4    

Z_1,2 =

Пример.   3Z²  +2Z + 1 = 0               

   D = b² – 4ac = 4 – 12 = – 8=  8·i²

Z_1,2 =

Z₁ = – (),   Z₂ = –

Пример.  Z⁴ – 8·Z² – 9 = 0                  

  Замена  Z² = t

t² – 8·t – 9 = 0                      

  t₁ = 9                   t₂ = – 1

Обратная замена

Z² = 9                          Z² = – 1

Z_1,2 =3                      Z_3,4 =i

{

Пример.

	X2 + 3XY + Y2 = 6 X + Y = 2

 
                        

      X + Y = 2

 ( 2 – Y)² + 3( 2 – Y)Y + Y² = 6

4 – 4Y + Y² + 6Y – 3Y² + Y² = 6                              

–Y² + 2Y – 2 = 0 /–1

Y² – 2Y + 2 = 0      

  Д = b² – 4ac = 4 – 8 = – 4            – 4 = – 1·4 = 4· i²

Y_1,2 =  =  = 1 i

Y₁ = 1– i                          Y₂ = 1 + i

X₁ = 1 + i                         X₂ = 1– i

Ответ:  (1 + i ; 1– i),  (1– i ; 1 + i).

РАЗДЕЛ 3

ПРОСТЕЙШИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

В теории функций комплексного переменного ставится задача распространения на комплексную плоскость обычных функций вещественного переменного. При этом функции очень часто приобретают новые свойства – монотонные функции становятся периодическими, такие функции, как sinz, оказываются неограниченными и т.п.

       График комплексной функции  можно было бы построить в четырехмерном (4D) пространстве (две координаты нужны для изображения , и две - для ). К сожалению, подавляющее большинство людей сталкивается с серьезными проблемами при воображении четырехмерного пространства. Поэтому, одно из ухищрений, обычно применяемое, заключается в следующем: график строится в трехмерном (3D) пространстве. Ось OX отвечает за , ось OY - за , ось OZ - за . Для изображения  используется цвет полученной 3D-точки. Цвет берется из заранее сформированной цветовой шкалы (градиента). Вот несколько примеров для . Для наглядности под получившейся «поверхностью» изображено множество значений 

(«круглая тень»). 

Рис.8 f(z) = z, |z| ≤ 1

         f(z) = z², |z| ≤ 1

                                                  Рис. 9

 f(z) = z³, |z| ≤

                                                        Рис. 10

                                                                Рис. 11

Рис. 12

При другом подходе для наглядности изображают функции как поверхности над комплексной плоскостью (x, y) – рисуют "рельефы" функций или поверхности модуля в пространстве (x, y, u) с уравнением u = |f(z)|.

 Буквой z обозначаются любые комплексные переменные, а буквами x, y – реальные и мнимые части комплексных чисел или действительные переменные.

          Например, простой полюс  f (z) =1/z .

Функция имеет полюс первого порядка при  z = 0. Модуль функции

|f (z)| =1/(y²+x²).

Рельеф функции показан на рис. 13. В нуле функция уходит в бесконечность, поэтому её поверхность сверху обрезана.

Рис. 13

      Еще пример -  натуральный логарифм комплексного аргумента.  Поскольку у нас есть экспонента, можно ввести и обратную функцию: комплексный логарифм Ln z (по традиции, комплексный логарифм записывают с большой буквы, в отличие от действительного).

f (z) = Ln z = Ln  ρ + i (ϕ +2πk),

где ρ = √x²+y²— модуль комплексного числа, а  0 < φ < 2π − главное значение аргумента. Логарифм — многозначная функция, на рис. 14 показана основная ветвь функции для k = 0. Точка z = 0 является точкой ветвления бесконечного порядка; вдоль положительной действительной полуоси проходит линия разреза. Мы учли, что прибавление к аргументу числа, кратного 2π ничего не меняет. Таким образом, комплексный логарифм оказывается бесконечнозначной функцией, что чрезвычайно важно и приводит к далеко идущим выводам. Можно, конечно, ограничиться одной ветвью функции, например, договориться, что аргумент всегда 0 ≤ φ < 2π, но тогда логарифм станет разрывной на положительной части действительной оси функцией.

Рис. 14

Поскольку многозначные функции не очень удобная вещь, математики восстанавливают их однозначность, задавая их не на комплексной плоскости, а на так называемой римановой поверхности (РП). РП – одно из важнейших понятий теории функций комплексного переменного. Построим РП логарифма – см. рисунок 15.

Возьмём экземпляр комплексной плоскости (обозначим его D₀) и разрежем его по положительной части действительной оси. На верхнем берегу разреза определим комплексный логарифм как действительное число Lnx = lnx. Далее, обходя плоскость D₀ против часовой стрелки, получим на нижнем берегу разреза Lnx = lnx + 2πi. Возьмём ещё один экземпляр комплексной плоскости (обозначим D₁) с разрезом по положительной части действительной оси и приклеим верхний берег разреза D₁ к нижнему берегу разреза D₀. На D₁ аргумент продолжит возрастать, и на нижнем берегу разреза D₁ получим Lnx = lnx + 4πi. Далее подклеиваем лист D₂ и так далее до бесконечности. Теперь идём в другую сторону: подклеиваем верхний разрез D₀ к нижнему разрезу D_-1, на которой логарифм меняется от Lnx = lnx до Lnx = lnx – 2πi. И, опять же, так далее до бесконечности. Получаем бесконечный в обе стороны штопор. На этом множестве логарифм однозначен.

               

                     Рис.  15.    Риманова поверхность для комплексного логарифма

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

         Комплексные числа имеют очень широкое применение. Они играют значительную роль не только в математике, но и в таких науках, как физика, химия. В настоящее время комплексные числа активно используются в электромеханике, компьютерной и космической индустрии. Именно поэтому следует расширять свои знания о комплексных числах, их свойствах и особенностях.

В работе рассмотрено понятие комплексных чисел, рассмотрены примеры действий с комплексными числами.

Особое внимание уделено графическому изображению функций комплексного переменного. Так как для полноценного построения таких изображений необходимо выполнять их в четырехмерном пространстве, а это выходит за пределы возможностей человека, то предпринимаются различные попытки частичного построения поверхностей: или только по действительной части числа, или по модулю числа, являющегося значением функции комплексного переменного. Но даже в таком виде получаются очень интересные изображения.

Изучение функций комплексного переменного тренирует пространственное воображение, развивает представление о математике как о постоянно развивающейся науке.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.             Гордиенко Н.А., Беляева Э.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексные числа и их приложения: Учебное пособие. – Воронеж: ВГПУ, 2008.

3. Кураш А.Г. Алгебраические уравнения произвольных степеней. М., Наука, 2007.

4. Маркушевич А.И. Комплексные числа и конформные отображения.- М., Физматгиз, 2009.

         5. Яглом И.М. Комплексные числа и их приложения в геометрии. - Изд. 2-е, стереотипное. – М.: Едиториал УРСС, 2008.

         6. Фролов С.В. Простейшие функции комплексного переменного: Учеб.-метод. пособие. СПб.: НИУ ИТМО; ИХиБТ, 2013. 42 с.

         7. Захаров Ю.В., Охоткин К.Г., Титов Л.С. Поверхности функций комплексного переменного: Метод. указания. Изд. 2-е, исправ. и доп. / Краснояр. гос. ун-т; - Красноярск, 2004. 39 с.

         8. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. – М: Наука, 1979.

         9. http://www.nigma.ru

         10. http://ru.wikipedia.org

          11.http://www.fxyz.ru/формулы_по_математике/комплексные_числа/

          12. http://maths.yfa1.ru/